Geometrical problems Questions in Hindi

(C) $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर $5$ होना चाहिए।
चूंकि संख्या $3000$ और $4000$ के बीच होनी चाहिए,इसलिए हजार के स्थान पर $3$ होना चाहिए।
शेष $2$ स्थानों (दहाई और सैकड़ा) को भरने के लिए हमारे पास $4$ अंक ${1, 2, 4, 6}$ बचे हैं।
इन $4$ अंकों में से $2$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $^4P_2$ हैं।
अतः,ऐसी कुल संख्याएँ $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ हैं।

(C) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। उन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कों को व्यवस्थित करने के बाद,हम उनके बीच रिक्त स्थान बनाते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों।
$5$ लड़कों की व्यवस्था $6$ संभावित रिक्त स्थान बनाती है (सिरों को मिलाकर): $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_$.
हमें इन $6$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कियों को बैठाना है।
$6$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^6P_3$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $^6P_3 \times 5!$ है।

(C) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें,जिसे $5!$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह $6$ संभावित अंतराल (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $5$ लड़कियों को इस प्रकार खड़ा किया जा सकता है कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_$.
इन $6$ अंतरालों में $5$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! \times 6!$ है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो हिंदी पुस्तकें एक साथ न हों,हम पहले $21$ अंग्रेजी पुस्तकों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं।
यह $22$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $19$ हिंदी पुस्तकें रखी जा सकती हैं।
$22$ में से $19$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{22}C_{19}$ द्वारा दी जाती है।
$^{22}C_{19} = ^{22}C_{22-19} = ^{22}C_3$.
$^{22}C_3 = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
अतः,पुस्तकों को व्यवस्थित करने के $1540$ तरीके हैं।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या = $5 + 3 = 8$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $8$ में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा,जिसे $^8C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
हालाँकि,यदि चयनित $3$ बिंदु संरेख (collinear) हैं,तो वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
एक रेखा पर $5$ बिंदु हैं,इसलिए उनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^5C_3$ हैं।
दूसरी समानांतर रेखा पर $3$ बिंदु हैं,इसलिए उनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^3C_3$ हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$।

(B) एक अष्टभुज में $n = 8$ शीर्ष होते हैं।
विकर्ण बनाने के लिए,हमें $8$ में से $2$ शीर्ष चुनने होंगे,जो $^8C_2$ द्वारा दिया जाता है।
$^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
इन $28$ संयोजनों में अष्टभुज की $8$ भुजाएँ भी शामिल हैं।
अतः,विकर्णों की संख्या = $^8C_2 - 8 = 28 - 8 = 20$।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$।
अतः,भुजाओं की संख्या $11$ है।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
चूंकि सभी बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं।
अतः,$4$ बिंदुओं को जोड़कर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या संचय सूत्र $^n{C_r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 4$ और $r = 3$ है।
त्रिभुजों की संख्या = $^4{C_3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1!} = 4$.

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए $9$ असंरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा।
चूंकि बिंदु असंरेख हैं,इसलिए किन्हीं भी $3$ बिंदुओं का चयन एक अद्वितीय त्रिभुज बनाएगा।
$9$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 9$ और $r = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.
अतः,$84$ त्रिभुज खींचे जा सकते हैं।

(C) $m$ भुजाओं वाले एक बहुभुज में $m$ शीर्ष होते हैं।
एक रेखाखंड (भुजा या विकर्ण) बनाने के लिए,हम $m$ में से $2$ शीर्ष चुनते हैं,जो $^mC_2$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाखंडों की कुल संख्या = $^mC_2 = \frac{m(m - 1)}{2}$।
इन रेखाखंडों में बहुभुज की $m$ भुजाएँ शामिल हैं।
इसलिए,विकर्णों की संख्या = (कुल रेखाखंड) - (भुजाओं की संख्या)।
विकर्णों की संख्या = $\frac{m(m - 1)}{2} - m = \frac{m^2 - m - 2m}{2} = \frac{m(m - 3)}{2}$।

