Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Hindi

(A) $10$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_3 = 120$ हैं।
माना $A$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं में न्यूनतम $3$ है। इसका अर्थ है कि $3$ चुना गया है,और अन्य दो संख्याएँ $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(A) = {}^{7}C_2 = 21$।
माना $B$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं में अधिकतम $7$ है। इसका अर्थ है कि $7$ चुना गया है,और अन्य दो संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(B) = {}^{6}C_2 = 15$।
माना $A \cap B$ वह घटना है कि न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ है। इसका अर्थ है कि $3$ और $7$ चुने गए हैं,और तीसरी संख्या $\{4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(A \cap B) = {}^{3}C_1 = 3$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 21 + 15 - 3 = 33$।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ है।

(B) $8$ में से $4$ जूते चुनने के कुल तरीके $\binom{8}{4} = 70$ हैं।
माना $E$ कम से कम एक सही जोड़ी प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E^c$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जिसका अर्थ है कि कोई भी सही जोड़ी प्राप्त न हो।
कोई भी सही जोड़ी न मिले,इसके लिए हमें $4$ जूते इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी दो जूते एक जोड़ी न बनाएं।
कुल $4$ जोड़ियाँ हैं। हमें $4$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियाँ चुननी होंगी और फिर प्रत्येक जोड़ी में से $1$ जूता चुनना होगा।
$4$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियाँ चुनने के तरीके $\binom{4}{4} = 1$ हैं।
प्रत्येक $4$ जोड़ियों में से $1$ जूता चुनने के तरीके $2^4 = 16$ हैं।
अतः,बिना किसी सही जोड़ी के $4$ जूते चुनने के तरीके $1 \times 16 = 16$ हैं।
कोई भी सही जोड़ी न मिलने की प्रायिकता $P(E^c) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ है।
कम से कम एक सही जोड़ी मिलने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$ है।

(D) समुच्चय $S = \{5, 6, \ldots, 35\}$ है। तत्वों की संख्या $35 - 5 + 1 = 31$ है।
$31$ में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $^{31}C_2 = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ हैं।
दो पूर्णांकों का अंतर विषम तभी होता है जब एक पूर्णांक सम और दूसरा विषम हो।
समुच्चय $\{5, 6, \ldots, 35\}$ में,विषम पूर्णांकों की संख्या $16$ है (जैसे $5, 7, \ldots, 35$) और सम पूर्णांकों की संख्या $15$ है (जैसे $6, 8, \ldots, 34$)।
एक विषम और एक सम पूर्णांक चुनने के तरीके $^{16}C_1 \times ^{15}C_1 = 16 \times 15 = 240$ हैं।
अंतर के विषम होने की प्रायिकता $P = \frac{240}{465}$ है।
अंश और हर को $15$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{16}{31}$ प्राप्त होता है।

(B) $75$ छात्रों को $30$ और $45$ के दो खंडों में विभाजित करने के कुल तरीके $^{75}C_{30}$ हैं।
मान लीजिए कि दो विशिष्ट छात्र $S_1$ और $S_2$ हैं।
स्थिति $I$: दोनों $S_1$ और $S_2$ $30$ छात्रों वाले खंड में हैं। तरीकों की संख्या $^{73}C_{28}$ है।
स्थिति $II$: दोनों $S_1$ और $S_2$ $45$ छात्रों वाले खंड में हैं। तरीकों की संख्या $^{73}C_{43}$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{^{73}C_{28} + ^{73}C_{43}}{^{75}C_{30}}$ है।
सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\frac{73!}{28!45!} + \frac{73!}{43!30!}}{\frac{75!}{30!45!}} = \frac{73!}{75!} \times \left( \frac{30!45!}{28!45!} + \frac{30!45!}{43!30!} \right)$
$= \frac{1}{75 \times 74} \times (30 \times 29 + 45 \times 44)$
$= \frac{870 + 1980}{5550} = \frac{2850}{5550} = \frac{285}{555} = \frac{19}{37}$.

