Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(D) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \ eV \ \mathring{A}}{6200 \ \mathring{A}} = 2 \ eV$.
$80 \%$ दक्षता के साथ $20 \ s$ में बल्ब द्वारा उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E_{total} = P \times t \times \text{efficiency} = 40 \ W \times 20 \ s \times 0.8 = 640 \ J$.
कुल ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E_{total} = \frac{640}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 4 \times 10^{21} \ eV$.
फोटॉनों की संख्या $n = \frac{E_{total}}{E_{photon}} = \frac{4 \times 10^{21} \ eV}{2 \ eV} = 2 \times 10^{21}$.

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{2 \pi Z e^2}{n h}$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि वेग $v$,इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से स्वतंत्र है। अतः,द्रव्यमान को दोगुना करने से वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m_e v^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $KE \propto m_e$,यदि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो गतिज ऊर्जा भी दोगुनी हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि यह बढ़ जाएगी।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{n_1}}{r_{n_2}} = \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि कक्षाएं पहली चार $(n = 1, 2, 3, 4)$ में से हैं,इसलिए संभावित जोड़े $(n_1, n_2)$ $(1, 2)$ या $(2, 4)$ हैं।
$n^{th}$ कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
$(1, 2)$ जोड़े के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{4} - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
$(2, 4)$ जोड़े के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E = E_4 - E_2 = -\frac{13.6}{16} - (-\frac{13.6}{4}) = 2.55 \ eV$ है।

(D) कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ एक स्थिरांक है,$Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
इस संबंध से,हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
$1$. $v \propto Z$ (स्थिर $n$ पर),जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।
$2$. $v \propto \frac{1}{n}$ (स्थिर $Z$ पर),जो $\frac{1}{n}$ के विरुद्ध आलेखित करने पर मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।
$3$. $v \propto \frac{1}{n}$ (स्थिर $Z$ पर),जो $n$ के विरुद्ध आलेखित करने पर एक आयताकार हाइपरबोला का प्रतिनिधित्व करता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$v$ बनाम $n$ का ग्राफ एक आयताकार हाइपरबोला होना चाहिए,न कि ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा। इसलिए,$v$ बनाम $n$ का रेखीय ग्राफ गलत है।

(A) बोर मॉडल के अनुसार,परमाणु क्रमांक $Z$ वाली हाइड्रोजन जैसी प्रजाति की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए,ऊर्जा $E_n(H) = -13.6 \frac{1^2}{n^2} = -13.6 \frac{1}{n^2} \text{ eV}$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $E_n = Z^2 \times E_n(H)$ प्राप्त होता है।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^{2}$ और इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ होता है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
समानुपातिक संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,$T \propto \frac{n^{2}}{1/n} = n^{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r \propto n^{2}$,हमारे पास $n \propto r^{1/2}$ है,इसलिए $T \propto (r^{1/2})^{3} = r^{3/2}$ होता है।
अतः,समय अवधि का अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3/2}$ है।
दिया गया है कि $R_{1} = R$ और $R_{2} = 4R$,इसलिए $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{R}{4R}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{E_o}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_o = 13.6 \ eV$ है।
$n = 2$ और $n = 3$ के बीच ऊर्जा अंतर $E = E_3 - E_2 = -\frac{E_o}{3^2} - (-\frac{E_o}{2^2}) = E_o(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5E_o}{36}$ के रूप में दिया गया है।
अतः,$E_o = \frac{36E}{5} = 7.2E$ है।
$H$ परमाणु का आयनन विभव $n = 1$ से $n = \infty$ तक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है,जो $E' = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{E_o}{1^2}) = E_o$ है।
$E_o$ का मान रखने पर,हमें $E' = 7.2E$ प्राप्त होता है।