(D) एक सीधी रेखा बनाने के लिए,हमें दिए गए $8$ बिंदुओं में से किन्हीं $2$ बिंदुओं का चयन करना होगा।
चूंकि बिंदु एक वृत्त पर हैं,इसलिए कोई भी $3$ बिंदु संरेख (collinear) नहीं हैं।
अतः,सीधी रेखाओं की संख्या संचय के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 2$ है।
रेखाओं की संख्या = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं के समूह से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
चूंकि $7$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $7$ बिंदुओं में से किन्हीं भी $3$ बिंदुओं को चुनने पर त्रिभुज नहीं बनेगा।
इन $7$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल चयन में से संरेख चयन की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है:
त्रिभुजों की संख्या $= 220 - 35 = 185$.

(B) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
चूंकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इन $4$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने पर त्रिभुज नहीं बनेगा। इन $4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^4C_3$ हैं।
$^4C_3 = 4$.
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $120 - 4 = 116$ है।

(A) $16$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
चूँकि $6$ बिंदु संरेख हैं,इन $6$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की संख्या $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ के बजाय केवल $1$ है।
अतः,खींची जा सकने वाली कुल रेखाओं की संख्या $^{16}C_2 - ^{6}C_2 + 1 = 120 - 15 + 1 = 106$ है।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $m + n + k$ है। इनमें से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{m+n+k}C_3$ हैं।
हालाँकि,एक ही रेखा पर स्थित $3$ बिंदुओं को चुनने से त्रिभुज नहीं बनता है। ऐसे संरेख बिंदुओं के समूहों की संख्या $^mC_3 + ^nC_3 + ^kC_3$ है।
अतः,आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$ है।

(B) समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें $4$ समांतर रेखाओं के समूह से $2$ रेखाएं और $3$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह से $2$ रेखाएं चुनने की आवश्यकता है।
$4$ में से $2$ रेखाएं चुनने के तरीके $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$3$ में से $2$ रेखाएं चुनने के तरीके $^{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ हैं।
समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या इन दो संयोजनों का गुणनफल है:
कुल $= ^{4}C_{2} \times ^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$.

(C) $6$ बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाली रेखाओं की संख्या $^6C_2 = 15$ है।
इन $15$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या,यह मानते हुए कि कोई भी तीन रेखाएं संगामी नहीं हैं,$^{15}C_2 = 105$ है।
हालांकि,मूल $6$ बिंदुओं में से प्रत्येक पर $5$ रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। चूंकि ये $5$ रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए हमें अतिरिक्त गणनाओं को घटाना होगा।
प्रत्येक $6$ बिंदुओं के लिए,उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के जोड़ों की संख्या $^5C_2 = 10$ है।
चूंकि इन $10$ जोड़ों को प्रारंभिक $105$ में $10$ अलग-अलग प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में गिना गया है,लेकिन वे वास्तव में केवल $1$ बिंदु हैं,इसलिए हम प्रत्येक $6$ बिंदुओं के लिए $10 - 1 = 9$ घटाएंगे।
कुल अलग प्रतिच्छेदन बिंदु $= 105 - 6 \times 9 = 105 - 54 = 51$.

(A) स्थिति $I$: जब $A$ को बाहर रखा जाता है।
त्रिभुजों की संख्या = ($AB$ से $2$ बिंदु और $AC$ से $1$ बिंदु का चयन) + ($AB$ से $1$ बिंदु और $AC$ से $2$ बिंदु का चयन)।
त्रिभुजों की संख्या = $^mC_2 \times ^nC_1 + ^mC_1 \times ^nC_2 = \frac{mn(m+n-2)}{2}$.
स्थिति $II$: जब $A$ को शामिल किया जाता है।
$A$ को एक शीर्ष मानकर और $AB$ तथा $AC$ रेखाओं से अन्य दो बिंदु लेकर त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।
यदि हम $A$ को एक शीर्ष के रूप में लेते हैं,तो त्रिभुज बनाने के लिए $AB$ से एक बिंदु और $AC$ से एक बिंदु की आवश्यकता होती है।
त्रिभुजों की संख्या = $^mC_1 \times ^nC_1 = mn$.
जब $A$ शामिल हो तो कुल त्रिभुज = ($A$ के बिना त्रिभुज) + ($A$ के साथ त्रिभुज) = $\frac{mn(m+n-2)}{2} + mn = \frac{mn(m+n)}{2}$.
आवश्यक अनुपात = $\frac{\text{स्थिति } I}{\text{स्थिति } II} = \frac{m+n-2}{m+n}$.

