Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(D) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$,प्रकाश की गति $(c)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
दिया गया है:
$c = 3 \times 10^{17} \ nm \ s^{-1}$
$\nu = 6 \times 10^{18} \ s^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{3 \times 10^{17} \ nm \ s^{-1}}{6 \times 10^{18} \ s^{-1}} = 0.5 \times 10^{-1} \ nm = 0.05 \ nm$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E = \Delta E = 13.6 \ eV \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,क्रमिक कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है।
संक्रमण $n=6$ से $n=5$ सबसे उच्च मुख्य क्वांटम संख्या वाली कक्षाओं के बीच होता है,इसलिए इसमें ऊर्जा का अंतर सबसे कम होता है और यह सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन देता है।

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग $(L)$ का सूत्र है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
यहाँ कक्षा संख्या $n = 5$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{5h}{2\pi}$
गणना करने पर:
$L = 2.5 \frac{h}{\pi}$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{1.312 \times 10^6}{n^2} \ J \ mol^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,$E_1 = -1.312 \times 10^6 \ J \ mol^{-1}$।
$n=2$ के लिए,$E_2 = -\frac{1.312 \times 10^6}{2^2} = -\frac{1.312 \times 10^6}{4} = -0.328 \times 10^6 \ J \ mol^{-1}$।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=2$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = (-0.328 \times 10^6) - (-1.312 \times 10^6) \ J \ mol^{-1}$।
$\Delta E = (1.312 - 0.328) \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = 0.984 \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = 9.84 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$।

(B) आयनन ऊर्जा $(IE)$ वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
$IE = E_{\infty} - E_{1} = 0 - E_{1} = -E_{1}$
अतः,$He^{+}$ के लिए $E_{1} = -19.6 \times 10^{-18} \, J \, atom^{-1}$ है।
हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n$ अवस्था में ऊर्जा $(E_{n})_{species} = (E_{1})_{H} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ के लिए: $(E_{1})_{He^{+}} = (E_{1})_{H} \times 2^{2} = -19.6 \times 10^{-18} \, J \, atom^{-1}$।
अतः,$(E_{1})_{H} = \frac{-19.6 \times 10^{-18}}{4} \, J \, atom^{-1}$।
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ के लिए: $(E_{1})_{Li^{2+}} = (E_{1})_{H} \times 3^{2} = \frac{-19.6 \times 10^{-18}}{4} \times 9 = -4.41 \times 10^{-17} \, J \, atom^{-1}$।

(A) दो स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = 2.178 \times 10^{-18} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ J$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 2$ है।
$\Delta E = 2.178 \times 10^{-18} \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 2.178 \times 10^{-18} \times 0.75 = 1.6335 \times 10^{-18} \ J$.
संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{1.6335 \times 10^{-18}} \approx 1.216 \times 10^{-7} \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1.214 \times 10^{-7} \ m$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर,हमें $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ प्राप्त होता है।
अतः,हाइड्रोजन की प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा $-3.4 \ eV$ है।

(D) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ और $Z = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r_2 = 0.529 \times \frac{2^2}{1} \, \mathring{A}$
$r_2 = 0.529 \times 4 \, \mathring{A} = 2.116 \, \mathring{A}$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.12 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,ऊर्जा $E_{n} = -13.6 \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ \text{eV}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए:
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ है। मूल अवस्था $n=1$ है।
$n=2$ से $n=1$ में डी-एक्साइटेशन के दौरान मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{2} - E_{1} = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ \text{eV}$ है।
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए:
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ है। इस अवस्था की ऊर्जा $E_{2} = -13.6 \times \frac{2^{2}}{2^{2}} = -13.6 \ \text{eV}$ है।
जब $He^{+}$ आयन हाइड्रोजन परमाणु से $10.2 \ \text{eV}$ प्राप्त करता है,तो उसकी नई ऊर्जा $E_{new} = -13.6 + 10.2 = -3.4 \ \text{eV}$ हो जाती है।
हम इसकी तुलना $He^{+}$ के लिए ऊर्जा सूत्र से करते हैं:
$-3.4 = -13.6 \times \frac{2^{2}}{n^{2}}$
$n^{2} = \frac{13.6 \times 4}{3.4} = 16$
$n = 4$.

