Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Gujarati

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના પરિમાણો કરતાં નાના એકમોમાં અંકિત કરેલી માપપટ્ટી (સાધન) નો ઉપયોગ કરવો પડે.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનો નિશ્ચિત પથ કે પ્રક્ષેપ પથ નક્કી કરવો અશક્ય છે,કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન અને વેગમાન (અથવા વેગ) બંનેને એકસાથે ચોકસાઈથી નક્કી કરી શકાતા નથી.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi m}$.
અહીં દ્રવ્યમાન $m = 1 \ mg = 10^{-6} \ kg$ છે.
$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14 \times 10^{-6} \ kg} \approx 5.27 \times 10^{-29} \ m^2 \ s^{-1}$.
આ મૂલ્ય અત્યંત નાનું અને નગણ્ય છે,જે સૂચવે છે કે $1 \ mg$ કે તેથી વધુ ભારે પદાર્થો માટે અનિશ્ચિતતા અવલોકનક્ષમ નથી અને ત્યાં શાસ્ત્રીય યંત્રશાસ્ત્ર (classical mechanics) લાગુ પડે છે.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi m}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ મૂકતા,આપણને $\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4\pi m}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$.
આ મૂલ્ય સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન માટે તેનું સ્થાન અને વેગ બંને એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવા અશક્ય છે.

(A) ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ એ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે જે પરમાણુઓ અને સબએટોમિક કણોના સ્તરે પ્રકૃતિના ભૌતિક ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે.
તે ઇલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ એકમોના વર્તનને સમજવા માટે ગાણિતિક માળખું પૂરું પાડે છે,જે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સને અનુસરતા નથી.
મુખ્ય સિદ્ધાંતોમાં તરંગ-કણ દ્વૈતતા અને અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત સામેલ છે.

(N/A) ક્વોન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર $1926$ માં $Werner \ Heisenberg$ અને $Erwin \ Schrodinger$ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું.

(N/A) ક્વોન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રનું મૂળભૂત સમીકરણ ભૌતિકશાસ્ત્રી $Erwin \ Schr\ddot{o}dinger$ દ્વારા $1933$ માં વિકસિત કરવામાં આવ્યું હતું.

(A) જ્યારે પ્રણાલીની ઊર્જા અચળ હોય ત્યારે સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\hat{H}\Psi = E\Psi$
જ્યાં:
$\hat{H} =$ હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર
$E =$ પ્રણાલીની કુલ ઊર્જા
$\Psi =$ તરંગ વિધેય

(N/A) $\psi$ એ તરંગવિધેય (wave function) છે. તે એક ગાણિતિક વિધેય છે અને તેને કોઈ સીધો ભૌતિક અર્થ નથી.
$|\psi|^2$ એ પરમાણુમાં કોઈપણ બિંદુએ ઈલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા (probability density) દર્શાવે છે. તેને ભૌતિક અર્થ છે. ઈલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના $|\psi|^2$ ના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ માટે $Schrodinger$ ના તરંગ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવો ખૂબ જ મુશ્કેલ છે,કારણ કે તેમાં ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું અપાકર્ષણ જટિલ હોય છે. તેથી,આ પ્રણાલીઓ માટે ઉર્જા અને તરંગ વિધેયો નક્કી કરવા માટે આશરા પડતી (approximate) પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(N/A) પરમાણ્વીય કક્ષકો અને $\psi$: તરંગ યંત્રશાસ્ત્ર મુજબ,પરમાણ્વીય કક્ષકોને તરંગ વિધેયો $(\psi)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જે ઇલેક્ટ્રોન તરંગોનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે. આ શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણના ઉકેલ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આણ્વીય કક્ષકો અને $LCAO$: શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી કોઈપણ પ્રણાલી માટે ચોકસાઈપૂર્વક ઉકેલી શકાતું નથી. આણ્વીય કક્ષકો અણુઓ માટે એક-ઇલેક્ટ્રોન તરંગ વિધેયો હોવાથી,તેમને સીધા શ્રોડિંજર સમીકરણના ઉકેલથી મેળવવા મુશ્કેલ છે. આ સમસ્યાને દૂર કરવા માટે,$LCAO$ (Linear Combination of Atomic Orbitals) નામની અંદાજિત પદ્ધતિ અપનાવવામાં આવી છે.
$LCAO$ એ શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ દ્વારા એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી આણ્વીય કક્ષકોના ઉકેલ માટેની એક પદ્ધતિ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$.
વેગ $v = 90 \, ms^{-1}$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 90 \text{ ના } 5 \, \% = 90 \times 0.05 = 4.5 \, ms^{-1}$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 0.01 \times 4.5}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.5652} \approx 1.17 \times 10^{-33} \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $1 \times 10^{-33} \, m$ મળે છે.

