Permutation and Combination based Probability Questions in Gujarati

(A) $13$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{13}C_2 = 78$ છે.
એક પણ સ્ત્રી પસંદ ન થાય (એટલે કે $2$ પુરુષો) તેની રીતો $^8C_2 = 28$ છે.
એક પણ સ્ત્રી પસંદ ન થાય તેની સંભાવના $P(\text{no woman}) = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી પસંદ થાય તેની સંભાવના $1 - \frac{14}{39} = \frac{25}{39}$ થાય.

(B) $3$ વ્યક્તિઓ $(A, B, C)$ બોલી શકે તેવા કુલ પ્રકારો $3! = 6$ છે.
આ ગોઠવણીઓ છે: $(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)$.
આપણે એવી સ્થિતિ શોધી રહ્યા છીએ જેમાં $A$ એ $B$ પહેલા બોલે અને $B$ એ $C$ પહેલા બોલે,જે ચોક્કસ ક્રમ $(A, B, C)$ ને અનુરૂપ છે.
કુલ $6$ શક્ય પરિણામોમાંથી માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.

(B) $9$ દડામાંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = ^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
$5$ લાલ દડામાંથી $2$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $n(A_1) = ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$4$ લીલા દડામાંથી $2$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો $n(A_2) = ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(A) = n(A_1) \times n(A_2) = 10 \times 6 = 60$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$ થાય.

(B) કુલ ફળોની સંખ્યા = $3$ (કેરી) + $3$ (સફરજન) = $6$ ફળો.
$6$ ફળોમાંથી $2$ ફળો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
આપણે $3$ કેરીમાંથી $1$ કેરી અને $3$ સફરજનમાંથી $1$ સફરજન પસંદ કરવાનું છે. સાનુકૂળ પ્રકારોની સંખ્યા $^3C_1 \times ^3C_1 = 3 \times 3 = 9$ છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

(B) અહીં $10$ અંકો ઉપલબ્ધ છે: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
છેલ્લા બે અંકો ભિન્ન હોવાથી,છેલ્લા બે અંકો ડાયલ કરવાની કુલ રીતો $P(10, 2) = 10 \times 9 = 90$ છે.
આ $90$ શક્ય સંયોજનોમાંથી,માત્ર $1$ સંયોજન સાચો ટેલીફોન નંબર છે.
તેથી,સાચો નંબર ડાયલ કરવાની સંભાવના $\frac{1}{90}$ છે.

(C) "$UNIVERSITY$" શબ્દમાં કુલ $10$ અક્ષરો છે. '$I$' અક્ષર $2$ વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{10!}{2!}$ છે.
બંને '$I$' સાથે આવે તે માટે,આપણે બંને '$I$' ને એક એકમ તરીકે ગણીએ. હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $9$ એકમો છે,જે $9!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બંને '$I$' સાથે આવે તેની સંભાવના $P(\text{together}) = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.
બંને '$I$' સાથે ન આવે તેની સંભાવના $1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ થાય.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 3 + 2 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.
$4$ બાળકોમાંથી $2$ બાળકો અને બાકીના $5$ લોકો ($3$ પુરૂષો $+ 2$ સ્ત્રીઓ) માંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^4C_2 \times ^5C_2$ છે.
$^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 10 = 60$.
માગેલ સંભાવના $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.

(C) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $W$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ભિન્ન રંગના દડા પસંદ કરવા માટે બે કિસ્સાઓ છે: $(Red, White)$ અથવા $(White, Red)$.
કુલ દડા = $3 + 3 = 6$.
$(Red, White)$ ની સંભાવના = $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$(White, Red)$ ની સંભાવના = $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(C) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોની ગોઠવણીની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
${1, 2, 3, 4, 5}$ નો ઉપયોગ કરીને બનતી બે અંકની સંખ્યાઓ જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે $12, 24, 32, 52$ છે.
આ $4$ કિસ્સાઓમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ અંકોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 6 = 24$ છે.
સંભાવના $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ થાય.