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र है: $P.E. = -\frac{KZe^2}{r}$।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
$K = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ और $Z = 2$ को सूत्र में रखने पर:
$P.E. = -\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \times \frac{2e^2}{r} = -\frac{2e^2}{4\pi \epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{2\pi \epsilon_0 r}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दी गई शक्ति $P = 124 \ W = 124 \ J/s$ है।
दृश्य प्रकाश में परिवर्तित ऊर्जा $E_{\text{light}} = 124 \times 0.15 = 18.6 \ J$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{640 \ nm} = 1.9375 \ eV$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 1.9375 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 3.1 \times 10^{-19} \ J$ है।
एक सेकंड में उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{E_{\text{light}}}{E} = \frac{18.6}{3.1 \times 10^{-19}} = 6 \times 10^{19}$ फोटॉन है।

(C) तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = R_H Z^2 [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$ है।
$H$ परमाणु की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$: $\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 [\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}] = R_H (\frac{5}{36}) = 15200 \ cm^{-1}$.
$Li^{2+}$ की लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=3, n_1=1, n_2=2)$: $\bar{\nu}_2 = R_H (3)^2 [\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}] = R_H (9) (\frac{3}{4}) = R_H (\frac{27}{4})$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\bar{\nu}_2}{15200} = \frac{R_H (27/4)}{R_H (5/36)} = \frac{243}{5} = 48.6$.
अतः,$\bar{\nu}_2 = 15200 \times 48.6 = 738720 \ cm^{-1}$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta r = r_2 - r_1 = \frac{0.529}{Z} \times (n_2^2 - n_1^2)$ है।
$H$-परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\Delta r = 0.529 \times (n_2^2 - n_1^2)$।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\Delta r$ की गणना:
$A) \ 4 \rightarrow 1: \Delta r \propto (4^2 - 1^2) = 16 - 1 = 15$
$B) \ 5 \rightarrow 4: \Delta r \propto (5^2 - 4^2) = 25 - 16 = 9$
$C) \ 6 \rightarrow 5: \Delta r \propto (6^2 - 5^2) = 36 - 25 = 11$
$D) \ 4 \rightarrow 2: \Delta r \propto (4^2 - 2^2) = 16 - 4 = 12$
न्यूनतम मान $9$ है,जो $5 \rightarrow 4$ संक्रमण के अनुरूप है।

(C) पराबैंगनी ($U$.$V$.) क्षेत्र लाइमन श्रेणी के अनुरूप है,जहाँ संक्रमण $n_1 = 1$ पर होता है। $n = 4$ के लिए,संभावित संक्रमण $4 \rightarrow 1$,$3 \rightarrow 1$ और $2 \rightarrow 1$ हैं। अतः,$U$.$V$. क्षेत्र में $3$ रेखाएँ हैं।
दृश्य क्षेत्र बामर श्रेणी के अनुरूप है,जहाँ संक्रमण $n_1 = 2$ पर होता है। $n = 4$ के लिए,संभावित संक्रमण $4 \rightarrow 2$ और $3 \rightarrow 2$ हैं। अतः,दृश्य क्षेत्र में $2$ रेखाएँ हैं।
$U$.$V$. क्षेत्र और दृश्य क्षेत्र में रेखाओं की संख्या का अनुपात $3:2$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6 \, eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $E_n = -3.4 \, eV$,इसलिए $\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,जिसका अर्थ है $n^2 = 4$,अतः $n = 2$ है।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ प्राप्त होता है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ और $\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2.11 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ प्राप्त होता है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा: $E = \frac{12400}{1240} \, eV = 10 \, eV$.
कार्य फलन: $W = 4 \, eV$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा: $KE_{max} = E - W = 10 \, eV - 4 \, eV = 6 \, eV$.
$V_{acc} = 7.6 \, V$ का त्वरक विभव लगाने पर,प्राप्त अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $q \times V_{acc} = 7.6 \, eV$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा: $KE_f = 6 \, eV + 7.6 \, eV = 13.6 \, eV$.
$KE_f$ को जूल में बदलने पर: $13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2.176 \times 10^{-18} \, J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ सूत्र का उपयोग करने पर $(m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg)$:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 2.176 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 2.18 \times 10^6 \, m/s$.

