Mathematical logic Questions in Hindi

(C) दिए गए कथन हैं:
$p$: बारिश हो रही है
$q$: मौसम सुहावना है
कथन "न तो बारिश हो रही है और न ही मौसम सुहावना है" का अर्थ है "बारिश नहीं हो रही है और मौसम सुहावना नहीं है".
इसे $(\sim p) \wedge (\sim q)$ के रूप में लिखा जा सकता है.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) $p \wedge (q \rightarrow r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम और निहितार्थ (implication) के गुणों का उपयोग करते हैं:
$\sim [p \wedge (q \rightarrow r)]$
चूंकि $q \rightarrow r \equiv \sim q \vee r$,इसलिए:
$\equiv \sim [p \wedge (\sim q \vee r)]$
डी मॉर्गन का नियम $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee \sim (\sim q \vee r)$
पुनः डी मॉर्गन का नियम $\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$ लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee (q \wedge \sim r)$

(C) माना $p: -7$ एक पूर्णांक है।
माना $q: \sqrt{-7}$ एक सम्मिश्र संख्या है।
$S_1$ का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
$S_2$ का तार्किक रूप $\sim p \lor q$ है।
हम जानते हैं कि $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$ होता है।
अतः,$S_1$ और $S_2$ समतुल्य कथन हैं।

(C) माना $p: 3+6 > 8$ और $q: 2+3 < 6$ है।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \wedge q$ है।
निषेध के नियम (डी मॉर्गन नियम) के अनुसार,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का मान $3+6 \leq 8$ है और $\sim q$ का मान $2+3 \geq 6$ है।
अतः,सही निषेध $3+6 \leq 8 \text{ या } 2+3 \geq 6$ है।

(C) माना $p$: दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
$q$: उनके क्षेत्रफल समान हैं।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
दिए गए कथन का प्रतिलोम (Inverse) $\sim p \rightarrow \sim q$ है।
प्रतिलोम का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ अर्थात $q \rightarrow p$ है।
अतः,कथन है: यदि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं,तो वे सर्वांगसम हैं।

(D) दिया गया कथन: $\sim p \rightarrow q$ है।
कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ होता है।
अतः,$\sim p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim(\sim p) \rightarrow \sim q$ है,जो $p \rightarrow \sim q$ के रूप में सरल होता है।
एक निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge (\sim B)$ होता है।
इस प्रकार,$p \rightarrow \sim q$ का निषेध $p \wedge \sim(\sim q)$ है,जो $p \wedge q$ के रूप में सरल होता है।

(D) दिया गया कथन $\forall x \in N, P(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x)$ कथन '$x^2+x$ एक सम संख्या है' है।
सार्वत्रिक क्वांटिफायर कथन $\forall x, P(x)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम $\sim(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \sim P(x)$ नियम का उपयोग करते हैं।
यहाँ,'$x^2+x$ एक सम संख्या है' का निषेध '$x^2+x$ एक सम संख्या नहीं है' है।
अतः,कथन का निषेध $\exists x \in N$ इस प्रकार है कि $x^2+x$ एक सम संख्या नहीं है।

(D) माना $p$: बारिश हो रही है और $q$: मौसम सुहावना है।
दिया गया कथन "यह सत्य नहीं है कि,यदि बारिश हो रही है तो मौसम सुहावना नहीं है" है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $\sim(p \rightarrow \sim q)$ के रूप में लिखा जाता है।
तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$।
चूंकि $\sim(\sim q) \equiv q$,इसलिए व्यंजक $p \wedge q$ में सरल हो जाता है।
अतः,कथन "बारिश हो रही है और मौसम सुहावना है" है।

(D) एक कथन पैटर्न पुनरुक्ति (tautology) होता है यदि उसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए उसका सत्य मान $T$ हो।
दिए गए सत्यता सारणी के आधार पर:
स्तंभ $9$,$S_{1} \equiv \sim p \rightarrow (q \leftrightarrow p)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, T, F, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $10$,$S_{2} \equiv \sim p \vee \sim q$ को दर्शाता है। इसके मान $F, T, T, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $11$,$S_{3} \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, F, F, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $12$,$S_{4} \equiv (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, T, T, T$ हैं।
चूंकि स्तंभ $12$ में सभी प्रविष्टियाँ $T$ हैं,इसलिए $S_{4}$ एक पुनरुक्ति है।

(A) कथन पैटर्न की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \vee q$ | $(p \vee q) \wedge \sim p$ | $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी प्रविष्टियाँ $F$ (असत्य) हैं,इसलिए यह कथन पैटर्न एक व्याघात (contradiction) है.

