Geometrical problems Questions in Hindi

(NONE) भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ पर आंतरिक बिंदुओं की संख्या क्रमशः $3, 5$ और $6$ है।
त्रिभुज के $3$ शीर्षों $A, B, C$ को शामिल करते हुए,कुल उपलब्ध बिंदुओं की संख्या $n = 3 + 5 + 6 + 3 = 17$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें इन $17$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा।
$3$ बिंदुओं का चयन करने के कुल तरीके $^{17}C_{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।
भुजा $AB$ पर बिंदुओं की संख्या $3 + 2 = 5$ है (शीर्ष $A$ और $B$ सहित)।
भुजा $BC$ पर बिंदुओं की संख्या $5 + 2 = 7$ है (शीर्ष $B$ और $C$ सहित)।
भुजा $CA$ पर बिंदुओं की संख्या $6 + 2 = 8$ है (शीर्ष $C$ और $A$ सहित)।
घटाए जाने वाले त्रिभुजों की संख्या = $^{5}C_{3} + ^{7}C_{3} + ^{8}C_{3} = 10 + 35 + 56 = 101$ है।
त्रिभुजों की कुल संख्या = $680 - 101 = 579$।

(B) $64$ वर्गों में से $2$ वर्गों को चुनने के कुल तरीके ${}^{64}C_{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{64}C_{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 32 \times 63 = 2016$.
सामान्य भुजा वाले वर्गों के जोड़ों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर आसन्न जोड़ों की गणना करते हैं।
$8$ वर्गों की प्रत्येक पंक्ति में,आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े हैं। चूंकि $8$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए कुल $8 \times 7 = 56$ क्षैतिज जोड़े हैं।
इसी तरह,$8$ वर्गों के प्रत्येक स्तंभ में,आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े हैं। चूंकि $8$ स्तंभ हैं,इसलिए कुल $8 \times 7 = 56$ ऊर्ध्वाधर जोड़े हैं।
सामान्य भुजा वाले कुल जोड़े $= 56 + 56 = 112$.
प्रायिकता $= \frac{112}{2016} = \frac{112}{32 \times 63} = \frac{16}{32 \times 9} = \frac{1}{2 \times 9} = \frac{1}{18}$.

(C) $15$ बिंदुओं द्वारा निर्मित कुल त्रिभुजों की संख्या ${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ है।
हमें उन त्रिभुजों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है,जहाँ $1 \leq i < j < k \leq 15$ है।
सबसे पहले,हम उन $(i, j, k)$ के समूहों की संख्या गिनते हैं जिनके लिए $i+j+k = 15$ है,जहाँ $1 \leq i < j < k$ है।
- यदि $i=1$: $j+k=14$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8)$ हैं। ($5$ स्थितियाँ)
- यदि $i=2$: $j+k=13$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7)$ हैं। ($4$ स्थितियाँ)
- यदि $i=3$: $j+k=12$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(4, 8), (5, 7)$ हैं। ($2$ स्थितियाँ)
- यदि $i=4$: $j+k=11$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(5, 6)$ है। ($1$ स्थिति)
$i+j+k=15$ वाली कुल स्थितियाँ $5+4+2+1 = 12$ हैं।
अतः,उन त्रिभुजों की संख्या जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है,$455 - 12 = 443$ है।

(A) $n$-भुजीय नियमित बहुभुज में $N = \frac{n(n-3)}{2}$ विकर्ण होते हैं।
$n = 15$ के लिए,विकर्णों की कुल संख्या $N = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90$ है।
सबसे छोटे विकर्ण एक शीर्ष द्वारा अलग किए गए शीर्षों को जोड़ते हैं। ऐसे $15$ विकर्ण हैं।
सबसे लंबे विकर्ण $\frac{n-1}{2}$ शीर्षों द्वारा अलग किए गए शीर्षों को जोड़ते हैं। ऐसे $15$ विकर्ण हैं।
जो विकर्ण न तो सबसे छोटे हैं और न ही सबसे लंबे,उनकी संख्या $90 - (15 + 15) = 90 - 30 = 60$ है।
प्रायिकता $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ है।