(A) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R_H c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,$R_H = 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 4$ है।
मान रखने पर: $\nu = (1.097 \times 10^7) \times (3 \times 10^8) \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$\nu = 3.291 \times 10^{15} \times \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 3.291 \times 10^{15} \times \frac{15}{16}$.
$\nu \approx 3.08 \times 10^{15} \, s^{-1}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $KE_{max} = hv - hv_0$। $KE_{max}$ बनाम $v$ ग्राफ का ढाल $h$ है।
निरोधी विभव के लिए: $V_0 = \frac{hv}{e} - \frac{hv_0}{e}$। $V_0$ बनाम $v$ ग्राफ का ढाल $\frac{h}{e}$ है।
ढाल का अनुपात = $\frac{h}{h/e} = e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)।

(A) इलेक्ट्रॉन $5^{th}$ उत्तेजित अवस्था में है,इसलिए $n_2 = 6$ है।
मूल अवस्था $n_1 = 1$ है।
बामर श्रेणी $n = 2$ पर समाप्त होती है।
चूंकि बामर श्रेणी में कोई रेखा उत्सर्जित नहीं होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन $n = 2$ स्तर पर संक्रमण नहीं कर सकता है।
संभावित संक्रमण: $6$ $\rightarrow 5, 6$ $\rightarrow 4, 6$ $\rightarrow 3, 5$ $\rightarrow 4, 5$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 3, 3$ $\rightarrow 1$ हैं।
कुल रेखाओं की संख्या $6$ मानी जाती है।

(A) बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थान पूर्णतः खाली (निर्वात) होता है।

(B) $J. J. Thomson$ ने परमाणु का तरबूज मॉडल प्रस्तावित किया था,जिसे प्लम पुडिंग मॉडल के रूप में भी जाना जाता है। इस मॉडल में,इलेक्ट्रॉन धनावेशित गोले के भीतर तरबूज के बीज की तरह या पुडिंग में प्लम की तरह धंसे होते हैं।

(D) शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,त्वरण से गुजरने वाला कोई भी आवेशित कण विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करता है।
चूंकि एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन लगातार अपनी दिशा बदल रहा है,इसलिए वह त्वरण में है।
जैसे-जैसे यह ऊर्जा उत्सर्जित करता है,इसकी कक्षा की त्रिज्या लगातार कम होती जाएगी।
परिणामस्वरूप,इलेक्ट्रॉन एक सर्पिलाकार पथ का अनुसरण करेगा और अंततः नाभिक में गिर जाएगा।

(A) $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,जैसे-जैसे $\alpha$-कण नाभिक के करीब आते हैं,वे अधिक विक्षेपित होते हैं।
इसका कारण यह है कि $\alpha$-कण और नाभिक दोनों धनावेशित होते हैं।
धनावेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,और कूलम्ब के नियम के अनुसार,यह स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल $\alpha$-कण और नाभिक के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto \frac{1}{r^2})$।
इसलिए,जैसे-जैसे दूरी $(r)$ कम होती है,प्रतिकर्षण बल बढ़ता है,जिससे अधिक विक्षेपण होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था $(n=1)$ से उत्तेजित अवस्था $(n)$ में ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र है:
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \ eV$
$n=2$ के लिए,$\Delta E = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
$n=3$ के लिए,$\Delta E = 13.6 \times 0.888 = 12.09 \ eV$.
चूंकि $8.4 \ eV$ मूल अवस्था $(n=1)$ से किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 1)$ में संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा के बराबर नहीं है,इसलिए हाइड्रोजन परमाणु इस ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर सकता है।
अतः,कोई इलेक्ट्रॉनिक उत्तेजना नहीं होती है और कोई स्पेक्ट्रमी रेखा उत्सर्जित नहीं होती है।

(B) रदरफोर्ड का परमाणु मॉडल,जिसे परमाणु का नाभिकीय मॉडल भी कहा जाता है,उनके अल्फा-कण प्रकीर्णन प्रयोग के परिणामों के आधार पर प्रस्तावित किया गया था।
उन्होंने परमाणु की संरचना की तुलना सौर मंडल से की,जहाँ नाभिक केंद्र में सूर्य की तरह कार्य करता है और इलेक्ट्रॉन उसके चारों ओर कक्षाओं में घूमते हैं,ठीक वैसे ही जैसे ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमते हैं।

