Permutation and Combination based Probability Questions in Gujarati

(A) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = 1326$ છે.
એક પણ એક્કો ન હોય તેવી રીતે $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે $48$ બિન-એક્કા પત્તામાંથી પસંદગી) $^{48}C_2 = 1128$ છે.
એક્કો ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{no ace}) = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછું એક પત્તું એક્કો હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{no ace}) = 1 - \frac{188}{221} = \frac{33}{221}$ છે.

(A) $n$ પત્રોને $n$ પરબીડિયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
દરેક પત્રને તેના સાચા પરબીડિયામાં મૂકવાની માત્ર $1$ જ રીત છે.
તેથી,સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
$P = \frac{1}{n!}$

(A) દડાની કુલ સંખ્યા $= 5 + 7 + 8 = 20$.
જ્યારે ચાર દડા એક પછી એક બદલ્યા વગર કાઢવામાં આવે,ત્યારે ચારેય સફેદ હોવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{5}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} \times \frac{2}{17}$
$P = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17}$
$P = \frac{1 \times 1 \times 1 \times 2}{19 \times 6 \times 17} = \frac{2}{1938} = \frac{1}{969}$.

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી બે અંકની કુલ સંખ્યાઓ (પુનરાવર્તન સાથે) $= 5 \times 5 = 25$ છે.
$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$12, 24, 32, 44, 52$.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 5$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે એક પત્તું લાલનો એક્કો છે અને બીજું નથી.
બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
$(i)$ પ્રથમ પત્તું લાલનો એક્કો હોય અને બીજું ન હોય: $P(E_1) = \frac{1}{52} \times \frac{51}{51} = \frac{1}{52}$.
$(ii)$ પ્રથમ પત્તું લાલનો એક્કો ન હોય અને બીજું લાલનો એક્કો હોય: $P(E_2) = \frac{51}{52} \times \frac{1}{51} = \frac{1}{52}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E_1) + P(E_2) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ છે.

(D) $5$ ઘોડામાંથી $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
માત્ર $1$ વિજેતા ઘોડો છે. વિજેતા ઘોડાનો સમાવેશ થાય તેવી રીતે $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની રીતો એટલે કે વિજેતા ઘોડાને પસંદ કરવો અને બાકીના $4$ ઘોડામાંથી એક અન્ય ઘોડો પસંદ કરવો,જે $^4C_1 = 4$ છે.
તેથી,$Mr. A$ એ વિજેતા ઘોડાને પસંદ કર્યો હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2$ છે.
$13$ કાળીના પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{^{13}C_2}{^{52}C_2}$ છે.
$P = \frac{13 \times 12}{52 \times 51} = \frac{1}{17}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $20$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોય.
કોઈપણ $20$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,બરાબર $10$ બેકી સંખ્યાઓ અને $10$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
એક બેકી અને એક એકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{10}C_1 \times {}^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ છે.

(C) $25$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર બેકી હોય તે માટે ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: ગુણાકાર એકી ત્યારે જ મળે જો બંને પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ એકી હોય.
આ સેટમાં $13$ એકી સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, \dots, 25)$ અને $12$ બેકી સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, \dots, 24)$ છે.
$2$ એકી ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ છે.
બંને એકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{odd}) = \frac{78}{300} = \frac{13}{50}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર બેકી હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{13}{50} = \frac{37}{50}$ છે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 12 + 18 = 30$.
$30$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતો $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ છે.
$12$ માંથી $2$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની રીતો $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{^{12}C_2}{^{30}C_2} = \frac{66}{435} = \frac{22}{145}$.

(B) કુલ અક્ષરોની સંખ્યા = $11$.
વ્યંજનોની સંખ્યા = $7$.
$11$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ છે.
$7$ માંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $^{7}C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{^{7}C_2}{^{11}C_2} = \frac{21}{55}$ છે.

