Mathematical logic Questions in Hindi

(D) चरण $1$: कथन $p$ का सत्य मान निर्धारित करें। प्रत्येक वर्ग एक आयत है,यह एक सत्य कथन है,इसलिए $p = T$ है।
चरण $2$: कथन $q$ का सत्य मान निर्धारित करें। प्रत्येक समचतुर्भुज एक पतंग है,यह एक सत्य कथन है,इसलिए $q = T$ है।
चरण $3$: $p \rightarrow q$ का मूल्यांकन करें। चूंकि $T \rightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्य मान $T$ है।
चरण $4$: $p \leftrightarrow q$ का मूल्यांकन करें। चूंकि $T \leftrightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्य मान $T$ है।
अतः,सत्य मान $T, T$ हैं।

(D) दिए गए परिपथ में,ऊपरी शाखा में $\sim p$ और $q$ स्विच श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(\sim p \wedge q)$ है।
निचली शाखा में $p$ और $\sim q$ स्विच श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर (parallel) जुड़ी हुई हैं,इसलिए परिपथ के लिए कुल बूलियन बहुपद दोनों व्यंजकों का वियोजन (disjunction) होगा:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y)$.
वर्गसम नियम (idempotent law) द्वारा,$x \wedge x = x$,इसलिए व्यंजक $x \vee (x \wedge y)$ हो जाता है।
अवशोषण नियम (absorption law) द्वारा,$x \vee (x \wedge y) = x$.

(B) एक सशर्त कथन $P \Rightarrow Q$ का प्रतिलोम $\sim P \Rightarrow \sim Q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $(p \wedge \sim q) \Rightarrow r$ के लिए,$P = (p \wedge \sim q)$ और $Q = r$ है।
अतः,इसका प्रतिलोम $\sim(p \wedge \sim q) \Rightarrow \sim r$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \wedge \sim q)$ का मान $(\sim p \vee \sim(\sim q))$ के बराबर है,जो सरल होकर $(\sim p \vee q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,प्रतिलोम $(\sim p \vee q) \Rightarrow \sim r$ है।

(C) कथन $(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:

$p$	$\sim p$	$p \Rightarrow \sim p$	$\sim p \Rightarrow p$	$(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ के सभी संभावित सत्य मानों के लिए केवल $F$ (असत्य) है,इसलिए यह कथन एक विरोधाभास है।

(B) $(p \wedge q) \vee \sim p = \sim p \vee (p \wedge q)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ (वितरण नियम द्वारा)
$= (p \vee \sim p) \wedge (\sim p \vee q)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$= t \wedge (\sim p \vee q)$ (पूरक नियम द्वारा,जहाँ $t$ एक पुनरुक्ति है)
$= \sim p \vee q$ (तत्समक नियम द्वारा)

(B) दिए गए सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।
सबसे पहले,घटकों का मूल्यांकन करें:
$\sim q = \sim F = T$
$\sim p = \sim T = F$
अब,कोष्ठक में दिए गए व्यंजकों का मूल्यांकन करें:
$p \wedge \sim q = T \wedge T = T$
$\sim p \vee r = F \vee F = F$
अंत में,निहितार्थ (implication) का मूल्यांकन करें:
$(p \wedge \sim q)$ $\rightarrow (\sim p \vee r) = T$ $\rightarrow F = F$.
अतः,सत्यता मान $F$ है।

(B) इस परिपथ में दो स्विच $p$ और $\sim p$ समानांतर (parallel) जुड़े हुए हैं,जो बाद में एक स्विच $q$ के साथ श्रेणी (series) में जुड़े हैं।
$p$ और $\sim p$ के समानांतर संयोजन के लिए तार्किक व्यंजक $(p \lor \sim p)$ है।
चूंकि $(p \lor \sim p) = T$ (एक पुनरुक्ति,जिसे स्विचिंग परिपथ में $1$ के रूप में दर्शाया जाता है),इसलिए व्यंजक $1 \land q$ हो जाता है।
अतः,आउटपुट $1 \cdot q = q$ है।