(B) मान लीजिए कि समलंब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई $p, q, r, s$ है,जहाँ $p$ और $r$ समांतर भुजाएँ हैं $(p > r)$ और $q, s$ असमांतर भुजाएँ हैं।
समलंब चतुर्भुज के अस्तित्व के लिए शर्त $|p - r| < q + s < p + r$ संतुष्ट होनी चाहिए।
हमें $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $4$ अलग-अलग लंबाई चुननी है।
$p$ और $r$ को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{6}{2} = 15$ है।
प्रत्येक जोड़ी $(p, r)$ के लिए,हमें शेष $4$ संख्याओं में से $q$ और $s$ को इस प्रकार चुनना है कि $|p - r| < q + s < p + r$ हो।
सभी संयोजनों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि चार अलग-अलग भुजाओं की लंबाई के $11$ ऐसे सेट हैं जो समलंब चतुर्भुज बनाने की शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,ऐसे कुल $11$ समलंब चतुर्भुज बनाए जा सकते हैं।

(C) माना भुजाओं की लंबाई का समुच्चय $S = \{10, 11, \ldots, 22\}$ है। $S$ में अवयवों की संख्या $n = 13$ है।
त्रिभुज की भुजाओं $a, b, c \in S$ के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $a+b > c$,$a+c > b$,और $b+c > a$ होना चाहिए। यदि $a \le b \le c$ लें,तो यह $a+b > c$ के समतुल्य है।
कुल त्रिभुजों की संख्या:
$1$. समबाहु त्रिभुज $(a=b=c)$: $13$ विकल्प हैं।
$2$. समद्विबाहु त्रिभुज: $152$ त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
$3$. विषमबाहु त्रिभुज: $283$ त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
कुल त्रिभुजों की संख्या $= 283 + 152 + 13 = 448$.

(A) $(0,0)$ और $(a,b)$ से गुजरने वाली रेखा में $S$ का केवल एक अन्य बिंदु होता है यदि और केवल यदि $\gcd(a, b) = 1$ हो।
हम उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं जहाँ $0 \leq a, b \leq 18$,$(a, b) \neq (0,0)$,और $\gcd(a, b) = 1$ हो।
दिए गए विकल्पों और समाधान पद्धति के अनुसार,सही उत्तर $34$ है।

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के लिए,आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 10$ के लिए,आंतरिक कोणों का योग $(10-2) \times 180^{\circ} = 8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ है।
मान लीजिए $k$ प्रतिवर्ती कोणों (कोण $> 180^{\circ}$) की संख्या है और $m$ गैर-प्रतिवर्ती कोणों (कोण $\le 180^{\circ}$) की संख्या है।
हमारे पास $k + m = 10$ है।
$k$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $k \times 360^{\circ}$ से कम होता है लेकिन $k \times 180^{\circ}$ से अधिक होना चाहिए।
$m$ गैर-प्रतिवर्ती कोणों का योग $0^{\circ}$ से अधिक और $m \times 180^{\circ}$ से कम या उसके बराबर होता है।
कुल योग $1440^{\circ}$ है।
यदि $k = 8$ है,तो प्रतिवर्ती कोणों का योग कम से कम $8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ होगा,जो शेष $2$ कोणों के लिए $0^{\circ}$ छोड़ता है,जो एक बहुभुज के लिए असंभव है।
यदि $k = 7$ है,तो $7$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $> 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}$ है। शेष $3$ कोणों का योग $1440^{\circ} - (7 \text{ प्रतिवर्ती कोणों का योग})$ होगा। चूंकि $7$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $1260^{\circ}$ से थोड़ा अधिक हो सकता है,इसलिए शेष $3$ कोण धनात्मक हो सकते हैं और उनका योग $180^{\circ}$ से कम हो सकता है।
अतः,$k$ का अधिकतम मान $7$ है।