(NONE) समीकरण $E = -2.178 \times 10^{-18} \ J \ \frac{Z^2}{n^2}$ हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का वर्णन करता है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,ऊर्जा कम ऋणात्मक (शून्य के करीब) हो जाती है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन कम मजबूती से बंधा हुआ है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि ऋणात्मक चिह्न अनंत पर शून्य-ऊर्जा स्थिति के सापेक्ष एक स्थिर बंधी हुई स्थिति को इंगित करता है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $r \propto n^2$ है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि इस सूत्र का उपयोग करके $\Delta E = E_f - E_i$ की गणना की जा सकती है।
चूंकि सभी कथन $A, B, C$ और $D$ बोहर मॉडल के अनुसार वैज्ञानिक रूप से सही हैं,इसलिए विकल्पों में कोई गलत कथन नहीं दिया गया है।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम का पराबैंगनी क्षेत्र लाइमन श्रेणी के अनुरूप है,जहाँ संक्रमण मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में होता है।
पराबैंगनी क्षेत्र में चार रेखाओं का अर्थ है कि संक्रमण $n_2 = 2, 3, 4, 5$ से $n_1 = 1$ तक हो रहे हैं।
यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में $n = 5$ उत्तेजित अवस्था में है।
$n = 5$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संभावित संक्रमणों की कुल संख्या $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{5(5-1)}{2} = 10$ है।
अवरक्त क्षेत्र में रेखाएँ पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$ और ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$ के अनुरूप होती हैं।
$n = 5$ के लिए,संभावित संक्रमण हैं:
$5 \rightarrow 4$ (ब्रैकेट श्रेणी,$IR$),
$5 \rightarrow 3$ (पाश्चन श्रेणी,$IR$),
$4 \rightarrow 3$ (पाश्चन श्रेणी,$IR$)।
इस प्रकार,अवरक्त क्षेत्र में $3$ रेखाएँ उत्पन्न होती हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $5^{th}$ उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 6$ के अनुरूप होती है।
मूल अवस्था $n = 1$ के अनुरूप होती है।
बामर श्रेणी में वे स्पेक्ट्रमी रेखाएं शामिल होती हैं जो तब उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 > 2)$ से $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर संक्रमण करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $n = 6$ से $n = 1$ में संक्रमण कर रहा है,बामर श्रेणी में आने वाले संक्रमण वे हैं जो $n = 2$ पर समाप्त होते हैं।
ये संक्रमण हैं: $6 \to 2$,$5 \to 2$,$4 \to 2$,और $3 \to 2$।
अतः,बामर श्रेणी में विभिन्न स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कुल संख्या $4$ है।

(C) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,एक अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $E \propto Z^2$। यदि $Z$ को दोगुना किया जाता है,तो $E$ मूल मान का $4$ गुना हो जाता है।
कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $r \propto \frac{1}{Z}$। यदि $Z$ को दोगुना किया जाता है,तो $r$ मूल मान का आधा हो जाता है।
कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ \text{m/s}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $v \propto Z$। यदि $Z$ को दोगुना किया जाता है,तो $v$ मूल मान का $2$ गुना हो जाता है।
इसलिए,यह कथन कि कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग दोगुना हो जाता है,बोहर के सिद्धांत के अनुरूप है।

(D) जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ से $n_1$ में कूदता है तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n_2 = 5$ और $n_1 = 2$ के लिए,कुल रेखाओं की संख्या $\frac{(5 - 2)(5 - 2 + 1)}{2} = 6$ है।
संभावित संक्रमण: $5 \to 4, 5 \to 3, 5 \to 2, 4 \to 3, 4 \to 2, 3 \to 2$.
$1$. पराबैंगनी क्षेत्र (लाइमन श्रेणी,$n_1 = 1$): $0$ रेखाएं।
$2$. दृश्य क्षेत्र (बामर श्रेणी,$n_1 = 2$): $5 \to 2, 4 \to 2, 3 \to 2$ यानी $3$ रेखाएं।
$3$. अवरक्त क्षेत्र (पाशन श्रेणी,$n_1 = 3$): $5 \to 3, 4 \to 3$ यानी $2$ रेखाएं।
दिए गए विकल्प प्रश्न के साथ मेल नहीं खाते हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है (मूल अवस्था $n=1$,पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n=3$)।
मान रखने पर: $E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$।
$E_3 = -6.044 \ eV$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी कुल ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है,अर्थात $KE = |E_n|$।
अतः,$KE = 6.044 \ eV \approx 6.04 \ eV$।

(A) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
$H$ परमाणु $(Z=1)$ के लिए लाइमैन श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ पर होती है।
$\frac{1}{x} = R_{H} (1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R_{H} \implies R_{H} = \frac{1}{x}$।
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए बामर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ पर होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R_{H} (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$।
$R_{H} = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{x} \times 4 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{4}{x} \left[ \frac{5}{36} \right] = \frac{5}{9x}$।
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{9x}{5}$।