(A) कुल छात्रों की संख्या $= 50$ है। $50$ छात्रों को $20$ और $30$ के दो समूहों में विभाजित करने के कुल तरीके ${}^{50}C_{20} \times {}^{30}C_{30} = {}^{50}C_{20}$ हैं।
यदि $Ram$ और $Rahim$ दोनों पहले समूह ($20$ की संख्या) में हैं,तो हमें शेष $48$ छात्रों में से $18$ और छात्र चुनने होंगे। तरीकों की संख्या ${}^{48}C_{18}$ है।
यदि $Ram$ और $Rahim$ दोनों दूसरे समूह ($30$ की संख्या) में हैं,तो हमें शेष $48$ छात्रों में से $28$ और छात्र चुनने होंगे। तरीकों की संख्या ${}^{48}C_{28}$ है।
आवश्यक प्रायिकता $P = \frac{{}^{48}C_{18} + {}^{48}C_{28}}{{}^{50}C_{20}}$ है।
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$P = \frac{\frac{48!}{18!30!} + \frac{48!}{28!20!}}{\frac{50!}{20!30!}} = \frac{20 \times 19}{50 \times 49} + \frac{30 \times 29}{50 \times 49} = \frac{380 + 870}{2450} = \frac{1250}{2450} = \frac{25}{49}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) कुल सेबों की संख्या $= 12$. सड़े हुए सेबों की संख्या $= 3$. अच्छे सेबों की संख्या $= 9$.
$12$ में से $3$ सेब निकालने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हमें अधिकतम एक सड़ा हुआ सेब प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $0$ या $1$ सड़ा हुआ सेब।
स्थिति $1$: कोई भी सड़ा हुआ सेब न निकाला जाए (सभी $3$ अच्छे हों)।
तरीकों की संख्या $= {}^{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
स्थिति $2$: ठीक $1$ सड़ा हुआ सेब निकाला जाए (और $2$ अच्छे हों)।
तरीकों की संख्या $= {}^{3}C_1 \times {}^{9}C_2 = 3 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 3 \times 36 = 108$.
कुल अनुकूल तरीके $= 84 + 108 = 192$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{192}{220} = \frac{48}{55}$.

(A) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $36$ है। योग $4$ प्राप्त करने के परिणाम $(1,3), (3,1), (2,2)$ हैं।
अतः,एक बार पासा फेंकने पर योग $4$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
योग $4$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ है।
चूंकि $A$ खेल शुरू करता है,$B$ तब जीतता है यदि $A$ पहले प्रयास में विफल रहता है और $B$ दूसरे प्रयास में सफल होता है,या $A$ पहले और तीसरे प्रयास में विफल रहता है और $B$ दूसरे प्रयास में विफल रहता है और चौथे प्रयास में सफल होता है,इत्यादि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी द्वारा दी जाती है:
$P(B \text{ wins}) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P(B \text{ wins}) = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{144-121}{144}} = \frac{11}{23}$.

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_4$ हैं।
एक ही सूट के ठीक दो पत्ते और शेष दो पत्ते दो अलग-अलग सूट के होने के लिए:
$1$. $4$ सूट में से $1$ सूट चुनें: $^4C_1$।
$2$. उस सूट के $13$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनें: $^{13}C_2$।
$3$. शेष $3$ सूट में से $2$ सूट चुनें: $^3C_2$।
$4$. इन चुने गए $2$ सूटों में से प्रत्येक से $1$ पत्ता चुनें: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{^4C_1 \times ^{13}C_2 \times ^3C_2 \times ^{13}C_1 \times ^{13}C_1}{^{52}C_4}$
$= \frac{4 \times 78 \times 3 \times 13 \times 13}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$.

(B) शतरंज बोर्ड में $8 \times 8 = 64$ वर्ग होते हैं। $64$ में से $3$ वर्गों को चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{3} = \frac{64 \times 63 \times 62}{3 \times 2 \times 1} = 41664$ हैं।
एक पंक्ति में $3$ वर्गों को एक साथ रखने के लिए,$8$ वर्गों की प्रत्येक पंक्ति में $3$ लगातार वर्ग चुनने के $8 - 3 + 1 = 6$ तरीके हैं। चूंकि $8$ पंक्तियाँ हैं,पंक्तियों के लिए कुल तरीके $8 \times 6 = 48$ हैं।
इसी तरह,स्तंभों के लिए,$8$ स्तंभ हैं और प्रति स्तंभ $6$ तरीके हैं,इसलिए $8 \times 6 = 48$ तरीके हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $48 + 48 = 96$ है।
प्रायिकता $\frac{96}{41664} = \frac{1}{434}$ है।

(D) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_3 = 22100$ हैं।
अनुकूल परिणामों की गणना करने पर,कुल अनुकूल तरीके $576$ प्राप्त होते हैं।
अतः,प्रायिकता = $\frac{576}{22100} = \frac{144}{5525}$.

