Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Gujarati

(C) પરમાણુના બોહર મોડેલનું ખંડન હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત દ્વારા થાય છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,પરમાણુમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી ચોક્કસ અંતરે અને ચોક્કસ વેગ સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે.
જો કે,હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન (અથવા વેગ) એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવું અશક્ય છે.

(D) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
આ સિદ્ધાંત માત્ર ઇલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન વગેરે જેવા સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે.
તે $ \text{મોટર કાર} $ જેવી સ્થૂળ વસ્તુઓ માટે લાગુ પડતું નથી કારણ કે તેમનું દળ મોટું હોય છે,જેના કારણે સ્થાન અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા નહિવત હોય છે.
તે $ \text{સ્થિર કણો} $ માટે પણ માન્ય નથી કારણ કે તેમનો વેગ શૂન્ય હોય છે અને તેમનું સ્થાન ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે.
તેથી,આ સિદ્ધાંત $ (b) $ અને $ (c) $ બંને માટે માન્ય નથી.

(C) શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{d^2 \Psi}{dy^2} + \frac{d^2 \Psi}{dz^2} + \frac{8 \pi^2 m}{h^2} (E - V) \Psi = 0$.
આ સમીકરણના ઉકેલથી ત્રણ ક્વોન્ટમ નંબર મળે છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $(n)$,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $(l)$,અને ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $(m_l)$.
આ ક્વોન્ટમ નંબરો કક્ષકની ઉર્જા,આકાર અને દિશા દર્શાવે છે.
સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $(s)$ શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણમાંથી મેળવી શકાતો નથી; તે ઇલેક્ટ્રોનની આંતરિક સ્પિનને સમજાવવા માટે પાછળથી રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

(D) પરમાણુનું તરંગ યાંત્રિક મોડેલ,જેને ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રના કેટલાક મુખ્ય સિદ્ધાંતોને સમાવીને વિકસાવવામાં આવ્યું હતું.
$1$. તે દ્રવ્યના દ્વૈત સ્વભાવના $de \ Broglie$ ના ખ્યાલને સમાવે છે,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા કણો તરંગ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$2$. તે $Heisenberg$ ના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લે છે,જે જણાવે છે કે સબએટોમિક કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
$3$. તે ગાણિતિક રીતે $Schrodinger$ ના તરંગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને તૈયાર કરવામાં આવ્યું છે,જે પરમાણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોનના વર્તનને તરંગ વિધેય તરીકે વર્ણવે છે.
તેથી,આ મોડેલ આ ત્રણેય મૂળભૂત ખ્યાલો પર આધારિત છે.

(C) $Heisenberg$ નો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે ચોકસાઈથી માપવું અશક્ય છે.
સ્થૂળ પદાર્થો માટે અનિશ્ચિતતા નગણ્ય હોય છે,તેથી તે માપી શકાય છે.
વર્ણપટ રેખાઓ અનન્ય હોય છે,તેથી વિકલ્પ $C$ ખોટું વિધાન છે.