(B) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$,जहाँ $v_0$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन का वेग है $(2.18 \times 10^6 \ m/s)$,$Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
हाइड्रोजन $(H)$ परमाणु की मूल अवस्था के लिए: $Z_1 = 1$,$n_1 = 1$. अतः,$v_1 = v_0 \times \frac{1}{1} = v_0$.
$He^{+}$ आयन की दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए: $Z_2 = 2$,और दूसरी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n_2 = 3$. अतः,$v_2 = v_0 \times \frac{2}{3}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 \times (2/3)} = \frac{3}{2} = 1.5$ है।

(A) कुल ऊर्जा $(E_n)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ के बीच संबंध $E_n = \frac{1}{2} PE$ है।
दी गई मान को रखने पर: $E_n = \frac{-6.8 \ eV}{2} = -3.4 \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ होती है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,जिससे $n^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $n = 2$।
अवस्था $n = 1$ मूल अवस्था (ground state) है,और $n = 2$ प्रथम उत्तेजित अवस्था है।

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ और $Z = 1$,इसलिए $r_H = a_0 \frac{1^2}{1} = a_0$ है।
$Be^{+3}$ आयन के लिए,$Z = 4$ है। हमें वह कक्षा $n$ ज्ञात करनी है जिसके लिए $r_{Be} = r_H$ हो।
$a_0 \frac{n^2}{4} = a_0$।
$n^2 = 4$।
$n = 2$।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -K \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ है।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए,आयनन ऊर्जा $IE = 4K = 8.68 \times 10^{-18} \ J$ है।
अतः,$K = 2.17 \times 10^{-18} \ J$।
अब,$Be^{3+}$ $(Z=4)$ के लिए दूसरी कक्षा $(n=2)$ में:
$E_2 = -(2.17 \times 10^{-18}) \times \frac{4^2}{2^2} = -8.68 \times 10^{-18} \ J$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
अवशोषण के लिए,इलेक्ट्रॉन निचले ऊर्जा स्तर $(n_1)$ से उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ में जाता है।
$1$ से $2$ के लिए: $\Delta E = 13.6 (1 - \frac{1}{4}) = 10.2 \ eV$.
$2$ से $3$ के लिए: $\Delta E = 13.6 (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) \approx 1.89 \ eV$.
$1$ से $\infty$ के लिए: $\Delta E = 13.6 (1 - 0) = 13.6 \ eV$.
$\infty$ से $1$ उत्सर्जन को दर्शाता है,अवशोषण को नहीं।
अतः,$1$ से $\infty$ के संक्रमण में अधिकतम ऊर्जा अवशोषित होती है।

(B) दृश्य क्षेत्र बामर श्रेणी $(n_f = 2)$ के अनुरूप है।
बामर श्रेणी में $4$ रेखाएं प्राप्त करने के लिए,इलेक्ट्रॉन को $n_i = 6$ से $n_f = 2$ पर कूदना चाहिए (क्योंकि रेखाओं की संख्या $= n_i - n_f = 6 - 2 = 4$)।
अवरक्त $(IR)$ क्षेत्र में पाश्चन $(n_f = 3)$,ब्रैकेट $(n_f = 4)$ और फुंड $(n_f = 5)$ श्रेणी शामिल हैं।
$n_i = 6$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण के लिए:
पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$: $6$ $\rightarrow 3, 5$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 3$ ($3$ रेखाएं)।
ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$: $6$ $\rightarrow 4, 5$ $\rightarrow 4$ ($2$ रेखाएं)।
फुंड श्रेणी $(n_f = 5)$: $6 \rightarrow 5$ ($1$ रेखा)।
$IR$ क्षेत्र में कुल रेखाएं $= 3 + 2 + 1 = 6$।

(D) बोर के अभिधारणा के अनुसार,दो स्थिर अवस्थाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1$ होता है।
यह ऊर्जा अंतर अवशोषित या उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा के बराबर होता है,जिसे $E = h v$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $h v = E_2 - E_1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आवृत्ति $v = \frac{E_2 - E_1}{h}$ द्वारा दी जाती है।