(A) $20$ માંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
આપણે $7$ અને $11$ નંબરવાળી ટિકિટો પસંદગીમાં હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
જો $7$ અને $11$ પહેલેથી જ પસંદ કરેલ હોય,તો બાકીની $18$ ટિકિટોમાંથી માત્ર $1$ વધુ ટિકિટ પસંદ કરવાની રહે છે.
આ $3^{rd}$ ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $^{18}C_1 = 18$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$ છે.
$15$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ છે.
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે એક દડો સફેદ હોય. આનો અર્થ એ છે કે એક દડો સફેદ છે અને બીજો બિન-સફેદ (લાલ અથવા કાળો) છે.
સફેદ દડાની સંખ્યા $= 4$.
બિન-સફેદ દડાની સંખ્યા $= 5 + 6 = 11$.
$1$ સફેદ અને $1$ બિન-સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^{11}C_1 = 4 \times 11 = 44$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{44}{105}$.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 50$.
ઇનામી ટિકિટોની સંખ્યા $= 14$.
ખાલી ટિકિટોની સંખ્યા $= 50 - 14 = 36$.
વ્યક્તિ $2$ ટિકિટ ખરીદે છે.
$50$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{50}C_2 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225$ છે.
કોઈ પણ ઇનામ ન મળે (બંને ખાલી હોય) તેવી રીતે પસંદગી કરવાની રીતો ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2 \times 1} = 630$ છે.
કોઈ ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના $P(\text{no prize}) = \frac{630}{1225} = \frac{18}{35}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $P(\text{at least one prize}) = 1 - \frac{18}{35} = \frac{17}{35}$ છે.

(C) $1, 2, 3$ અને $4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી ત્રણ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
${1, 2, 3, 4}$ માંથી ત્રણ અંકોના સમૂહ જેનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે છે:
$1 + 2 + 3 = 6$
$2 + 3 + 4 = 9$
${1, 2, 3}$ સમૂહ માટે,ગોઠવણીની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
${2, 3, 4}$ સમૂહ માટે,ગોઠવણીની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 + 6 = 12$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $20$ છે. $20$ માંથી $2$ ટિકિટો પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ છે.
$1$ થી $20$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. આવી કુલ $8$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આ $8$ માંથી $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
બંને સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના $\frac{28}{190} = \frac{14}{95}$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 5 + 4 = 15$.
લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા $= 5 + 4 = 9$.
આપણે $9$ લાલ ન હોય તેવા દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાના છે.
$15$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$9$ લાલ ન હોય તેવા દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{36}{105} = \frac{12}{35}$.

(B) $m$ રૂપિયાના સિક્કા અને $n$ દસ પૈસાના સિક્કાને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો: $\frac{(m + n)!}{m! n!}$.
જો બંને છેડા પર દસ પૈસાના સિક્કા હોય,તો બાકીના $(m + n - 2)$ સિક્કાઓમાં $m$ રૂપિયાના સિક્કા અને $(n - 2)$ દસ પૈસાના સિક્કા છે.
આ બાકીના સિક્કાઓને ગોઠવવાની રીતો: $\frac{(m + n - 2)!}{m! (n - 2)!}$.
તેથી,માંગેલ સંભાવના:
$P = \frac{\frac{(m + n - 2)!}{m! (n - 2)!}}{\frac{(m + n)!}{m! n!}} = \frac{n(n - 1)}{(m + n)(m + n - 1)}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 3 = 7$.
પ્રથમ લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $= \frac{3}{7}$.
દડો પાછો મૂક્યા વગર ડ્રો કરવામાં આવતો હોવાથી,બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા $2$ છે અને કુલ બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા $6$ છે.
બીજો લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
તેથી,બંને દડા લાલ હોય તેની સંભાવના $= \frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 = 16$.
$16$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$.
$5$ માંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{^{5}C_3}{^{16}C_3} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$.

(A) $100$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ છે.
ધારો કે $S = {1, 2, \dots, 100}$. $S$ માં $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ ${3, 6, \dots, 99}$ છે,જે કુલ $33$ છે. $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $100 - 33 = 67$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય જો બંને પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
બંને સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પસંદગીની રીતો ${}^{67}C_2 = \frac{67 \times 66}{2} = 2211$ છે.
ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી રીતો $4950 - 2211 = 2739$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{2739}{4950} = 0.5533\dots$ છે,જે દશાંશના બે સ્થાન સુધી $0.55$ થાય છે.

(D) કુલ મોજાંની સંખ્યા $= 5 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $2$ મોજાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
$2$ કથ્થઈ મોજાં પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$2$ સફેદ મોજાં પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
બંને મોજાં એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $= \frac{^5C_2 + ^4C_2}{^9C_2} = \frac{10 + 6}{36} = \frac{16}{36}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અંશ અને છેદને $3$ વડે ગુણતા: $\frac{16 \times 3}{36 \times 3} = \frac{48}{108}$.

