Geometrical problems Questions in Hindi

(C) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें,जिसे $5!$ तरीकों से किया जा सकता है।
लड़कों के बीच और सिरों पर कुल $6$ रिक्त स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों,हमें $5$ लड़कियों को इन $6$ स्थानों में व्यवस्थित करना होगा।
इन स्थानों में लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^6P_5$ है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times ^6P_5 = 5! \times 6!$.

(A) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,वे त्रिभुज नहीं बना सकते। इन $6$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $120 - 20 = 100$ है।

(B) कुल $16$ सीटें हैं,प्रत्येक तरफ $8$ सीटें।
$4$ विशिष्ट व्यक्तियों को एक तरफ बैठाने के तरीके $^8P_4$ हैं।
$2$ विशिष्ट व्यक्तियों को दूसरी तरफ बैठाने के तरीके $^8P_2$ हैं।
शेष $16 - 4 - 2 = 10$ व्यक्तियों को शेष $10$ सीटों पर $10!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या = $^8P_4 \times ^8P_2 \times 10!$.

(D) मिक्स्ड डबल्स खेल के लिए $2$ पुरुष और $2$ महिलाओं का चयन इस प्रकार करना है कि पति-पत्नी एक साथ न हों।
पहले,$7$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों का चयन ${ }^7 C_2$ तरीकों से किया जाता है।
पुरुषों के चयन के तरीके $= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
अब,$7$ महिलाएं उपलब्ध हैं। चुने गए $2$ पुरुषों की पत्नियों को बाहर करना होगा,इसलिए शेष महिलाएं $= 7 - 2 = 5$.
$5$ महिलाओं में से $2$ महिलाओं का चयन ${ }^5 C_2$ तरीकों से किया जाता है।
महिलाओं के चयन के तरीके $= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
अब,$2$ पुरुषों और $2$ महिलाओं के साथ $2$ मिक्स्ड डबल्स जोड़ी बनाने के तरीके $= 2$.
कुल तरीके $= { }^7 C_2 \times { }^5 C_2 \times 2 = 21 \times 10 \times 2 = 420$.

(D) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $45$ है,इसलिए $\frac{n(n-3)}{2} = 45$.
$n(n-3) = 90$.
$n^2 - 3n - 90 = 0$.
$(n-12)(n+9) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 12$.
अतः,कथन-$1$ असत्य है क्योंकि भुजाओं की संख्या $12$ है,$10$ नहीं।
कथन-$2$ कहता है कि $n$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^nC_2$ हैं,जो एक मानक संचय परिणाम है।
इसलिए,कथन-$1$ असत्य है और कथन-$2$ सत्य है।

(C) एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण समांतर रेखाओं के प्रत्येक समूह से दो रेखाओं का चयन करके किया जाता है।
प्रारंभ में,समांतर चतुर्भुज की $2$ भुजाएँ होती हैं। जब प्रत्येक भुजा के समांतर $m$ रेखाएँ जोड़ी जाती हैं,तो प्रत्येक समूह में समांतर रेखाओं की कुल संख्या $m + 2$ हो जाती है।
समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें पहले समूह की $m + 2$ रेखाओं में से $2$ रेखाएँ और दूसरे समूह की $m + 2$ रेखाओं में से $2$ रेखाएँ चुननी होंगी।
पहले समूह से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीके $^{m+2}C_2$ हैं।
दूसरे समूह से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीके $^{m+2}C_2$ हैं।
अतः,बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या $^{m+2}C_2 \times ^{m+2}C_2 = (^{m+2}C_2)^2$ है।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $3 + 4 + 5 = 12$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा $AB$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^3C_3 = 1$ है।
भुजा $BC$ पर $4$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^4C_3 = 4$ है।
भुजा $CA$ पर $5$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^5C_3 = 10$ है।
त्रिभुजों की कुल संख्या = $220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$।