(A) एक कथन पैटर्न एक विरोधाभास है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान $F$ हो।
हम $S_{1} \equiv (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \sim q)$ का विश्लेषण करते हैं।
तार्किक नियमों का उपयोग करते हुए:
$S_{1} \equiv (\sim p \vee q) \wedge (p \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv [(\sim p \vee q) \wedge p] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [(\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [F \vee (p \wedge q)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv (p \wedge q) \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv p \wedge (q \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv p \wedge F$
$S_{1} \equiv F$
चूंकि सत्य मान हमेशा $F$ है,इसलिए $S_{1}$ एक विरोधाभास है।

(B) किसी कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$1$. अस्तित्ववाचक क्वांटिफायर $\exists$ (अस्तित्व में है) को सार्वत्रिक क्वांटिफायर $\forall$ (सभी के लिए) से बदलें।
$2$. असमिका चिह्न $>$ को उसके निषेध $\leq$ से बदलें।
अतः,$\exists x \in A$ इस प्रकार है कि $x+5 > 8$ का निषेध $\forall x \in A, \quad x+5 \leq 8$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन एक पुनरुक्ति है,हम प्रत्येक कथन पैटर्न के लिए एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
यदि कोई कथन अपने घटक कथनों के सभी संभावित सत्यता मानों के लिए $T$ है,तो वह एक पुनरुक्ति है।
$S_2 \equiv [p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $p \wedge (p \rightarrow q)$ | $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
चूंकि $S_2$ के अंतिम कॉलम में सभी प्रविष्टियाँ $T$ हैं,इसलिए $S_2$ एक पुनरुक्ति है।

(C) कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$t$ को $c$ से और $c$ को $t$ से बदलते हैं।
दिया गया कथन पैटर्न: $\sim p \wedge (q \vee t)$ है।
$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से और $t$ को $c$ से बदलने पर:
द्वैत $\sim p \vee (q \wedge c)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\sim(p \vee q) \vee(\sim p \wedge q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\sim p$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$।
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति),व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) परिपथ दो मुख्य समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में श्रेणीक्रम में स्विच $s_{1}$ और $s_{2}$ हैं,जिन्हें $(p \wedge q)$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $2$ में स्विच $s_{1}'$ (जो $\sim p$ है) श्रेणीक्रम में $s_{2}'$ $(\sim q)$,$s_{1}$ $(p)$,और $s_{3}$ $(r)$ के समानांतर संयोजन के साथ है।
यह समानांतर संयोजन $(\sim q \vee p \vee r)$ है।
अतः,प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge q) \vee [\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r)] \equiv \ell$ है।

(B) माना $p$: राजू साहसी है,और $q$: राजू भारतीय सेना में शामिल होगा।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है 'राजू भारतीय सेना में शामिल नहीं होता है' और $\sim p$ का अर्थ है 'राजू साहसी नहीं है'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि राजू भारतीय सेना में शामिल नहीं होता है,तो वह साहसी नहीं है'।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करते हुए:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim q \wedge \sim r)]$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim q \wedge \sim r \equiv \sim (q \vee r)$:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
वितरण नियम $p \wedge (A \vee \sim A) = p \wedge T$ लागू करने पर:
$p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
चूंकि $(q \vee r) \vee \sim (q \vee r) \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$p \wedge T = p$

