Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल में धनावेश और द्रव्यमान के केंद्र में होने तथा इलेक्ट्रॉनों के वृत्ताकार पथ में घूमने का प्रस्ताव दिया गया था। रदरफोर्ड ने नाभिक में न्यूट्रॉन की उपस्थिति का उल्लेख नहीं किया था,क्योंकि न्यूट्रॉन की खोज जेम्स चैडविक द्वारा $1932$ में की गई थी,जो रदरफोर्ड के $1911$ के मॉडल के काफी बाद की घटना है।

(C) नील्स बोहर ने $1913$ में अपना परमाणु मॉडल प्रस्तावित किया। उन्होंने सौर मंडल और केंद्रीय परमाणु के बीच समानता का अध्ययन करके परमाणु की संरचना के बारे में विस्तृत जानकारी प्राप्त की,जहाँ इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित कक्षाओं में घूमते हैं,ठीक वैसे ही जैसे ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमते हैं।

(B) बोर का परमाणु मॉडल विशेष रूप से $H$ परमाणु और अन्य हाइड्रोजन-समान प्रजातियों (जैसे $He^+$,$Li^{2+}$ आदि,जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है) के रेखीय स्पेक्ट्रम की व्याख्या करने के लिए विकसित किया गया था।
यह बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के स्पेक्ट्रम की व्याख्या करने में विफल रहता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) $n = 1$ के अनुरूप होती है।
उत्तेजित अवस्थाओं को $n > 1$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए,उत्तेजित अवस्था की गणना $(n - 1) = 3 - 1 = 2$ के रूप में की जाती है।
अतः,तीसरी कक्षा $2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था को दर्शाती है।

(D) बोर का परमाणु मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों पर लागू होता है,जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है।
$He^+$ में $2-1 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
$Li^{2+}$ में $3-2 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
$Be^{3+}$ में $4-3 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
चूंकि दी गई सभी प्रजातियों ($He^+$,$Li^{2+}$,$Be^{3+}$) में केवल एक इलेक्ट्रॉन है,इसलिए बोर का मॉडल उन सभी पर लागू होता है।

(D) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $L = \frac{nh}{2\pi}$.
$7$ वीं कक्षा के लिए,$n = 7$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$L = \frac{7h}{2\pi} = 3.5 \times \frac{h}{\pi}$.

(D) $H$ परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$H$ परमाणु के लिए $Z = 1$,अतः $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$।
दिया गया है $E_n = -3.4 \ eV$,इसलिए $-3.4 = -13.6 / n^2$,जिसका अर्थ है $n^2 = 4$,अर्थात $n = 2$।
कोणीय संवेग $L$ बोहर के अभिधारणा के अनुसार $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
$n = 2$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ रखने पर:
$L = \frac{2 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \approx 2.1 \times 10^{-34} \ J \cdot s$।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
यहाँ $L = 3.164 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ दिया गया है।
$n = \frac{L \times 2\pi}{h} = \frac{3.164 \times 10^{-34} \times 2 \times 3.1416}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 3$.
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $n = 3$ है।
$E_3 = -13.6 \times \frac{1^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{1}{9} \approx -1.51 \ eV$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 3$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\Delta E = 13.6 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) \ eV$.
$\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{9}) \ eV$.
$\Delta E = 13.6 \times \frac{8}{9} \ eV$.
$\Delta E = 12.088 \approx 12.1 \ eV$.

(D) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए आयनन ऊर्जा का सूत्र: $E_n = 13.6 \times Z^2 \text{ eV/atom}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $E_H = 13.6 \times 1^2 = E$ है।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
अतः,$Li^{2+}$ के लिए आयनन ऊर्जा $E_{Li^{2+}} = 13.6 \times 3^2 = 13.6 \times 9 = 9E$ होगी।

(B) बोर मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2} \frac{kZe^2}{r}$।
कूलम्ब स्थिरांक $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ और $Be^{3+}$ के लिए परमाणु क्रमांक $Z = 4$ रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{4e^2}{r}$।
सरल करने पर:
$KE = \frac{4e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} = \frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 r}$।

(B) इलेक्ट्रॉन की $n$ वीं कक्षा में ऊर्जा $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दो कक्षाओं $n_1$ और $n_2$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
पहली और दूसरी कक्षा के लिए $(n_1=1, n_2=2)$: $\Delta E_1 = R_H \times Z^2 \times (1 - \frac{1}{4}) = R_H \times Z^2 \times \frac{3}{4} = \frac{3B}{4}$.
पहली और तीसरी कक्षा के लिए $(n_1=1, n_2=3)$: $\Delta E_2 = R_H \times Z^2 \times (1 - \frac{1}{9}) = R_H \times Z^2 \times \frac{8}{9}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta E_2}{\Delta E_1} = \frac{8/9}{3/4} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
अतः,$\Delta E_2 = \frac{32}{27} \times \Delta E_1 = \frac{32}{27} \times \frac{3B}{4}$.