(D) $n=5$ टीमों के टूर्नामेंट में,खेले गए खेलों की कुल संख्या $\binom{5}{2} = 10$ है। प्रत्येक खेल में विजेता को $1$ अंक और हारने वाले को $0$ अंक मिलता है,इसलिए अंकों का योग $10$ है। मान लीजिए टीमों के स्कोर $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$ हैं। हम जानते हैं कि $\sum s_i = 10$ है।
विकल्प $(d)$ कहता है: "अधिकतम चार टीमें ऐसी हैं जिनके पास अधिकतम दो अंक हैं।"
उस स्थिति पर विचार करें जहाँ सभी टीमों के अंक समान हैं: $s_1=s_2=s_3=s_4=s_5=2$।
यहाँ,सभी $5$ टीमों के पास अधिकतम $2$ अंक हैं।
चूंकि $5 > 4$,इसलिए "अधिकतम चार टीमों के पास अधिकतम दो अंक हैं" कथन इस स्थिति के लिए गलत है।
अतः,$(d)$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(D) एक आयत नियमित बहुभुज के उन दो विकर्णों से बनता है जो केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,जहाँ $n$ सम है,ऐसे आयतों की संख्या व्यास के जोड़ों की संख्या द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 12$,इसलिए व्यास (केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण) की संख्या $\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6$ है।
इन $6$ व्यासों में से कोई भी दो व्यास एक आयत बनाते हैं।
अतः,आयतों की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।

(D) $7$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
एक नियमित $7$-भुजा वाले बहुभुज के लिए,एक शीर्ष $A$ पर विचार करें। हम $A$ को शीर्ष मानकर समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं,जिसमें शेष दो शीर्ष $A$ से समान दूरी पर हों। प्रत्येक शीर्ष के लिए,ऐसी $3$ जोड़ियाँ मिलती हैं,जो $3$ समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं।
चूंकि कुल $7$ शीर्ष हैं,इसलिए समद्विबाहु त्रिभुजों की कुल संख्या $7 \times 3 = 21$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ है।

(C) योग $S = \sum \limits_{1 \leq j < i \leq n} (i-j)$ द्वारा दिया गया है।
हम प्रत्येक अंतर $k = i-j$ के आने की संख्या की गणना करके इस योग को फिर से लिख सकते हैं।
एक निश्चित अंतर $k$ के लिए,जहाँ $1 \leq k \leq n-1$,जोड़े $(j, i)$ इस प्रकार हैं कि $i-j = k$ का मान $(1, 1+k), (2, 2+k), \ldots, (n-k, n)$ है।
ऐसे कुल $(n-k)$ जोड़े हैं।
अतः,कुल योग $S = \sum \limits_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ है।
$S = n \sum \limits_{k=1}^{n-1} k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^2$.
सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = n-1$:
$S = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n-1)}{6} [3n - (2n-1)] = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
चूँकि ${ }^{n+1} C_3 = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$,इसलिए योग ${ }^{n+1} C_3$ के बराबर है।

(C) मान लीजिए कि दिए गए विषमबाहु त्रिभुज $T$ के शीर्ष $P, Q, R$ हैं। हम उन बिंदुओं $A$ की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ हो,जहाँ शीर्ष दिए गए क्रम में हों।
एक निश्चित रेखाखंड $BC$ और एक निश्चित त्रिभुज $T$ (भुजाओं $p, q, r$ के साथ) के लिए,समरूपता $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ का अर्थ है कि भुजाओं का अनुपात $AB/PQ = BC/QR = AC/PR$ निश्चित है।
$\triangle ABC$ के शीर्षों और $\triangle PQR$ के शीर्षों के प्रत्येक क्रमित पत्राचार के लिए,बिंदु $A$ के लिए $2$ संभावित स्थान हैं (रेखा $BC$ के दोनों ओर एक-एक)।
चूंकि $\triangle PQR$ के शीर्षों को $\triangle ABC$ के शीर्षों के साथ मिलाने के $3! = 6$ संभावित क्रमपरिवर्तन हैं,और प्रत्येक मिलान के लिए $A$ के $2$ संभावित स्थान हैं,इसलिए बिंदु $A$ की कुल संख्या $6 \times 2 = 12$ होगी।