(A) दिया गया व्यंजक $[\sim p \vee (p \wedge \sim q)] \vee q$ है।
वितरण नियम लागू करने पर:
$= [(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= [T \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee q$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee T$
$= T$
चूंकि परिणाम $T$ (tautology) है,इसलिए स्विच की स्थिति पर ध्यान दिए बिना धारा प्रवाहित होती है।

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
दिया गया है कि $(\sim p \wedge q) \rightarrow r$ असत्य है,इसलिए $(\sim p \wedge q) = T$ और $r = F$ होना चाहिए।
संयोजन $A \wedge B$ केवल तब सत्य होता है जब $A$ और $B$ दोनों सत्य हों।
इसलिए,$\sim p = T$ और $q = T$।
यदि $\sim p = T$ है,तो $p = F$ होगा।
अतः,सत्यता मान $p = F, q = T, r = F$ हैं।

(B) 'संदीप न तो चाय पसंद करता है और न ही कॉफी' कथन का अर्थ है 'संदीप चाय पसंद नहीं करता है और संदीप कॉफी पसंद नहीं करता है',जिसे $(\sim p \wedge \sim q)$ के रूप में दर्शाया गया है।
'लेकिन वह सॉफ्ट ड्रिंक का आनंद लेता है' वाक्यांश 'और संदीप सॉफ्ट ड्रिंक का आनंद लेता है' शर्त जोड़ता है,जिसे $\wedge r$ के रूप में दर्शाया गया है।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रतीकात्मक रूप $(\sim p \wedge \sim q) \wedge r$ प्राप्त होता है।

(B) माना $p:$ घास हरी है।
माना $q:$ जुलाई में बारिश होती है।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होता है।
अतः,यह कथन 'घास हरी नहीं है या जुलाई में बारिश होती है' के समतुल्य है।

(C) $\sim(p \wedge q)$ के लिए सत्यता मान ज्ञात करने के लिए,हम सत्यता सारणी इस प्रकार बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\sim(p \wedge q)$
$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

अंतिम कॉलम में प्रविष्टियाँ $F, T, T, T$ हैं।

(D) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
दिए गए विकल्पों के लिए सत्यता सारणी बनाने पर:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ | $p \vee \sim q$ | $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
अंतिम कॉलम में देखने पर,कथन $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ $p$ और $q$ के सभी संयोजनों के लिए सत्य है।
अतः,यह एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $p$ वह कथन है कि स्विच $S_{1}$ बंद है।
माना $q$ वह कथन है कि स्विच $S_{2}$ बंद है।
तब $\sim p$ स्विच $S_{1}'$ के बंद होने को दर्शाता है,और $\sim q$ स्विच $S_{2}'$ के बंद होने को दर्शाता है।
दिए गए परिपथ में:
$1$. ऊपरी शाखा में स्विच $S_{1}$ और $S_{2}$ समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee q)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. निचली शाखा में स्विच $S_{1}'$ और $S_{2}'$ श्रेणी में हैं,जिसे $(\sim p \wedge \sim q)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
अतः,परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \vee q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \equiv l$ है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन 'वह गरीब है' है और $q$ कथन 'वह खुश है' है।
दिए गए कथन 'वह गरीब है लेकिन खुश है' को तार्किक रूप में $p \wedge q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि संयोजन का निषेध डी मॉर्गन के नियम द्वारा दिया जाता है: $\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'वह गरीब नहीं है' और $\sim q$ का अर्थ है 'वह खुश नहीं है'।
अतः,निषेध 'वह गरीब नहीं है या वह खुश नहीं है' होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ इस तार्किक तुल्यता को दर्शाता है।

(B) दिया गया है: $p \equiv T, q \equiv T, r \equiv F$.
प्रत्येक विकल्प के सत्यता मान की जाँच करने पर:
$(A) (p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(B) (p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(C) (p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(D) (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
यहाँ $(B)$ और $(C)$ दोनों सत्य हैं।