(A) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
$3^{rd}$ कक्षा की त्रिज्या $(r_3)$ = $0.529 \times 9 = 4.761 \mathring{A}$ है।
$2^{nd}$ कक्षा की त्रिज्या $(r_2)$ = $0.529 \times 4 = 2.116 \mathring{A}$ है।
$3^{rd}$ और $2^{nd}$ कक्षाओं के बीच की दूरी $r_3 - r_2 = 4.761 \mathring{A} - 2.116 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A}$ है।
चूंकि $1 \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$,इसलिए दूरी $2.645 \times 10^{-8} \ cm$ है।

(D) $H$ परमाणु के परमाणु स्पेक्ट्रम में लाइमन श्रेणी उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 = 2, 3, 4, \dots, \infty)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप है।
तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
किसी भी स्पेक्ट्रल श्रेणी की 'अंतिम रेखा' उच्चतम संभव ऊर्जा स्तर,यानी $n_2 = \infty$ से श्रेणी सीमा स्तर,यानी $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
इसलिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ के बीच संबंध $P.E. = -2 \times K.E.$ है।
प्रारंभ में,$K.E._1 = y$,इसलिए $P.E._1 = -2y$ है।
अंत में,$K.E._2 = y/4$,इसलिए $P.E._2 = -2 \times (y/4) = -y/2$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta P.E. = P.E._2 - P.E._1 = (-y/2) - (-2y) = (-y/2) + 2y = \frac{3}{2}y$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} \left( \frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तर से होना चाहिए,इसलिए $n_2 = 2$।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R (2)^{2} \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right)$.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \times 4 \times \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \times 4 \times \frac{3}{4} = 3R$.
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{1}{3R}$.

(C) $Bohr$ का सिद्धांत केवल एकल-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज (हाइड्रोजन-समान परमाणु) के लिए लागू होता है।
$H$ में $1$ इलेक्ट्रॉन है।
$Li^{2+}$ में $3 - 2 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
$Be^{3+}$ में $4 - 3 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
$He^{2+}$ में $2 - 2 = 0$ इलेक्ट्रॉन हैं।
चूंकि $He^{2+}$ में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं है,इसलिए $Bohr$ का सिद्धांत इस पर लागू नहीं होता है।

(A) बोर के परमाणु मॉडल में,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $r \propto n^2$।
$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}$ होती है,जिसका अर्थ है $E \propto -1/n^2$।
ऊर्जा के परिमाण को देखते हुए,संबंध $r \propto n^2$ और $E \propto 1/n^2$ है।

(D) $n = 5$ अवस्था में एक $He^{+}$ आयन के लिए,उत्सर्जन रेखाओं की संख्या $n - 1 = 4$ है। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$n = 5$ के लिए आयनीकरण ऊर्जा $I.E. = \frac{13.6 \times Z^2}{n^2} = \frac{13.6 \times 4}{25} = 2.176 \, eV$ है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा संक्रमण $n = 5 \to n = 4$ के अनुरूप है। सूत्र के अनुसार $\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \times \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{25}\right) = \frac{9R}{100}$। इसलिए $\lambda = \frac{100}{9R} \approx \frac{11.11}{R}$। चूंकि $11.11/R > 10/R$,विकल्प $C$ गलत है।
कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$ है। $n = 5$ और $Z = 2$ के लिए,$r_5 = 0.529 \times 12.5 = 6.6125 \, \mathring{A}$। चूंकि $6.6125 \, \mathring{A} > 6 \, \mathring{A}$,विकल्प $D$ सही है।

(A) बल्ब की शक्ति $P = 150 \ W$ है।
केवल $8 \%$ ऊर्जा प्रकाश के रूप में उत्सर्जित होती है,इसलिए प्रकाश के रूप में उत्सर्जित शक्ति $P_{light} = 150 \times \frac{8}{100} = 12 \ W$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n)$ $n = \frac{P_{light}}{E} = \frac{P_{light} \times \lambda}{hc}$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $n = \frac{12 \times 6600 \times 10^{-10}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}} = 4 \times 10^{19}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(C) किसी कोश में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग सूत्र $L = n \frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$M$-कोश के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $L = 3 \times \frac{6.626 \times 10^{-27}}{2 \times 3.14159}$.
$L = 3.162 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$।

(A) $H$ जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
निकटवर्ती स्तरों $n$ और $n+1$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,पद $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ तेजी से घटता है।
अतः,मुख्य क्वांटम संख्या बढ़ने के साथ ऊर्जा का अंतर घटता है।