(C) વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\Delta v = \frac{0.02}{100} \times 5 \times 10^{6} \ m \ s^{-1} = 10^{3} \ m \ s^{-1}$
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\Delta x \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (10^{3} \ m \ s^{-1}) = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \ kg}$
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{3}} \approx 58 \times 10^{-9} \ m$
તેથી,$x = 58$.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \Delta v$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $m \Delta v \Delta x = \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે: $\Delta v = 2.4 \times 10^{-26} \, m \, s^{-1}$,$\Delta x = 10^{-7} \, m$,અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$.
$m \times (2.4 \times 10^{-26}) \times (10^{-7}) = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159}$.
$m \times 2.4 \times 10^{-33} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566}$.
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 2.4 \times 10^{-33}} = \frac{6.626}{30.1584} \times 10^{-1} \, kg$.
$m \approx 0.2197 \times 10^{-1} \, kg = 0.02197 \, kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા: $m = 0.02197 \times 1000 \, g = 21.97 \, g$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $22$ છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \times \Delta p_{x} \geq \frac{h}{4 \pi}$
અહીં $\Delta x = 2 a_{0} = 2 \times 52.9 \times 10^{-12} \ m = 105.8 \times 10^{-12} \ m$ આપેલ છે.
લઘુત્તમ અનિશ્ચિતતા માટે,$\Delta x \times m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta x}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 105.8 \times 10^{-12}}$
$\Delta v \approx 548273 \ m \ s^{-1} = 548.273 \ km \ s^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,મૂલ્ય $548 \ km \ s^{-1}$ મળે છે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે બોહરની પૂર્વધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે,એટલે કે $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે બોહરનું મોડેલ ધારે છે કે ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત વેગ અને સ્થાન સાથે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ફરે છે,જે હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો સીધો વિરોધાભાસ કરે છે,જે જણાવે છે કે સબએટોમિક કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$m \Delta V \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4 \pi}$
આપેલ છે:
$\Delta x = 10^{-15} \ m$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ Js$
$\pi = 3.14$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = \frac{h}{4 \pi m \Delta x}$
$\Delta V = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-15}}$
$\Delta V = 57.97 \times 10^9 \ ms^{-1}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $58 \times 10^9 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(B) વિધાન $(I)$ એ હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતની વ્યાખ્યા છે,જે સાચું છે.
વિધાન $(II)$ માટે,હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે $\Delta x = \Delta p$,તેથી $(\Delta p)^2 \geq \frac{h}{4\pi}$,એટલે કે $\Delta p \geq \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.
કારણ કે $\Delta p = m \cdot \Delta v$,તેથી $m \cdot \Delta v \geq \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.
આમ,$\Delta v \geq \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
તેથી,વિધાન $(II)$ પણ સાચું છે.

(D) શ્રોડિંજર તરંગ સમીકરણ ફક્ત હાઇડ્રોજન પરમાણુ (એક-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ) માટે જ ચોક્કસ રીતે ઉકેલી શકાય છે. મલ્ટી-ઇલેક્ટ્રોન સ્પીસીઝ માટે,જટિલ ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણને કારણે તેને સંપૂર્ણપણે ઉકેલી શકાતું નથી,અને અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) આપેલ છે: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3 \times 10^4 \ cm \ sec^{-1}$,$\Delta v = 0.011 \% \text{ of } v = \frac{0.011}{100} \times 3 \times 10^4 = 3.3 \ cm \ sec^{-1}$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
$h = 6.626 \times 10^{-27} \ g \ cm^2 \ sec^{-1}$ અને $\pi = 3.1416$ લેતા:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 3.3}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{37.83} \approx 0.175 \ cm$.