(C) તાશના પેકમાં કુલ $13$ ફુલ્લી (spades) હોય છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં એક્કો ન આવે તેની સંભાવના $\frac{12}{13}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં એક્કો ન આવે તેની સંભાવના $\frac{11}{12}$ છે.
ત્રીજા પ્રયત્નમાં એક્કો ન આવે તેની સંભાવના $\frac{10}{11}$ છે.
ચોથા પ્રયત્નમાં એક્કો આવે તેની સંભાવના $\frac{1}{10}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{12}{13} \times \frac{11}{12} \times \frac{10}{11} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{13}$.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 2 + 2 = 4$ છે.
આ $4$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓને $^{4}C_{2}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
સમિતિમાં એક પણ પુરુષ ન હોય તેનો અર્થ એ છે કે સમિતિમાં $2$ સ્ત્રીઓ હશે.
$2$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓને $^{2}C_{2} = 1$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
તેથી,$P(\text{પુરુષ ન હોય}) = \frac{^{2}C_{2}}{^{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.
આ $4$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓને $^{4}C_{2}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
સમિતિમાં બરાબર એક પુરુષ હોય,તેનો અર્થ એ કે તેમાં બરાબર એક સ્ત્રી પણ હોવી જોઈએ.
$2$ પુરુષોમાંથી એક પુરુષને $^{2}C_{1} = 2$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$2$ સ્ત્રીઓમાંથી એક સ્ત્રીને $^{2}C_{1} = 2$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= ^{2}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 2 \times 2 = 4$.
તેથી,$P(\text{એક પુરુષ}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.
આ $4$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓને $^{4}C_{2}$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$2$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષોને $^{2}C_{2}$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
$^{2}C_{2} = 1$.
તેથી,સંભાવના $P(\text{બે પુરુષો}) = \frac{^{2}C_{2}}{^{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$.

(A) ચાર શહેરો $A, B, C$ અને $D$ ને ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે. તેથી,નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 24$ છે.
આપણે ઘટના $F$ માં રસ ધરાવીએ છીએ જ્યાં વીણા $B$ પહેલા $A$ અને $C$ પહેલા $B$ ની મુલાકાત લે છે. આનો અર્થ એ છે કે $A, B$ અને $C$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $A \to B \to C$ હોવો જોઈએ.
ચાર શહેરોના કોઈપણ ક્રમચયમાં,$A, B$ અને $C$ શહેરો માટે $3! = 6$ શક્ય સાપેક્ષ ક્રમ છે. જે છે:
$(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)$.
આમાંથી માત્ર એક જ ક્રમ,$(A, B, C)$,એ શરત સંતોષે છે કે $A$ એ $B$ પહેલા આવે અને $B$ એ $C$ પહેલા આવે.
કારણ કે આ $6$ સાપેક્ષ ક્રમોમાંથી દરેક કુલ $24$ ક્રમચયોમાં સમાન રીતે થવાની શક્યતા છે,તેથી સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.

(B) રેન્ડમ ક્રમમાં $4$ શહેરોની મુલાકાત લેવાની કુલ રીતો $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
ધારો કે $G$ એ ઘટના છે કે તે પહેલા $A$ અને છેલ્લે $B$ ની મુલાકાત લે છે.
જો $A$ ને પ્રથમ સ્થાને અને $B$ ને છેલ્લા સ્થાને નિશ્ચિત કરવામાં આવે,તો બાકીના $2$ શહેરો ($C$ અને $D$) ને વચ્ચેના $2$ સ્થાનોમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આ ગોઠવણીઓ $(A, C, D, B)$ અને $(A, D, C, B)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(G) = 2$ છે.
સંભાવના $P(G)$ નીચે મુજબ છે:
$P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

(A) પાંચ ટીમો દ્વારા પ્રથમ ત્રણ સ્થાન મેળવવાની કુલ રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^{5}P_{3}$ દ્વારા મળે છે.
$^{5}P_{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
દરેક અંતિમ ક્રમ સમાન રીતે શક્ય હોવાથી,કોઈપણ ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના $\frac{1}{60}$ છે.
ઘટના જેમાં $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય ક્રમે આવે છે,તે માત્ર એક જ ચોક્કસ પરિણામને અનુરૂપ છે: $(A, B, C)$.
તેથી,સંભાવના $\frac{1}{60}$ છે.

(A) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 10 + 20 + 30 = 60$.
$60$ લખોટીઓમાંથી $5$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{60}C_5$ છે.
બધી $5$ લખોટીઓ વાદળી હોય તે માટે,આપણે $20$ વાદળી લખોટીઓમાંથી $5$ લખોટીઓ પસંદ કરવી પડે.
$20$ વાદળી લખોટીઓમાંથી $5$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_5$ છે.
તેથી,બધી $5$ લખોટીઓ વાદળી હોવાની સંભાવના $\frac{^{20}C_5}{^{60}C_5}$ છે.