(C) $38$ લોકોમાંથી $3$ લોકોની સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{38}{3}$ છે.
જો તમે સમિતિમાં હોવ,તો બાકીના $2$ સભ્યો બાકીના $37$ લોકોમાંથી પસંદ કરવા પડે.
તમે સમિતિમાં હોવ તેવી રીતે સમિતિ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{37}{2}$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{\binom{37}{2}}{\binom{38}{3}}$ છે.

(B) $4$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને લાઈનમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $7!$ છે.
તેઓ એકાંતરે સ્થાને હોય તે માટે,ગોઠવણી $B G B G B G B$ હોવી જોઈએ.
$4$ છોકરાઓને $4$ નિર્ધારિત સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
$3$ છોકરીઓને $3$ નિર્ધારિત સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $3!$ છે.
સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 4! \times 3!$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(C) $30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ છે.
$30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $15$ બેકી સંખ્યાઓ અને $15$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોય.
એક બેકી અને એક એકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_1 \times ^{15}C_1 = 15 \times 15 = 225$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{225}{435} = \frac{15}{29}$ છે.

(D) $6$ સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ બદલ્યા વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપણે $\min(x, y) < 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
તેના પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: $\min(x, y) \geq 4$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે બંને સંખ્યાઓ ગણ $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી જોઈએ.
$\{4, 5, 6\}$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ છે.
$\min(x, y) \geq 4$ હોય તેની સંભાવના $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,$\min(x, y) < 4$ હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 7 + 5 = 18$.
$18$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ છે.
$6$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{20}{816}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{20}{816} = \frac{5}{204}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 10 + 15 = 25$.
આપણે બે પ્રયત્નોમાં એક લાલ અને એક લીલો દડો કાઢવાનો છે.
શક્ય કિસ્સાઓ (લાલ,લીલો) અથવા (લીલો,લાલ) છે.
સંભાવના $= P(RG) + P(GR) = \left( \frac{10}{25} \times \frac{15}{24} \right) + \left( \frac{15}{25} \times \frac{10}{24} \right)$.
સંભાવના $= \left( \frac{150}{600} \right) + \left( \frac{150}{600} \right) = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$.

(C) $5$ વ્યક્તિઓને કતારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
$A$ અને $E$ હંમેશા સાથે હોય તેવી સાનુકૂળ રીતો શોધવા માટે,આપણે $(AE)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે: $(AE), B, C, D$.
આ $4$ એકમોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(AE)$ એકમની અંદર,$A$ અને $E$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 2! \times 4! = 2 \times 24 = 48$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ રીતો}}{\text{કુલ રીતો}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.

(A) $n$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
તેઓ સાથે હોય તેવા કિસ્સાઓ શોધવા માટે,આપણે $2$ વ્યક્તિઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આવી $(n-1)$ ગોઠવણીઓ શક્ય છે,તેથી તેઓ સાથે હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $(n-1)$ છે.
તેઓ સાથે હોય તેની સંભાવના $P(\text{together}) = \frac{n-1}{^nC_2} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}$ છે.
તેઓ સાથે ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{2}{n}$ થાય.

(B) $10$ વ્યક્તિઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n = 10!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે તે માટે,તેઓએ $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ અથવા $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$ જેવી સ્થિતિઓ લેવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: છોકરાથી શરૂઆત કરતા,ગોઠવણીની સંખ્યા $5! \times 5!$ છે.
કિસ્સો $2$: છોકરીથી શરૂઆત કરતા,ગોઠવણીની સંખ્યા $5! \times 5!$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $m = 2 \times (5! \times 5!)$.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 5! \times 5!}{10!} = \frac{1}{126}$.

(B) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F$ ખામીયુક્ત મશીન દર્શાવે છે અને $M$ કાર્યરત મશીન દર્શાવે છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે બંને ખામીયુક્ત મશીનો બરાબર બે પરીક્ષણોમાં ઓળખાઈ જાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પરીક્ષણમાં ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ અને બીજા પરીક્ષણમાં પણ ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ.
પ્રથમ બે પરીક્ષણો માટે $4$ માંથી $2$ મશીનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
પ્રથમ બે પરીક્ષણો માટે $2$ માંથી $2$ ખામીયુક્ત મશીનો પસંદ કરવાની રીતો $^2P_2 = 2 \times 1 = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.

