Geometrical problems Questions in Hindi

(B) $8$-ओर नाव के लिए स्ट्रोक साइड पर $4$ और बो साइड पर $4$ पुरुषों की आवश्यकता होती है।
कुल $12$ पुरुषों में से $3$ केवल स्ट्रोक साइड के लिए हैं और $9$ दोनों तरफ काम कर सकते हैं।
चयन और व्यवस्था के कुल तरीके $= { }^{9}C_{4} \times { }^{8}C_{4} \times 4! \times 4!$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं। इन $6$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{6}C_3$ हैं।
$^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
अतः,त्रिभुजों की कुल संख्या $N = 120 - 20 = 100$.

(A) एक त्रिभुज $n$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर बनता है। $3$ शीर्षों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^nC_3$ है।
दिया गया है कि $T_{n+1} - T_n = 10$ है।
सर्वसमिका ${}^{n+1}C_r - {}^nC_r = {}^nC_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
${}^{n+1}C_3 - {}^nC_3 = {}^nC_2 = 10$ प्राप्त होता है।
सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n^2 - n = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$।

(D) $15$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले कुल भिन्न त्रिभुजों की संख्या $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ है।
हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ $i+j+k = 15$,जहाँ $1 \leq i < j < k \leq 15$ है।
$(i, j, k)$ के संभावित समूह जिनके लिए $i+j+k = 15$ है,वे हैं:
$(1, 2, 12), (1, 3, 11), (1, 4, 10), (1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 3, 10), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)$।
इनकी गणना करने पर,हमें ऐसी $12$ स्थितियाँ मिलती हैं।
अतः,आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $455 - 12 = 443$ है।

(C) $37$ रेखाओं में से $2$ रेखाओं को चुनने के कुल तरीके $^{37}C_2$ हैं।
चूँकि $13$ रेखाएँ बिंदु $A$ पर संगामी हैं,वे $^{13}C_2$ अलग-अलग प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं बनाती हैं; इसके बजाय,वे सभी $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए,हम $^{13}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
इसी प्रकार,चूँकि $11$ रेखाएँ बिंदु $B$ पर संगामी हैं,हम $^{11}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 2$ है।

(D) एक समांतर चतुर्भुज $10$ समांतर रेखाओं में से $2$ रेखाओं और $m$ समांतर रेखाओं में से $2$ रेखाओं के चयन से बनता है।
$10$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीके ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
$m$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीके ${}^{m}C_2 = \frac{m(m-1)}{2}$ हैं।
समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या:
${}^{10}C_2 \times {}^{m}C_2 = 675$
$45 \times \frac{m(m-1)}{2} = 675$
$\frac{m(m-1)}{2} = 15$
$m(m-1) = 30$
$m^2 - m - 30 = 0$
$(m - 6)(m + 5) = 0$
चूँकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = 6$।

(C) $A, B$ और $C$ को छोड़कर कुल बिंदु $10 + 8 = 18$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$18$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{18}C_3$ हैं।
$AB$ रेखा पर स्थित बिंदु संरेख हैं,इसलिए $^{10}C_3$ संयोजन त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
$AC$ रेखा पर स्थित बिंदु संरेख हैं,इसलिए $^{8}C_3$ संयोजन त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या $= ^{18}C_3 - ^{10}C_3 - ^{8}C_3$ है।
$^{18}C_3 = 816$,$^{10}C_3 = 120$,$^{8}C_3 = 56$.
त्रिभुजों की संख्या $= 816 - 120 - 56 = 640$।

(A) मान लीजिए कि बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है। $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
$(n-12)(n+9) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 12$ है।
अतः,बहुभुज में $12$ भुजाएँ हैं।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $170$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(n - 20)(n + 17) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$ है।
नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप $\frac{(n-2) \pi}{n}$ होता है।
$n = 20$ के लिए,आंतरिक कोण $\frac{(20-2) \pi}{20} = \frac{18 \pi}{20} = \frac{9 \pi}{10}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) मान लीजिए समतल पर $n$ बिंदु हैं। $n$ बिंदुओं को युग्मों में जोड़ने पर बनने वाले रेखाखंडों की संख्या ${}^nC_2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कुल रेखाखंडों की संख्या $15$ है,इसलिए:
${}^nC_2 = 15$
$\frac{n(n - 1)}{2} = 15$
$n(n - 1) = 30$
$n^2 - n - 30 = 0$
$(n - 6)(n + 5) = 0$
चूंकि बिंदुओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 6$।

