Parabola Questions in Hindi

(D) मान लीजिए $Q = (2t, t^2)$ परवलय $x^2 = 4y$ पर एक बिंदु है। शीर्ष $O$ $(0, 0)$ है।
बिंदु $P(h, k)$ $OQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{2(2t) + 3(0)}{2+3} = \frac{4t}{5} \Rightarrow t = \frac{5h}{4}$
$k = \frac{2(t^2) + 3(0)}{2+3} = \frac{2t^2}{5} = \frac{2}{5} \left(\frac{5h}{4}\right)^2 = \frac{5h^2}{8}$
अतः,बिंदुपथ $C$ $8k = 5h^2$ या $5x^2 = 8y$ है।
परवलय $5x^2 = 8y$ की जीवा का समीकरण जो बिंदु $(1, 2)$ पर समद्विभाजित होती है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = 5x(x_1) - 4(y + y_1)$ और $S_1 = 5x_1^2 - 8y_1$ है।
मान रखने पर:
$5x(1) - 4(y + 2) = 5(1)^2 - 8(2)$
$5x - 4y - 8 = 5 - 16$
$5x - 4y + 3 = 0$

(B) मान लीजिए परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P(t_1^2, 2t_1)$ और $Q(t_2^2, 2t_2)$ हैं।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है और $OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2} = \frac{2}{t_2}$ है।
चूंकि $OP \perp OQ$,उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए $(\frac{2}{t_1})(\frac{2}{t_2}) = -1$,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -4$।
मान लीजिए $M(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2}$ और $k = \frac{2t_1 + 2t_2}{2} = t_1 + t_2$।
हम जानते हैं कि $k^2 = (t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2$।
मान रखने पर,$k^2 = 2h + 2(-4) = 2h - 8$।
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $y^2 = 2(x - 4)$ है।
यह $y^2 = 4a(x - h')$ के रूप का एक परवलय है,जहाँ $4a = 2$,इसलिए $a = 0.5$।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 2$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$4a = 12$,अतः $a = 3$ है। मान लीजिए $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
कोटि का अनुपात $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ है,जिसका अर्थ है $t_2 = 2t_1$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ द्वारा दी जाती है।
$a = 3$ और $t_2 = 2t_1$ रखने पर,हमें $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$। मान लीजिए $u = t_1^2$,तो $9u^2 + 4u - 13 = 0$ है।
$u$ के लिए हल करने पर,$(9u + 13)(u - 1) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $u > 0$,इसलिए $u = 1$,अतः $t_1 = 1$ और $t_2 = 2$ है।
बिंदु $P(3, 6)$ और $Q(12, 12)$ हैं। नाभि $S$ के निर्देशांक $(a, 0) = (3, 0)$ हैं।
$SP$ की ढाल $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$)।
$SQ$ की ढाल $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$,सदिशों $\vec{SP} = (0, 6)$ और $\vec{SQ} = (9, 12)$ के बीच का कोण है।
$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$ है।
चूंकि $\cos \alpha = 4/5$,इसलिए $\sin \alpha = 3/5$ होगा।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
नियता $x = -2$ है। अतः बिंदु $A(-2, 0)$ है।
बिंदु $B(\alpha, \beta)$,$y^2 = 8x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = 8\alpha$ है।
$AB$ की ढाल $\frac{\beta}{\alpha + 2} = \frac{3}{5}$ है। अतः $5\beta = 3\alpha + 6$। $\alpha = \frac{\beta^2}{8}$ रखने पर,$3\beta^2 - 40\beta + 48 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(3\beta - 4)(\beta - 12) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha > 1$,इसलिए $\beta = 12$ और $\alpha = 18$ है। अतः $B = (18, 12)$ है।
नाभिलंब जीवा $BC$,नाभि $S(2, 0)$ से गुजरती है। $BC$ की ढाल $m = \frac{12 - 0}{18 - 2} = \frac{3}{4}$ है।
$BC$ का समीकरण $y = \frac{3}{4}(x - 2)$ है। $y^2 = 8x$ में रखने पर $9x^2 - 164x + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x_B = 18$ एक मूल है,$x_C = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है। अतः $y_C = -\frac{4}{3}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 80/3$ है।
क्षेत्रफल का छह गुना $= 6 \times (80/3) = 160$।

(B) परवलय का समीकरण $y = x^2 + px + q$ है। चूँकि यह $(1, -1)$ से गुजरता है,इसलिए $-1 = 1 + p + q$,जिसका अर्थ है $q = -p - 2$।
परवलय $y = ax^2 + bx + c$ का शीर्ष $(-b/2a, -D/4a)$ पर होता है। $y = x^2 + px + q$ के लिए,शीर्ष $(-p/2, q - p^2/4)$ है।
शीर्ष से $x$-अक्ष की दूरी शीर्ष के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है,जो $d = |q - p^2/4|$ है।
$q = -p - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = |-p - 2 - p^2/4| = |p^2/4 + p + 2|$ प्राप्त होता है।
$d$ को न्यूनतम करने के लिए,हम द्विघात समीकरण $f(p) = p^2/4 + p + 2$ का विश्लेषण करते हैं। अवकलन $f'(p) = p/2 + 1$ है। $f'(p) = 0$ रखने पर $p = -2$ प्राप्त होता है।
जब $p = -2$ है,तो $q = -(-2) - 2 = 0$ होता है।
अतः,$p^2 + q^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$।

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों के योग से,$\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{9(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$,जिससे $\alpha = -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$ प्राप्त होता है।
मूलों के गुणनफल से,$\alpha(2\alpha) = 2\alpha^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
$\alpha$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर: $2 \left[ -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27} \right]^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
सरल करने पर: $\frac{18(k-1)^2}{(k^2 - 15k + 27)^2} = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
इसका अर्थ है $(k-1)^2 = k^2 - 15k + 27$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $k^2 - 2k + 1 = k^2 - 15k + 27$।
$k$ के लिए हल करने पर: $13k = 26$,अतः $k = 2$।
परवलय $y^2 = 6kx$ है,जो $y^2 = 12x$ है।
$y^2 = 4ax$ के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है। यहाँ,$4a = 6k = 6(2) = 12$।

(C) मान लीजिए परवलय $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$। शीर्ष $A$ और $B$ $(4t_1^2, 8t_1)$ और $(4t_2^2, 8t_2)$ हैं।
शीर्ष $C$ $(4, 8)$ है। चूंकि $\angle C = 90^\circ$,ढाल का गुणनफल $m_{CA} \cdot m_{CB} = -1$ है।
$m_{CA} = \frac{8t_1 - 8}{4t_1^2 - 4} = \frac{2}{t_1 + 1}$।
इसी प्रकार,$m_{CB} = \frac{2}{t_2 + 1}$।
अतः,$\frac{2}{t_1 + 1} \cdot \frac{2}{t_2 + 1} = -1 \implies t_1t_2 + t_1 + t_2 + 5 = 0$।
केंद्रक $G(h, k)$ $h = \frac{4 + 4t_1^2 + 4t_2^2}{3}$ और $k = \frac{8 + 8t_1 + 8t_2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इन समीकरणों का उपयोग करके $G$ का बिंदु पथ एक परवलय है,जिसके नाभिलंब की लंबाई $4a' = \frac{16}{9}$ है।
नाभिलंब की लंबाई का तीन गुना $3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$ है।