(A) $n^{\text{वीं}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$ है।
दिए गए परमाणु के लिए $Z$ स्थिर है,इसलिए $r_n \propto n^2$ होता है।
प्रथम तीन कक्षाओं $(n = 1, 2, 3)$ के लिए,अनुपात $r_1 : r_2 : r_3 = 1^2 : 2^2 : 3^2$ होगा।
अतः,अनुपात $1 : 4 : 9$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है।
दिए गए आयन के लिए,$Z$ स्थिर है,इसलिए $r_n \propto n^2$।
अतः,अनुपात $\frac{r_2}{r_5} = \frac{(2)^2}{(5)^2} = \frac{4}{25}$ होगा।

(B) रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य: $n_1 = 2$,$n_2 = \infty$.
$\frac{1}{X} = R \times 2^2 \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}\right) = R$.
अतः,$R = \frac{1}{X}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए पाश्चन श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य: $n_1 = 3$,$n_2 = 4$.
$\frac{1}{\lambda_{Li^{2+}}} = R \times 3^2 \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}\right) = R \times 9 \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right) = R \times \frac{7}{16}$.
$R = \frac{1}{X}$ रखने पर:
$\lambda_{Li^{2+}} = \frac{16}{7} \ X$.

(C) बोहर की अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
डी ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$,जिसका अर्थ है $mv = \frac{h}{\lambda}$।
इसे बोहर की अभिधारणा में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{h}{\lambda})r = \frac{nh}{2\pi}$।
यह $2\pi r = n\lambda$ में सरल हो जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$,इसलिए तरंगों की संख्या $3$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $r_2 = x$,इसलिए $r_n = k \cdot n^2$.
अतः,$x = k \cdot (2)^2 = 4k$,जिसका अर्थ है $k = x/4$.
$4^{th}$ कक्षा के लिए,$r_4 = k \cdot (4)^2 = 16k = 16 \cdot (x/4) = 4x$.
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr_n = n \frac{h}{2 \pi}$.
$4^{th}$ कक्षा के लिए,$mvr_4 = 4 \frac{h}{2 \pi}$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
क्वांटाइजेशन शर्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{h}{mv} = \frac{2 \pi r_4}{n}$.
$n = 4$ और $r_4 = 4x$ रखने पर,हमें $\lambda = \frac{2 \pi (4x)}{4} = 2 \pi x$ प्राप्त होता है।

(C) बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$।
$n=2$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$।
$n=3$ के लिए,$E_3 = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$।
$1^{st}$ और $2^{nd}$ कक्षाओं के बीच का अंतर $\Delta E_{2-1} = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
$2^{nd}$ और $3^{rd}$ कक्षाओं के बीच का अंतर $\Delta E_{3-2} = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = 1.89 \ eV$ है।
अनुपात $\frac{\Delta E_{2-1}}{\Delta E_{3-2}} = \frac{10.2}{1.89} \approx 5.4$ है।

(D) $He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ के लिए,ऊर्जा का अंतर न्यूनतम होना चाहिए,जो $n_2 = 2$ से संक्रमण के अनुरूप है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 4R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$।
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{1}{3R}$।

(B) रिडबर्ग सूत्र $\bar{v} = \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $n_2 > n_1$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा स्तरों का योग $n_2 + n_1 = 4$ और अंतर $n_2 - n_1 = 2$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $n_2 = 3$ और $n_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
रिडबर्ग सूत्र में मान रखने पर:
$\bar{v} = R \times (2)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\bar{v} = 4R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{32R}{9}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए समीकरण:
$2n_2 + 3n_1 = 18$ $(I)$
$2n_2 - 3n_1 = 6$ $(II)$
समीकरण $(I)$ और $(II)$ को जोड़ने पर:
$4n_2 = 24 \implies n_2 = 6$ $(III)$
समीकरण $(III)$ का मान $(II)$ में रखने पर:
$2(6) - 3n_1 = 6 \implies 12 - 3n_1 = 6 \implies 3n_1 = 6 \implies n_1 = 2$
अतः,संक्रमण $6 \rightarrow 2$ कक्षाओं के बीच होता है।
उत्सर्जित फोटॉनों की कुल संख्या ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{Total photons} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
$= \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) $Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,$E_2 = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{16}{4} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$।
पृथक्करण ऊर्जा (या उत्तेजित अवस्था से आयनन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n = 2$ से $n = \infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
$E_{separation} = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-54.4 \ eV) = 54.4 \ eV$।