(B) ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,$\psi$ એ તરંગ વિધેય (wave function) છે,જેનો કોઈ સીધો ભૌતિક અર્થ નથી.
$\psi^2$ (અથવા વધુ સચોટ રીતે,$|\psi|^2$) એ સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે,જે અવકાશમાં આપેલા બિંદુએ એકમ કદ દીઠ ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના છે.
પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનિક ઉર્જા સામાન્ય રીતે ઋણ હોય છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર વિદ્યુત આકર્ષણ દ્વારા ન્યુક્લિયસ સાથે જોડાયેલ હોય છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
જો ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની અંદર હોય (ત્રિજ્યા $\approx 10^{-15} \ m$),તો સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x$ એ $\approx 10^{-15} \ m$ થશે.
$\Delta v = \frac{h}{4\pi m \Delta x}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\Delta v \approx 5.8 \times 10^{10} \ m/s$ મળે છે,જે પ્રકાશની ગતિ $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ કરતા વધારે છે.
આ સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની અંદર રહી શકતો નથી.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$
અહીં સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ બંને માટે સમાન હોવાથી,વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ પણ સમાન રહેશે.
આથી,હિલિયમ પરમાણુ માટે પણ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $32 \times 10^5$ થશે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$ અથવા $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે: $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$v = 300 \, ms^{-1}$,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 0.001\% \text{ of } 300 = \frac{0.001}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-3} \, ms^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{342.588 \times 10^{-34}} \approx 0.0193 \, m = 1.93 \times 10^{-2} \, m$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 0.1 \ \mathring{A} = 0.1 \times 10^{-10} \ m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-10}}$.
$\Delta v = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{114.354 \times 10^{-41}} \approx 5.79 \times 10^6 \ m \cdot s^{-1}$.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
દળ $(m)$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{h}{4 \pi \Delta x \Delta v}$.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$\Delta x = 10^{-8} \ m$,$\Delta v = 5.26 \times 10^{-25} \ m \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-8} \times 5.26 \times 10^{-25}}$.
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.608 \times 10^{-32}} \approx 0.01 \ kg$.

(B) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના તરંગ વિધેયના વર્ગ,$\psi^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,$a$ અને $c$ વિસ્તારો $\psi^2$ વક્રના શિખરો દર્શાવે છે,જ્યાં સંભાવના ઘનતા મહત્તમ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન $a$ અને $c$ વિસ્તારોમાં મળી આવવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(D) હાઈઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે ચોકસાઈથી નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
આ સિદ્ધાંત માત્ર ઈલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે.
મોટર કાર જેવી સ્થૂળ વસ્તુઓ માટે,તેમના મોટા દળને કારણે અનિશ્ચિતતા નગણ્ય હોય છે.
સ્થિર કણો માટે,વેગ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે વેગમાન ચોક્કસ રીતે જાણી શકાય છે $(\Delta p = 0)$,જે સ્થાનમાં અનંત અનિશ્ચિતતા $(\Delta x = \infty)$ તરફ દોરી જાય છે,તેથી આ સિદ્ધાંત લાગુ પડતો નથી.
તેથી,આ સિદ્ધાંત સ્થૂળ વસ્તુઓ અને સ્થિર કણો માટે માન્ય નથી.

(B) આપેલ છે કે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ જેટલી છે:
$\Delta x = \lambda = \frac{h}{mv}$
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$
$\Delta x = \frac{h}{mv}$ ને અનિશ્ચિતતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{h}{mv}) \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$
પદને સરળ બનાવતા:
$\frac{\Delta v}{v} \geq \frac{1}{4\pi}$
વેગમાં ટકાવારી ભૂલ:
$\frac{\Delta v}{v} \times 100 \geq \frac{100}{4\pi} \approx \frac{100}{12.56} \approx 7.96 \% \approx 8 \%$

(C) શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ ત્રણ ક્વોન્ટમ આંક આપે છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$,અને ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m)$.
આ હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગ વિધેય $\psi$ ના ગાણિતિક ઉકેલમાંથી સીધા મેળવવામાં આવે છે.
સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $(m_s)$ પાછળથી ઇલેક્ટ્રોનના ચુંબકીય ગુણધર્મોને સમજાવવા માટે દાખલ કરવામાં આવ્યો હતો અને તે શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણનું સીધું પરિણામ નથી.

(C) વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta p = m \times \Delta v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\Delta p = 2 \times 10^{-17} \ g \ cm \ s^{-1}$ અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta v = \frac{\Delta p}{m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{2 \times 10^{-17} \ g \ cm \ s^{-1}}{9.1 \times 10^{-28} \ g} \approx 0.2197 \times 10^{11} \ cm \ s^{-1}$.
આમ,$\Delta v \approx 2.197 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1}$,જે આશરે $2.1 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1}$ થાય છે.