(C) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
स्थिति $1$: प्रत्येक $3$ रेखाओं में से एक-एक बिंदु चुना जाता है।
तरीकों की संख्या = $^pC_1 \times ^pC_1 \times ^pC_1 = p^3$.
स्थिति $2$: एक रेखा से दो बिंदु और अन्य दो रेखाओं में से किसी एक रेखा से एक बिंदु चुना जाता है।
कुल $3$ रेखाएं हैं,इसलिए $2$ बिंदु चुनने के लिए $1$ रेखा $^3C_1$ तरीकों से चुनी जा सकती है।
चुनी गई रेखा से $2$ बिंदु चुनने के तरीके = $^pC_2$.
शेष $2p$ बिंदुओं में से $1$ बिंदु चुनने के तरीके = $^{2p}C_1$.
त्रिभुजों की संख्या = $3 \times ^pC_2 \times 2p = 3 \times \frac{p(p-1)}{2} \times 2p = 3p^2(p-1)$.
कुल त्रिभुजों की संख्या = $p^3 + 3p^2(p-1) = p^3 + 3p^3 - 3p^2 = 4p^3 - 3p^2 = p^2(4p - 3)$.

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है,$\frac{n(n-3)}{2} = 275$.
$n(n-3) = 550$.
$n^2 - 3n - 550 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 25)(n + 22) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$।

(B) एक समांतर चतुर्भुज $4$ समांतर रेखाओं के पहले समूह से दो समांतर रेखाएँ और $3$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह से दो समांतर रेखाएँ चुनकर बनता है।
$\therefore$ कुल बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या = (पहले समूह से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीके) $\times$ (दूसरे समूह से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीके)।
$\therefore$ कुल समांतर चतुर्भुजों की संख्या = ${}^4C_2 \times {}^3C_2$।
सूत्र ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$।
${}^3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$।
$\therefore$ कुल समांतर चतुर्भुजों की संख्या = $6 \times 3 = 18$।

(A) एक समांतर चतुर्भुज समांतर रेखाओं के एक सेट से $2$ रेखाएँ और दूसरे सेट से $2$ रेखाएँ चुनकर बनता है।
यदि प्रत्येक सेट में $m$ रेखाएँ हैं,तो चयन के कुल तरीके $= \binom{m}{2} \times \binom{m}{2} = (\binom{m}{2})^2$.

(B) $n$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले पंचभुजों की संख्या $^nC_5$ है।
$n$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $^nC_3$ है।
प्रश्न के अनुसार,$^nC_5 = ^nC_3$ है।
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$^nC_5 = ^nC_{n-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n-5 = 3$,जिसका अर्थ है कि $n = 8$।

(D) माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।
बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए $(n \in \mathbb{N})$,इसलिए $n = 11$ है।
अतः,बहुभुज में $11$ भुजाएँ हैं।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या = $5 + 3 = 8$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ ऐसे बिंदुओं का चयन करना होगा जो संरेख (collinear) न हों।
$8$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^8C_3$ हैं।
हालाँकि,पहली रेखा पर स्थित $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने पर त्रिभुज नहीं बनता है।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा पर स्थित $3$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने पर भी त्रिभुज नहीं बनता है।
अतः,त्रिभुजों की संख्या = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$ होगी।
मानों की गणना करने पर: $^8C_3 = 56$,$^5C_3 = 10$,और $^3C_3 = 1$।
त्रिभुजों की संख्या = $56 - 10 - 1 = 45$।

(C) वृत्त बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $4$ बिंदु एकवृतीय हैं,ये $4$ बिंदु $^4C_3 = 4$ वृत्तों के बजाय केवल $1$ वृत्त बनाते हैं।
अतः,भिन्न वृत्तों की संख्या $(^{10}C_3 - ^4C_3) + 1 = 120 - 4 + 1 = 117$ है।

(B) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $5$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $5$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ हैं।
अतः,बनाए जा सकने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या $120 - 10 = 110$ है।