(D) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ के योग को न्यूनतम करने के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ से भिन्न संख्याएँ हैं,हमें अंश $a$ और $c$ के लिए सबसे छोटे संभव मान और हर $b$ और $d$ के लिए सबसे बड़े संभव मान चुनने चाहिए।
समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
यदि हम $a=1, c=2$ और $b=9, d=8$ चुनते हैं,तो योग $\frac{1}{9} + \frac{2}{8} = \frac{13}{36} = \frac{26}{72}$ होता है।
यदि हम $a=2, c=1$ और $b=9, d=8$ चुनते हैं,तो योग $\frac{2}{9} + \frac{1}{8} = \frac{16+9}{72} = \frac{25}{72}$ होता है।
अतः,न्यूनतम मान $\frac{25}{72}$ है।

(B) मान लीजिए कि $10$ बिंदु एक उत्तल दशभुज (convex decagon) के शीर्षों के रूप में व्यवस्थित हैं। दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा शेष $8$ बिंदुओं को $4-4$ बिंदुओं के दो समूहों में विभाजित करती है यदि और केवल यदि वह रेखा एक विकर्ण है जो एक तरफ $4$ शीर्षों और दूसरी तरफ $4$ शीर्षों को छोड़ती है।
क्रम में $1, 2, \dots, 10$ लेबल वाले शीर्षों के साथ एक उत्तल दशभुज में,ऐसी रेखा शीर्ष $i$ को शीर्ष $i+5$ से जोड़ती है (जहाँ सूचकांक $10$ के मापांक में लिए जाते हैं)।
संभावित रेखाएँ $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), \text{ और } (5, 10)$ हैं।
अतः,ऐसी ठीक $5$ रेखाएँ हैं।

(A) $t_n$,$\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से चुनी गई भिन्न पूर्णांक भुजाओं वाले त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है।
$t_{20} - t_{19}$ उन त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है जिनकी भुजाएँ $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ से चुनी गई हैं और सबसे बड़ी भुजा $20$ है।
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $x, y, 20$ हैं जहाँ $x < y < 20$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$x + y > 20$ है।
चूँकि $y < 20$ है,$y$ के संभावित मान $11$ से $19$ तक हैं।
एक निश्चित $y$ के लिए,सबसे छोटी भुजा $x$ को $20 - y < x < y$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इस प्रकार,$x$ के संभावित मानों की संख्या $2y - 20$ है।
$y = 11, 12, \ldots, 19$ के लिए योग करने पर:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{20} - t_{19} = 81$ है।

(C) हम छह अंकों की ऐसी संख्याएँ $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6$ ढूँढ रहे हैं कि $1 \le x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 \le 9$ हो। ऐसी कुल संख्याएँ $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84$ हैं।
$72^{\text{th}}$ संख्या ज्ञात करने के लिए,हम विशिष्ट अंकों से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना करते हैं:
- $1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $\binom{8}{5} = 56$ संख्याएँ।
- $23$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $\binom{6}{4} = 15$ संख्याएँ।
अब तक गिनी गई कुल संख्याएँ: $56 + 15 = 71$।
$71^{\text{st}}$ संख्या $23$ से शुरू होने वाली अंतिम संख्या है,जो $235678$ है।
$72^{\text{nd}}$ संख्या $24$ से शुरू होने वाली पहली संख्या है,जो $245678$ है।
अंकों का योग $2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 32$ है।

(D) माना जोड़ों की संख्या $n$ है। व्यक्तियों की कुल संख्या $2n$ है।
मैच बनाने के लिए,हम $n$ में से $2$ जोड़ों को ${}^nC_2$ तरीकों से चुनते हैं।
प्रत्येक चुने गए $2$ जोड़ों में से,हम विपरीत लिंग के $1$ व्यक्ति को $2 \times 2 = 4$ तरीकों से चुनते हैं।
अतः,मैचों की संख्या ${}^nC_2 \times 4 = 840$ है।
${}^nC_2 = \frac{840}{4} = 210$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n-1) = 420$.
चूंकि $21 \times 20 = 420$,इसलिए $n = 21$ है।
कुल व्यक्ति $= 2n = 2 \times 21 = 42$.