(D) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
અહીં આપેલ છે કે વેગમાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ એ સ્થાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ કરતા બમણી છે,તેથી $\Delta p = 2\Delta x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta x \cdot (2\Delta x) = \frac{h}{4\pi}$.
$2(\Delta x)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$(\Delta x)^2 = \frac{h}{8\pi}$.
$\Delta x = \sqrt{\frac{h}{8\pi}} = \sqrt{\frac{h}{4 \times 2\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{2\pi}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ સમાન છે,એટલે કે $\Delta x = \Delta p$.
સમીકરણમાં $\Delta x$ ની જગ્યાએ $\Delta p$ મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(C) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,સમીકરણ $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$ બને છે.
આપેલ છે: $m = 1050 \, kg$,$v = 90 \, km/h = 25 \, m/s$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 25 \, m/s$ ના $1 \, \% = 0.25 \, m/s$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ લેતા:
$\Delta x \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 1050 \times 0.25}$.
$\Delta x \geq 2.008 \times 10^{-37} \, m$.
તેથી,$\Delta x \geq 2 \times 10^{-37} \, m$.

(D) ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં તરંગ વિધેય $\psi$ ની નોર્મલાઇઝેશન શરત મુજબ,સમગ્ર અવકાશમાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સંભાવના $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi|^2 d\tau = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન બ્રહ્માંડમાં ક્યાંક અસ્તિત્વ ધરાવે છે તેની નિશ્ચિતતા $1$ છે.

(D) તરંગ વિધેય $\Psi$ એ ઇલેક્ટ્રોન તરંગનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે અને તરંગના તબક્કા (phase) પર આધાર રાખીને તે ધન કે ઋણ મૂલ્યો ધરાવી શકે છે.
$\Psi^2$ એ અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે.
સંભાવના ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી $\Psi^2$ હંમેશા ધન હોય છે.

(D) શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે વપરાતી ગોળીય ધ્રુવીય નિર્દેશાંક પદ્ધતિમાં,ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન $(r, \theta, \phi)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$r$ એ ત્રિજ્યા સદિશ છે.
$\theta$ એ ત્રિજ્યા સદિશ અને $Z$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જેને ઝેનિથ ખૂણો (Zenith angle) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$\phi$ એ $XY$-સમતલમાં એઝિમુથલ ખૂણો છે.
તેથી,ત્રિજ્યા સદિશ અને $Z$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણા માટે સાચો શબ્દ ઝેનિથ ખૂણો છે.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \times \Delta v$ હોવાથી,સૂત્ર $\Delta x = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta v}$ બને છે.
આપેલ છે: $v = 600 \ m/sec$,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 600 \times \frac{0.005}{100} = 0.03 \ m/sec$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.10 \times 10^{-31} \ kg$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.10 \times 10^{-31} \times 0.03}$.
$\Delta x \approx 1.93 \times 10^{-3} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $1.92 \times 10^{-3} \ m$ છે.

(B) ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,તરંગ વિધેય $\psi$ પોતે સીધો ભૌતિક અર્થ ધરાવતું નથી. જોકે,તરંગ વિધેયનો વર્ગ,$|\psi|^2$,અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના ઘનતા (probability density) દર્શાવે છે. આ $Schrodinger$ તરંગ સમીકરણ પરથી મેળવેલ એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સંબંધ $\Delta x \cdot \Delta v \cdot m = \frac{h}{4 \pi}$ છે.
આમ,$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \cdot \Delta v}$.
કણ $A$ માટે: $\Delta x_A = \frac{h}{4 \pi m_A \cdot 0.05}$.
કણ $B$ માટે: $\Delta x_B = \frac{h}{4 \pi (5m_A) \cdot 0.02}$.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{h}{4 \pi m_A \cdot 0.05} \times \frac{4 \pi (5m_A) \cdot 0.02}{h}$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{5 \times 0.02}{0.05} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(C) વિધાન હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે. આ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો મૂળભૂત નિયમ છે.
કારણ જણાવે છે કે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ ખોટું છે કારણ કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન સુનિશ્ચિત વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા નથી (જેમ કે બોહર મોડેલમાં સૂચવવામાં આવ્યું હતું). તેના બદલે,તેઓ કક્ષકોમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે અવકાશના એવા વિસ્તારો છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સંભાવના વધુ હોય છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતો નથી.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \Delta p = \frac{h}{4 \pi}$ અથવા $\Delta x \, m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
વેગની અનિશ્ચિતતા માટે સૂત્ર: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \Delta x m}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$,$\Delta x = 0.1 \, \mathring{A} = 0.1 \times 10^{-10} \, m$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 0.1 \times 10^{-10} \times 9.11 \times 10^{-31}}$.
ગણતરી: $\Delta v = 0.579 \times 10^{7} \, m \, s^{-1} = 5.79 \times 10^{6} \, m \, s^{-1}$.

ઝડપમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v)$ એ $45 \, m/s$ ના $2 \%$ છે:
$\Delta v = 45 \times \frac{2}{100} = 0.9 \, m/s$
હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x \times \Delta v = \frac{h}{4 \pi m}$
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$
કિંમતો મૂકતા ($h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 40 \times 10^{-3} \, kg$,$\Delta v = 0.9 \, m/s$):
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times (40 \times 10^{-3}) \times 0.9}$
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.45239} \approx 1.46 \times 10^{-33} \, m$
આ મૂલ્ય અત્યંત નાનું છે,જે દર્શાવે છે કે ગોલ્ફ બોલ જેવી મેક્રોસ્કોપિક વસ્તુઓ માટે અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત નગણ્ય છે.

હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે,$\Delta x = 0.002 \,nm = 2 \times 10^{-12} \,m$.
$\Delta p = \frac{h}{4 \pi \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{4 \times 3.1416 \times 2 \times 10^{-12} \,m} = 2.637 \times 10^{-23} \,kg \,ms^{-1}$.
આપેલ વેગમાન $p = \frac{h}{4 \pi \times 0.05 \,nm} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{4 \times 3.1416 \times 5 \times 10^{-11} \,m} = 1.055 \times 10^{-24} \,kg \,ms^{-1}$.
કારણ કે વાસ્તવિક વેગમાન $(1.055 \times 10^{-24} \,kg \,ms^{-1})$ એ વેગમાનની અનિશ્ચિતતા $(2.637 \times 10^{-23} \,kg \,ms^{-1})$ કરતા ઓછું છે,તેથી આ મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી કારણ કે તે અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(A) બોહરના મોડેલની નિષ્ફળતા તરફ દોરી જતા અને પરમાણુ બંધારણનું વધુ સચોટ વર્ણન આપતા બે મુખ્ય વિકાસ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ દ્રવ્યનું દ્વૈત વર્તન,જે ડી-બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું હતું,જે જણાવે છે કે તમામ દ્રવ્ય તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$(ii)$ હાઈઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત,જે જણાવે છે કે ઈલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન બંને એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.

(N/A) વર્નર હાઇઝનબર્ગ,એક જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રીએ $1927$ માં અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત આપ્યો હતો.
સિદ્ધાંત: આ સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન (અથવા વેગ) એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$(\Delta x) \times (\Delta p) \geq \frac{h}{4 \pi}$ (સમી. $2.31$) અથવા $(\Delta x) \times (m \Delta v_x) \geq \frac{h}{4 \pi}$ (સમી. $2.32$)
જ્યાં,
$\Delta x = \text{કણના સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા}$
$\Delta p = \text{કણના વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા}$
$\Delta v_x = \text{કણના વેગમાં અનિશ્ચિતતા}$
સમજૂતી: જો ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન ચોક્કસ રીતે જાણી શકાય ($\Delta x$ નાનું હોય),તો તેનો વેગ અનિશ્ચિત (મોટો) થઈ જશે. જો ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ચોક્કસ રીતે જાણી શકાય,તો તેનું સ્થાન અનિશ્ચિત થઈ જશે. આમ,ઇલેક્ટ્રોનના સ્થાન કે વેગનું કોઈપણ ભૌતિક માપન હંમેશા અસ્પષ્ટ પરિણામ આપે છે.
મહત્વ: હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતની એક મહત્વની અસર એ છે કે તે ઇલેક્ટ્રોન અને અન્ય સમાન સૂક્ષ્મ કણો માટે ચોક્કસ માર્ગ અથવા ગતિપથના અસ્તિત્વને નકારે છે. કોઈપણ ક્ષણે સ્થાન અને વેગ બંને એકસાથે ચોકસાઈથી નક્કી કરી શકાતા ન હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનના ગતિપથ વિશે વાત કરવી શક્ય નથી.