(A) वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) = p \vee (q \wedge \sim q)$
पूरक नियम के अनुसार,$q \wedge \sim q = F$ (जहाँ $F$ एक असत्य कथन को दर्शाता है)।
अतः,व्यंजक $p \vee F$ हो जाता है।
चूंकि $F$,$\vee$ संकारक के लिए तत्समक अवयव है,इसलिए $p \vee F = p$।
अतः,सरल रूप $p$ है।

(A) दिया गया सर्किट श्रेणी में जुड़े दो समानांतर ब्लॉकों से बना है।
सर्किट को देखने पर:
$1$. पहले ब्लॉक में $p$ और $q$ स्विच समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee q)$ द्वारा दर्शाया गया है।
$2$. दूसरे ब्लॉक में $p$ और $r$ स्विच समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee r)$ द्वारा दर्शाया गया है।
$3$. ये दोनों ब्लॉक श्रेणी में जुड़े हुए हैं,इसलिए व्यंजक $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ होगा।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(p \vee q) \wedge (p \vee r) = p \vee (q \wedge r)$.

(C) हम जानते हैं कि निहितार्थ $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के समतुल्य है।
अतः,$\sim p \rightarrow q \equiv \sim(\sim p) \vee q \equiv p \vee q$.
अब,निषेध लागू करने पर: $\sim(\sim p \rightarrow q) \equiv \sim(p \vee q)$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(B) मान लीजिए $p$ कथन है: "वर्षा होती है".
मान लीजिए $q$ कथन है: "मैं स्कूल जाऊँगा".
दिया गया प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ है.
एक प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है.
यहाँ,$p \wedge \sim q$ का अर्थ है: "वर्षा होती है और मैं स्कूल नहीं जाऊँगा".
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(A) बूलियन व्यंजक का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\vee$ को $\wedge$ से,$\wedge$ को $\vee$ से,$0$ को $1$ से और $1$ को $0$ से बदलते हैं।
दिए गए व्यंजक $\left(x^{\prime} \vee y^{\prime}\right) = x \wedge y$ के लिए,हम ऑपरेटरों को बदलते हैं:
$\vee$,$\wedge$ बन जाता है
$\wedge$,$\vee$ बन जाता है
अतः,द्वैत $\left(x^{\prime} \wedge y^{\prime}\right) = x \vee y$ है।

(B) तार्किक कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\vee$ को $\wedge$ से,$\wedge$ को $\vee$ से,$T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलते हैं।
दिया गया कथन: $[p \vee (\sim q)] \wedge (\sim p)$।
$\vee$ को $\wedge$ से और $\wedge$ को $\vee$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[p \wedge (\sim q)] \vee (\sim p)$।

(A) यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ हो,तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक हो सकते हैं।
अतः,कथन '$A$ quadratic equation always has a real root' असत्य है,जिसका अर्थ है कि इसका सत्यता मान '$F$' है।
विकल्प $B$ सत्य है क्योंकि यह क्रमचय का सूत्र दर्शाता है।
विकल्प $C$ सत्य है क्योंकि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जो सामान्य अनुपात $\omega$ के साथ $GP$ बनाते हैं।

(D) दिए गए परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \vee \sim q \vee \sim r) \wedge (p \vee (q \wedge r))$ है।
वितरण नियम लागू करने पर,हमें $p \vee [(\sim q \vee \sim r) \wedge (q \wedge r)]$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,यह $p \vee [\sim (q \wedge r) \wedge (q \wedge r)]$ बन जाता है।
पूरक नियम लागू करने पर,हमें $p \vee F$ प्राप्त होता है।
अंत में,तत्समक नियम द्वारा,यह $p$ में सरल हो जाता है।
अतः,परिपथ केवल स्विच $S_1$ वाले परिपथ के समतुल्य है।