(A) माना $p: 5 < 7$,$q: 7 > 2$,और $r: 5 > 2$ है।
दिया गया कथन $(p \wedge q) \rightarrow r$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge q)$ और $B = r$ है।
अतः,निषेध $(p \wedge q) \wedge \sim r$ होगा।
मान रखने पर: $(5 < 7 \wedge 7 > 2) \wedge \sim(5 > 2)$।
चूंकि $5 > 2$ का निषेध $5 \leq 2$ है,इसलिए अंतिम कथन $(5 < 7 \text{ और } 7 > 2) \text{ और } 5 \leq 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया कथन '$p \land q$' है,जहाँ '$p$: Mangoes are delicious' और '$q$: Mangoes are expensive' है।
तर्कशास्त्र में,'but' शब्द एक संयोजन के रूप में कार्य करता है,जो 'and' $(\land)$ के समतुल्य है।
किसी कथन का द्वैत (dual) 'and' $(\land)$ को 'or' $(\lor)$ से बदलकर और इसके विपरीत प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,'$p \land q$' का द्वैत '$p \lor q$' है।
अतः,द्वैत कथन 'Mangoes are delicious or Mangoes are expensive' है।

(A) वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$p \wedge (q \vee \sim p) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge \sim p)$
चूंकि $(p \wedge \sim p) \equiv F$ (व्याघात),व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$(p \wedge q) \vee F$
तत्समक नियम के अनुसार,$(p \wedge q) \vee F \equiv p \wedge q$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) तार्किक कथन $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \vee \sim q)$ और $B = (p \wedge \sim q)$ है।
अतः,निषेध $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ होता है।
इसलिए,निषेध $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।

(B) दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि निहितार्थ का तार्किक समतुल्य कथन $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'सीमा मोटी नहीं है' और $q$ का अर्थ है 'वह खुश है'।
अतः,आवश्यक समतुल्य कथन 'सीमा मोटी नहीं है या वह खुश है' है।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge r)]$
दूसरे भाग पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim p \wedge (q \vee r)]$
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$(q \vee r) \wedge (p \vee \sim p)$
चूंकि $(p \vee \sim p) = T$ (पुनरुक्ति):
$(q \vee r) \wedge T$
$= q \vee r$

(B) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन पैटर्न है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(b)$ की जाँच करें: $p \rightarrow (q \vee p)$
$= \sim p \vee (q \vee p)$
$= (\sim p \vee p) \vee q$
$= T \vee q$
$= T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य $(T)$ है,इसलिए कथन पैटर्न $p \rightarrow (q \vee p)$ एक पुनरुक्ति है।

(D) मान लीजिए $p$ कथन "दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं" है और $q$ कथन "उनके क्षेत्रफल समान हैं" है। दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ है,जो है: "यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं,तो उनके क्षेत्रफल समान नहीं हैं।"
प्रतिलोम $(\sim p \rightarrow \sim q)$ का प्रतिधनात्मक $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ है,जो $q \rightarrow p$ में सरल हो जाता है। यह है: "यदि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं,तो वे सर्वांगसम हैं।"

(A) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$ के लिए
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$= \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$= \sim(T) \vee(F)$
$= F \vee F = F$.
$b: (p \vee s) \leftrightarrow(q \wedge r)$ के लिए
मान प्रतिस्थापित करने पर: $(T \vee F) \leftrightarrow(T \wedge F)$
$= (T) \leftrightarrow(F)$
चूंकि सत्य मान अलग-अलग हैं,इसलिए द्वि-प्रतिबंधक कथन $F$ है।
अतः,$a$ और $b$ के सत्य मान $F, F$ हैं।

(C) मुख्य विचार: वह कथन जो न तो 'टॉटोलॉजी' (tautology) है और न ही 'कॉन्ट्राडिक्शन' (contradiction),उसे 'कंटिंजेंसी' कहते हैं।
विकल्प $A$: $(p \vee q) \vee \sim q \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
विकल्प $B$: $(p \vee q) \vee \sim p \equiv (p \vee \sim p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
विकल्प $C$: $(p \vee q) \wedge \sim q \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee F \equiv p \wedge \sim q$.
यदि $p=T, q=T$ है,तो $p \wedge \sim q = F$ प्राप्त होता है।
यदि $p=T, q=F$ है,तो $p \wedge \sim q = T$ प्राप्त होता है।
चूंकि सत्यता का मान $p$ और $q$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह एक 'कंटिंजेंसी' है।
विकल्प $D$: $p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
अतः,सही कथन $(p \vee q) \wedge \sim q$ है।