(C) चूंकि कोई भी दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं और कोई भी तीन रेखाएं संगामी नहीं हैं,इसलिए $n$ सीधी रेखाएं $N = ^nC_2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
एक सीधी रेखा निर्धारित करने के लिए दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है,इसलिए इन $N$ बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त कुल रेखाओं की संख्या $^NC_2$ है।
हालाँकि,प्रत्येक मूल रेखा पर $(n - 1)$ प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। एक मूल रेखा पर इन $(n - 1)$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की संख्या $^{n-1}C_2$ है। चूंकि ऐसी $n$ मूल रेखाएं हैं,इसलिए हमें कुल संख्या से इन रेखाओं को घटाना होगा।
अतः,नई रेखाओं की संख्या $^NC_2 - n \times ^{n-1}C_2$ है।
$N = \frac{n(n-1)}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{N(N-1)}{2} - \frac{n(n-1)(n-2)}{2} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}$.

(C) एक समांतर चतुर्भुज को समानांतर रेखाओं के दो जोड़ों द्वारा परिभाषित किया जाता है।
प्रारंभ में,समांतर चतुर्भुज की प्रत्येक दिशा में $2$ भुजाएँ होती हैं।
जब भुजाओं के प्रत्येक सेट के समानांतर $m$ रेखाएँ जोड़ी जाती हैं,तो प्रत्येक सेट में अब $m + 2$ समानांतर रेखाएँ होती हैं।
एक समांतर चतुर्भुज $m + 2$ रेखाओं के पहले सेट से $2$ रेखाएँ और $m + 2$ रेखाओं के दूसरे सेट से $2$ रेखाएँ चुनकर बनाया जाता है।
$m + 2$ रेखाओं में से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीकों की संख्या $^{m+2}C_2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि हमें दोनों सेटों से स्वतंत्र रूप से चयन करना है,इसलिए समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या $^{m+2}C_2 \times {^{m+2}C_2} = ({^{m+2}C_2})^2$ होगी।

(A) $37$ रेखाओं के लिए कुल प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या,यदि कोई भी तीन रेखाएँ संगामी न हों और कोई भी दो समानांतर न हों,तो $^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 666$ होगी।
हालाँकि,$13$ रेखाएँ बिंदु $A$ से होकर गुजरती हैं। इन रेखाओं को $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ प्रतिच्छेदन बिंदु बनाने चाहिए थे,लेकिन वे केवल $1$ बिंदु बनाती हैं। इसलिए,हमें $78$ घटाना होगा और $1$ जोड़ना होगा।
इसी प्रकार,$11$ रेखाएँ बिंदु $B$ से होकर गुजरती हैं। इन रेखाओं को $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ प्रतिच्छेदन बिंदु बनाने चाहिए थे,लेकिन वे केवल $1$ बिंदु बनाती हैं। इसलिए,हमें $55$ घटाना होगा और $1$ जोड़ना होगा।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या $666 - 78 + 1 - 55 + 1 = 535$ है।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. $8$ सीधी रेखाओं के बीच प्रतिच्छेदन: $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$2$. $4$ वृत्तों के बीच प्रतिच्छेदन: $^4C_2 \times 2 = 6 \times 2 = 12$ (क्योंकि दो वृत्त $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं)।
$3$. $8$ सीधी रेखाओं और $4$ वृत्तों के बीच प्रतिच्छेदन: $^8C_1 \times ^4C_1 \times 2 = 8 \times 4 \times 2 = 64$ (क्योंकि एक रेखा और एक वृत्त $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं)।
कुल बिंदु $= 28 + 12 + 64 = 104$.