(C) दिया गया कथन $p$ है: $\exists x \in S$ जिसके लिए $x > 0$ है।
निषेध $\sim p$ ज्ञात करने के लिए,हम नियम $\sim(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \sim P(x)$ का उपयोग करते हैं।
$\sim p : \forall x \in S, x \leq 0$.
इसका अर्थ है कि $S$ की प्रत्येक परिमेय संख्या $x$,$x \leq 0$ को संतुष्ट करती है।

(A) एक कथन वह वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य।
$(A)$ $ \sqrt{3} $ एक अभाज्य संख्या है: यह कथन असत्य है क्योंकि $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ एक पूर्णांक नहीं है,और अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होनी चाहिए।
$(B)$ सूर्य एक तारा है: यह एक सत्य कथन है।
$(C)$ गणित दिलचस्प है: यह एक राय है।
$(D)$ $ \sqrt{2} $ एक अपरिमेय संख्या है: यह एक सत्य कथन है।
अतः,जो कथन सही नहीं है वह विकल्प $A$ है।

(C) "प्रत्येक" (universal quantifier) वाले कथन का निषेध करने के लिए,इसे "कम से कम एक" (existential quantifier) से बदल दिया जाता है और विधेय (predicate) का निषेध किया जाता है।
दिया गया कथन: "प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^2+5$ धनात्मक है"।
इसका निषेध है: "कम से कम एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x^2+5$ धनात्मक नहीं है"।

(D) दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है,जहाँ $P$ है "दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं" और $Q$ है "वे समांतर हैं"।
$P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक कथन $\neg Q \implies \neg P$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\neg Q$ है "दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं" और $\neg P$ है "दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं,तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं।"
यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) दिया गया कथन "सभी $P$,$Q$ हैं" के रूप में है,जहाँ $P$ सतत फलन है और $Q$ अवकलनीय होने का गुण है।
"सभी $P$,$Q$ हैं" कथन का निषेध "कुछ $P$,$Q$ नहीं हैं" होता है।
अतः,"सभी सतत फलन अवकलनीय होते हैं" का निषेध "कुछ सतत फलन अवकलनीय नहीं होते हैं" होगा।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $p$ कथन है: "$72$,$2$ और $3$ से विभाज्य है".
इसे $p = q \wedge r$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $q$ है "$72$,$2$ से विभाज्य है" और $r$ है "$72$,$3$ से विभाज्य है".
संयोजन का निषेध डी मॉर्गन के नियम द्वारा दिया जाता है: $\sim(q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$.
यहाँ,$\sim q$ है "$72$,$2$ से विभाज्य नहीं है" और $\sim r$ है "$72$,$3$ से विभाज्य नहीं है".
अतः,निषेध है "$72$,$2$ से विभाज्य नहीं है या $72$,$3$ से विभाज्य नहीं है".

(D) माना $p: x$ एक अभाज्य संख्या है और $q: x$ एक विषम संख्या है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
कथन का विलोम (converse) $q \rightarrow p$ है।
विलोम का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim p \rightarrow \sim q$ है।
अतः,विलोम का प्रतिधनात्मक है: "यदि $x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है,तो $x$ विषम नहीं है।"

(B) दिया गया कथन $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ है।
एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$ है।
इसलिए,प्रतिलोम $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim r$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee \sim (\sim q) \equiv \sim p \vee q$ है।
अतः,प्रतिलोम $(\sim p) \vee q \rightarrow (\sim r)$ है।

(B) हम जानते हैं कि निहितार्थ $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
$p \rightarrow \sim q$ पर इस नियम को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
इसे सत्यता सारणी का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow \sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
चूंकि $p$ और $q$ के सभी संभावित सत्य मानों के लिए $p \rightarrow \sim q$ और $\sim p \vee \sim q$ के सत्य मान समान हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।