(A) जब एक सिक्के को $7$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^7 = 128$ होती है।
हमें ठीक $3$ चित प्राप्त करने के तरीके खोजने हैं ताकि कोई भी दो चित लगातार न हों।
मान लीजिए $4$ पट (tails) $T, T, T, T$ हैं। ये $5$ स्थान बनाते हैं जहाँ चित रखे जा सकते हैं: $\_ T \_ T \_ T \_ T \_$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो चित लगातार न हों,हमें इन $5$ उपलब्ध स्थानों में से $3$ स्थानों का चयन करना होगा।
$5$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $10$ है।
प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{128} = \frac{5}{64}$ है।

(D) $3$ पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $10$ प्राप्त करने वाले परिणामों $(x, y, z)$ की सूची,जहाँ $1 \le x, y, z \le 6$ है:
$(1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1), (4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1), (5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1), (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1)$।
इनकी गणना करने पर,$n(E) = 27$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों में,प्रत्येक सूट में $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$ होते हैं।
संयुक्त संख्याएँ $\{4, 6, 8, 9, 10\}$ हैं (प्रत्येक सूट में $5$,कुल $20$)।
$3$ के गुणज $\{3, 6, 9\}$ हैं (प्रत्येक सूट में $3$,कुल $12$)।
$C \cap M = \{6, 9\}$ (प्रत्येक सूट में $2$,कुल $8$)।
$C \setminus M = \{4, 8, 10\}$ (प्रत्येक सूट में $3$,कुल $12$)।
$M \setminus C = \{3\}$ (प्रत्येक सूट में $1$,कुल $4$)।
अनुकूल परिणाम $= (12 \times 4) + (12 \times 8) + (4 \times 8) + \binom{8}{2} = 48 + 96 + 32 + 28 = 204$।
कुल परिणाम $= \binom{52}{2} = 1326$।
प्रायिकता $= \frac{204}{1326} = \frac{102}{663}$।

(C) तीन पांसों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
तीनों पांसों पर अलग-अलग संख्याएँ आने के लिए,पहले पांसे पर $6$ में से कोई भी संख्या,दूसरे पांसे पर शेष $5$ संख्याओं में से कोई भी,और तीसरे पांसे पर शेष $4$ संख्याओं में से कोई भी संख्या आ सकती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 5 + 7 = 15$।
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{15}C_3 = 455$।
कम से कम दो नीली गेंदें प्राप्त करने के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: ठीक $2$ नीली और $1$ अन्य गेंद।
तरीके = $^7C_2 \times ^8C_1 = 21 \times 8 = 168$।
स्थिति $2$: ठीक $3$ नीली गेंदें।
तरीके = $^7C_3 = 35$।
कुल अनुकूल परिणाम = $168 + 35 = 203$।
प्रायिकता = $\frac{203}{455} = \frac{29}{65}$।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
हमें $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालनी हैं,जिसका अर्थ है एक लाल,एक नीली और एक पीली गेंद।
$1$ लाल,$1$ नीली और $1$ पीली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{4}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} = 4 \times 5 \times 6 = 120$ है।
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{120}{455} = \frac{24}{91}$ है।

(C) कुल गेंदें = $3 + 6 = 9$. हम $4$ गेंदें निकालते हैं। कुल तरीके = $^9C_4 = 126$.
कम से कम $2$ लाल गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = $1 - [P(0 \text{ लाल}) + P(1 \text{ लाल})]$.
$P(0 \text{ लाल}) = 0$.
$P(1 \text{ लाल}) = \frac{^6C_1 \times ^3C_3}{126} = \frac{6}{126}$.
कम से कम $2$ लाल गेंदों की प्रायिकता = $1 - \frac{6}{126} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$.

(C) $3n$ क्रमागत पूर्णांकों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर तीन समूहों में विभाजित करें:
$G_1 = \{x, x+3, \dots, x+3(n-1)\}$
$G_2 = \{x+1, x+4, \dots, x+3(n-1)+1\}$
$G_3 = \{x+2, x+5, \dots, x+3(n-1)+2\}$
प्रत्येक समूह में $n$ पूर्णांक हैं।
तीन पूर्णांकों का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,या तो तीनों एक ही समूह से होने चाहिए या प्रत्येक समूह से एक पूर्णांक चुना जाना चाहिए।
एक ही समूह से $3$ चुनने के तरीके: $3 \times \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$.
प्रत्येक समूह से एक चुनने के तरीके: $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^3$.
कुल अनुकूल तरीके: $\frac{n(n-1)(n-2)}{2} + n^3 = \frac{3n^3-3n^2+2n}{2}$.
कुल प्रतिदर्श समष्टि: $\binom{3n}{3} = \frac{n(3n-1)(3n-2)}{2}$.
प्रायिकता: $\frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)}$.