(N/A) સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi \, m}$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા માટેનું સૂત્ર: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \, m \, \Delta x}$.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$,$m = 10 \, g = 10^{-2} \, kg$,અને $\Delta x = 10^{-5} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-2} \times 10^{-5}}$.
$\Delta v = 5.27 \times 10^{-28} \, m \, s^{-1}$.

(0.1 KG) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
દળ $(m)$ માટે સૂત્ર:
$m = \frac{h}{4 \pi \Delta x \cdot \Delta v}$
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
$\Delta x = 10^{-10} \ m$
$\Delta v = 5.27 \times 10^{-24} \ m \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 5.27 \times 10^{-24}}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.626 \times 10^{-33}}$
$m = 0.1 \ kg$

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
આપેલ છે: $\Delta v = 5.7 \times 10^5 \ m \ s^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5.7 \times 10^5}$.
$\Delta x \approx 1.01 \times 10^{-10} \ m$.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geqslant \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v$ માટે સૂત્ર:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta x}$
આપેલ છે:
$\Delta x = 1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-10}}$
$\Delta v \approx 5.797 \times 10^5 \, m/s$

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \text{constant}$.
તેથી,$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{m_B \cdot \Delta v_B}{m_A \cdot \Delta v_A}$.
અહીં $m_B = 5m_A$,$\Delta v_A = 0.05 \ ms^{-1}$ અને $\Delta v_B = 0.02 \ ms^{-1}$ લેતા,
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{5m_A \cdot 0.02}{m_A \cdot 0.05} = \frac{0.1}{0.05} = 2:1$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 10 \ \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \ \text{m} = 10^{-9} \ \text{m}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-9}}$.
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{114.53 \times 10^{-40}} \approx 0.5785 \times 10^{6} \ \text{m s}^{-1} = 5.79 \times 10^{4} \ \text{m s}^{-1}$.

સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે:
ઝડપ $(v) = 300 \ ms^{-1}$
ઝડપમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v) = 300 \ ms^{-1}$ ના $0.01\% = \frac{0.01}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-2} \ ms^{-1}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-2}}$
$\Delta x \approx 1.93 \times 10^{-3} \ m$.