(B) $n$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^nC_2$ हैं।
यदि $p$ बिंदु संरेख नहीं होते,तो वे $^pC_2$ रेखाएं बनाते।
हालाँकि,चूंकि ये $p$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए वे $^pC_2$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
अतः,रेखाओं की कुल संख्या: $^nC_2 - ^pC_2 + 1$ है।

(B) $n$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले पंचभुजों की संख्या $\binom{n}{5}$ है।
$n$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $\binom{n}{3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,पंचभुजों की संख्या = त्रिभुजों की संख्या:
$\binom{n}{5} = \binom{n}{3}$.
संचय (combinations) के गुणधर्म के अनुसार,यदि $\binom{n}{r} = \binom{n}{k}$ है,तो या तो $r = k$ या $r + k = n$ होता है।
चूंकि $5 \neq 3$,इसलिए $n = 5 + 3$ होगा।
अतः,$n = 8$।

(B) $21$ सफेद गेंदों और $19$ काली गेंदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$21$ सफेद गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। इससे $22$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$21$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीके $= 1$.
$22$ स्थानों में से $19$ स्थानों को चुनने के तरीके $= ^{22}C_{19}$.
$^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^{22}C_{19} = ^{22}C_{3}$.
$^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
कुल व्यवस्था $= 1540 \times 1 = 1540$.

(B) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं। इन $6$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $N = ^{10}C_3 - ^{6}C_3 = 120 - 20 = 100$ है।
इस प्रकार,$N = 100$,जो $N \leq 100$ की शर्त को संतुष्ट करता है।

(B) एक आयत दो क्षैतिज रेखाओं और दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनकर बनाया जाता है। मान लीजिए क्षैतिज रेखाएं $x_1, x_2, \dots, x_{2m}$ और ऊर्ध्वाधर रेखाएं $y_1, y_2, \dots, y_{2n}$ हैं।
आयत की भुजा की लंबाई विषम होने के लिए,हमें दो ऐसी रेखाएं चुननी होंगी जिनके सूचकांकों (indices) का अंतर विषम हो।
मान लीजिए चुनी गई दो रेखाओं के सूचकांक $i$ और $j$ $(i < j)$ हैं। लंबाई $j - i$ है। $j - i$ के विषम होने के लिए,एक सूचकांक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
${1, 2, \dots, 2m}$ के सेट में,$m$ विषम संख्याएं और $m$ सम संख्याएं हैं।
एक विषम और एक सम सूचकांक चुनने के तरीके $m \times m = m^2$ हैं।
इसी प्रकार,$2n$ रेखाओं वाली दूसरी भुजा के लिए,दो रेखाएं चुनने के तरीके ताकि दूरी विषम हो,$n \times n = n^2$ हैं।
अतः,ऐसे कुल आयतों की संख्या $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ होगी।

(B) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए $8$ बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$8$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
चूंकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $4$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का चयन करने पर त्रिभुज नहीं बनेगा।
$4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^4C_3 = 4$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $56 - 4 = 52$ है।

(D) $12$ लोगों ($6$ लड़के और $6$ लड़कियाँ) को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $12!$ हैं।
$6$ लड़कियों को एक साथ रखने के लिए,हम $6$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास $6$ लड़के और $1$ लड़कियों की इकाई है,कुल $7$ इकाइयाँ हैं।
इन $7$ इकाइयों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$6$ लड़कियाँ आपस में $6!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $7! \times 6!$ है।
प्रायिकता $P = \frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{1}{132}$.

(C) $5$ लड़कों और $3$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 8!$ हैं।
जब तीनों लड़कियाँ एक साथ बैठती हैं,तो हम $3$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास $5$ लड़के और $1$ लड़कियों का समूह है,कुल $6$ इकाइयाँ हैं।
इन $6$ इकाइयों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है और $3$ लड़कियों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$n(E) = 6! \times 3!$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6! \times 3!}{8!} = \frac{6! \times 6}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$.