(A) વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000$.
ઇનામ જીતતી ટિકિટોની સંખ્યા $= 10$.
ઇનામ ન જીતતી ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000 - 10 = 9,990$.
જો તમે $2$ ટિકિટ ખરીદો,તો $10,000$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10000}C_2$ છે.
$9,990$ ઇનામ ન જીતતી ટિકિટોમાંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $^{9990}C_2$ છે.
તેથી,ઇનામ ન મળવાની સંભાવના $P = \frac{^{9990}C_2}{^{10000}C_2}$ છે.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000$.
ઇનામવાળી ટિકિટોની સંખ્યા $= 10$.
ઇનામ વગરની ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000 - 10 = 9,990$.
આપણે $10$ ટિકિટ ખરીદીએ છીએ.
$10,000$ માંથી $10$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{10000}C_{10}$.
$10$ ટિકિટ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાં એક પણ ઇનામ ન હોય,તે $9,990$ ઇનામ વગરની ટિકિટોમાંથી $10$ પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $= ^{9990}C_{10}$ છે.
તેથી,ઇનામ ન મળવાની સંભાવના $P = \frac{^{9990}C_{10}}{^{10000}C_{10}}$ છે.

(A) $100$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓને (તમે અને તમારો મિત્ર) $40$ અને $60$ ના બે વિભાગોમાં મૂકવાની કુલ રીતો $^{100}C_{2}$ છે.
તમે બંને એક જ વિભાગમાં હશો જો બંને $40$ ના વિભાગમાં હોય અથવા બંને $60$ ના વિભાગમાં હોય.
એક જ વિભાગમાં હોવાની રીતો $= ^{40}C_{2} + ^{60}C_{2}$.
સંભાવના $= \frac{^{40}C_{2} + ^{60}C_{2}}{^{100}C_{2}}$.
$= \frac{\frac{40 \times 39}{2} + \frac{60 \times 59}{2}}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{1560 + 3540}{9900} = \frac{5100}{9900} = \frac{51}{99} = \frac{17}{33}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ છે.
સમાન બીજ માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^{2} - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^{2} = 4ac$.
પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા,દરેક ચલ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી કિંમત લઈ શકે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $b^{2} = 4ac$ થાય:
$1$. જો $a=1, c=1$,તો $b^{2} = 4(1)(1) = 4 \Rightarrow b=2$. ત્રિપુટી: $(1, 2, 1)$.
$2$. જો $a=1, c=4$,તો $b^{2} = 4(1)(4) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(1, 4, 4)$.
$3$. જો $a=4, c=1$,તો $b^{2} = 4(4)(1) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(4, 4, 1)$.
$4$. જો $a=2, c=2$,તો $b^{2} = 4(2)(2) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(2, 4, 2)$.
$5$. જો $a=3, c=3$,તો $b^{2} = 4(3)(3) = 36 \Rightarrow b=6$. ત્રિપુટી: $(3, 6, 3)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{216}$ છે.

(C) આપેલ અંકો $3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $7$ છે.
બની શકતી $7$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ:
$\text{કુલ સંખ્યાઓ} = \frac{7!}{2! \times 3! \times 2!} = 210$.
સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેનો છેલ્લો અંક બેકી હોય. અહીં,ઉપલબ્ધ એકમાત્ર બેકી અંક $4$ છે.
જો છેલ્લો અંક $4$ નિશ્ચિત કરવામાં આવે,તો બાકી રહેલા $6$ અંકો: $3, 3, 4, 4, 5, 5$ છે.
આવી $7$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા:
$\text{સાધ્ય સંખ્યાઓ} = \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = 90$.
સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના:
$P = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.

(A) કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 900$.
ઓછામાં ઓછા બે અંક એકી હોવાનો અર્થ છે કે કાં તો બરાબર બે અંક એકી છે અથવા ત્રણેય અંક એકી છે.
બધા ત્રણ અંક એકી હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 5 \times 5 \times 5 = 125$.
બરાબર બે અંક એકી હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 350$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 125 + 350 = 475$.
સંભાવના $= \frac{475}{900} = \frac{19}{36}$.