(N/A) ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ એ વિજ્ઞાનની એક શાખા છે જે દ્રવ્યના દ્વૈત વર્તન (તરંગ-કણ દ્વૈતતા) ને ધ્યાનમાં લે છે અને તે તરંગ ગતિના વિચારો પર આધારિત છે.
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો વિકાસ $1926$ માં વર્નર હાઇઝનબર્ગ અને ઇરવિન શ્રોડિંજર દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે કરવામાં આવ્યો હતો. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ શ્રોડિંજર દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું,જેના માટે તેમને $1933$ માં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર મળ્યો હતો.
આ સમીકરણ ગાણિતિક રીતે જટિલ છે અને તેને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ ગણિતના જ્ઞાનની જરૂર છે.
તે સ્વીકારે છે કે 'પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે.' આ સિદ્ધાંત મુજબ,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ચોક્કસ માર્ગ ક્યારેય જાણી શકાતો નથી.
સમય સાથે ન બદલાતી ઉર્જા ધરાવતી સિસ્ટમ (જેમ કે પરમાણુ અથવા અણુ) માટે શ્રોડિંજર સમીકરણ નીચે મુજબ લખાય છે:
$\hat{H}\Psi = E\Psi$
જ્યાં,
$\hat{H}$ = હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર (ગાણિતિક ઓપરેટર).
$E$ = સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા.
$\Psi$ = તરંગ વિધેય (Wave function).
આ સમીકરણનો ઉકેલ $E$ અને $\Psi$ ના મૂલ્યો આપે છે.
કુલ ઉર્જા $(E)$: આમાં તમામ સબ-એટોમિક કણો (ઇલેક્ટ્રોન,ન્યુક્લિયસ) ની ગતિ ઉર્જા અને તેમની વચ્ચેના આકર્ષણ બળને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.
તરંગ વિધેય $(\Psi)$: તે પરમાણુનું તરંગ વિધેય છે. $\Psi$ પોતે કોઈ ભૌતિક અર્થ ધરાવતું નથી,પરંતુ $|\Psi|^2$ એ ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના દર્શાવે છે.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ જેવી સિસ્ટમ માટે શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ ઓપરેટર સમીકરણ $\hat{H}\Psi = E\Psi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{H}$ એ હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર છે,$\Psi$ એ તરંગ વિધેય છે,અને $E$ એ સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા છે.
જ્યારે આ સમીકરણ હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ઉકેલવામાં આવે છે:
$(i)$ આ ઉકેલ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા સંભવિત ઉર્જા સ્તરો અને દરેક ઉર્જા સ્તર સાથે સંકળાયેલ તરંગ વિધેય $(\Psi)$ આપે છે.
$(ii)$ આ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ઉર્જા અવસ્થાઓ અને તરંગ વિધેયો ત્રણ ક્વોન્ટમ આંકના સમૂહ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$,અને ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_{l})$.
$(iii)$ તરંગ વિધેય $(\Psi)$ આપેલ ઉર્જા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન વિશેની તમામ માહિતી ધરાવે છે.
$\Psi$ ની વ્યાખ્યા: તરંગ વિધેય એ એક ગાણિતિક વિધેય છે જેનું મૂલ્ય પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનના યામો પર આધાર રાખે છે. તેનું કોઈ સીધું ભૌતિક અર્થ નથી,પરંતુ તેનો વર્ગ,$|\Psi|^{2}$,કોઈ બિંદુ પર ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે.
એક-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ: હાઇડ્રોજન અથવા હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ $(He^{+}, Li^{2+}, \dots)$ માટેના તરંગ વિધેયોને પરમાણ્વીય કક્ષકો કહેવામાં આવે છે.
ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના તમામ પાસાઓની સફળતાપૂર્વક આગાહી કરે છે,જેમાં બોહર મોડેલ દ્વારા સમજાવી ન શકાય તેવી ઘટનાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ તરીકેની વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ઉકેલતા:
$(i)$ આ ઉકેલ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા સંભવિત ઉર્જા સ્તરો અને દરેક ઉર્જા સ્તર સાથે સંકળાયેલ તરંગ વિધેય $(\psi)$ આપે છે.
$(ii)$ આ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ ઉર્જા અવસ્થાઓ અને તરંગ વિધેયો ત્રણ ક્વોન્ટમ આંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: મુખ્ય $(n)$,ગૌણ $(l)$ અને ચુંબકીય $(m_{l})$.
$(iii)$ તરંગ વિધેય આપેલ ઉર્જા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન વિશેની તમામ માહિતી ધરાવે છે.
$\psi$ ની વ્યાખ્યા: તરંગ વિધેય એ એક ગાણિતિક વિધેય છે જેનું મૂલ્ય પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનના યામ $(x, y, z)$ પર આધાર રાખે છે. તેનું કોઈ સીધું ભૌતિક મહત્વ નથી.
એક-ઇલેક્ટ્રોન તંત્ર: હાઇડ્રોજન અથવા હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ (જેમ કે $He^{+}$,$Li^{2+}$) કે જેમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય,તેના તરંગ વિધેયોને પરમાણ્વીય કક્ષકો કહેવામાં આવે છે.
$|\psi|^{2}$ નો અર્થ: $|\psi|^{2}$ નું મૂલ્ય પરમાણુમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે. તે હંમેશા ધન મૂલ્ય ધરાવે છે.
એક-ઇલેક્ટ્રોન સ્પીસીઝ માટે,કક્ષકોની ઉર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક '$n$' પર આધાર રાખે છે.