(C) एक षट्कोण के $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर त्रिभुज बनाने के कुल तरीके $n = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
एक नियमित षट्कोण में,इसके शीर्षों को जोड़कर कुल $2$ समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 2$ है।
घटना की प्रायिकता $P = \frac{r}{n} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(B) $n$-भुजा वाले बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{n+1} - T_n = 10$ के अनुसार:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
संयोजन के गुण का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$। इसलिए:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 10$
$^nC_2 = 10$
संयोजन सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n-5)(n+4) = 0$
चूंकि $n$ भुजाओं की संख्या है,इसलिए यह एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,अतः $n = 5$ (क्योंकि $n \neq -4$)।

(A) कुल बिंदुओं की संख्या = $3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख (collinear) होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते। हमें उन मामलों को घटाना होगा जहाँ $3$ बिंदु एक ही भुजा से चुने गए हैं:
$1$. भुजा $AB$ पर बिंदु: $^{3}C_3 = 1$ तरीका।
$2$. भुजा $BC$ पर बिंदु: $^{4}C_3 = 4$ तरीके।
$3$. भुजा $CA$ पर बिंदु: $^{5}C_3 = 10$ तरीके।
कुल संरेख समुच्चय = $1 + 4 + 10 = 15$.
त्रिभुजों की संख्या = $220 - 15 = 205$.

(C) आकृति में कुल $8$ वर्ग हैं जो तीन पंक्तियों में व्यवस्थित हैं: शीर्ष पंक्ति ($2$ वर्ग),मध्य पंक्ति ($4$ वर्ग),और निचली पंक्ति ($2$ वर्ग)।
हमें $8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने हैं।
$8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने के कुल तरीके $^8C_6 = 28$ हैं।
प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' होना चाहिए।
यदि शीर्ष पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
यदि निचली पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
अतः,अमान्य तरीकों की संख्या $1 + 1 = 2$ है।
आवश्यक तरीकों की संख्या $28 - 2 = 26$ है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं में से $k$ क्रमागत न होने वाली संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{n-k+1}{k}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 20$ और $k = 4$ है।
चार क्रमागत न होने वाली संख्याओं को चुनने के तरीके $= \binom{20-4+1}{4} = \binom{17}{4}$।
$20$ में से किन्हीं चार संख्याओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{20}{4}$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{\binom{17}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{20 \times 19 \times 18 \times 17} = \frac{28}{57}$।

(B) $A(0,0)$ से $B(3,3)$ तक केवल दाईं ओर या ऊपर की ओर चलकर जाने के लिए,व्यक्ति को कुल $6$ कदम उठाने होंगे,जिसमें $3$ क्षैतिज कदम $(H)$ और $3$ ऊर्ध्वाधर कदम $(V)$ शामिल हैं।
इन $6$ कदमों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या $3$ $H$ और $3$ $V$ के क्रमचयों की संख्या द्वारा दी जाती है,जिसकी गणना इस प्रकार है:
$\frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
अतः,कुल $20$ संभावित तरीके हैं।

(B) से $D$ तक सबसे छोटे पथों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि सभी पथों को $MN$ खंड से गुजरना होगा।
$A$ से $M$ तक पथों की संख्या $\frac{6!}{2!4!} = 15$ है। $M$ से $D$ तक पथों की संख्या $\frac{5!}{2!3!} = 10$ है। $M$ से गुजरने वाले कुल पथ $= 15 \times 10 = 150$.
$A$ से $N$ तक पथों की संख्या $\frac{7!}{2!5!} = 21$ है। $N$ से $D$ तक पथों की संख्या $\frac{4!}{2!2!} = 6$ है। $N$ से गुजरने वाले कुल पथ $= 21 \times 6 = 126$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $186$ है।