(D) $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = p$ और $B = (\sim p \vee q)$ है।
अतः,$\sim[p \rightarrow (\sim p \vee q)] \equiv p \wedge \sim(\sim p \vee q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p \wedge (p \wedge \sim q)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p \wedge p \equiv p$,व्यंजक सरल होकर $p \wedge \sim q$ हो जाता है।
अतः,निषेध $p \wedge \sim q$ है।

(A) हम सत्यता सारणी (truth tables) का उपयोग करके प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$(a)$ मान लीजिए $x = (p \wedge \sim q)$ और $y = (p \rightarrow q)$। सत्यता सारणी दिखाती है कि $(x \leftrightarrow y)$ एक पुनरुक्ति नहीं है (यह एक आकस्मिकता है)।
$(b)$ यह एक मानक पुनरुक्ति है जिसे काल्पनिक न्यायवाक्य (Law of Hypothetical Syllogism) का नियम कहा जाता है।
$(c)$ यह एक मानक तार्किक तुल्यता है (संयोजन पर निहितार्थ का वितरण नियम)।
$(d)$ यह द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन के निषेध के लिए एक मानक तार्किक तुल्यता है।
इसलिए,विकल्प $(a)$ सत्य नहीं है।

(D) हमें कथन $p \wedge (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (q$ $\rightarrow \sim r)) = \sim p \vee \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$
निहित नियम $\sim(A \rightarrow B) = A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge \sim(\sim r))$
दोहरे निषेध के नियम $\sim(\sim r) = r$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge r)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow \sim q$ है।
एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \rightarrow \sim A$ होता है।
अतः,$p \rightarrow \sim q$ का प्रतिधनात्मक $\sim(\sim q) \rightarrow \sim p$ है,जो $q \rightarrow \sim p$ के रूप में सरल होता है।
एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का विलोम $B \rightarrow A$ होता है।
अतः,$q \rightarrow \sim p$ का विलोम $\sim p \rightarrow q$ है।

(B) माना $p$ कथन "$2$ अभाज्य है" है।
माना $q$ कथन "$3$ विषम है" है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
निहितार्थ $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ "$2$ अभाज्य है" है और $\sim q$ "$3$ विषम नहीं है" है।
अतः,निषेध "$2$ अभाज्य है और $3$ विषम नहीं है" है।

(C) दिया गया कथन एक सार्वभौमिक परिमाणक (universal quantification) है: "सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए,$x+y=y+x$."
"सभी के लिए" $(\forall)$ परिमाणक वाले कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम इसे "अस्तित्व में है" (या "कुछ के लिए") परिमाणक से बदलते हैं और विधेय (predicate) को नकारते हैं।
"सभी $x$ और $y$ के लिए,$P(x, y)$" का निषेध "ऐसे $x$ और $y$ मौजूद हैं कि $\neg P(x, y)$" होता है।
यहाँ,विधेय $P(x, y)$,$x+y=y+x$ है।
$x+y=y+x$ का निषेध $x+y \neq y+x$ है।
अतः,कथन का निषेध "कुछ वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$x+y \neq y+x$" है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $ \sim[(\sim p) \wedge q] $.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि $ \sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B) $:
$ \sim[(\sim p) \wedge q] = \sim(\sim p) \vee (\sim q) $.
चूंकि $ \sim(\sim p) = p $,इसलिए अभिव्यक्ति सरल होकर प्राप्त होती है:
$ p \vee (\sim q) $.
अतः,सही विकल्प $ A $ है.

(D) दिया गया कथन "यदि $P$,तो $Q$" के रूप में है,जहाँ $P$ है "$x$ एक अभाज्य संख्या है" और $Q$ है "$x$ विषम है".
"यदि $P$,तो $Q$" कथन का प्रतिधनात्मक (contrapositive) "यदि $\neg Q$,तो $\neg P$" के रूप में परिभाषित होता है.
यहाँ,$\neg Q$ है "$x$ विषम नहीं है" और $\neg P$ है "$x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है".
अतः,प्रतिधनात्मक कथन "यदि $x$ विषम नहीं है,तो $x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है" होगा।