(N/A)

$\psi$	$|\psi|^2$
તે એક તરંગ વિધેય (wave function) છે.	તે પરમાણુમાં કોઈ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે.
તેનો કોઈ સીધો ભૌતિક અર્થ નથી.	તેનો સીધો ભૌતિક અર્થ છે.
તે ઇલેક્ટ્રોનના યામોનું ગાણિતિક વિધેય છે.	$|\psi|^2$ એ ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવનાના સમપ્રમાણમાં છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા દર્શાવે છે.
તે ધન અથવા ઋણ મૂલ્યો ધરાવી શકે છે.	તે હંમેશા ધન હોય છે.
તેનો ઉપયોગ ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સ્તરો નક્કી કરવા માટે થાય છે,જે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.	તેનો ઉપયોગ ઇલેક્ટ્રોનનું વિતરણ,સ્થાન અને કક્ષકોનો આકાર નક્કી કરવા માટે થાય છે.

(N/A) પરમાણુનું ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ: પરમાણુનું આ મોડેલ પરમાણુની રચનાનું ચિત્ર છે,જે પરમાણુઓ માટે શ્રોડિંજર સમીકરણના ઉપયોગથી ઉદ્ભવે છે.
પરમાણુના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલની મહત્વની લાક્ષણિકતાઓ:
$(i)$. પરમાણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે (એટલે કે,માત્ર અમુક ચોક્કસ મૂલ્યો જ ધરાવી શકે છે),ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાં કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલા હોય છે.
$(ii)$. ક્વોન્ટાઈઝ્ડ ઇલેક્ટ્રોનિક ઉર્જા સ્તરોનું અસ્તિત્વ એ ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ જેવા ગુણધર્મોનું સીધું પરિણામ છે અને તે શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણના માન્ય ઉકેલો છે.
$(iii)$. પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગ બંને એકસાથે નક્કી કરી શકાતા નથી (હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત). તેથી,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ ક્યારેય સચોટ રીતે નક્કી કરી શકાતો નથી.
$(iv)$. પરમાણ્વીય કક્ષક એ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટેનું તરંગ વિધેય $\psi$ છે.
- જ્યારે પણ ઇલેક્ટ્રોનનું વર્ણન તરંગ વિધેય દ્વારા કરવામાં આવે છે,ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન તે કક્ષક ધરાવે છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે આવા ઘણા તરંગ વિધેયો શક્ય હોવાથી,પરમાણુમાં ઘણી પરમાણ્વીય કક્ષકો હોય છે.
- આ "એક-ઇલેક્ટ્રોન કક્ષકીય તરંગ વિધેયો" અથવા કક્ષકો પરમાણુઓની ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાનો આધાર બનાવે છે.
- દરેક કક્ષકમાં,ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ ઉર્જા ધરાવે છે. એક કક્ષકમાં બેથી વધુ ઇલેક્ટ્રોન હોઈ શકતા નથી.
- બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાં,ઇલેક્ટ્રોન વધતી જતી ઉર્જાના ક્રમમાં વિવિધ કક્ષકોમાં ભરાય છે.
- પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન વિશેની તમામ માહિતી તેના કક્ષકીય તરંગ વિધેય $\Psi$ માં સંગ્રહિત હોય છે અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ આ માહિતીને $\Psi$ માંથી બહાર કાઢવાનું શક્ય બનાવે છે.
$(v)$. ઇલેક્ટ્રોન સંભાવના $|\Psi|^{2}$ શોધવી:
- પરમાણુની અંદર કોઈ બિંદુ પર ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના કક્ષકીય તરંગ વિધેયના વર્ગના પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે તે બિંદુ પર $|\Psi|^{2}$. $|\Psi|^{2}$ ને સંભાવના ઘનતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તે હંમેશા ધન હોય છે.
- પરમાણુની અંદર વિવિધ બિંદુઓ પર $|\Psi|^{2}$ ના મૂલ્ય પરથી,કેન્દ્રની આસપાસના તે વિસ્તારની આગાહી કરવી શક્ય છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સૌથી વધુ સંભાવના છે.