(D) रदरफोर्ड ने $ He^{2+} $ आयनों के पुंज का उपयोग किया जो हीलियम नाभिक हैं और वे धातु की पन्नी पर टकराकर प्रकीर्णित हो गए थे।

(C) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के अनुसार,परमाणु के अंदर का अधिकांश स्थान खाली होता है।
चूंकि परमाणु का अधिकांश भाग खाली स्थान है,इसलिए अधिकांश $\alpha$-कण बिना किसी विचलन या टक्कर के धातु की पन्नी से सीधे निकल जाते हैं।

(D) विद्युतचुंबकीय विकिरण (फोटॉन सहित) की द्वैत प्रकृति का अर्थ है कि यह तरंग और कण दोनों के गुणों को प्रदर्शित करता है।
$1$. तरंग प्रकृति को व्यतिकरण और विवर्तन जैसी घटनाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
$2$. कण प्रकृति को प्लांक-आइंस्टीन संबंध $E = hv$ द्वारा वर्णित किया जाता है,जहाँ $E$ फोटॉन की ऊर्जा है,$h$ प्लांक स्थिरांक है और $v$ विकिरण की आवृत्ति है।
अतः,समीकरण $E = hv$ फोटॉन की ऊर्जा (कण गुण) को उसकी आवृत्ति (तरंग गुण) से जोड़ता है,जो प्रभावी रूप से इसकी द्वैत प्रकृति का वर्णन करता है।

(A) विद्युतचुंबकीय विकिरण की कण प्रकृति के अनुसार,प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना होता है जिन्हें $photons$ कहा जाता है।
यह अवधारणा,जिसे $Einstein$ द्वारा प्रस्तावित किया गया था और जो $Planck$ के क्वांटम सिद्धांत पर आधारित है,प्रकाश को कण जैसे गुणों वाला मानती है,जो इसे क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में पदार्थ का एक रूप मानने की अनुमति देती है।

(B) एक क्वांटम (फोटॉन) की ऊर्जा $E$ को समीकरण $E = h \nu$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है और $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है।
चूंकि $E \propto \nu$,एक क्वांटम की ऊर्जा उसकी आवृत्ति के सीधे समानुपाती होती है।
इसलिए,यदि आवृत्ति अधिक होगी तो क्वांटम में अधिक ऊर्जा होगी।

(C) क्वांटम सिद्धांत $Max \ Planck$ द्वारा $1900$ में ब्लैक बॉडी रेडिएशन और फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव की घटना को समझाने के लिए प्रतिपादित किया गया था।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 2414 \ \mathring{A} = 2414 \times 10^{-10} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$।
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2414 \times 10^{-10}} \ J = 8.232 \times 10^{-19} \ J$।
यह एक परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।
एक मोल परमाणुओं के लिए,आयनन ऊर्जा $E_{mole} = E \times N_A$ है,जहाँ $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
$E_{mole} = 8.232 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J \ mol^{-1} \approx 495751 \ J \ mol^{-1} \approx 495.75 \ kJ \ mol^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $497.7 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए आयनन ऊर्जा $(I.E.)$ का सूत्र: $I.E. = 13.6 \times Z^{2} \times (\frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}}) \ eV$ है।
ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से अनंत $(n=\infty)$ तक आयनन के लिए,$I.E. = 13.6 \times Z^{2} \ eV$।
$Li^{2+}$ के लिए,$Z=3$,इसलिए $I.E. = 13.6 \times 3^{2} = 13.6 \times 9 = 122.4 \ eV$।
कार्बन $(Z=6)$ के $5^{th}$ आयनन विभव के लिए,हम $C^{4+}$ आयन से $5^{th}$ इलेक्ट्रॉन निकाल रहे हैं।
$C^{4+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2}$ है।
$5^{th}$ इलेक्ट्रॉन $n=1$ कोश से निकाला जाता है।
$I.E._{5} = 13.6 \times Z^{2} \times \frac{1}{n^{2}} = 13.6 \times 6^{2} \times \frac{1}{1^{2}} = 13.6 \times 36 = 489.6 \ eV$.

(D) हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए ऊर्जा का अंतर इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$.
$O^{7+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 8$ है। संक्रमण $n_1 = 1$ से $n_2 = 2$ तक है।
$\Delta E = 13.6 \times 8^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times 64 \times 0.75 = 652.8 \text{ eV}$.
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 652.8 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 1.0458 \times 10^{-16} \text{ J}$.
तरंग दैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{E}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.0458 \times 10^{-16}} \approx 1.9 \times 10^{-9} \text{ m} = 1.9 \text{ nm}$.