(A) કુલ અંકો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ છે,જેની સંખ્યા $7$ છે.
તેમાં યુગ્મ અંકો $\{2, 4, 6, 8\}$ છે,એટલે કે $4$ યુગ્મ અને $3$ એકી અંકો છે.
કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $P(7, 5) = 2520$ રીતે બનાવી શકાય.
બંને છેડે યુગ્મ અંક હોય તે માટે,$4$ યુગ્મ અંકોમાંથી $2$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીત $P(4, 2) = 12$ છે.
બાકીના $3$ સ્થાન માટે બાકી રહેલા $5$ અંકોમાંથી $P(5, 3) = 60$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $12 \times 60 = 720$ છે.
સંભાવના $= \frac{720}{2520} = \frac{2}{7}$ થાય.

(A) ધારો કે પત્રો $L_1, L_2, L_3$ છે અને તેમના અનુરૂપ પરબિડીયા $E_1, E_2, E_3$ છે.
$3$ પત્રોને $3$ પરબિડીયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $3! = 6$ છે.
શક્ય ગોઠવણીઓ: $(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે માત્ર એક જ પત્ર સાચા પરબિડીયામાં હોય.
જો $L_1$ એ $E_1$ માં હોય,તો $L_2$ અને $L_3$ ની અદલાબદલી કરવી પડે ($L_2$ એ $E_3$ માં,$L_3$ એ $E_2$ માં). આ $1$ રીત છે.
જો $L_2$ એ $E_2$ માં હોય,તો $L_1$ અને $L_3$ ની અદલાબદલી કરવી પડે. આ $1$ રીત છે.
જો $L_3$ એ $E_3$ માં હોય,તો $L_1$ અને $L_2$ ની અદલાબદલી કરવી પડે. આ $1$ રીત છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 1 + 1 + 1 = 3$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ રીતો}}{\text{કુલ રીતો}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 3 = 8$.
$8$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
$5$ સફેદ દડામાંથી $1$ સફેદ અને $3$ કાળા દડામાંથી $1$ કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_1 \times ^3C_1 = 5 \times 3 = 15$.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{15}{28}$.

(B) $7$ વ્યક્તિઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $7!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે ઊભા રહે તે માટેની ગોઠવણી $B G B G B G B$ પ્રકારની હોવી જોઈએ.
$4$ છોકરાઓને $4$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
$3$ છોકરીઓને $3$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $3!$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4! \times 3!$.
સંભાવના $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(A) $100$ માંથી કોઈપણ $2$ સંખ્યા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$.
$1$ થી $100$ માં $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 6, 9, \dots, 99$ છે,જે કુલ $33$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $100 - 33 = 67$ છે.
બે સંખ્યાનો ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય ત્યારે જ થાય જો પસંદ કરેલી બે સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય.
આ માટે બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય અને બીજી ન હોય. રીતો = $^{33}C_1 \times ^{67}C_1 = 33 \times 67 = 2211$.
કિસ્સો $2$: બંને સંખ્યાઓ $3$ ના ગુણક હોય. રીતો = $^{33}C_2 = \frac{33 \times 32}{2} = 528$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2211 + 528 = 2739$.
સંભાવના = $\frac{2739}{4950} = 0.55$.

(A) $52$ પત્તાની થોકડીમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $n(S) = \binom{52}{2} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
પત્તાની થોકડીમાં $4$ રાજા હોય છે. $4$ રાજામાંથી $2$ રાજા પસંદ કરવાના પ્રકારો $n(E) = \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
તેથી,બંને પત્તાં રાજા હોય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ છે.

(D) કુલ ચોકની સંખ્યા = $5 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $2$ ચોક પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = _9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
ધારો કે $A$ એ બંને ચોક સફેદ હોય તેવી ઘટના છે. $4$ માંથી $2$ સફેદ ચોક પસંદ કરવાની રીતો $n(A) = _4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
ધારો કે $B$ એ બંને ચોક ભૂરા હોય તેવી ઘટના છે. $5$ માંથી $2$ ભૂરા ચોક પસંદ કરવાની રીતો $n(B) = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ચોક એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ થાય.
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(B) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{10}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $16$. $16$ પત્તામાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ છે.
એક્કાની સંખ્યા = $4$. એક્કા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $12$.
એક પણ એક્કો ન મળે તેની સંભાવના એ $12$ પત્તામાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની સંભાવના છે.
$P(\text{એક્કો ન મળે}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{66}{120} = \frac{11}{20}$.
ઓછામાં ઓછો એક એક્કો મળે તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક્કો ન મળે})$ છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક એક્કો}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.