(C) ધારો કે ત્રણ ફેંકના પરિણામો $x_1, x_2, x_3$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આપણે $x_1 < x_2 < x_3$ હોય તેની સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ.
પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $^6C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
એકવાર $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ થઈ જાય,પછી તેને વધતા ક્રમમાં $(x_1 < x_2 < x_3)$ ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{^6C_3}{6^3} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ છે.

(A) $16$ માંથી કોઈપણ બે ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા રીતે પાસપાસે હોય તો તેમની સામાન્ય બાજુ હોય છે.
$4 \times 4$ ગ્રીડમાં,આડી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
ઊભી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતી જોડીઓની કુલ સંખ્યા = $12 + 12 = 24$ છે.
બે પસંદ કરેલા ચોરસ સામાન્ય બાજુ ધરાવતા હોય તેની સંભાવના $P(\text{common side}) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ છે.
તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બાજુ ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{common side}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(D) $\text{GARDEN}$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $\{G, A, R, D, E, N\}$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6! = 720$.
શબ્દમાં સ્વરો $\{A, E\}$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,સ્વરો $A$ અને $E$ બે સાપેક્ષ ક્રમમાં આવી શકે છે: $(A, E)$ અથવા $(E, A)$.
માત્ર બે સ્વરો હોવાથી,આ બંને ક્રમ સમાન રીતે સંભવિત છે.
આમ,સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $(A, E)$ હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.
સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $\text{NOT}$ (ન) હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{alphabetical order}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.

(B) $20$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_{3}$ છે.
${}^{20}C_{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓના સેટ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ છે.
આવા સેટની સંખ્યા $18$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ છે.

(C) '$CEASE$' શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $C, E, A, S, E$. જેમાં $E$ ની સંખ્યા $2$ છે.
'$CEASE$' ના અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ થાય.
બંને $E$ સાથે હોય તે માટે,આપણે બંને $E$ ને એક એકમ $(EE)$ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે: $(EE), C, A, S$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ થાય.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $8 + x$.
$8 + x$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8+x}{3}$ છે.
$8$ લાલ દડામાંથી $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3}$ છે.
સંભાવના:
$P = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15}$.
$\binom{8}{3} = 56$.
$\frac{56}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15} \implies \binom{8+x}{3} = 120$.
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \implies n(n-1)(n-2) = 720$.
$10 \times 9 \times 8 = 720$,તેથી $n = 10$.
$8 + x = 10 \implies x = 2$.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $6 + x$.
$6 + x$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6+x}{2} = \frac{(6+x)(5+x)}{2}$ છે.
$6$ પીળા દડામાંથી $2$ પીળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
$2$ પીળા દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{15}{\frac{(6+x)(5+x)}{2}} = \frac{30}{(6+x)(5+x)}$ છે.
આપેલ છે કે સંભાવના $\frac{5}{26}$ છે,તેથી $\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{5}{26}$.
સાદુરૂપ આપતા,$(6+x)(5+x) = \frac{30 \times 26}{5} = 156$.
સમીકરણનો વિસ્તાર કરતા: $x^2 + 11x + 30 = 156$,જે $x^2 + 11x - 126 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 18)(x - 7) = 0$.
$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = 7$.

(C) '$LOGARITHM$' શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $L, O, G, A, R, I, T, H, M$.
તેમાં $3$ સ્વર $(O, A, I)$ અને $6$ વ્યંજન $(L, G, R, T, H, M)$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $9!$ છે.
ગોઠવણી સ્વરથી શરૂ થાય અને વ્યંજન પર પૂર્ણ થાય તે માટે:
- પ્રથમ સ્થાન $3$ સ્વરોમાંથી $3$ રીતે ભરી શકાય.
- છેલ્લું સ્થાન $6$ વ્યંજનોમાંથી $6$ રીતે ભરી શકાય.
- બાકીના $7$ સ્થાનો બાકીના $7$ અક્ષરો દ્વારા $7!$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણી $= 3 \times 6 \times 7!$.
સંભાવના $= \frac{3 \times 6 \times 7!}{9!} = \frac{18 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાંથી $3$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3$ છે.
પેકમાં $26$ લાલ પત્તા હોય છે. $3$ લાલ પત્તા ખેંચવાની રીતો ${}^{26}C_3$ છે.
$\text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.