(A) मुख्य विचार: सार्वत्रिक क्वांटिफायर $\forall$ (सभी के लिए) का निषेध अस्तित्व क्वांटिफायर $\exists$ (कोई एक है) होता है,और असमिका $>$ का निषेध $\leq$ होता है।
दिया गया कथन: $\forall n \in N, n+7 > 6$।
निषेध के नियमों को लागू करने पर:
$1$. $\forall$ को $\exists$ से बदलें।
$2$. शर्त $n+7 > 6$ का निषेध करें,जो $n+7 \leq 6$ हो जाता है।
अतः,दिए गए कथन का निषेध $\exists n \in N$,इस प्रकार कि $n+7 \leq 6$ है।

(C) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $(q \wedge r) \vee (\sim p \wedge s) \equiv (T \wedge F) \vee (F \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$.
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (r \wedge s)) \equiv (\sim T$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (F \wedge F) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $(p$ $\rightarrow q) \vee (r \leftrightarrow s) \equiv (T$ $\rightarrow T) \vee (F \leftrightarrow F) \equiv T \vee T \equiv T$.
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $(p \wedge \sim r) \wedge (\sim q \vee s) \equiv (T \wedge \sim F) \wedge (\sim T \vee F) \equiv (T \wedge T) \wedge (F \vee F) \equiv T \wedge F \equiv F$.
अतः,विकल्प $(C)$ सत्य है।

(A) हम जानते हैं कि एक निहितार्थ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए व्यंजक पर इस नियम को लागू करने पर:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$।
द्वि-निषेध के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim q) \equiv q$।
अतः,व्यंजक $p \wedge q$ में सरल हो जाता है।

(C) तार्किक निहितार्थ $p \rightarrow q$ को कई समतुल्य तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:
$1.$ यदि $p$ तो $q$।
$2.$ $p$ केवल यदि $q$।
$3.$ $p$ के लिए $q$ आवश्यक है।
$4.$ $q$ के लिए $p$ पर्याप्त है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ ($q$ केवल यदि $p$) $q \rightarrow p$ के समतुल्य है,जो $p \rightarrow q$ का विलोम है। इसलिए,यह $p \rightarrow q$ के समतुल्य नहीं है।

(B) माना दिया गया कथन $S = (p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)] \vee (\sim p \wedge q)$ है।
अवशोषण नियम (absorption law) का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)]$ सरल होकर $(p \wedge q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,व्यंजक $S = (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ बन जाता है।
वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करके,हम $q$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$S = (p \vee \sim p) \wedge q$.
चूंकि $(p \vee \sim p)$ एक पुनरुक्ति (tautology) $(T)$ है,
$S = T \wedge q = q$.
अतः,कथन पैटर्न $q$ के समतुल्य है।

(B) मान लीजिए $P$ कथन "हेमा $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त करती है" है और $Q$ कथन "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है" है।
"हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश पाने के लिए $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त करना एक आवश्यक शर्त है" यह कथन $Q \implies P$ के समतुल्य है।
एक निहितार्थ $Q \implies P$ का निषेध $\sim(Q \implies P) \equiv Q \land \sim P$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q$ "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है" है और $\sim P$ "हेमा $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त नहीं करती है" है।
अतः,निषेध है: "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है और वह $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त नहीं करती है।"

(B) दिया गया संयुक्त कथन $p \wedge (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए,हम इसे $(p \wedge \sim p) \wedge q$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $p \wedge \sim p$ हमेशा असत्य $(F)$ होता है,इसलिए व्यंजक $F \wedge q$ बन जाता है।
चूंकि $F \wedge q$ हमेशा असत्य होता है,इसलिए यह कथन एक व्याघात है।