(C) दिया गया है कि $18$ बिंदुओं में से $5$ बिंदु संरेख हैं।
$(i)$ सीधी रेखाओं की संख्या:
$18$ बिंदुओं से कुल संभावित रेखाएँ $^{18}C_2$ हैं।
चूँकि $5$ बिंदु संरेख हैं,वे $^5C_2$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
रेखाओं की संख्या $= ^{18}C_2 - ^5C_2 + 1 = 153 - 10 + 1 = 144$.
$(ii)$ त्रिभुजों की संख्या:
$18$ बिंदुओं से कुल संभावित त्रिभुज $^{18}C_3$ हैं।
चूँकि $5$ बिंदु संरेख हैं,वे कोई त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
त्रिभुजों की संख्या $= ^{18}C_3 - ^5C_3 = 816 - 10 = 806$.

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $16$ बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$16$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$ हैं।
चूंकि $8$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $8$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $8$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $560 - 56 = 504$ है।

(B) $n$ शीर्षों द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $T_{n+1} - T_n = 21$ में सूत्र रखने पर:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 21$.
पास्कल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$.
संयोजन के सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$
$n(n-1) = 42$
$n(n-1) = 7 \times 6$.
अतः,$n = 7$.

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $6$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $6$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या = $^{10}C_3 - ^6C_3 = 120 - 20 = 100$.

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $n$ है। $n$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{n}C_{2}$ हैं।
चूँकि $p$ बिंदु संरेख हैं,वे सभी एक ही रेखा पर स्थित हैं। इन $p$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{p}C_{2}$ हैं।
ये $^{p}C_{2}$ चयन सामान्यतः अलग-अलग रेखाओं को दर्शाते हैं,लेकिन चूँकि बिंदु संरेख हैं,वे सभी मिलकर केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
अतः,रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र: $^{n}C_{2} - ^{p}C_{2} + 1$ है।

(A) $6$ में से $3$ रेखाखंडों को चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = 20$ हैं।
त्रिभुज तभी बन सकता है जब किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक हो।
जो संयोजन त्रिभुज नहीं बनाते हैं वे हैं: $(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$।
ऐसे कुल $7$ संयोजन हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $20 - 7 = 13$ है,जिसे $^6C_3 - 7$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $35$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 35$
$n(n-3) = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 10$ है।
अतः,भुजाओं की संख्या $10$ है।

(D) $n$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की कुल संख्या $^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 20$ बिंदु हैं,इसलिए बिना किसी संरेखता प्रतिबंध के कुल रेखाएँ $^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
चूंकि $4$ बिंदु संरेख हैं,वे $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
अतः,आवश्यक रेखाओं की संख्या $190 - 6 + 1 = 185$ है।

(D) एक आयत दो क्षैतिज रेखाओं और दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनकर बनाया जाता है।
मान लीजिए क्षैतिज रेखाएँ $y_0, y_1, \dots, y_{2n-1}$ हैं और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x_0, x_1, \dots, x_{2m-1}$ हैं।
एक आयत की भुजा की लंबाई विषम होती है यदि चुनी गई रेखाओं के सूचकांकों (indices) के बीच का अंतर विषम हो।
क्षैतिज भुजा के लिए,हमें दो रेखाएँ $y_i, y_j$ इस प्रकार चुननी होंगी कि $|i - j|$ विषम हो। इसका अर्थ है कि एक सूचकांक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
${0, 1, \dots, 2n-1}$ समुच्चय में,$n$ सम संख्याएँ ${0, 2, \dots, 2n-2}$ और $n$ विषम संख्याएँ ${1, 3, \dots, 2n-1}$ हैं।
एक सम और एक विषम सूचकांक चुनने के तरीकों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
इसी प्रकार,ऊर्ध्वाधर भुजा के लिए,दो रेखाएँ चुनने के तरीकों की संख्या ताकि अंतर विषम हो,$m \times m = m^2$ है।
अतः,विषम भुजा लंबाई वाले आयतों की कुल संख्या $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ है।