(D) . "ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે" આ વિધાન $Heisenberg \ uncertainty \ principle$ (હાઈઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત) ની વ્યાખ્યા છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર $\frac{h}{4\pi}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે,જે $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ વેગ $v = 300 \ ms^{-1}$ અને ચોકસાઈ $0.001 \ \%$ છે,તેથી વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 300 \times \frac{0.001}{100} = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x \approx 1.92 \times 10^{-2} \ m$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા છે અને $\Delta p$ એ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા છે.

(D) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાન અને વેગમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણાકાર: $\Delta v \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4 \pi m}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 10^{-6} \ kg$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
$\Delta v \cdot \Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-6}}$.
$\Delta v \cdot \Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-6}} \approx 5.27 \times 10^{-29} \ m^{2} \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે. $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આ સિદ્ધાંત માત્ર સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે. મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થો માટે,અનિશ્ચિતતા નગણ્ય છે અને વ્યવહારમાં અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(C) $\text{હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ}$, $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
$\text{આપેલ છે}$, $\Delta x = 100 \ pm = 100 \times 10^{-12} \ m = 10^{-10} \ m$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\text{કિંમતો મૂકતા}$, $\Delta p \geq \frac{h}{4\pi \Delta x}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq 0.527 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
$\text{આમ, સાચો વિકલ્પ } C \text{ છે.}$

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \text{અચળ}$.
તેથી,$\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot \Delta v}$.
આપેલ છે કે $m_B = 4m_A$,$\Delta v_A = 0.03 \ m \ s^{-1}$,અને $\Delta v_B = 0.01 \ m \ s^{-1}$.
સ્થિતિમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{m_B \cdot \Delta v_B}{m_A \cdot \Delta v_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{4m_A \cdot 0.01}{m_A \cdot 0.03} = \frac{4 \cdot 0.01}{0.03} = \frac{4}{3}$.

(A) ઝડપમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v$ એ $50 \ m \ s^{-1}$ ના $2 \%$ છે.
$\Delta v = 50 \times \frac{2}{100} = 1 \ m \ s^{-1}$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
$\Delta v = 1 \ m \ s^{-1}$ કિંમત મૂકતા:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \times 1} = \frac{h}{4 \pi m}$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \times \Delta p \ge h / (4 \pi)$.
આપેલ છે કે સ્થિતિ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા સમાન છે: $\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = h / (4 \pi)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\Delta p = \sqrt{h / (4 \pi)} = 1 / 2 \sqrt{h / \pi}$.
કારણ કે $\Delta p = m \Delta v$,તેથી $m \Delta v = 1 / 2 \sqrt{h / \pi}$.
તેથી,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 1 / (2 m) \sqrt{h / \pi}$ થશે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે,$\Delta x = 0.002 \ nm = 2 \times 10^{-3} \times 10^{-9} \ m = 2 \times 10^{-12} \ m$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\pi = 3.14$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta p = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-12}}$.
$\Delta p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{25.12 \times 10^{-12}} \approx 0.2637 \times 10^{-22} \ kg \ ms^{-1}$.
$\Delta p = 2.637 \times 10^{-23} \ kg \ ms^{-1}$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x \cdot (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \cdot (0.1 \ m/s) = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14159}$
$\Delta x \cdot (9.1 \times 10^{-32} \ kg \cdot m/s) = 5.274 \times 10^{-35} \ kg \cdot m^2/s$
$\Delta x = \frac{5.274 \times 10^{-35}}{9.1 \times 10^{-32}} \approx 5.79 \times 10^{-4} \ m$