(B) मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ से उत्तेजित अवस्था $(n_2 = n)$ में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ इस प्रकार है:
$\Delta E = E_n - E_1 = Rhc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$n_1 = 1$ और $n_2 = n$ रखने पर:
$\Delta E = Rhc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$
$\Delta E = Rhc (1 - n^{-2})$

(C) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन का सूत्र है: $\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
यहाँ,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{9-4}{36})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times \frac{5}{36}$
$\Delta E = 0.3027 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$
$\Delta E = 3.03 \times 10^{-19} \ J \ atom^{-1}$.

(B) दिया गया है: $\lambda = 242 \, nm = 242 \times 10^{-9} \, m$.
आयनन ऊर्जा $(IE)$ का सूत्र: $IE = \frac{N_A hc}{\lambda}$.
मान रखने पर: $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m \cdot s^{-1}$.
$IE = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{242 \times 10^{-9}} \, J \cdot mol^{-1}$.
$IE \approx 4.945 \times 10^5 \, J \cdot mol^{-1}$.
$kJ \cdot mol^{-1}$ में बदलने पर: $IE = 494.5 \, kJ \cdot mol^{-1}$.

(C) बामर श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $n_1 = 2$ है।
पहली रेखा के लिए,$n_2 = 3$: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
दूसरी रेखा के लिए,$n_2 = 4$: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
अतः,$\lambda_2 = 656.1 \times \frac{20}{27} = 486 \ nm$.

(B) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$He^{+}$ आयन $(Z = 2)$ के लिए,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ है:
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = R (4) (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = R (4) (\frac{3}{16}) = R (\frac{3}{4})$.
$H$ परमाणु $(Z = 1)$ के लिए,हम समान तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए $n_2$ से $n_1$ संक्रमण ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = R (\frac{3}{4})$.
दोनों की तुलना करने पर,$(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = \frac{3}{4} = (1 - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2})$.
अतः,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है।

(A) लाइमैन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$। इलेक्ट्रॉन $4^{th}$ कक्षा से संक्रमण करता है,इसलिए $n_2 = 4$।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$
हाइड्रोजन के लिए $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ और $Z = 1$ दिया गया है:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2})$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (1 - \frac{1}{16})$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{15}{16} \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{16}{1.097 \times 10^7 \times 15} \ m$
$\lambda \approx 9.7 \times 10^{-8} \ m$

(B) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$H$ परमाणु में उच्चतम ऊर्जा संक्रमण $(n_1=1, n_2=\infty)$ के लिए,$\lambda_H = 91.2 \ nm$ है।
$He^{+}$ के लिए,$Z=2$ है। संक्रमण समान ऊर्जा स्तरों $(n_1=1, n_2=\infty)$ के लिए है।
अतः,$\lambda_{He^+} = \frac{\lambda_H}{Z^2} = \frac{91.2}{2^2} = \frac{91.2}{4} = 22.8 \ nm$।

(B) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी की सीमांत रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = R Z^2$।
माना हाइड्रोजन परमाणु $(Z_H = 1)$ के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_H$ है और आयन $X$ $(Z_X = Z)$ के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_X$ है।
दिया गया है कि $\lambda_H = 16 \lambda_X$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_H} = \frac{1}{16} \frac{1}{\lambda_X}$।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $R(1)^2 = \frac{1}{16} R(Z)^2$।
$1 = \frac{Z^2}{16} \implies Z^2 = 16 \implies Z = 4$।
परमाणु क्रमांक $Z = 4$ वाला आयन $Be^{3+}$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R_H \times c \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 1$ (मूल अवस्था),और $n_2 = 3$ है।
आवृत्ति के संदर्भ में रिडबर्ग स्थिरांक $R_H \times c \approx 3.29 \times 10^{15} \ s^{-1}$ है।
मान रखने पर: $\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) \times 1^2$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (1 - \frac{1}{9}) = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{8}{9}$.
$\nu = 2.924 \times 10^{15} \ s^{-1}$.