(C) एक बहुभुज $10$ बिंदुओं में से $n$ बिंदुओं को चुनकर बनता है,जहाँ $n \ge 3$ है।
$10$ में से $n$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{10}{n}$ है।
चूँकि वृत्त पर किन्हीं $n$ बिंदुओं $(n \ge 3)$ का चयन एक अद्वितीय उत्तल बहुभुज बनाता है,इसलिए ऐसे बहुभुजों की कुल संख्या $n = 3, 4, \dots, 10$ के लिए संयोजनों का योग है।
कुल बहुभुज = $\binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{n=0}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} = 1024$.
अतः,$\sum_{n=3}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} - \binom{10}{0} - \binom{10}{1} - \binom{10}{2}$.
$= 1024 - 1 - 10 - 45 = 968$.

(B) समुच्चय $X$ बिंदुओं $(a, b)$ का एक ग्रिड दर्शाता है जहाँ $a$,$0$ से $20$ ($21$ बिंदु) तक और $b$,$0$ से $15$ ($16$ बिंदु) तक है।
अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले आयत बनाने के लिए,हमें $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$ से $a$ के लिए $2$ अलग मान और $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$ से $b$ के लिए $2$ अलग मान चुनने होंगे।
$a$ के लिए $2$ मान चुनने के तरीके $\binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210$ हैं।
$b$ के लिए $2$ मान चुनने के तरीके $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
ऐसे कुल आयतों की संख्या $210 \times 120 = 25200$ है।

(C) $3$ समांतर रेखाएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $4$ बिंदु हैं। बिंदुओं की कुल संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
$12$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
त्रिभुज तब नहीं बनते हैं जब $3$ बिंदु संरेख (collinear) होते हैं। संरेख बिंदु तब होते हैं जब हम एक ही रेखा से $3$ बिंदु चुनते हैं।
चूंकि $4$ बिंदुओं वाली $3$ रेखाएँ हैं,इसलिए $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $3 \times C(4, 3) = 3 \times 4 = 12$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $220 - 12 = 208$ है।

(C) $n$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $t_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $t_{n+1} = t_n + 28$ के अनुसार:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 28$.
गुणधर्म $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = \binom{n}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{n}{2} = 28$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 28$.
$n(n-1) = 56$.
$n^2 - n - 56 = 0$.
$(n-8)(n+7) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 8$।

(B) $m$ भुजाओं वाले बहुभुज के शीर्षों से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_m = {}^mC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $T_{m+1} - T_m = 15$ है।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$ है।
अतः,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$ है।
यह सरल होकर ${}^mC_2 = 15$ हो जाता है।
संचय का विस्तार करने पर,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$ है।
$m(m-1) = 30$ है।
$m^2 - m - 30 = 0$ है।
$(m-6)(m+5) = 0$ है।
चूंकि $m$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $m = 6$ है।

(D) कुल बिंदुओं की संख्या $3p$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3p$ में से $3$ बिंदु चुनने होंगे।
$3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{3p}C_3$ हैं।
हालाँकि,यदि $3$ बिंदु संरेख (collinear) हैं,तो वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
वहाँ $3$ रेखाएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $p$ बिंदु हैं।
प्रत्येक रेखा के लिए,$3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^pC_3$ हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या $^{3p}C_3 - 3 \cdot ^pC_3$ है।
$= \frac{3p(3p-1)(3p-2)}{6} - 3 \cdot \frac{p(p-1)(p-2)}{6}$
$= \frac{p}{2} [ (3p-1)(3p-2) - (p-1)(p-2) ]$
$= \frac{p}{2} [ (9p^2 - 9p + 2) - (p^2 - 3p + 2) ]$
$= \frac{p}{2} [ 8p^2 - 6p ]$
$= p^2(4p-3)$.