(N/A) $\psi(r)$ વિરુદ્ધ $r$ આલેખ:
- આ આલેખ કેન્દ્રથી અંતર સાથે તરંગ વિધેયમાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે. વક્ર દરેક કક્ષક માટે વિશિષ્ટ હોય છે.
- જે બિંદુઓ પર વક્ર $r$-અક્ષને છેદે છે (જ્યાં $\psi(r) = 0$),તે ત્રિજ્યાવર્તી નોડ (radial nodes) દર્શાવે છે.
- $1s$ કક્ષક માટે,$\psi(r)$ એ $r = 0$ પર મહત્તમ હોય છે અને ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. $2s$ માટે,તે ચોક્કસ અંતરે શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે,જે નોડ સૂચવે છે.
$\psi^2(r)$ વિરુદ્ધ $r$ આલેખ:
- આ આલેખ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે.
- $\psi^2(r)$ હંમેશા ધન હોવાથી,વક્ર $r$-અક્ષની ઉપર રહે છે.
- જેમ $r$ વધે છે તેમ $\psi^2(r)$ નું મૂલ્ય ઘટે છે. જે બિંદુઓ પર $\psi^2(r) = 0$ હોય છે તે ત્રિજ્યાવર્તી નોડને અનુરૂપ છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,ઝડપ $v = 90 \ m/s$.
ઝડપમાં ચોકસાઈ $4\%$ છે,તેથી ઝડપમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{4}{100} \times 90 = 3.6 \ m/s$.
હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x \ge \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x \ge \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14 \times 0.01 \ kg \times 3.6 \ m/s}$.
$\Delta x \ge \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.45216} \approx 1.46 \times 10^{-33} \ m$.

(N/A) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણ $(m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ માટે,અનિશ્ચિતતા નોંધપાત્ર છે.
$1 \ mg$ $(10^{-6} \ kg)$ દળ ધરાવતા મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થ માટે:
$\Delta x \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi m} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \ kg} \approx 0.527 \times 10^{-28} \ m^2 \ s^{-1}$.
આ મૂલ્ય અત્યંત નાનું અને ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે,તેથી જ મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થો માટે અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત નગણ્ય છે.

(N/A) બોહર મોડેલ નિષ્ફળ ગયું કારણ કે તે ઇલેક્ટ્રોનને સુનિશ્ચિત વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ તરીકે ગણતું હતું,જેના માટે ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગ બંને એકસાથે જાણવા જરૂરી છે.
આ $Heisenberg$ ના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે,જે જણાવે છે કે સબએટોમિક કણનું સ્થાન અને વેગમાન બંને એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
વધુમાં,બોહર મોડેલ દ્રવ્યની તરંગ-કણ દ્વૈતતાને ધ્યાનમાં લેતું ન હતું.
કક્ષાના ખ્યાલને કક્ષક (સંભાવનાનો વિસ્તાર) ના ખ્યાલ દ્વારા બદલવામાં આવ્યો હતો જે બે મુખ્ય વિકાસને કારણે થયું:
$1$. દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિનો ડી-બ્રોગ્લી ખ્યાલ.
$2$. $Heisenberg$ નો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત.
નવા મોડેલને પરમાણુનું $Quantum$ $Mechanical$ મોડેલ કહેવામાં આવે છે.

(A) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન (અથવા વેગ) એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા છે અને $\Delta p$ એ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા છે.