(B) कुल $20$ रेखाएँ हैं। मान लीजिए $S_1 = \{L_1, L_3, \ldots, L_{19}\}$ $10$ समांतर रेखाओं का समुच्चय है और $S_2 = \{L_2, L_4, \ldots, L_{20}\}$ एक सामान्य बिंदु $P$ से गुजरने वाली $10$ रेखाओं का समुच्चय है।
रेखाओं के युग्मों की कुल संख्या $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ है।
चूंकि $S_1$ की $10$ रेखाएँ समांतर हैं,वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। अतः,हम $\binom{10}{2} = 45$ प्रतिच्छेदन बिंदु खो देते हैं।
चूंकि $S_2$ की $10$ रेखाएँ बिंदु $P$ पर संगामी हैं,वे $\binom{10}{2} = 45$ अलग-अलग बिंदुओं के बजाय केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हम $45 - 1 = 44$ प्रतिच्छेदन बिंदु खो देते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या $190 - 45 - 44 = 101$ है।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $n = 5 + 6 + 7 = 18$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $18$ में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा,जिसे $^{18}C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा $AB$ पर $5$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{5}C_3$ है।
भुजा $BC$ पर $6$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{6}C_3$ है।
भुजा $CA$ पर $7$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{7}C_3$ है।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $^{18}C_3 - (^{5}C_3 + ^{6}C_3 + ^{7}C_3)$।
गणना: $^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$।
$^{5}C_3 = 10$,$^{6}C_3 = 20$,$^{7}C_3 = 35$।
कुल त्रिभुज = $816 - (10 + 20 + 35) = 816 - 65 = 751$।

(C) एक अष्टभुज के $8$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
माना $S$ सभी त्रिभुजों का समुच्चय है। माना $A$ उन त्रिभुजों का समुच्चय है जिनकी कम से कम एक भुजा अष्टभुज के साथ उभयनिष्ठ है।
अष्टभुज के साथ ठीक एक भुजा उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $n(n-3) = 8 \times (8-3) = 8 \times 5 = 40$ है।
अष्टभुज के साथ ठीक दो भुजाएँ उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $n = 8$ है।
अष्टभुज के साथ कम से कम एक भुजा उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $40 + 8 = 48$ है।
अष्टभुज के साथ कोई भी भुजा उभयनिष्ठ न रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $56 - 48 = 16$ है।

(C) $n$ बिंदुओं को जोड़कर बनने वाले कुल रेखाखंडों की संख्या $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों की संख्या (जो $n$-भुजा वाले बहुभुज की भुजाएँ बनाते हैं) $n$ है।
गैर-आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों की संख्या (जो बहुभुज के विकर्ण हैं) $\binom{n}{2} - n$ है।
प्रश्न के अनुसार,नीले रेखाखंडों (आसन्न) की संख्या लाल रेखाखंडों (गैर-आसन्न) की संख्या के बराबर है:
$n = \binom{n}{2} - n$
$2n = \frac{n(n-1)}{2}$
$4n = n^2 - n$
$n^2 - 5n = 0$
$n(n - 5) = 0$
चूंकि $n \geq 2$ है,इसलिए $n = 5$ है।

(D) माना पंक्तियों $R_1, R_2, R_3$ में खानों की संख्या क्रमशः $n_1=3, n_2=3, n_3=2$ है। कुल खाने $n=8$ हैं।
हमें $5$ अलग-अलग अक्षरों को $8$ खानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी पंक्ति खाली न रहे।
$8$ खानों में $5$ अक्षरों को रखने के कुल तरीके $P(8, 5) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ हैं।
माना $S_1, S_2, S_3$ उन तरीकों के समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः पंक्तियाँ $R_1, R_2, R_3$ खाली हैं।
हमें $Total - |S_1 \cup S_2 \cup S_3|$ ज्ञात करना है।
$|S_1|$: $R_1$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-3=5$ खानों में रखने के तरीके: $P(5, 5) = 120$।
$|S_2|$: $R_2$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-3=5$ खानों में रखने के तरीके: $P(5, 5) = 120$।
$|S_3|$: $R_3$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-2=6$ खानों में रखने के तरीके: $P(6, 5) = 720$।
$|S_1 \cap S_2|$: $R_1, R_2$ खाली,$5$ अक्षरों को $2$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_1 \cap S_3|$: $R_1, R_3$ खाली,$5$ अक्षरों को $3$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_2 \cap S_3|$: $R_2, R_3$ खाली,$5$ अक्षरों को $3$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_1 \cap S_2 \cap S_3|$: सभी पंक्तियाँ खाली: $0$ तरीके।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| = (|S_1| + |S_2| + |S_3|) - (|S_1 \cap S_2| + |S_1 \cap S_3| + |S_2 \cap S_3|) + |S_1 \cap S_2 \cap S_3| = (120 + 120 + 720) - 0 = 960$।
आवश्यक तरीके = $6720 - 960 = 5760$।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $1 + 12 + 9 = 22$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
बिंदु $O, P_1, \ldots, P_{12}$ रेखा $L_1$ पर संरेख हैं,और $O, Q_1, \ldots, Q_9$ रेखा $L_2$ पर संरेख हैं।
$22$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{22}{3} = 1540$ हैं।
हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ $3$ बिंदु संरेख हैं:
$1$. $L_1$ पर $3$ बिंदु: $\binom{13}{3} = 286$।
$2$. $L_2$ पर $3$ बिंदु: $\binom{10}{3} = 120$।
कुल त्रिभुज = $1540 - 286 - 120 = 1134$।