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम का अवरक्त क्षेत्र पाश्चन श्रेणी,ब्रैकेट श्रेणी और फुंड श्रेणी के अनुरूप होता है। अवरक्त क्षेत्र की पहली उत्सर्जित रेखा पाश्चन श्रेणी की पहली रेखा है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ और पहली रेखा के लिए,$n_2 = 4$ है।
रिडबर्ग सूत्र: $\bar{\nu} = R \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\bar{\nu} = R \times (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2})$.
$\bar{\nu} = R \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = R \times (\frac{16 - 9}{144}) = \frac{7R}{144} \ cm^{-1}$.

(A) बामर श्रेणी में अधिकतम ऊर्जा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ पर होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \times Z^2$.
हाइड्रोजन $(Z = 1)$ के लिए मान रखने पर: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) \times 1^2$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है।
$H$ की दूसरी कक्षा के लिए $(n_1 = 2, Z_1 = 1)$: $r_1 = r_0 \times \frac{2^2}{1} = 4r_0$.
$He^{+}$ की तीसरी कक्षा के लिए $(n_2 = 3, Z_2 = 2)$: $r_2 = r_0 \times \frac{3^2}{2} = 4.5r_0$.
अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4r_0}{4.5r_0} = \frac{4}{4.5} = \frac{8}{9}$ होगा।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थिर वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $mv^2 = \frac{kZe^2}{r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v^2 = \frac{kZe^2}{mr}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{kZe^2}{mr}}$ प्राप्त होता है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
$n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2\pi rmv}{h}$

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
$H$ $(Z=1)$,$He^{+}$ $(Z=2)$,और $Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए:
$r_H : r_{He^+} : r_{Li^{2+}} = \frac{2^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{2^2}{3}$
$= 4 : 2 : \frac{4}{3}$
$3$ से गुणा करने पर,हमें $12 : 6 : 4$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $6 : 3 : 2$ मिलता है।

(B) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{2\pi Z e^2}{nh}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए समीकरण $v = \frac{2\pi e^2}{nh}$ हो जाता है।
$n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2\pi e^2}{vh}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन के वेग का सूत्र: $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \, m \, s^{-1}$ है।
दिया गया वेग $v = 0.0109 \times 10^{10} \, cm \, s^{-1}$ है।
इसे $m \, s^{-1}$ में बदलने पर: $v = 0.0109 \times 10^{10} \times 10^{-2} \, m \, s^{-1} = 1.09 \times 10^6 \, m \, s^{-1}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
मान रखने पर: $1.09 \times 10^6 = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{n}$।
अतः,$n = \frac{2.18 \times 10^6}{1.09 \times 10^6} = 2$।

(B) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ m/s$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन $(H)$ की मूल अवस्था के लिए: $Z_1 = 1$,$n_1 = 1$।
$He^{+}$ की द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए: $Z_2 = 2$,$n_2 = 3$।
अनुपात $\frac{v_H}{v_{He^{+}}} = \frac{Z_1 / n_1}{Z_2 / n_2} = \frac{1 / 1}{2 / 3} = \frac{3}{2} = 1.5$ होगा।

(B) बोर कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए: $n_1 = 2$,$Z_1 = 1$. अतः,$T_H \propto \frac{2^3}{1^2} = 8$.
$He^{+}$ आयन के लिए: $n_2 = 3$,$Z_2 = 2$. अतः,$T_{He^+} \propto \frac{3^3}{2^2} = \frac{27}{4}$.
अनुपात $\frac{T_H}{T_{He^+}} = \frac{8}{27/4} = \frac{8 \times 4}{27} = \frac{32}{27}$.

(B) दिया गया है: $n_2 = 8$ और $n_1 = 1$।
इलेक्ट्रॉन के $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या का सूत्र:
$\text{स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
मान रखने पर:
$\text{स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या} = \frac{(8 - 1)(8 - 1 + 1)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$।

(C) जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ कक्षा से $n_1$ कक्षा में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या का सूत्र है: $\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$.
यहाँ $n_1 = 2$ और रेखाओं की संख्या $= 15$ दी गई है,अतः:
$15 = \frac{(n - 2)(n - 2 + 1)}{2}$.
$30 = (n - 2)(n - 1)$.
$30 = n^2 - 3n + 2$.
$n^2 - 3n - 28 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 7)(n + 4) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।

(C) एक उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या का सूत्र है: $\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$.
यहाँ $n_2 = 7$ और $n_1 = 2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{(7 - 2)(7 - 2 + 1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15$.