(C) $7$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને ચાર અંકની સંખ્યા બનાવવાની કુલ રીતો $P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ છે.
સંખ્યા $> 4000$ હોય તે માટે,પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $4, 5, 6,$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $4$ વિકલ્પો છે.
પ્રથમ અંક પસંદ કર્યા પછી,બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકો દ્વારા $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $4 \times 120 = 480$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{480}{840} = \frac{4}{7}$ છે.

(B) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. પેકમાં એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
આપણે $52$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાના છે,જે ${}^{52}C_{2}$ રીતે કરી શકાય.
$4$ માંથી $2$ એક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2}$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{{}^{4}C_{2}}{{}^{52}C_{2}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{52 \times 51}{2 \times 1}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.

(A) બેટરીની કુલ સંખ્યા = $10$.
ડેડ બેટરીની સંખ્યા = $4$.
આપણે બદલ્યા વગર $3$ બેટરી પસંદ કરવાની છે.
પ્રથમ બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{4}{10}$.
એક ડેડ બેટરી પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલી બેટરીની સંખ્યા $9$ છે અને બાકી રહેલી ડેડ બેટરીની સંખ્યા $3$ છે.
બીજી બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{3}{9}$.
બે ડેડ બેટરી પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલી બેટરીની સંખ્યા $8$ છે અને બાકી રહેલી ડેડ બેટરીની સંખ્યા $2$ છે.
ત્રીજી બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{2}{8}$.
તેથી,ત્રણેય બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$.

(B) '$EQUATIONS$' શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N, S$.
સ્વરોની સંખ્યા $= 5$ $(E, U, A, I, O)$.
વ્યંજનોની સંખ્યા $= 4$ $(Q, T, N, S)$.
$9$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
$1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_{1} \times ^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ થાય.

(C) પ્રથમ $5$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.
$S$ માંથી બે અલગ સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 = 10$ છે.
ફર્માના પ્રમેય મુજબ,જો $a$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
જો $a$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $a^4 \equiv 0 \pmod{5}$.
આપણે $x^4 - y^4$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવું ઇચ્છીએ છીએ,એટલે કે $x^4 \equiv y^4 \pmod{5}$.
કિસ્સો $1$: $x$ અને $y$ બંને $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. તો $x^4 \equiv 1$ અને $y^4 \equiv 1$,તેથી $x^4 - y^4 \equiv 0 \pmod{5}$.
$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે. આ $4$ સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે.
કિસ્સો $2$: જો એક સંખ્યા $5$ હોય,તો $x^4 - y^4$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય થવા માટે બીજી સંખ્યા પણ $5$ હોવી જોઈએ,જે શક્ય નથી.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $6$ છે.
સંભાવના $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ છે.

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી પાંચ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે આખી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ $12, 24, 32, 52$ છે.
આ $4$ કિસ્સાઓમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ અંકોને પ્રથમ $3$ સ્થાનો પર $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $2 + 3 + 2 = 7$.
$7$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે પસંદ કરેલા દડામાંથી એક પણ વાદળી ન હોય. આનો અર્થ એ છે કે બંને દડા લાલ અને લીલા દડામાંથી પસંદ કરવાના છે.
કુલ બિન-વાદળી દડા = $2 \text{ (લાલ)} + 3 \text{ (લીલા)} = 5$.
$5$ બિન-વાદળી દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{10}{21}$ છે.

(B) કુલ રમકડાંની સંખ્યા $21$ છે. $1$ થી $21$ વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ છે. આમ,કુલ $10$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ બેકી સંખ્યા કાઢવાની સંભાવના $\frac{10}{21}$ છે.
એક બેકી સંખ્યા કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા $20$ રમકડાંમાંથી $9$ બેકી સંખ્યાઓ બાકી રહે છે.
બીજી બેકી સંખ્યા કાઢવાની સંભાવના $\frac{9}{20}$ છે.
બંને રમકડાં બેકી સંખ્યા દર્શાવે તેની સંભાવના $\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}$ છે.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
ડેકમાં રાજાઓની કુલ સંખ્યા $= 4$.
$52$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
$4$ માંથી $2$ રાજા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
તેથી,બંને પત્તા રાજા હોય તેની સંભાવના $P = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ છે.

(B) ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે. ગણ $A$ માં કુલ $10$ ઘટકો છે.
$10$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(E) = {}^{10}C_3 = 120$ છે.
ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય તે માટે,પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં $3$ અને $7$ હોવા જોઈએ. ત્રીજી સંખ્યા $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $\{3, 4, 7\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 6, 7\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(F) = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ છે.