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n(n-3)}{2}$।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $104$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 104$
$n(n-3) = 208$
$n^2 - 3n - 208 = 0$
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{2}$
$n = \frac{3 \pm 29}{2}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,$n = \frac{32}{2} = 16$।
अतः,$n = 16$।

(C) $64$ वर्गों में से $3$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{3} = 41664$ हैं।
शतरंज बोर्ड पर विकर्णों की लंबाई $1$ से $8$ और फिर $7$ से $1$ तक होती है।
$k$ लंबाई के विकर्ण के लिए $3$ वर्ग चुनने के तरीके $\binom{k}{3}$ हैं।
दोनों दिशाओं के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $392$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{392}{41664} = \frac{7}{744}$ है।

(A) एक घन में $8$ शीर्ष होते हैं। $8$ में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज तब बनता है जब $3$ शीर्षों को इस प्रकार चुना जाता है कि किन्हीं दो के बीच की दूरी घन के फलक विकर्ण की लंबाई के बराबर हो।
घन के प्रत्येक फलक में $2$ विकर्ण होते हैं और कुल $6$ फलक होते हैं,लेकिन प्रत्येक विकर्ण $2$ फलकों द्वारा साझा किया जाता है। कुल फलक विकर्णों की संख्या $12$ है।
हालाँकि,एक समबाहु त्रिभुज $3$ शीर्षों को चुनकर बनता है ताकि प्रत्येक जोड़ी एक फलक विकर्ण से जुड़ी हो। एक घन में ऐसे ठीक $8$ त्रिभुज होते हैं।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
प्रायिकता $\frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ है।

(C) दिया गया है कि एक सम षट्भुज के $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुने जाते हैं।
$6$ में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,इसके शीर्षों को जोड़कर केवल दो समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं,जो $\triangle ACE$ और $\triangle BDF$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $(4+1) \times (4+1) = 25$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए $25$ में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
कुल चयन $\binom{25}{3} = 2300$ हैं।
अब,संरेख बिंदुओं के समूहों को घटाने पर: $50$ (पंक्तियाँ) + $50$ (स्तंभ) + $20$ (मुख्य विकर्ण) + $16$ (अन्य विकर्ण) + $4$ (अन्य विकर्ण) = $140$।
त्रिभुजों की संख्या = $2300 - 140 = 2160$।

(C) कुल बिंदु = $10$। संरेख बिंदु = $4$। असंरेख बिंदु = $10 - 4 = 6$।
कम से कम एक शीर्ष $4$ संरेख बिंदुओं में से हो,ऐसे त्रिभुज बनाने के लिए:
स्थिति $1$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{1} \times \binom{6}{2} = 4 \times 15 = 60$।
स्थिति $2$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$।
नोट: हम $4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदु नहीं चुन सकते क्योंकि वे संरेख हैं और त्रिभुज नहीं बनाएंगे।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $60 + 36 = 96$।

(B) $n$ शीर्षों वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-1)}{2} - n = 35$ द्वारा दी जाती है।
$n$ के लिए हल करने पर:
$n^2 - n - 2n = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
$(n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 10$ है।
$AB$ को एक भुजा के रूप में लेकर त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $A$,$B$ और शेष $n - 2$ शीर्षों में से एक अन्य शीर्ष चुनना होगा।
शेष शीर्षों की संख्या $= 10 - 2 = 8$ है।
अतः,ऐसे त्रिभुजों की संख्या $8$ है।

(C) समतल में कुल बिंदुओं की संख्या $n = 30$ है।
चूंकि $8$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए वे एक ही रेखा बनाते हैं।
सूत्र: $\text{रेखाओं की संख्या} = {}^{n}C_{2} - {}^{m}C_{2} + 1$
मान रखने पर:
$\text{रेखाओं की संख्या} = {}^{30}C_{2} - {}^{8}C_{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$

(C) हम जानते हैं कि $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $170$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n^2 - 20n + 17n - 340 = 0$
$n(n - 20) + 17(n - 20) = 0$
$(n - 20)(n + 17) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$।

(D) कुल बिंदुओं की संख्या $8$ है ($P$ को छोड़कर)। $P$ को शामिल करने पर,हमारे पास कुल $9$ बिंदु हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$9$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके ${^9C_3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
हालाँकि,एक ही रेखा पर स्थित बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।
$l_1$ पर स्थित बिंदु ($P$ सहित) $4$ हैं $(A_1, B_1, C_1, P)$। इनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके ${^4C_3} = 4$ हैं।
$l_2$ पर स्थित बिंदु ($P$ सहित) $6$ हैं $(A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, P)$। इनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
कुल त्रिभुज = ($3$ बिंदु चुनने के कुल तरीके) - ($l_1$ पर संरेख सेट) - ($l_2$ पर संरेख सेट)
कुल त्रिभुज = $84 - 4 - 20 = 60$।

