Permutation and Combination based Probability Questions in Gujarati

(D) કુલ બલ્બની સંખ્યા = $50$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $5$.
ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા = $50 - 5 = 45$.
આપણે પૂરવણી વગર $3$ બલ્બ પસંદ કરવાના છે.
પ્રથમ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $P(E_1) = \frac{45}{50}$ છે.
એક ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કર્યા પછી,કુલ $49$ બલ્બમાંથી $44$ ખામી રહિત બલ્બ બાકી રહે છે.
બીજો બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{44}{49}$ છે.
બે ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કર્યા પછી,કુલ $48$ બલ્બમાંથી $43$ ખામી રહિત બલ્બ બાકી રહે છે.
ત્રીજો બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $P(E_3|E_1 \cap E_2) = \frac{43}{48}$ છે.
બધા $3$ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $P = \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48}$ છે.
$P = \frac{9}{10} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{9 \times 11 \times 43}{10 \times 49 \times 12} = \frac{3 \times 11 \times 43}{10 \times 49 \times 4} = \frac{1419}{1960}$.

(B) $100$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{100} C_2$ છે.
તમે અને તમારા મિત્ર બંને પ્રથમ વિભાગમાં ($40$ ની સંખ્યા) હોય તેવી રીતોની સંખ્યા ${ }^{40} C_2$ છે.
તમે અને તમારા મિત્ર બંને બીજા વિભાગમાં ($60$ ની સંખ્યા) હોય તેવી રીતોની સંખ્યા ${ }^{60} C_2$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સાનુકૂળ રીતોની કુલ સંખ્યા ${ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2}{{ }^{100} C_2}$ છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $9 + 5 = 14$ છે.
આપણે $14$ માંથી $4$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે.
$14$ માંથી $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{14}C_4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવી છે કે સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: સમિતિમાં એક પણ સ્ત્રી ન હોય (એટલે કે,બધા $4$ સભ્યો પુરુષ હોય) તેની સંભાવના.
$9$ પુરુષોમાંથી $4$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{No women}) = \frac{126}{1001} = \frac{18}{143}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{No women}) = 1 - \frac{18}{143} = \frac{125}{143}$ થાય.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4c < 0 \Rightarrow b^2 < 4c$.
જ્યારે $b$ અને $c$ ને $\{1, 2, \ldots, 9\}$ માંથી બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે $(b \neq c)$,ત્યારે $b^2 < 4c$ નું પાલન કરતી જોડીઓ $(b, c)$ નીચે મુજબ છે:

$b$	શક્ય $c$ કિંમતો $(c \neq b)$	ગણતરી
$1$	$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$8$
$2$	$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$7$
$3$	$4, 5, 6, 7, 8, 9$	$6$
$4$	$5, 6, 7, 8, 9$	$5$
$5$	$7, 8, 9$	$3$
$6$	શક્ય નથી	$0$

કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 8 + 7 + 6 + 5 + 3 = 29$.
કુલ શક્ય પરિણામો $= 9 \times 8 = 72$.
સંભાવના $= \frac{29}{72}$.