(B) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે,જેમાં $4$ $S$,$4$ $I$,$2$ $P$ અને $1$ $M$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{11!}{4!4!2!1!} = 34650$ છે.
જ્યારે ચારેય $S$ સાથે આવે,ત્યારે $(SSSS)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $8$ એકમો થાય: $(SSSS), I, I, I, I, P, P, M$.
આ $8$ એકમોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{8!}{4!2!1!} = 840$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{840}{34650} = \frac{4}{165}$ થાય.

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $= 5! = 120$ છે.
કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય.
આપેલ અંકોમાંથી બનતી $4$ વડે વિભાજ્ય જોડીઓ $12, 24, 32, 52$ છે.
આ દરેક $4$ જોડીઓ માટે,બાકીના $3$ અંકોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 \times 6 = 24$.
સંભાવના $= \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

(C) $30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n = \binom{30}{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 15 \times 29$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અયુગ્મ ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા યુગ્મ અને બીજી અયુગ્મ હોય.
$30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $15$ યુગ્મ અને $15$ અયુગ્મ સંખ્યાઓ હોય છે.
એક યુગ્મ અને એક અયુગ્મ સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $r = \binom{15}{1} \times \binom{15}{1} = 15 \times 15$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{15 \times 15}{15 \times 29} = \frac{15}{29}$ થાય.

(A) $13$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $n(S) = {}_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી પસંદ થાય તે ઘટના છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી પસંદ કરવાના પ્રકારો:
$n(A) = ({}_5C_1 \times {}_8C_1) + ({}_5C_2 \times {}_8C_0) = (5 \times 8) + (10 \times 1) = 40 + 10 = 50$.
તેથી,સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{50}{78} = \frac{25}{39}$.

(D) ધારો કે $A$ એ $2$ કથ્થાઈ મોજા કાઢવાની ઘટના છે અને $B$ એ $2$ સફેદ મોજા કાઢવાની ઘટના છે.
$9$ માંથી $2$ મોજા કાઢવાની કુલ રીતો $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
$2$ કથ્થાઈ મોજા કાઢવાની સંભાવના: $P(A) = \frac{^{5}C_{2}}{^{9}C_{2}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$2$ સફેદ મોજા કાઢવાની સંભાવના: $P(B) = \frac{^{4}C_{2}}{^{9}C_{2}} = \frac{6}{36} = \frac{3}{18}$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,માંગેલ સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{18} + \frac{3}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ થાય.

(D) $ASSASSIN$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $A(2), S(4), I(2), N(1)$.
કુલ ગોઠવણીઓ = $\frac{8!}{2!4!2!} = 420$.
કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તે માટે,બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ ને પહેલા ગોઠવો.
$A, A, I, N$ ને ગોઠવવાની રીતો = $\frac{4!}{2!} = 12$.
આ $4$ અક્ષરો $5$ જગ્યાઓ (gaps) બનાવે છે: $\_ L \_ L \_ L \_ L \_$.
આ $5$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાએ $S$ મૂકવાની રીતો = $^5C_4 = 5$.
સાનુકૂળ પરિણામો = $12 \times 5 = 60$.
સંભાવના = $\frac{60}{420} = \frac{1}{7}$.

(B) $20$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $10$ બેકી સંખ્યાઓ અને $10$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
$20$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો ત્યારે જ એકી મળે જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી સંખ્યા એકી હોય.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{10}C_1 \times ^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ થાય.

(A) $1$ થી $20$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર $n = \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ છે.
$1$ થી $20$ વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે,જે કુલ $8$ છે.
તેમાંથી $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના પ્રકાર $r = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
માટે,ઘટનાની સંભાવના $P = \frac{r}{n} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$ છે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 = 16$.
$16$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
સંભાવના $= \frac{^{5}C_3}{^{16}C_3} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $3 + 2 + 4 = 9$.
આપણે $9$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓનું જૂથ પસંદ કરવાનું છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $n = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
આ જૂથમાં બરાબર $2$ બાળકો હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $4$ બાળકોમાંથી $2$ બાળકો અને બાકીની $5$ વ્યક્તિઓમાંથી $1$ વ્યક્તિ પસંદ કરીએ.
સાનુકૂળ પ્રકારો $r = \binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$.
સંભાવના $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$.