(D) $12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3$ हैं।
चूँकि $5$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनसे चुने गए $3$ बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
इन $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{5}C_3$ हैं।
अतः,बनने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या = $^{12}C_3 - ^{5}C_3$ है।
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$।
$^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$।
कुल त्रिभुज = $220 - 10 = 210$।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सभी संभावित युग्मों पर विचार करते हैं:
$1$. $8$ रेखाओं का आपस में प्रतिच्छेदन: बिंदुओं की अधिकतम संख्या $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ है।
$2$. $4$ वृत्तों का आपस में प्रतिच्छेदन: वृत्तों का प्रत्येक युग्म $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। युग्मों की संख्या $^4C_2 = 6$ है। अतः,$6 \times 2 = 12$ बिंदु।
$3$. $8$ रेखाओं और $4$ वृत्तों का प्रतिच्छेदन: प्रत्येक रेखा प्रत्येक वृत्त को $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती है। अतः,$8 \times 4 \times 2 = 64$ बिंदु।
कुल बिंदु = $28 + 12 + 64 = 104$।

(B) $n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = {}^{n}C_3$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{n+1} - T_n = 21$ के अनुसार,हम सूत्र प्रतिस्थापित करते हैं:
${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 21$.
सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = {}^{n}C_2$.
अतः,${}^{n}C_2 = 21$.
संयोजन सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n^2 - n - 42 = 0$.
$(n-7)(n+6) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है.

(B) $20$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर त्रिभुज बनाने के कुल तरीके $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
बहुभुज की किसी भी भुजा का उपयोग न करने वाले त्रिभुजों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल त्रिभुजों में से $1$ भुजा और $2$ भुजाओं का उपयोग करने वाले त्रिभुजों को घटाते हैं।
ठीक $2$ भुजाओं का उपयोग करने वाले त्रिभुजों की संख्या शीर्षों की संख्या के बराबर यानी $20$ है।
ठीक $1$ भुजा का उपयोग करने वाले त्रिभुजों की संख्या $20$ भुजाओं में से $1$ भुजा चुनकर ($20$ तरीके) और शेष शीर्षों में से ऐसा शीर्ष चुनकर मिलती है जो चुनी गई भुजा के आसन्न न हो। ऐसे $16$ शीर्ष हैं।
अतः,$1$ भुजा वाले त्रिभुज = $20 \times 16 = 320$.
किसी भी भुजा का उपयोग न करने वाले कुल त्रिभुज = $1140 - 320 - 20 = 800$.

(A) चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें $11$ में से $4$ बिंदु इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी $3$ बिंदु संरेख न हों।
$11$ में से $4$ बिंदु चुनने के कुल तरीके $^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$ हैं।
हालाँकि,यदि हम $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ या $4$ बिंदु चुनते हैं,तो वे चतुर्भुज नहीं बनाएंगे।
$5$ संरेख बिंदुओं में से $4$ बिंदु चुनने के तरीके $^{5}C_4 = 5$ हैं।
$5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ और शेष $6$ बिंदुओं में से $1$ बिंदु चुनने के तरीके $^{5}C_3 \times ^{6}C_1 = 10 \times 6 = 60$ हैं।
कुल अमान्य चयन = $5 + 60 = 65$।
चतुर्भुजों की संख्या = $330 - 65 = 265$।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2} = 44$ है।
यह दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 11$ है।