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$।
$B^{+4}$ (बोरोन आयन) के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 5$ है।
कक्षा संख्या $n = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_5 = 0.529 \times \frac{5^2}{5} \ \mathring{A}$।
$r_5 = 0.529 \times 5 \ \mathring{A}$।
$r_5 = 2.645 \ \mathring{A}$।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और कुल ऊर्जा $(E)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$PE = -2 \times KE$
$E = -KE$
अतः,$PE = 2E$.
दिया गया है कि $PE = -10 \ eV$,इसलिए:
$-10 \ eV = 2E$
$E = -10 / 2 \ eV = -5 \ eV$.
कुल ऊर्जा $-5 \ eV$ है।

(A) उत्तेजन विभव वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से उच्च ऊर्जा स्तर तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ स्तर की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजन विभव के लिए,संक्रमण $n=1$ से $n=2$ तक होता है:
$\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$.
द्वितीय उत्तेजन विभव के लिए,संक्रमण $n=1$ से $n=3$ तक होता है:
$\Delta E_2 = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
अतः,मान $10.2 \ eV$ और $12.1 \ eV$ हैं।

(B) प्रथम उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n = 2$।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ के लिए,ऊर्जा $E_3 = -1.51 \ eV$ है।
$n = 2$ के लिए,ऊर्जा $E_2 = -13.6 \times \frac{Z^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{Z^2}{4}$ होती है।
चूंकि $E_3 = -13.6 \times \frac{Z^2}{9} = -1.51 \ eV$,इसलिए $-13.6 \times Z^2 = -1.51 \times 9 = -13.59 \approx -13.6$ प्राप्त होता है।
अतः,$E_2 = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ होगा।

(C) किसी परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $(IE)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को दी गई अवस्था से अनंत $(n = \infty)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ अवस्था से आवश्यक आयनीकरण ऊर्जा $IE_n = E_{\infty} - E_n = 0 - (-\frac{13.6}{n^2}) = \frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$IE_1 = 13.6 \ eV$ है।
किसी भी उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ के लिए,$n^2$ का मान $1$ से अधिक होता है।
इसलिए,सभी $n > 1$ के लिए $IE_n = \frac{13.6}{n^2} < 13.6 \ eV$ होता है।

(B) $L$ कोश के लिए मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ और कुल ऊर्जा के बीच संबंध $P.E. = 2 \times E_n$ है।
अतः,$P.E. = 2 \times (-\frac{13.6 \ eV}{n^2}) = -\frac{27.2 \ eV}{n^2}$।
$n = 2$ के लिए:
$P.E. = -\frac{27.2 \ eV}{4} = -6.8 \ eV$।

(A) किसी परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $(IE)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को परमाणु से अनंत तक हटाने के लिए आवश्यक होती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,आयनीकरण ऊर्जा $IE_1 = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
उत्तेजित अवस्था के लिए,$n \ge 2$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$IE_2 = |E_2| = \frac{13.6}{2^2} = 3.4 \ eV$।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $(n=3)$ के लिए,$IE_3 = |E_3| = \frac{13.6}{3^2} = 1.51 \ eV$।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,आयनीकरण ऊर्जा कम होती जाती है। इसलिए,किसी भी उत्तेजित अवस्था $(n \ge 2)$ के लिए,आवश्यक ऊर्जा $3.4 \ eV$ या उससे कम होगी।

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(E_2 = 7.0 \ eV)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(E_1 = 5.0 \ eV)$ में संक्रमण करता है,तो ऊर्जा का अंतर फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा,$\Delta E = E_2 - E_1 = 7.0 \ eV - 5.0 \ eV = 2.0 \ eV$.