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે કે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x$ એ વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v$ જેટલી છે,તેથી $\Delta x = \Delta v$.
$\Delta p = m \Delta v$ હોવાથી,આપણે અનિશ્ચિતતાના સંબંધમાં $\Delta v = \Delta x$ મૂકી શકીએ છીએ:
$\Delta x \cdot (m \Delta x) = \frac{h}{4 \pi}$
$m (\Delta x)^2 = \frac{h}{4 \pi}$
$(\Delta x)^2 = \frac{h}{4 \pi m}$
$\Delta x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi m}}$
$\Delta p = m \Delta v$ અને $\Delta v = \Delta x$ હોવાથી,$\Delta p = m \Delta x$ થાય.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta p = m \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi m}}$
$\Delta p = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m^2 h}{\pi m}}$
$\Delta p = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m h}{\pi}}$

(D) આપેલ છે: ચોકસાઈ $= \pm 1 \%$,$\Delta x = 1.05 \times 10^{-13} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.
પ્રકાશનો વેગ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કણનો વેગ $v = 2c = 6 \times 10^8 \ m/s$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = v \text{ ના } 1 \% = 0.01 \times 6 \times 10^8 = 6 \times 10^6 \ m/s$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi}$.
$m = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$.
$m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 1.05 \times 10^{-13} \times 6 \times 10^6}$.
$m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{79.128 \times 10^{-7}} \approx 0.0834 \times 10^{-27} \ kg = 0.834 \times 10^{-28} \ kg$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0.8 \times 10^{-28} \ kg$ છે.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta P \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે કે વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta P)$ અને સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ સમાન છે,એટલે કે $\Delta P = \Delta x$.
અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતના સમીકરણમાં $\Delta x = \Delta P$ મૂકતા:
$(\Delta P)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
કારણ કે $\Delta P = m \cdot \Delta v$,તેથી $(m \cdot \Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$m^2 \cdot (\Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$(\Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\Delta v \geq \sqrt{\frac{h}{4 \pi m^2}} = \frac{1}{2 m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(D) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$,જ્યાં $\Delta p = m \Delta v$.
તેથી,$\Delta x \geq \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
આપેલ વેગ $v = 2.99 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$ અને ચોકસાઈ $0.0016 \%$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = v \times \frac{0.0016}{100} = 2.99 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-5} = 0.4784 \ cm \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 0.4784}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{5.475 \times 10^{-27}} \approx 1.21 \ cm$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા: $1.21 \ cm = 12.1 \ mm$.

(D) વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v$ એ $3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1}$ ના $0.5 \%$ છે.
$\Delta v = \frac{0.5}{100} \times 3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} = 1.5 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 1.66 \times 10^{-27} \times 1.5 \times 10^5}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{31.27 \times 10^{-22}} \approx 2.11 \times 10^{-13} \text{ m}$.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
અહીં $\Delta p = m \Delta v$ હોવાથી,$\Delta x \times m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3 \times 10^4 \ cm/s$,અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 0.02 \ \%$ of $v = 6 \ cm/s$.
$h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$ લેતા,
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 6} \approx 9.66 \times 10^{-3} \ cm$.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 10.98 \ nm = 10.98 \times 10^{-9} \ m$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times \pi \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10.98 \times 10^{-9}}$.
$\Delta v = \frac{1.6565 \times 10^4}{\pi} \ ms^{-1}$.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે $\Delta x = \Delta p$,તેથી $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
કારણ કે $\Delta p = m \Delta v$,તેથી $(m \Delta v)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
આથી $m^2 \Delta v^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta v^2 = \frac{h}{4\pi m^2}$.
તેથી $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે કે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ સમાન છે: $\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4 \pi}$.
તેથી,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta p = m \Delta v$ છે,તેથી $m \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
$\Delta v$ માટે ઉકેલતા: $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4 \pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
વેગમાન $\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $\Delta v$ એ વેગમાં અનિશ્ચિતતા છે,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\Delta x \cdot (m \cdot \Delta v) \geq \frac{h}{4 \pi}$
સ્થાન અને વેગમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણાકાર શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi \cdot m}$
આમ,આ ગુણાકાર $\frac{h}{4 \pi \cdot m}$ કરતા ઓછો હોઈ શકે નહીં.

