दिखाइए कि रैखिक असमिकाओं (linear inequalities) की निम्नलिखित प्रणाली का कोई हल नहीं है: $x + 2y \leq 3$,$3x + 4y \geq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 1$.

(N/A) हमें रैखिक असमिकाएं दी गई हैं: $x + 2y \leq 3$,$3x + 4y \geq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 1$.
सबसे पहले,हम निर्देशांक तल में संबंधित रेखाओं $x + 2y = 3$,$3x + 4y = 12$,$x = 0$ और $y = 1$ को आलेखित करते हैं।
$1$. रेखा $x + 2y = 3$ बिंदुओं $(0, 1.5)$ और $(3, 0)$ से होकर गुजरती है। बिंदु $(0, 0)$ की जाँच करने पर,हमें $0 + 2(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है,जो सत्य है। अतः,$x + 2y \leq 3$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र मूल बिंदु को समाहित करता है।
$2$. रेखा $3x + 4y = 12$ बिंदुओं $(0, 3)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है। बिंदु $(0, 0)$ की जाँच करने पर,हमें $3(0) + 4(0) = 0 \geq 12$ प्राप्त होता है,जो असत्य है। अतः,$3x + 4y \geq 12$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र मूल बिंदु को समाहित नहीं करता है।
$3$. क्षेत्र $x \geq 0$ दाईं ओर का अर्ध-तल दर्शाता है।
$4$. क्षेत्र $y \geq 1$ रेखा $y = 1$ के ऊपर का अर्ध-तल दर्शाता है।
इन क्षेत्रों को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि $x + 2y \leq 3$ के लिए छायांकित भाग रेखा $x + 2y = 3$ के नीचे है,जबकि $3x + 4y \geq 12$ के लिए क्षेत्र रेखा $3x + 4y = 12$ के ऊपर है। इसके अतिरिक्त,$x \geq 0$ और $y \geq 1$ की शर्तें हल को $y = 1$ के ऊपर प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,कोई भी सामान्य क्षेत्र नहीं है जो इन सभी असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता हो। इसलिए,इस प्रणाली का कोई हल नहीं है (हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है)।