(C) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા = $2 \text{ (બોલ્ટ)} + 2 \text{ (નટ)} + 3 \text{ (સોય)} = 7 \text{ વસ્તુઓ}$.
$7$ માંથી $2$ ભાગ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે એક ભાગ બોલ્ટ અને એક ભાગ સોય છે.
$2$ માંથી $1$ બોલ્ટ અને $3$ માંથી $1$ સોય પસંદ કરવાની રીતો $n(E) = {}^{2}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{21}$.

(B) મશીનોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 6 = 10$.
પ્રથમ પસંદ કરેલ મશીન સારું હોય તેની સંભાવના $= \frac{6}{10}$.
પસંદગી બદલ્યા વગર (without replacement) કરવામાં આવતી હોવાથી,બાકી રહેલા સારા મશીનોની સંખ્યા $5$ છે અને બાકી રહેલા કુલ મશીનોની સંખ્યા $9$ છે.
બીજું મશીન સારું હોય તેની સંભાવના $= \frac{5}{9}$.
બંને મશીનો સારા હોય તેની સંભાવના $= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.

(C) કુલ પેનની સંખ્યા $= 10$.
લાલ પેનની સંખ્યા $= 4$.
વાદળી પેનની સંખ્યા $= 6$.
$10$ માંથી $3$ પેન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$6$ માંથી $3$ વાદળી પેન પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $5 + x$.
$(5 + x)$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{5+x}C_2 = \frac{(5+x)(4+x)}{2}$.
$5$ વાદળી દડામાંથી $2$ વાદળી દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
$2$ વાદળી દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{^5C_2}{^{5+x}C_2} = \frac{20}{(5+x)(4+x)}$.
આપેલ છે કે $P = \frac{5}{14}$,તેથી $\frac{20}{(5+x)(4+x)} = \frac{5}{14}$.
$\Rightarrow (5+x)(4+x) = 56$.
$\Rightarrow x^2 + 9x - 36 = 0$.
$\Rightarrow (x+12)(x-3) = 0$.
$x$ ધન હોવાથી,$x = 3$.

(B) પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી એવી ત્રણ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની છે જે ચડતા ક્રમમાં હોય.
$6$ માંથી $3$ અલગ સંખ્યાઓની પસંદગીને માત્ર એક જ રીતે ચડતા ક્રમમાં ગોઠવી શકાય છે.
$6$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ છે.

(C) $1$ થી $39$ સુધીના પૂર્ણાંકોના ગણમાંથી બે અલગ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{39}C_2$ છે.
${}^{39}C_2 = \frac{39 \times 38}{2} = 741$.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધવાની છે કે જે $7a - 9b = 0$ નું સમાધાન કરે,જેનો અર્થ છે $7a = 9b$.
$7$ અને $9$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$a$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $b$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$1 \le a, b \le 39$ હોવાથી,શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$(9, 7), (18, 14), (27, 21), (36, 28)$.
આવી $4$ સાનુકૂળ જોડીઓ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{4}{741}$ છે.

(A) $0, 1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી પાંચ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $4 \times 4! = 96$ છે.
સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ:
$04, 20, 40$ (જ્યાં $0$ નો ઉપયોગ થાય છે): દરેક માટે $3! = 6$ સંખ્યાઓ મળે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
$12, 24, 32$ (જ્યાં $0$ નો ઉપયોગ થતો નથી): પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $3$ વિકલ્પો અને બાકીના માટે $2!$ રીતે ગોઠવણી થાય. કુલ $= 3 \times (2 \times 2!) = 12$.
કુલ સાનુકૂળ સંખ્યાઓ $= 18 + 12 = 30$.
સંભાવના $= \frac{30}{96} = \frac{5}{16}$.

(C) $3$ પુરુષો $4$ હોટલમાં ચેક-ઈન કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
જો દરેક પુરુષે અલગ-અલગ હોટલમાં ચેક-ઈન કરવું હોય,તો તેના પ્રકારોની સંખ્યા $4 \times 3 \times 2 = 24$ થાય.
(પ્રથમ પુરુષ પાસે $4$ વિકલ્પો,બીજા પાસે $3$ વિકલ્પો અને ત્રીજા પાસે $2$ વિકલ્પો છે).
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{64} = \frac{3}{8}$ છે.