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{6}C_{3} = 20$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज तब बनता है जब हम नियमित षट्भुज के एकांतर शीर्षों को चुनते हैं।
नियमित षट्भुज में समबाहु त्रिभुज बनाने वाले शीर्षों के समुच्चय $\{1, 3, 5\}$ और $\{2, 4, 6\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 2$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(D) माना शीर्षों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $3$ दी गई है।
अतः,सरल ग्राफ के सभी शीर्षों की डिग्री का योग $3n$ होगा।
हैंडशेकिंग लेम्मा के अनुसार,सभी शीर्षों की डिग्री का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है:
$\sum \text{deg}(v) = 2 \times |E|$
$3n = 2 \times 24$
$3n = 48$
$n = \frac{48}{3}$
$n = 16$
अतः,शीर्षों की संख्या $16$ है।

(B) एक अष्टभुज में $n = 8$ भुजाएँ होती हैं।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
सूत्र में $n = 8$ रखने पर:
$\text{विकर्णों की संख्या} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
अतः,विकर्णों की संख्या $20$ है।

(B) $6$ पुरुषों को एक पंक्ति में $6!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है। अब,उनके द्वारा बनाई गई $7$ रिक्तियों में $6$ महिलाओं को $7_{P_6}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore x = 6! \times 7_{P_6} = 6! \times 7!$
$6$ पुरुषों को एक वृत्त में $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है। अब,उनके द्वारा बनाई गई $6$ रिक्तियों में $6$ महिलाओं को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore y = 5! \times 6!$
अब,$x: y = (6! \times 7!) : (5! \times 6!) = 7! : 5!$
$\Rightarrow x: y = (7 \times 6 \times 5!) : 5! = 42: 1$

(D) '$QUESTION$' शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं।
प्रतिदर्श समष्टि में कुल व्यवस्थाओं की संख्या $n(S) = 8!$ है।
अनुकूल परिणामों $n(E)$ को खोजने के लिए,हम $Q$ और $S$ को इस प्रकार रखते हैं कि उनके बीच ठीक दो अक्षर हों।
$(Q, S)$ या $(S, Q)$ के लिए संभावित स्थान $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$ हैं।
ऐसे $5$ स्थानों के जोड़े हैं,और प्रत्येक जोड़े के लिए,$Q$ और $S$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $6$ अक्षरों को शेष $6$ स्थानों पर $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$n(E) = 5 \times 2! \times 6!$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5 \times 2 \times 6!}{8!} = \frac{10 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$.

(B) माना पुरुषों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (n \times 2) = 4n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n(n-1) - 4n = 66$.
$n^2 - n - 4n = 66 \Rightarrow n^2 - 5n - 66 = 0$.
$(n-11)(n+6) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$.
कुल प्रतिभागी = $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

(B) वृत्त पर बिंदुओं की संख्या $n = 21$ है।
एक जीवा वृत्त पर किन्हीं $2$ अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने से बनती है।
इसलिए,जीवाओं की संख्या संचय (combination) के सूत्र $^nC_r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r = 2$ है।
$^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210$.
अतः,एक वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से $210$ जीवाएँ खींची जा सकती हैं।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के $n$ शीर्षों को जोड़ने पर प्राप्त रेखाखंडों की संख्या ${}^nC_2$ है।
इनमें से $n$ रेखाखंड बहुभुज की भुजाएँ हैं।
अतः,विकर्णों की संख्या ${}^nC_2 - n$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $560$ है,इसलिए:
${}^nC_2 - n = 560$
$\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} - n = 560$
$\Rightarrow n^2 - n - 2n = 1120$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 1120 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(n - 35)(n + 32) = 0$
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 35$.