(A) अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है।
अधिकतम आवृत्ति के फोटॉन को अवशोषित करने के लिए,संक्रमण में सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $(\Delta E)$ होना चाहिए।
$H$ परमाणु के लिए,कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ है।
$(A)$ $n = 1$ से $n = 4$: $\Delta E = 13.6(1 - 1/16) = 12.75 \ eV$.
$(B)$ $n = 2$ से $n = 1$: यह उत्सर्जन संक्रमण है।
$(C)$ $n = 2$ से $n = 3$: $\Delta E = 13.6(1/4 - 1/9) \approx 1.89 \ eV$.
$(D)$ $n = 3$ से $n = 2$: यह उत्सर्जन संक्रमण है।
अतः,$n = 1$ से $n = 4$ के संक्रमण में सबसे अधिक ऊर्जा अवशोषित होती है,इसलिए अधिकतम आवृत्ति का फोटॉन अवशोषित होगा।

(B) $M$ स्तर $(n=3)$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_M = -96 \ a.u.$ दी गई है।
$n = \infty$ पर इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{\infty} = 0 \ a.u.$ दी गई है।
इलेक्ट्रॉन को $M$ स्तर से $n = \infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक उत्तेजना ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta E = E_{\infty} - E_M$
$\Delta E = 0 - (-96) = 96 \ a.u.$

(A) कक्षा की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \alpha _0$ होती है,जहाँ $\alpha _0$ बोहर त्रिज्या है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए,त्रिज्या $r = 1^2 \times \alpha _0 = \alpha _0$ होती है।
इस मान को परिधि के सूत्र में रखने पर,हमें $C = 2 \pi \alpha _0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sqrt{4} = 2$ होता है,इसलिए इस व्यंजक को $C = \sqrt{4} \pi \alpha _0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) परमाणु के ऊर्जा स्तर क्वांटीकृत होते हैं,जहाँ $K$ कोश $(n=1)$ सबसे निम्न ऊर्जा स्तर है,उसके बाद $L$ कोश $(n=2)$,$M$ कोश $(n=3)$ आदि आते हैं।
जब एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा कोश ($L$,$n=2$) से उच्च ऊर्जा कोश ($M$,$n=3$) में जाता है,तो उसे दोनों अवस्थाओं के बीच के ऊर्जा अंतर को पूरा करने के लिए ऊर्जा प्राप्त करनी पड़ती है।
इसलिए,इस प्रक्रिया में ऊर्जा का अवशोषण होता है।

(B) नाभिक के निकटतम ऊर्जा अवस्था ग्राउंड स्टेट है,जो $n = 1$ के अनुरूप है।
जब एक इलेक्ट्रॉन निचले ऊर्जा स्तर $(n = 1)$ से उच्च ऊर्जा स्तर $(n = 3)$ में जाता है,तो उसे ऊर्जा प्राप्त करनी होती है।
प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा का अवशोषण क्वांटा नामक छोटे पैकेटों के रूप में होता है।
चूंकि इस संक्रमण में ऊर्जा स्तरों के बीच अंतर होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन दोनों स्तरों के बीच के अंतर के अनुरूप एक क्वांटम ऊर्जा को अवशोषित करता है,$\Delta E = E_3 - E_1$।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
$K.E. = \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$
$P.E. = \frac{-Ze^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$
$T.E. = K.E. + P.E. = \frac{-Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$
अनुपात $1$: $[K.E. : P.E.] = \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} : \frac{-Ze^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} = 1 : -2$
अनुपात $2$: $[T.E. : K.E.] = \frac{-Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} : \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} = -1 : 1$

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की आयनन ऊर्जा $(I.E.)$ सूत्र $I.E. = 13.6 \times Z^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए: $I.E. = 13.6 \times (2)^2 = 13.6 \times 4 = 54.4 \ eV$। यह दिए गए मान से मेल खाता है।
$H$ $(Z=1)$ के लिए: $I.E. = 13.6 \times (1)^2 = 13.6 \ eV$।
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए: $I.E. = 13.6 \times (3)^2 = 13.6 \times 9 = 122.4 \ eV$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के $n$ वें कोश में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$L$ कोश के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
अतः,$L$ कोश में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -13.6 / (2)^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \ eV$ है।
जब इलेक्ट्रॉन $10.2 \ eV$ ऊर्जा मुक्त करता है,तो यह निम्न ऊर्जा अवस्था में चला जाता है।
निकाय की नई ऊर्जा $E_{final} = E_{initial} - {\text{मुक्त ऊर्जा}} = -3.4 \ eV - 10.2 \ eV = -13.6 \ eV$ है।
यह हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था $(n = 1)$ के अनुरूप है।