(B) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की समय अवधि $(T)$ का सूत्र $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ है।
अतः,दो अलग-अलग प्रजातियों के लिए समय अवधि का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_1^3}{Z_1^2} \times \frac{Z_2^2}{n_2^3}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी कक्षा $(n_1 = 2, Z_1 = 1)$ और $He^{+}$ आयन की तीसरी कक्षा $(n_2 = 3, Z_2 = 2)$ के लिए:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2^3}{1^2} \times \frac{2^2}{3^3} = \frac{8}{1} \times \frac{4}{27} = \frac{32}{27}$.
अतः,अनुपात $32/27$ है।

(A) आवश्यक ऊर्जा $n=4$ अवस्था और मूल अवस्था $(n=1)$ के ऊर्जा स्तरों के बीच का अंतर है।
ऊर्जा अंतर के लिए सूत्र: $E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ है।
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$ है। मूल अवस्था $n_1 = 1$ है। बामर श्रेणी की दूसरी रेखा $n=4$ से $n=2$ में संक्रमण के अनुरूप है,इसलिए इलेक्ट्रॉन को $n=4$ अवस्था में उत्तेजित करना होगा।
$E = 13.6 \times 2^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2}) \ eV$
$E = 13.6 \times 4 \times (1 - \frac{1}{16}) \ eV$
$E = 54.4 \times (\frac{15}{16}) \ eV$
$E = 51 \ eV$.

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$H$ परमाणु $(Z=1)$ के लिए दूसरी क्वांटम अवस्था $(n=2)$: $E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \ eV$.
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए तीसरी क्वांटम अवस्था $(n=3)$: $E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$.
दोनों की तुलना करने पर: $E_3 = E_2 \times \frac{4/9}{1/4} = E_2 \times \frac{16}{9}$.
अतः,सही उत्तर $-\frac{16}{9}E_2$ है।

(C) आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc = 12400\, eV\, \mathring{A}$ और $\lambda = 250\, nm = 2500\, \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{12400}{2500} = 4.96\, eV$ प्राप्त होता है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K.E._{max}$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K.E._{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
निरोधी विभव (stopping potential) $0.5\, V$ है,इसलिए $K.E._{max} = 0.5\, eV$ है।
मान रखने पर: $4.96 = W_0 + 0.5$।
अतः,$W_0 = 4.96 - 0.5 = 4.46\, eV$,जो लगभग $4.5\, eV$ है।

(D) विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि जैसे-जैसे कृष्णिका का तापमान बढ़ता है,विकिरण की तीव्रता बढ़ती है और उत्सर्जन वक्र का शिखर कम तरंग दैर्ध्य (उच्च आवृत्ति) की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
विकल्प $D$ में दिया गया कथन भी गलत है क्योंकि $Rydberg$ नियतांक $(R_H)$ की इकाई प्रति लंबाई है,अर्थात $cm^{-1}$ या $m^{-1}$।

(D) लाइमन श्रेणी के लिए,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ पर होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए: $\frac{1}{A} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,अतः $R = \frac{1}{A}$।
पाश्चन श्रेणी के लिए,सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य पहली रेखा पर होती है,जहाँ $n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ है।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए: $\frac{1}{\lambda} = R(2)^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 4R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{16-9}{144} \right) = 4R \left( \frac{7}{144} \right) = \frac{7R}{36}$.
$R = \frac{1}{A}$ रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = \frac{7}{36A}$।
अतः,$\lambda = \frac{36A}{7}$।

$(B)$ हाइड्रोजन जैसे परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $r = 211.6 \text{ pm} = 2.116 \mathring{A}$ और हाइड्रोजन के लिए $Z = 1$ है।
मान रखने पर: $2.116 = 0.529 \times n^2$.
$n^2 = \frac{2.116}{0.529} = 4$.
$n = 2$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन उच्च कक्षाओं से $n = 2$ कक्षा में संक्रमण करता है, इसलिए यह बामर श्रेणी है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times 2.25 \ eV = -30.6 \ eV$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = W + K.E.$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{1}{2}mv^2$
गतिज ऊर्जा पद के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2}mv^2 = hc \left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}\right) = hc \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2hc}{m} \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)$
$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)}$