(A) કુલ માળની સંખ્યા $= 7$.
દરેક $5$ વ્યક્તિ $7$ માળમાંથી કોઈપણ માળ પસંદ કરી શકે છે.
$5$ વ્યક્તિઓના ઉતરવાના કુલ પ્રકારો $= 7^5$.
જો તમામ $5$ વ્યક્તિઓ અલગ-અલગ માળે ઉતરે,તો તેના પ્રકારોની સંખ્યા ${}^7P_5$ થાય.
${}^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{}^7P_5}{7^5} = \frac{2520}{16807} = \frac{360}{2401}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 9 + 4 = 13$ છે.
$13$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
ઓછામાં ઓછો એક સફેદ દડો મળે તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ સફેદ દડો ન મળે})$.
જો એક પણ સફેદ દડો ન મળે,તો ત્રણેય દડા કાળા હોવા જોઈએ.
$3$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
$P(\text{એક પણ સફેદ દડો ન મળે}) = \frac{84}{286} = \frac{42}{143}$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ દડો}) = 1 - \frac{42}{143} = \frac{101}{143}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 3 + 9 = 20$.
$20$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $n(S) = {}^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$8$ લાલ દડામાંથી $2$ અને $3$ સફેદ દડામાંથી $1$ દડો પસંદ કરવાની રીતો $n(E) = {}^{8}C_2 \times {}^{3}C_1 = 28 \times 3 = 84$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{84}{1140} = \frac{7}{95}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 2 + 8 = 16$.
$3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{16}C_3 = 560$.
$A$. કોઈ પણ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના:
$P(A) = \frac{^{14}C_3}{^{16}C_3} = \frac{13}{20} = III$.
$B$. $2$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મળવાની સંભાવના:
$P(B) = \frac{^{2}C_2 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{70} = I$.
$C$. $2$ વાદળી અને $1$ સફેદ દડો મળવાની સંભાવના:
$P(C) = \frac{^{8}C_2 \times ^{2}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{10} = IV$.
$D$. $1$ લાલ,$1$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મળવાની સંભાવના:
$P(D) = \frac{^{6}C_1 \times ^{2}C_1 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{6}{35} = II$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-I, C-IV, D-II$ છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $4 + 3 + 5 = 12$.
$3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$(A)$ $1$ લાલ,$1$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^4C_1 \times ^3C_1 \times ^5C_1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
સંભાવના = $\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$ ($(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(B)$ $2$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^3C_2 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
સંભાવના = $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ ($(i)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(C)$ $2$ લાલ અને $1$ સફેદ દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^4C_2 \times ^3C_1 = 6 \times 3 = 18$.
સંભાવના = $\frac{18}{220} = \frac{9}{110}$ ($(v)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(D)$ એક પણ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના (એટલે કે,ત્રણેય દડા લાલ અને વાદળી દડામાંથી હોય,કુલ $4+5=9$):
રીતો = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
સંભાવના = $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ ($(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે).
તેથી,સાચી જોડ છે: $A \rightarrow (iv), B \rightarrow (i), C \rightarrow (v), D \rightarrow (ii)$.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
${1, 2, 3, 4, 5}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને,$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ $12, 24, 32, 52$ છે.
આવી $4$ અનુકૂળ જોડીઓ છે.
બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3!$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ અનુકૂળ પરિણામો $= 4 \times 3!$.
પાંચ અંકની કુલ શક્ય સંખ્યાઓ $= 5!$.
સંભાવના $= \frac{4 \times 3!}{5!} = \frac{4 \times 3!}{5 \times 4 \times 3!} = \frac{1}{5}$.

(C) $8$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x < y$. આપણે $x < 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
કિસ્સો $I$: જો $x = 1$ હોય,તો $y$ બાકીની $7$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 7$.
કિસ્સો $II$: જો $x = 2$ હોય,તો $y$ બાકીની $6$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 6$.
કિસ્સો $III$: જો $x = 3$ હોય,તો $y$ બાકીની $5$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 5$.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 7 + 6 + 5 = 18$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$ છે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $15 + 5 = 20$.
$20$ માંથી $3$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$15$ માંથી $2$ છોકરાઓ અને $5$ માંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_2 \times ^5C_1$.
$^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.
$^{5}C_1 = 5$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $105 \times 5 = 525$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$.

(A) '$PROBABILITY$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે,જેમાં $B$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{11!}{2!2!}$.
બંને $B$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બંને $B$ ને એક એકમ $(BB)$ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $10$ એકમો છે: $(BB), P, R, O, A, I, L, I, T, Y$.
$I$ બે વાર આવતું હોવાથી,$B$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{10!}{2!}$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\frac{10!}{2!}}{\frac{11!}{2!2!}} = \frac{10! \times 2! \times 2!}{2! \times 11!} = \frac{2}{11}$.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $4 + 2 = 6$.
$6$ વ્યક્તિઓને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n(S) = 6! = 720$ છે.
બંને છોકરીઓ સાથે બેસે તે માટે,આપણે $2$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે $4$ છોકરાઓ અને $1$ એકમ (બે છોકરીઓ) છે,એટલે કે કુલ $5$ એકમો છે.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$2$ છોકરીઓ તેમના એકમમાં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ છે.
સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5! \times 2!}{6!} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(B) $50$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{50}C_2 = 1225$ છે.
ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોવી જોઈએ.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેની સંભાવના.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $a$ કે $b$ બંનેમાંથી કોઈ પણ $3$ નો ગુણક ન હોય.
${1, 2, \dots, 50}$ માં,$3$ ના ગુણકો $16$ છે.
$3$ ના ગુણક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $50 - 16 = 34$ છે.
$3$ ના ગુણક ન હોય તેવી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{34}C_2 = 561$ છે.
ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેની સંભાવના $\frac{561}{1225}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{561}{1225} = \frac{664}{1225}$ છે.