(B) बोनफेरोनी की असमानता के अनुसार,किसी भी घटनाओं $A_1, A_2, \ldots, A_n$ के लिए,हमारे पास है:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - (n-1)$.
$n = 15$ के लिए,असमानता इस प्रकार हो जाती है:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{15} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - (15-1) = \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - 14$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(B) द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के वास्तविक मूल होते हैं यदि विविक्तकर $D = a^2 - 4b \geq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \geq 4b$.
चूंकि $a \in \{3, 4, 5\}$ और $b \in \{1, 2, 3, 4\}$,कुल संभावित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए शर्त $a^2 \geq 4b$ की जाँच करने पर:
यदि $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2$ हैं ($2$ युग्म)।
यदि $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
यदि $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 4 + 4 = 10$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ है।

(C) $10$ व्यक्तियों में से $3$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
यदि चुने गए तीन व्यक्तियों में सबसे छोटा बैज नंबर $5$ है,तो $5$ नंबर वाला व्यक्ति अवश्य चुना जाना चाहिए।
अन्य दो व्यक्तियों को $5$ से बड़ी संख्याओं $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ के समूह से चुना जाना चाहिए।
ऐसी $5$ संख्याएँ हैं।
अतः,अन्य दो व्यक्तियों को चुनने के तरीके $n(A) = {}^{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 3 + 4 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = 220$ हैं।
एक ही रंग की $3$ गेंदें चुनने के तरीके:
- $3$ लाल गेंदें: ${}^{5}C_3 = 10$
- $3$ काली गेंदें: ${}^{3}C_3 = 1$
- $3$ सफेद गेंदें: ${}^{4}C_3 = 4$
एक ही रंग की गेंदें होने के कुल तरीके $= 10 + 1 + 4 = 15$ हैं।
एक ही रंग की गेंदें होने की प्रायिकता $= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ है।
एक ही रंग की न होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ है।

(D) $10$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = 45$ हैं।
$6$ सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $^{6}C_2 = 15$ हैं।
$4$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीके $^{4}C_2 = 6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $15 + 6 = 21$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ है।

(C) $40$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_4 = 91390$ हैं।
$4$ क्रमागत संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $\{k, k+1, k+2, k+3\}$ के रूप के समुच्चयों की संख्या है,जहाँ $1 \le k \le 37$ है।
यह संख्या $37$ है।
$4$ संख्याओं के क्रमागत होने की प्रायिकता $= \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ है।
उनके क्रमागत न होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ है।

(C) $11$ गेंदों ($5$ सफेद + $6$ हरी) में से $7$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${ }^{11}C_7$ हैं।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${ }^5C_3$ हैं।
$6$ हरी गेंदों में से $4$ हरी गेंदें चुनने के तरीके ${ }^6C_4$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या ${ }^5C_3 \times { }^6C_4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{ }^5C_3 \times { }^6C_4}{{ }^{11}C_7}$ है।

(D) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $n(S) = ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
हमें एक राजा और एक हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
केवल एक ही पत्ता ऐसा है जो राजा और हुकुम दोनों है (हुकुम का राजा)।
दूसरा पत्ता शेष $51$ पत्तों में से कोई भी हो सकता है।
अनुकूल परिणाम: (हुकुम का राजा,कोई अन्य राजा) या (हुकुम का राजा,कोई अन्य हुकुम का पत्ता)।
अन्य राजाओं की संख्या = $3$। अन्य हुकुम के पत्तों की संख्या = $12$।
कुल अनुकूल परिणाम = $3 + 12 = 15$।
प्रायिकता = $\frac{15}{1326} = \frac{5}{442}$।