(C) बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य के पूर्णांक गुणज के बराबर होती है: $2\pi r = n\lambda$
साथ ही,कक्षा में इलेक्ट्रॉन द्वारा बनने वाली तरंगों की संख्या मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बराबर होती है।
$5^{th}$ कक्षा के लिए,$n = 5$
अतः,बनने वाली तरंगों की संख्या $5$ होगी।

(B) $H$ परमाणु जैसी एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
समान $n$ मान वाले सभी कक्षक समान ऊर्जा रखते हैं,जिन्हें समभ्रंश (degenerate) कक्षक कहा जाता है।
$n = 3$ के लिए,$3s, 3p, 3d$ कक्षक समान ऊर्जा रखते हैं।
$n = 4$ के लिए,$4s, 4p, 4d, 4f$ कक्षक समान ऊर्जा रखते हैं।
चूंकि $n = 3 < n = 4$,इसलिए $n = 3$ के सभी कक्षकों की ऊर्जा $n = 4$ के सभी कक्षकों की ऊर्जा से कम होती है।
अतः,सही क्रम $3s = 3p = 3d < 4s = 4p = 4d = 4f$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$H^{-}$ आयन के लिए,दूसरी क्वांटम अवस्था $(n=2)$ में: $E_{H^-} = -k \times \frac{1^2}{2^2} = -\frac{k}{4} = -E_2$,जिससे $k = 4E_2$ प्राप्त होता है।
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए तीसरी क्वांटम अवस्था $(n=3)$ में: $E_{He^+} = -k \times \frac{2^2}{3^2} = -k \times \frac{4}{9}$।
$k = 4E_2$ रखने पर: $E_{He^+} = -(4E_2) \times \frac{4}{9} = -\frac{16}{9} E_2$।

(D) बोहर के मॉडल में,परिक्रमण का आवर्तकाल $T$ संबंध $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{1,2}$ के लिए,$n = 1$ और $Z = 2$,इसलिए $T_{1,2} \propto \frac{1^3}{2^2} = \frac{1}{4}$।
$T_{2,1}$ के लिए,$n = 2$ और $Z = 1$,इसलिए $T_{2,1} \propto \frac{2^3}{1^2} = \frac{8}{1} = 8$।
अतः,अनुपात $T_{1,2} : T_{2,1} = \frac{1}{4} : 8 = 1 : 32$ होगा।

(C) हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $1 / \lambda = R Z^{2} [ 1 / n_{1}^{2} - 1 / n_{2}^{2} ]$
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_{1} = 3$ पर समाप्त होता है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_{2} = \infty$ से शुरू होता है।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 / \lambda = R \times 3^{2} [ 1 / 3^{2} - 1 / \infty^{2} ]$
$1 / \lambda = R \times 9 [ 1 / 9 - 0 ]$
$1 / \lambda = R \times 9 \times (1 / 9) = R$
अतः,$\lambda = 1 / R$.

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को निचले ऊर्जा स्तर $(n_1)$ के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है जहाँ इलेक्ट्रॉन संक्रमण करता है:
$n_1 = 1$: लाइमन श्रेणी
$n_1 = 2$: बामर श्रेणी
$n_1 = 3$: पाश्चन श्रेणी
$n_1 = 4$: ब्रैकेट श्रेणी
$n_1 = 5$: फंड श्रेणी
$n_1 = 6$: हम्फ्री श्रेणी
हम्फ्री श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 6$ पर समाप्त होना चाहिए। इसलिए,$n_2 = 10 \to n_1 = 6$ संक्रमण सही है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
संक्रमण $n_2 \to n_1$ के लिए,उत्सर्जित ऊर्जा $(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ के समानुपाती होती है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $\infty \to 1$: $\Delta E \propto 1$
$(B)$ $2 \to 1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(C)$ $3 \to 2$: $\Delta E \propto 0.139$
$(D)$ $n \to (n - 1)$ जहाँ $n \geq 4$: जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,क्रमिक स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है। उदाहरण के लिए,$n=4$ के लिए,$4 \to 3$ में $\Delta E \propto 0.0485$ प्राप्त होता है।
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ने पर क्रमिक ऊर्जा स्तरों के बीच का अंतर घटता जाता है,इसलिए बड़े $n$ के लिए $n \to (n - 1)$ संक्रमण न्यूनतम ऊर्जा उत्सर्जित करता है।