(A) सबसे पहले,$m$ पुरुषों को एक पंक्ति में $m!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
चूंकि $n < m$ है और कोई भी दो महिलाएं एक साथ नहीं बैठ सकती हैं,इसलिए हम पुरुषों के बीच के स्थानों पर विचार करते हैं।
$m!$ व्यवस्थाओं में से किसी भी एक में,$(m + 1)$ उपलब्ध स्थान (सिरों सहित) हैं जहाँ $n$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है।
इन $(m + 1)$ स्थानों में $n$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{m+1}P_n$ है।
इसलिए,गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $m! \times {}^{m+1}P_n$ है।
$= m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(C) मान लीजिए पुरुषों की संख्या $n$ है। कुल प्रतिभागियों की संख्या $n + 2$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times {^nC_2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (n \times 2) = 4n$ है।
प्रश्न के अनुसार,पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या,पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या से $66$ अधिक है:
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$ है।
प्रतिभागियों की कुल संख्या $n + 2 = 11 + 2 = 13$ है।

(B) कुल $10$ छात्र हैं,जिनमें $3$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हम पहले $7$ लड़कों को एक पंक्ति में $7!$ तरीकों से बैठाते हैं।
इससे $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $3$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_ B_6 \_ B_7 \_$.
$8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने और उनमें $3$ लड़कियों को बैठाने के तरीके $^8P_3$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times ^8P_3$ है।

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके ${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,शीर्षों को जोड़कर कुल $2$ समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(B) $6$ लड़कों और $6$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $12!$ हैं।
यदि सभी $6$ लड़कियाँ एक साथ बैठती हैं,तो हम $6$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। यह इकाई और $6$ लड़के मिलकर कुल $7$ इकाइयाँ बनाते हैं,जिन्हें $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$6$ लड़कियाँ आपस में $6!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times 6!$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{7! \times 720}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{720}{95040} = \frac{1}{132}$ है।

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करते हैं। इससे $8$ संभावित स्थान (गैप) बनते हैं जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = 56$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(B) बिंदुओं की कुल संख्या $m + n + k$ है।
इनमें से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{m+n+k}C_3$ हैं।
हालाँकि,एक ही रेखा पर स्थित $3$ बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते।
रेखा $l_1$ पर स्थित $3$ बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^mC_3$ है।
रेखा $l_2$ पर स्थित $3$ बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^nC_3$ है।
रेखा $l_3$ पर स्थित $3$ बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^kC_3$ है।
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या $^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$ है।

(B) एक समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें $5$ समांतर रेखाओं के समूह से $2$ रेखाएं और $4$ समांतर रेखाओं के समूह से $2$ रेखाएं चुननी होंगी।
$5$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
$4$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
अतः,बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या $^5C_2 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$ है।

(C) $n$ शीर्षों में से $2$ शीर्षों को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{2}$ द्वारा दी जाती है।
इसमें बहुभुज की $n$ भुजाएँ शामिल हैं।
विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ने से बनने वाली कुल रेखाओं में से भुजाओं की संख्या घटाते हैं:
$\text{विकर्णों की संख्या} = \binom{n}{2} - n$
$= \frac{n(n - 1)}{2} - n$
$= \frac{n^2 - n - 2n}{2}$
$= \frac{n^2 - 3n}{2}$
$= \frac{1}{2}n(n - 3)$

(B) दो बिंदुओं को जोड़ने से एक सीधी रेखा बनती है। अतः,$10$ बिंदुओं को जोड़ने पर कुल $^{10}C_2$ रेखाएँ बन सकती हैं।
चूँकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए उन $4$ बिंदुओं से बनने वाली $^{4}C_2$ रेखाओं के स्थान पर केवल $1$ ही रेखा प्राप्त होती है।
अतः,कुल रेखाओं की संख्या = $^{10}C_2 - ^{4}C_2 + 1$ होगी।
गणना: $\frac{10 \times 9}{2} - \frac{4 \times 3}{2} + 1 = 45 - 6 + 1 = 40$.