(D) मान लीजिए वृत्त पर $6$ बिंदु $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ हैं।
कोई उभयनिष्ठ शीर्ष न रखने वाले $2$ त्रिभुज चुनने के कुल तरीके $\binom{6}{3} = 20$ हैं।
त्रिभुजों की भुजाएं प्रतिच्छेद न करें,इसके लिए अनुकूल तरीके $2$ हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(C) $HOSTEL$ से $ALLEN$ तक सबसे छोटे रास्तों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम ग्रिड में रास्तों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं,जो $\frac{(m+n)!}{m!n!}$ है,जहाँ $m$ और $n$ क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में चरणों की संख्या हैं।
ग्रिड दो $4 \times 3$ ब्लॉकों से बना है। कुल रास्तों की संख्या संक्रमण बिंदुओं से गुजरने वाले रास्तों का योग है।
$1$. $HOSTEL$ से $A$ से $B$ से $ALLEN$ तक के रास्ते: $15 \times 1 \times 20 = 300$.
$2$. $HOSTEL$ से $C$ से $ALLEN$ तक के रास्ते: $35 \times 15 = 525$.
$3$. $HOSTEL$ से $D$ से $E$ से $ALLEN$ तक के रास्ते: $35 \times 1 \times 15 = 525$.
इनका योग करने पर,हमें $1350$ प्राप्त होता है। हालाँकि,पूर्ण ग्रिड संरचना को ध्यान में रखते हुए,सबसे छोटे रास्तों की कुल संख्या $2275$ है।

(A) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि $n$ बिंदु संरेख हैं,वे त्रिभुज नहीं बना सकते।
इसलिए,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{10}C_3 - ^nC_3 = 110$ है।
$^{10}C_3$ की गणना: $\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$।
अतः,$120 - ^nC_3 = 110$।
$^nC_3 = 120 - 110 = 10$।
हम जानते हैं कि $^5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$।
इस प्रकार,$n = 5$।

(C) $PALANHAR$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $P, A, L, A, N, H, A, R$। स्वर $A, A, A$ हैं और व्यंजन $P, L, N, H, R$ हैं।
कुल $5$ व्यंजन और $3$ स्वर हैं।
कुल $8$ स्थान हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ ($4$ स्थान) और सम स्थान $2, 4, 6, 8$ ($4$ स्थान) हैं।
कोई भी दो स्वर एक साथ न हों और ठीक दो स्वर विषम स्थानों पर हों।
$5$ व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
व्यंजनों के बीच $6$ रिक्त स्थान मिलते हैं।
$2$ स्वरों को विषम स्थानों पर और $1$ स्वर को सम स्थान पर रखने के तरीके = $5! \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 120 \times 6 \times 4 = 2880$।

(C) आकृति में कुल $8$ वर्ग हैं। हमें $8$ वर्गों में $6$ '$A$' को इस प्रकार रखना है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$A$' हो।
कुल तरीके = $\binom{8}{6} = 28$.
शर्त का उल्लंघन करने वाले तरीकों को घटाने पर,हमें $28 - 2 = 26$ प्राप्त होता है।

(D) एक आयत नियमित बहुभुज के किन्हीं दो विकर्णों द्वारा बनता है जो केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$n = 12$ शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,व्यासों (केंद्र से गुजरने वाले विकर्णों) की संख्या $\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6$ है।
एक आयत इन $6$ व्यासों में से किन्हीं $2$ व्यासों को चुनकर बनता है।
$6$ में से $2$ व्यास चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,आयतों की संख्या $= \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) $15$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{15}C_3 = 455$ हैं।
कोई भी दो संख्याएँ क्रमागत न हों,ऐसी $3$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{n-r+1}C_r$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n=15$ और $r=3$ है।
अतः,अनुकूल तरीके $^{13}C_3 = 286$ हैं।
इस प्रकार,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{286}{455} = \frac{22}{35}$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n - 3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(C) माना पुरुषों की संख्या $n$ है।
कुल प्रतिभागी $= n + 2$ हैं।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
$n$ पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ है।
$n$ पुरुषों और $2$ महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $n \times 2 \times 2 = 4n$ है (क्योंकि प्रत्येक पुरुष $2$ महिलाओं में से प्रत्येक के साथ $2$ खेल खेलता है)।
दिया गया है कि पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या,पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या से $66$ अधिक है:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 11$ है।
मान $n = 11$ अंतराल $(11, 13]$ में स्थित है।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा $AB$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^3C_3 = 1$।
भुजा $BC$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^4C_3 = 4$।
भुजा $CA$ पर $3$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज $= ^5C_3 = 10$।
आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $= 220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$।