(D) શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{d^2 \psi}{dy^2} + \frac{d^2 \psi}{dz^2} + \frac{8 \pi^2 m}{h^2}(E - V) \psi = 0$
જ્યાં,$\psi =$ તરંગ વિધેય,$m =$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$h =$ પ્લાન્કનો અચળાંક,$E =$ ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા,$V =$ ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા.

(C) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p = \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta x \cdot m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot m}$
આપેલ છે: $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$\Delta x = 10^{-33} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$v = 52.5 \ m \ s^{-1}$
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-33} \times 10^{-2}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{12.56 \times 10^{-35}} = \frac{66}{12.56} \approx 5.25 \ m \ s^{-1}$
ઝડપમાં ટકાવારી ચોકસાઈ = $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{5.25}{52.5} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$

(C) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta p \cdot \Delta x = \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે $\Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
પ્રથમ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x$ શોધો:
$\Delta x = \frac{h}{4\pi \cdot m \cdot \Delta v} = \frac{h}{4\pi \cdot m \cdot (\frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}})} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
ત્યારબાદ,વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta p$ શોધો:
$\Delta p = m \cdot \Delta v = m \cdot (\frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
સ્થાન અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta x}{\Delta p} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}} = \frac{1}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(D) અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta p \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$.
સૂક્ષ્મ કણના સ્થાન અને વેગ (અથવા વેગમાન) બંનેને એકસાથે ચોકસાઈથી માપવા અશક્ય છે.
આ સિદ્ધાંત માત્ર સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે $h$ નું મૂલ્ય અત્યંત નાનું $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે.
સ્થૂળ પદાર્થો માટે દળ એટલું વધારે હોય છે કે અનિશ્ચિતતા નગણ્ય બની જાય છે.
તેથી,હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત સામાન્ય રીતે ખૂબ જ ઊંચી ઝડપ ધરાવતા સૂક્ષ્મ કણો માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi m}$
આપેલ છે:
$\Delta x = 0.001 \ nm = 10^{-12} \ m$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-12}}$
$\Delta v \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.144 \times 10^{-41}}$
$\Delta v \geq 5.79 \times 10^7 \ m/s$

(D) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,સૂત્ર $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$ થશે.
આપેલ છે: $\Delta x = 1 \times 10^{-8} \ m$,$\Delta v = 6.627 \times 10^{-20} \ m/s$,$h = 6.627 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
દળ $(m)$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{6.627 \times 10^{-34}}{4 \pi \cdot (1 \times 10^{-8}) \cdot (6.627 \times 10^{-20})}$
$m = \frac{6.627 \times 10^{-34}}{4 \pi \cdot 6.627 \times 10^{-28}}$
$m = \frac{10^{-34}}{4 \pi \cdot 10^{-28}} = \frac{10^{-6}}{4 \pi} \ kg$

(D) આપેલ છે કે,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v)$ નો ગુણાકાર $\Delta x \cdot \Delta v = 5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$ છે.
સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x = 1 \ nm = 1 \times 10^{-9} \ m$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v)$ શોધવા માટે:
$\Delta v = \frac{\Delta x \cdot \Delta v}{\Delta x} = \frac{5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}}{1 \times 10^{-9} \ m} = 5.79 \times 10^4 \ m \ s^{-1}$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે સ્થાન અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા સમાન છે,એટલે કે $\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
કારણ કે $\Delta p = m \cdot \Delta v$,તેથી $m \cdot \Delta v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
આમ,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$ થાય.

(C) સુવ્યવસ્થિત તરંગ વિધેય માટે,$BORN$ ની શરતો મુજબ $\psi$ મર્યાદિત,એક-મૂલ્યવાન અને સતત હોવું જોઈએ. તેથી,$\psi$ અનંત હોવું જોઈએ તે શરત ખોટી છે.