(B) दिया गया है कि $T_n = \binom{n}{3}$.
हमें $T_{n+1} - T_n = 21$ दिया गया है।
गुणधर्म $\binom{n+1}{r} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$T_{n+1} = \binom{n+1}{3} = \binom{n}{3} + \binom{n}{2}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(\binom{n}{3} + \binom{n}{2}) - \binom{n}{3} = 21$.
$\binom{n}{2} = 21$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n(n-1) = 7 \times 6$.
अतः,$n = 7$.

(B) चरण $1$: $6$ कांच के मोतियों में से $4$ मोती चुनने के तरीके: $^6C_4 = 15$।
चरण $2$: $5$ धातु के मोतियों में से $4$ मोती चुनने के तरीके: $^5C_4 = 5$।
चरण $3$: कुल चुने गए मोती = $4 + 4 = 8$।
चरण $4$: $n$ अलग-अलग मोतियों से हार बनाने के तरीके = $\frac{(n-1)!}{2}$।
चरण $5$: $8$ मोतियों के लिए व्यवस्था के तरीके = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2!}$।
चरण $6$: कुल हारों की संख्या = $^6C_4 \times ^5C_4 \times \frac{7!}{2!}$।

(B) एक अष्टकोण में $8$ शीर्ष होते हैं।
किन्हीं भी दो शीर्षों को जोड़ने से बनने वाले रेखाखंडों की कुल संख्या $^nC_2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 8$ है।
कुल रेखाखंड $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
इन $28$ रेखाखंडों में से,$8$ अष्टकोण की भुजाएँ हैं।
विकर्णों की संख्या कुल रेखाखंडों में से भुजाओं की संख्या घटाने पर प्राप्त होती है।
विकर्णों की संख्या $= 28 - 8 = 20$।

(B) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{(n+1)} - T_n = 10$ में सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 10$.
सर्वसमिका $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{n}{2} = 10$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$.
$n(n-1) = 20$.
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
$6$ में से $3$ रेखाखंड चुनने के कुल तरीके $\binom{6}{3} = 20$ हैं।
हमें उन संयोजनों को घटाना होगा जो त्रिभुज असमिका $(a + b \leq c)$ को संतुष्ट नहीं करते हैं:
$(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$।
ऐसे $7$ संयोजन हैं जो त्रिभुज नहीं बना सकते।
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $\binom{6}{3} - 7$ है।

(D) एक रेखा बनाने के लिए,हमें $2$ बिंदुओं की आवश्यकता होती है। $20$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{20}{2}$ हैं।
चूँकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $4$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की संख्या $\binom{4}{2}$ के बजाय केवल $1$ होती है।
रेखाओं की संख्या का सूत्र $\binom{n}{2} - \binom{m}{2} + 1$ है,जहाँ $n$ कुल बिंदुओं की संख्या है और $m$ संरेख बिंदुओं की संख्या है।
यहाँ,$n = 20$ और $m = 4$ है।
रेखाओं की संख्या $= \binom{20}{2} - \binom{4}{2} + 1$
$= \frac{20 \times 19}{2} - \frac{4 \times 3}{2} + 1$
$= 190 - 6 + 1 = 185$.

(D) एक त्रिभुज $3$ असंरेख बिंदुओं के चयन से बनता है।
$l_1$ पर कुल बिंदु ($P$ को छोड़कर) $= 3$ हैं।
$l_2$ पर कुल बिंदु ($P$ को छोड़कर) $= 5$ हैं।
कुल बिंदु $= 3 + 5 = 8$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हम चयन कर सकते हैं:
$1$. $l_1$ से $2$ बिंदु और $l_2$ से $1$ बिंदु: $\binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 3 \times 5 = 15$।
$2$. $l_1$ से $1$ बिंदु और $l_2$ से $2$ बिंदु: $\binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$।
कुल त्रिभुज $= 15 + 30 = 45$।