(B) माना $p$ कथन है: "मौसम अच्छा है".
माना $q$ कथन है: "मेरे मित्र आएंगे".
माना $r$ कथन है: "हम पिकनिक पर जाएंगे".
दिया गया कथन $p \rightarrow (q \wedge r)$ है.
$p \rightarrow (q \wedge r)$ का प्रतिधनात्मक $\sim(q \wedge r) \rightarrow \sim p$ है.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$.
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ है.
शब्दों में: "यदि मेरे मित्र नहीं आते हैं या हम पिकनिक पर नहीं जाते हैं,तो मौसम अच्छा नहीं होगा।"

(A) किसी संयुक्त कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$t$ (पुनरुक्ति) को $c$ (विरोधाभास) से और $c$ को $t$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया कथन: $\sim p \wedge (q \vee c)$।
$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से और $c$ को $t$ से बदलने पर:
द्वैत $\sim p \vee (q \wedge t)$ प्राप्त होता है।

(C) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन पैटर्न है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें:
$(A) \ p \vee (q \rightarrow p) \equiv p \vee (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि जब $p$ का मान $F$ और $q$ का मान $T$ होता है,तो यह असत्य हो जाता है।
$(B) \ \sim q \rightarrow \sim p \equiv q \vee \sim p$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि जब $q$ का मान $F$ और $p$ का मान $T$ होता है,तो यह असत्य हो जाता है।
$(D) \ p \wedge \sim p \equiv F$. यह एक विरोधाभास है।
$(C) \ (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$. सत्यता सारणी का निर्माण करने पर:

$p, q$	$(q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$
$T, T$	$T \vee (F \leftrightarrow T) = T \vee F = T$
$T, F$	$T \vee (F \leftrightarrow F) = T \vee T = T$
$F, T$	$F \vee (T \leftrightarrow T) = F \vee T = T$
$F, F$	$T \vee (T \leftrightarrow F) = T \vee F = T$

चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए विकल्प $(C)$ एक पुनरुक्ति है।

(B) हम $(\sim p \wedge q)$ के समतुल्य विकल्प खोजने के लिए दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं।
विकल्प $B$ पर विचार करें: $(p \vee q) \wedge \sim p$।
वितरण नियम (Distributive Law) के अनुसार,यह $(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)$ के बराबर है।
चूंकि $(p \wedge \sim p) = F$ (पूरक नियम),इसलिए हमारे पास $F \vee (q \wedge \sim p)$ है।
तत्समक नियम (Identity Law) के अनुसार,$F \vee (q \wedge \sim p) = (q \wedge \sim p)$।
क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law) के अनुसार,$(q \wedge \sim p) = (\sim p \wedge q)$।
अतः,कथन पैटर्न $(\sim p \wedge q)$ तार्किक रूप से $(p \vee q) \wedge \sim p$ के समतुल्य है।

(D) मान लीजिए $S_1 \equiv p$ और $S_2 \equiv q$ है। तब $S_1' \equiv \sim p$ और $S_2' \equiv \sim q$ होगा।
सर्किट में दो समानांतर शाखाएँ हैं।
पहली शाखा में $S_1$ और $S_2'$ श्रेणी (series) में हैं,जो $(p \wedge \sim q)$ के बराबर है।
दूसरी शाखा में $S_1'$ और $S_2$ श्रेणी में हैं,जो $(\sim p \wedge q)$ के बराबर है।
चूंकि शाखाएं समानांतर हैं,इसलिए कुल व्यंजक $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ होगा।
यह व्यंजक $\sim(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(C) किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,उसका वर्ग $x^2$ हमेशा $0$ या उससे बड़ा होता है $(x^2 \geq 0)$।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि $x=0$ के लिए,$x^2=0$ होता है,जो धनात्मक नहीं है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
विकल्प $C$ सत्य है क्योंकि $x=0$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जिसका वर्ग $0$ है,जो धनात्मक नहीं है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि $\sqrt{2}$ जैसी अपरिमेय संख्याएँ मौजूद हैं।