(B) $40$ पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल परिणाम $= {}^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2 \times 1} = 20 \times 39 = 780$.
दो पूर्णांकों का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए।
$40$ क्रमागत पूर्णांकों में $20$ सम और $20$ विषम पूर्णांक होते हैं।
$20$ में से एक सम पूर्णांक चुनने के तरीके $= {}^{20}C_{1} = 20$.
$20$ में से एक विषम पूर्णांक चुनने के तरीके $= {}^{20}C_{1} = 20$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 20 \times 20 = 400$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{400}{780}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई संख्याएँ $S = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ हैं।
$6$ में से $3$ पर्चियाँ चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
हम संख्याओं को $3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
- शेषफल $0$: ${3}$ (संख्या $n_0 = 1$)
- शेषफल $1$: ${7, 13}$ (संख्या $n_1 = 2$)
- शेषफल $2$: ${2, 5, 11}$ (संख्या $n_2 = 3$)
$3$ संख्याओं का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफलों के संभावित संयोजन $(r_1, r_2, r_3)$ हैं:
$1$. $(0, 1, 2)$: प्रत्येक समूह से एक संख्या चुनें। तरीकों की संख्या $= 1 \times 2 \times 3 = 6$.
$2$. $(0, 0, 0)$: संभव नहीं है क्योंकि हमारे पास शेषफल $0$ वाली केवल एक संख्या है।
$3$. $(1, 1, 1)$: संभव नहीं है क्योंकि हमारे पास शेषफल $1$ वाली केवल दो संख्याएँ हैं।
$4$. $(2, 2, 2)$: शेषफल $2$ वाले समूह से तीनों संख्याएँ चुनें। तरीकों की संख्या $= ^3C_3 = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 6 + 1 = 7$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{7}{20}$ है।

(B) $PROBABILITY$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $P(1), R(1), O(1), B(2), A(1), I(2), L(1), T(1), Y(1)$। कुल $8$ भिन्न अक्षर हैं: $\{P, R, O, B, A, I, L, T, Y\}$।
$11$ अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_4 = 330$ हैं।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम पूरक घटना का उपयोग करेंगे: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
$8$ भिन्न अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके ${}^{8}C_4 = 70$ हैं।
सभी अक्षरों के भिन्न होने की प्रायिकता $P(\text{distinct}) = \frac{70}{330} = \frac{7}{33}$ है।
अतः,कम से कम एक अक्षर के दोहराए जाने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $B$ है।

(B) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
प्रत्येक सूट में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7$ हैं (कुल $16$ पत्ते)।
प्रत्येक सूट में $5$ के गुणज $5$ और $10$ हैं (कुल $8$ पत्ते)।
यहाँ $5$ अभाज्य और $5$ का गुणज दोनों है।
अनुकूल परिणाम = $(16 \times 8) - 4 = 128 - 4 = 124$।
प्रायिकता = $\frac{124}{1326} = \frac{62}{663}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) जब एक पासे को $3$ बार फेंका जाता है तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
दी गई शर्त $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} = -\omega^{\beta_3}$ को $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \omega^{\beta_3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,$\omega^n$ का मान $n \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ के आधार पर $\omega, \omega^2, 1$ हो सकता है।
योग शून्य होने के लिए,${\omega^{\beta_1}, \omega^{\beta_2}, \omega^{\beta_3}}$ को ${1, \omega, \omega^2}$ का एक क्रमचय (permutation) होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ में से एक $3k$ रूप की,एक $3k+1$ रूप की और एक $3k+2$ रूप की होनी चाहिए।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में प्रत्येक प्रकार की दो संख्याएँ हैं:
प्रकार $0$ $(n \equiv 0 \pmod{3})$: ${3, 6}$
प्रकार $1$ $(n \equiv 1 \pmod{3})$: ${1, 4}$
प्रकार $2$ $(n \equiv 2 \pmod{3})$: ${2, 5}$
प्रत्येक समुच्चय से एक संख्या चुनने के तरीके $2 \times 2 \times 2 = 8$ हैं।
चूंकि $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ का क्रम मायने रखता है,हम $3! = 6$ से गुणा करेंगे।
अनुकूल परिणाम $= 8 \times 6 = 48$।
प्रायिकता $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$।

(C) कुल चयन के तरीके $^{10}C_3 = 120$ हैं।
घटना $A$: न्यूनतम संख्या $3$ है। इसके लिए $3$ और $\{4, 5, \ldots, 10\}$ में से दो संख्याएँ चुननी होंगी,जो $^7C_2 = 21$ तरीके हैं।
घटना $B$: अधिकतम संख्या $7$ है। इसके लिए $7$ और $\{1, 2, \ldots, 6\}$ में से दो संख्याएँ चुननी होंगी,जो $^6C_2 = 15$ तरीके हैं।
घटना $A \cap B$: न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ है। इसके लिए $3, 7$ और $\{4, 5, 6\}$ में से एक संख्या चुननी होगी,जो $^3C_1 = 3$ तरीके हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $21 + 15 - 3 = 33$ है।
प्रायिकता $\frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ है।