(C) $n \times n$ ग्रिड पर आयतों की कुल संख्या (वर्गों सहित) $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ द्वारा दी जाती है।
$n \times n$ ग्रिड पर वर्गों की कुल संख्या $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दी जाती है।
उन आयतों की संख्या जो वर्ग नहीं हैं,$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 350$ है।
$n=6$ के लिए:
$\left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 21^2 - 91 = 441 - 91 = 350$.
अतः,$n=6$ है।
वर्गों की कुल संख्या $n^2 = 6^2 = 36$ है।
चूंकि शतरंज बोर्ड में काले और सफेद वर्गों की संख्या समान होती है,इसलिए सफेद वर्गों की संख्या $\frac{36}{2} = 18$ है।

(C) शतरंज बोर्ड एक $8 \times 8$ ग्रिड है,जिसमें $9$ क्षैतिज रेखाएँ और $9$ ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं।
एक आयत बनाने के लिए,हमें $9$ में से $2$ क्षैतिज रेखाएँ और $9$ में से $2$ ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुननी होंगी।
$2$ क्षैतिज रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_2$ है।
$2$ ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_2$ है।
इसलिए,आयतों की कुल संख्या $^9C_2 \times ^9C_2$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) मान लीजिए शतरंज बोर्ड का आकार $n \times n$ है। $n \times n$ ग्रिड पर आयतों की संख्या $\binom{n+1}{2} \times \binom{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 1296 = (36)^2$.
अतः,$\frac{n(n+1)}{2} = 36$,जिसका अर्थ है $n(n+1) = 72$,इसलिए $n = 8$.
$n \times n$ बोर्ड पर वर्गों की कुल संख्या $\sum_{k=1}^{n} k^2$ है।
$n = 8$ के लिए,योग $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2$ है।
सूत्र $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 4 \times 3 \times 17 = 204$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $n = 20$ सीधी रेखाएँ एक समतल में हैं,जहाँ कोई भी दो समांतर नहीं हैं और कोई भी तीन संगामी नहीं हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ है।
माना $I = 190$ प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है।
इन $I$ बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले कुल रेखाखंडों की संख्या $\binom{190}{2}$ है।
हालाँकि,हमें उन रेखाखंडों को घटाना होगा जो मूल $20$ रेखाओं पर स्थित हैं।
प्रत्येक रेखा पर $n-1 = 19$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। एक रेखा पर बनने वाले रेखाखंडों की संख्या $\binom{19}{2}$ है।
अतः,$20$ रेखाओं के लिए घटाए जाने वाले रेखाखंडों की संख्या $20 \times \binom{19}{2} = 20 \times 171 = 3420$ है।
नए बनने वाले रेखाखंडों की संख्या $\binom{190}{2} - 3420 = 17955 - 3420 = 14535$ है।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $n = 5 + 7 + 9 = 21$ है। \\ $21$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ हैं। \\ यदि $3$ बिंदु संरेख (collinear) हैं तो त्रिभुज नहीं बन सकता है। \\ संरेख बिंदु वे हैं जो एक ही रेखा पर स्थित हैं: \\ $L_1$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{5}C_3 = 10$। \\ $L_2$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{7}C_3 = 35$। \\ $L_3$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{9}C_3 = 84$। \\ कुल त्रिभुज = $1330 - (10 + 35 + 84) = 1330 - 129 = 1201$।

(C) $t_n$ एक समतल में $n$ बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है,जहाँ कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं।
अतः,$t_n = {}^{n}C_3$.
दिया गया है कि $t_{n+1} - t_n = 36$.
सूत्र का उपयोग करने पर: ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 36$.
${}^{n+1}C_r = {}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है ${}^{n}C_2 = 36$.
इसलिए,$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 9$।

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें,जिसे $2! = 2$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह $3$ रिक्त स्थान (गैप) बनाता है (पहली लड़की से पहले,लड़कियों के बीच में,और दूसरी लड़की के बाद) जैसा कि दिखाया गया है: $\_ G \_ G \_$.
हमें इन $3$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कों को बैठाना है। $3$ लड़कों को $3$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$ है।

(D) एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठे $15$ व्यक्तियों में से $3$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^{15}C_3$ हैं।
एक स्थान पर एक साथ बैठने वाले $3$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या $15$ है।
आवश्यक तरीकों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$^{15}C_3 - 15 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} - 15$
$= (5 \times 7 \times 13) - 15$
$= 455 - 15 = 440$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $275$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{50}{2} = 25$ है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 25$ है।