(D) एक गोल मेज पर बैठी $15$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_3$ हैं।
सबसे पहले,$3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके: ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ हैं।
अब,$3$ लड़कियों को चुनने के तरीके जो एक साथ बैठी हैं,$15$ हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें तीनों एक साथ नहीं बैठी हैं,$455 - 15 = 440$ है।

(D) $15$ संगामी रेखाओं में से किन्हीं $2$ रेखाओं और तीसरी भुजा के रूप में रेखा $L$ को चुनकर एक त्रिभुज बनता है।
चूँकि $15$ रेखाएँ बिंदु $P$ पर संगामी हैं,इसलिए कोई भी दो रेखाएँ $P$ पर प्रतिच्छेद करेंगी।
जब ये $2$ रेखाएँ रेखा $L$ को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $L$ को एक भुजा के रूप में लेकर एक त्रिभुज बनता है।
$15$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{15}C_{2}$ है।
अतः,त्रिभुजों की संख्या ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ है।

(B) कुल बिंदु = $10$। संरेख बिंदु = $4$। असंरेख बिंदु = $6$।
कम से कम एक शीर्ष $4$ संरेख बिंदुओं में से होने वाले त्रिभुजों के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु।
त्रिभुजों की संख्या = $^4C_1 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$।
स्थिति $2$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु।
त्रिभुजों की संख्या = $^4C_2 \times ^6C_1 = 6 \times 6 = 36$।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $60 + 36 = 96$।

(C) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$।

(D) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
इससे $n = -9$ या $n = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(B) $6$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $= 6! = 720$.
अनुकूल व्यवस्था खोजने के लिए,$A$ और $B$ को उनके बीच एक छात्र के साथ एक ब्लॉक के रूप में मानें। शेष $4$ छात्र हैं। हम $A$ और $B$ के बीच रखने के लिए $4$ में से $1$ छात्र को $^4C_1$ तरीकों से चुनते हैं।
अब,$(A, \text{student}, B)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानें। शेष $3$ छात्रों के साथ,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $4!$ तरीकों से किया जा सकता है।
ब्लॉक के भीतर,$A$ और $B$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $= ^4C_1 \times 4! \times 2! = 4 \times 24 \times 2 = 192$.
प्रायिकता $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}$.

(B) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ या ${ }^{n} C_{2}-n$ है।
$n = 100$ भुजाओं वाले बहुभुज के लिए:
विकर्णों की संख्या $= { }^{100} C_{2} - 100$
$= \frac{100 \times 99}{2} - 100$
$= 50 \times 99 - 100$
$= 4950 - 100$
$= 4850$

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n(n-3)}{2} = 20$।
$2$ से गुणा करने पर,$n(n-3) = 40$ प्राप्त होता है।
$n^2 - 3n - 40 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n-8)(n+5) = 0$।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 8$ है।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूँकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 11$।

(C) दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके पंचभुज बनाने के लिए,हमें $5$ बिंदु इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी तीन बिंदु संरेख न हों। चूंकि बिंदु त्रिभुज की भुजाओं पर हैं,हम भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ से बिंदु चुन सकते हैं।
स्थिति $1$: $AB$ से $2$ बिंदु,$BC$ से $2$ बिंदु और $AC$ से $1$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 10 \times 4 = 240$.
स्थिति $2$: $AB$ से $2$ बिंदु,$BC$ से $1$ बिंदु और $AC$ से $2$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 6 \times 5 \times 6 = 180$.
स्थिति $3$: $AB$ से $1$ बिंदु,$BC$ से $2$ बिंदु और $AC$ से $2$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 4 \times 10 \times 6 = 240$.
पंचभुजों की कुल संख्या = $240 + 180 + 240 = 660$.

(C) $n$-भुजा वाले बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $p_n = \binom{n}{3}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए संबंध $p_{n+1} - p_n = 66$ में सूत्र रखने पर: $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 66$.
गुणधर्म $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{n}{2} = 66$ प्राप्त होता है।
संयोजन का विस्तार करने पर: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$,जो सरल होकर $n^2 - n = 132$ हो जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $n^2 - n - 132 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 12)(n + 11) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 12$.
$12$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2 \times 3^1$ है।
$12$ के भिन्न अभाज्य विभाजक $2$ और $3$ हैं।
इन अभाज्य विभाजकों का योग $2 + 3 = 5$ है।