(A) $52$ पत्तों में से $5$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_5 = 2598960$ हैं।
फुल हाउस (एक जोड़ा और एक तिकड़ी) बनाने के लिए:
$1$. तिकड़ी के लिए फेस वैल्यू चुनें: $^{13}C_1 = 13$ तरीके।
$2$. उस फेस वैल्यू के $3$ पत्ते चुनें: $^4C_3 = 4$ तरीके।
$3$. शेष $12$ वैल्यू में से जोड़े के लिए फेस वैल्यू चुनें: $^{12}C_1 = 12$ तरीके।
$4$. उस फेस वैल्यू के $2$ पत्ते चुनें: $^4C_2 = 6$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744$।
प्रायिकता = $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165}$।

(D) $13$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{13}C_{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$ हैं।
दोनों रंगों की गेंदें निकलने की घटना का अर्थ है कि हम या तो ($2$ लाल और $1$ सफेद) या ($1$ लाल और $2$ सफेद) गेंदें चुनते हैं।
$2$ लाल और $1$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$।
$1$ लाल और $2$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 140 + 80 = 220$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$।

(B) $100$ प्राकृतिक संख्याओं में से दो अलग-अलग संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके $100 \times 99 = 9900$ हैं।
हमें उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $a-b \ge 10$ हो,जिसका अर्थ है $a \ge b+10$.
यदि $b=1$ है,तो $a$ का मान $11$ से $100$ तक कुछ भी हो सकता है ($90$ मान)।
यदि $b=2$ है,तो $a$ का मान $12$ से $100$ तक कुछ भी हो सकता है ($89$ मान)।
इसी प्रकार,यदि $b=90$ है,तो $a$ केवल $100$ हो सकता है ($1$ मान)।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 90 + 89 + \dots + 1 = \frac{90 \times 91}{2} = 4095$.
प्रायिकता $\frac{4095}{9900}$ है।
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $45$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4095 \div 45}{9900 \div 45} = \frac{91}{220}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$m=91$ और $n=220$,इसलिए $\gcd(91, 220) = 1$.
अतः,$m+n = 91 + 220 = 311$.

(C) $12$ गेंदों को $6$ जोड़ों में विभाजित करने के कुल तरीके $\frac{\binom{12}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{6!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!}$ हैं।
$6$ जोड़े बनाने के तरीके ताकि प्रत्येक जोड़े में एक नीली और एक हरी गेंद हो,$(6! \times 6!) = (6!)^2$ हैं,क्योंकि हम $6$ नीली गेंदों को $6$ हरी गेंदों के साथ $6!$ तरीकों से जोड़ सकते हैं।
प्रायिकता $P = \frac{(6!)^2}{\frac{12!}{2^6}} = \frac{6! \times 6! \times 2^6}{12!}$ है।
$P = \frac{720 \times 720 \times 64}{479001600} = \frac{518400 \times 64}{479001600} = \frac{33177600}{479001600} = \frac{16}{231}$.

(NONE) $31$ में से $3$ अलग तारीखें चुनने के कुल तरीके $\binom{31}{3} = \frac{31 \times 30 \times 29}{3 \times 2 \times 1} = 4495$ हैं।
मान लीजिए तारीखें $d_1, d_2, d_3$ हैं ताकि $1 \le d_1 < d_2 < d_3 \le 31$ हो। इनके बढ़ते हुए समांतर श्रेणी में होने के लिए,मान लीजिए $d_1 = a-d, d_2 = a, d_3 = a+d$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है $(d \ge 1)$।
शर्तें $d_1 \ge 1$ और $d_3 \le 31$ हैं।
मान रखने पर,$a-d \ge 1 \implies a \ge d+1$ और $a+d \le 31 \implies a \le 31-d$ प्राप्त होता है।
एक निश्चित $d$ के लिए,$a$ के संभावित मानों की संख्या $(31-d) - (d+1) + 1 = 31-2d$ है।
$a$ के अस्तित्व के लिए,$31-2d \ge 1 \implies 2d \le 30 \implies d \le 15$ होना चाहिए।
ऐसी समांतर श्रेणियों की कुल संख्या $\sum_{d=1}^{15} (31-2d) = 29 + 27 + 25 + ... + 1$ है।
यह $15$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसका योग $= \frac{15}{2}(29+1) = 15 \times 15 = 225$ है।
प्रायिकता $= \frac{225}{4495} = \frac{45}{899}$ है।
यहाँ $a = 45, b = 899$ है। चूँकि $\text{gcd}(45, 899) = 1$,इसलिए $a+b = 45 + 899 = 944$।