(C) Bohr के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ Bohr त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
किसी दिए गए परमाणु के लिए,$Z$ स्थिर है,इसलिए $r_n \propto n^2$।
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ और $1^{st}$ कक्षा $(n=1)$ के लिए:
$\frac{r_3}{r_1} = \frac{3^2}{1^2} = \frac{9}{1}$।
अतः,$r_3 = 9 r_1$।

(C) $5^{th}$ उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 6$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n = 1$ है)।
केवल एक हाइड्रोजन परमाणु वाले नमूने के लिए,इलेक्ट्रॉन $n = 6$ से $n = 1$ तक संक्रमण कर सकता है।
एक परमाणु के लिए,इलेक्ट्रॉन एक समय में केवल एक ही ऊर्जा स्तर में रह सकता है और प्रत्येक संक्रमण के दौरान एक फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है। इसलिए,$n = 6$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के लिए वर्णक्रमीय रेखाओं की अधिकतम संख्या $n - 1 = 6 - 1 = 5$ होगी।

(D) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों के लिए,रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
लायमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$. $Li^{2+}$ के लिए,$Z = 3$.
पहली रेखा ($n_1 = 1$ से $n_2 = 2$): $\frac{1}{\lambda_1} = 9R (\frac{3}{4}) = \frac{27R}{4} \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{27R}$.
दूसरी रेखा ($n_1 = 1$ से $n_2 = 3$): $\frac{1}{\lambda_2} = 9R (\frac{8}{9}) = 8R \Rightarrow \lambda_2 = \frac{1}{8R}$.
$R \approx 1.097 \times 10^{-2} \ \mathring{A}^{-1}$ का उपयोग करने पर,
$\lambda_1 \approx 135.05 \ \mathring{A}$ और $\lambda_2 \approx 113.95 \ \mathring{A}$.
अंतर $\Delta \lambda = 135.05 - 113.95 = 21.1 \ \mathring{A}$।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ के बीच संबंध $PE = -2 \times KE$ है।
प्रारंभिक अवस्था: $KE_{1} = x$,इसलिए $PE_{1} = -2x$.
अंतिम अवस्था: $KE_{2} = \frac{x}{4}$,इसलिए $PE_{2} = -2 \times (\frac{x}{4}) = -\frac{x}{2}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = PE_{2} - PE_{1}$ है।
$\Delta PE = -\frac{x}{2} - (-2x) = -\frac{x}{2} + 2x = +\frac{3x}{2}$.

(B) $H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$ है। रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \times (1)^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = 4$ है,और $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ है।
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{3}{16} \right) = 2.0568 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2.0568 \times 10^6} \approx 4.86 \times 10^{-7} \ m = 486 \ nm$.

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$n = 1$ और $Z = 1$ वाले हाइड्रोजन परमाणु के लिए,त्रिज्या $r_H = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$Be^{3+}$ के लिए,$n = 2$ और $Z = 4$,इसलिए $r = a_0 \times \frac{2^2}{4} = a_0 \times \frac{4}{4} = a_0$।
अतः,$n = 2$ वाले $Be^{3+}$ की त्रिज्या $n = 1$ वाले हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या के बराबर है।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{Z^2 R_H}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$।
दिया गया है कि $3^{rd}$ कक्षा में ऊर्जा $E_3 = -E$ है।
हम जानते हैं कि $E_n = \frac{k}{n^2}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$n=3$ के लिए,$E_3 = \frac{k}{3^2} = \frac{k}{9} = -E$,इसलिए $k = -9E$।
$1^{st}$ कक्षा $(n=1)$ के लिए,$E_1 = \frac{k}{1^2} = k$।
$k$ का मान रखने पर,हमें $E_1 = -9E$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए,तरंग संख्या $y = R_H (2)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 4 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) ......(i)$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए,तरंग संख्या $\bar{\nu}' = R_H (3)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 9 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) ......(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\bar{\nu}'}{y} = \frac{9 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)}{4 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)} = \frac{9}{4}$.
अतः,$\bar{\nu}' = \frac{9y}{4} \ cm^{-1}$.