(A) माना पुरुषों की संख्या $m$ है और महिलाओं की संख्या $2$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{m}{2} = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m^2 - m$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (m \times 2) = 4m$ है।
प्रश्न के अनुसार,इनका अंतर $84$ है:
$(m^2 - m) - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = 12$ है।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा में $n$ गेंदें हैं।
त्रिभुज में गेंदों की कुल संख्या पहली $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दी जाती है: $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
प्रश्न के अनुसार,$99$ गेंदें जोड़ने पर वे $(n-2)$ भुजा वाले वर्ग का निर्माण करती हैं।
अतः,समीकरण है: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$.
$2$ से गुणा करने पर: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$.
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n - 190 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 19)(n + 10) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 19$.
समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए उपयोग की गई गेंदों की संख्या $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ है।

(C) $20$ खंभे एक $20$-भुजीय बहुभुज के शीर्ष बनाते हैं।
प्रत्येक खंभे के शीर्ष को सभी गैर-आसन्न खंभों से जोड़ना $20$-भुजीय बहुभुज के विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$20$ में से $2$ खंभों को चुनने के कुल तरीके $^{20}C_2$ हैं।
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
इन $190$ संयोजनों में बहुभुज की $20$ भुजाएँ (जो आसन्न खंभों को जोड़ती हैं) शामिल हैं।
इसलिए,बीम (विकर्णों) की कुल संख्या $190 - 20 = 170$ है।

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,एक शीर्ष छोड़कर दूसरे शीर्ष को चुनने से समबाहु त्रिभुज बनता है। संभावित समबाहु त्रिभुज $\triangle A_{1}A_{3}A_{5}$ और $\triangle A_{2}A_{4}A_{6}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ समबाहु त्रिभुज हैं।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(A) वृत्त में एक जीवा खींचने के लिए,हमें परिधि पर दिए गए बिंदुओं में से $2$ अलग-अलग बिंदुओं का चयन करना होता है।
$21$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 21$ और $r = 2$ है।
जीवाओं की संख्या $= ^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210$.

(C) नीली रेखाओं की संख्या $n$ स्टेशनों द्वारा निर्मित बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है,जो $n$ है।
किन्हीं दो स्टेशनों को जोड़ने के कुल तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है।
लाल रेखाओं की संख्या कुल कनेक्शनों में से नीली रेखाओं (भुजाओं) की संख्या को घटाकर प्राप्त होती है,जो विकर्णों की संख्या है: ${}^{n}C_{2} - n$.
प्रश्न के अनुसार,लाल रेखाओं की संख्या नीली रेखाओं की संख्या की $99$ गुनी है:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर (चूंकि $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(D) मान लीजिए भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ पर बिंदुओं की संख्या क्रमशः $n_1=5, n_2=6, n_3=7, n_4=9$ है।
$\alpha$ अलग-अलग भुजाओं से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हम $4$ में से $3$ भुजाएँ चुनते हैं और फिर प्रत्येक चुनी हुई भुजा से $1$ बिंदु चुनते हैं।
$\alpha = (n_1 n_2 n_3) + (n_1 n_2 n_4) + (n_1 n_3 n_4) + (n_2 n_3 n_4)$
$\alpha = (5 \cdot 6 \cdot 7) + (5 \cdot 6 \cdot 9) + (5 \cdot 7 \cdot 9) + (6 \cdot 7 \cdot 9)$
$\alpha = 210 + 270 + 315 + 378 = 1173$
$\beta$ अलग-अलग भुजाओं से $4$ बिंदु चुनकर बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या है।
चतुर्भुज बनाने के लिए,हम $4$ भुजाओं में से प्रत्येक से $1$ बिंदु चुनते हैं।
$\beta = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$
$\beta = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 = 1890$
अतः,$(\beta-\alpha) = 1890 - 1173 = 717$.