Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,$n^{th}$ कोश में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे कोश संख्या $n$,$K$ $(n=1)$ से $N$ $(n=4)$ तक बढ़ती है,$n$ का मान बढ़ता है।
$1$. $K.E. = |E_n| = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}$. जैसे $n$ बढ़ता है,$K.E.$ घटती है।
$2$. कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}$. जैसे $n$ बढ़ता है,ऋणात्मक मान का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा बढ़ती है।
$3$. स्थितिज ऊर्जा $P.E. = 2 \times E_n = -27.2 \times \frac{Z^2}{n^2}$. जैसे $n$ बढ़ता है,ऋणात्मक मान का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
अतः,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च कोश में जाता है,गतिज ऊर्जा घटती है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ कक्षा की संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{+2}$ आयन $(Z=3)$ के लिए: $n_1 = 2$,$Z_1 = 3$. अतः,$r_1 = a_0 \times \frac{2^2}{3} = a_0 \times \frac{4}{3}$.
$Be^{+3}$ आयन $(Z=4)$ के लिए: $n_2 = 3$,$Z_2 = 4$. अतः,$r_2 = a_0 \times \frac{3^2}{4} = a_0 \times \frac{9}{4}$.
अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4/3}{9/4} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{27}$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = E_0 \frac{Z^2}{n^2}$,जहाँ $E_0$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था की ऊर्जा है,$Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
हाइड्रोजन के लिए मूल अवस्था में $(n=1, Z=1)$:
$E_H = E_0 \frac{1^2}{1^2} = E_0$
$Be^{3+}$ के लिए प्रथम उत्तेजित अवस्था में $(n=2, Z=4)$:
$E_{Be^{3+}} = E_0 \frac{4^2}{2^2} = E_0 \frac{16}{4} = 4E_0$
हाइड्रोजन की मूल अवस्था और $Be^{3+}$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा का अनुपात है:
अनुपात $= \frac{E_H}{E_{Be^{3+}}} = \frac{E_0}{4E_0} = \frac{1}{4} = 1:4$

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण में,एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर पर कूदता है।
यह प्रक्रिया अत्यंत तीव्र होती है।
ऐसे इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण में लगने वाला समय सामान्यतः $10^{-8} \, sec$ की कोटि का होता है।

(B) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ व्यंजक द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन नाभिक से स्थिर वैद्युत आकर्षण बलों द्वारा बंधा होता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है और इसका परिमाण गतिज ऊर्जा से अधिक होता है।
अतः,कुल ऊर्जा (गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग) हमेशा ऋणात्मक होती है,जो यह दर्शाती है कि इलेक्ट्रॉन एक बद्ध अवस्था में है।

(A) बोर मॉडल में,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = -13.6 \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे नाभिक से दूरी बढ़ती है,$n$ का मान बढ़ता है।
जब इलेक्ट्रॉन नाभिक से अनंत दूरी पर होता है,तो $n = \infty$ होता है।
सूत्र में $n = \infty$ रखने पर,हमें $E_{\infty} = -13.6 \times \frac{Z^{2}}{\infty^{2}} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिक से अनंत दूरी पर इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को शून्य माना जाता है।

(C) नाभिक से अनंत दूरी पर एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $0$ मानी जाती है।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक के करीब आता है,यह नाभिक से बंध जाता है,जिससे ऊर्जा ऋणात्मक हो जाती है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे नाभिक से दूरी कम होती है (अर्थात $n$ कम होता है),$E_n$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह घटता है)।
इसलिए,ऊर्जा घटकर अधिक ऋणात्मक मान की ओर जाती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = 13.6 \ \text{eV} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$n_1$ से $n_2$ संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $\left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ के समानुपाती होती है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$A$: $n=1$ से $n=2$,$\Delta E \propto (1 - 0.25) = 0.75$.
$B$: $n=2$ से $n=3$,$\Delta E \propto (0.25 - 0.111) = 0.139$.
$C$: $n=\infty$ से $n=1$ उत्सर्जन (ऊर्जा का निकलना) दर्शाता है,अवशोषण नहीं।
$D$: $n=3$ से $n=5$,$\Delta E \propto (0.111 - 0.04) = 0.071$.
दिए गए अवशोषण संक्रमणों में $n=1$ से $n=2$ का संक्रमण सबसे अधिक ऊर्जा की आवश्यकता रखता है।

(D) परमाणु का बोहर मॉडल परमाणु की स्थिरता और हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के रेखीय स्पेक्ट्रा को समझाने में सफल रहा था।
हालाँकि,यह बाहरी चुंबकीय क्षेत्र (जीमन प्रभाव) या बाहरी विद्युत क्षेत्र (स्टार्क प्रभाव) की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल लाइनों के विभाजन को समझाने में विफल रहा।
यह हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का भी खंडन करता है,क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों के लिए निश्चित पथ मानता है।
इसलिए,बोहर मॉडल द्वारा दी गई कोई भी घटना नहीं समझाई जा सकती है।

(D) बोर के परमाणु सिद्धांत ने स्थिर कक्षाओं या स्थिर अवस्थाओं की उपस्थिति के बारे में बताया,जिसमें इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का उत्सर्जन किए बिना नाभिक के चारों ओर घूमते हैं। यह सिद्धांत रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल की कमियों को दूर करने में सफल रहा।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ है।
$n = 2$ अवस्था के लिए,ऊर्जा $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ है।
$n = 2$ अवस्था से इलेक्ट्रॉन को अनंत ($n = \infty$,जहाँ $E = 0$) तक निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-3.4 \ eV) = 3.4 \ eV$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की ग्राउंड स्टेट में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -13.6 \, eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को ग्राउंड स्टेट से बाहर निकालने (आयनन करने) के लिए,हमें उसकी बंधन ऊर्जा के बराबर ऊर्जा देनी होगी,जो $|E| = 13.6 \, eV$ है।
यह ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन को गतिज ऊर्जा के रूप में दी जाती है।
स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ से $K_{max} = e \times V_s$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
चूंकि $K_{max} = 13.6 \, eV$ है,इसलिए $13.6 \, eV = e \times V_s$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_s = 13.6 \, V$।

(D) बोर का मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों पर लागू होता है,जो ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है।
$H$ में $1$ इलेक्ट्रॉन है,$He^{+}$ में $2-1 = 1$ इलेक्ट्रॉन है,और $Li^{2+}$ में $3-2 = 1$ इलेक्ट्रॉन है।
$Na$ (सोडियम) में $11$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
चूंकि $Na$ एक बहु-इलेक्ट्रॉन प्रणाली है,इसलिए बोर का मॉडल इसके उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की व्याख्या नहीं कर सकता है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटीकृत होता है।
कोणीय संवेग का सूत्र $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$h$ प्लांक स्थिरांक है,और $m, v, r$ क्रमशः द्रव्यमान,वेग और कक्षा की त्रिज्या हैं।
अतः,सही व्यंजक $\frac{nh}{2\pi}$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,$E_n$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा बढ़ती है।
जैसे $n \to \infty$,ऊर्जा $E_n$ का मान $0$ के करीब पहुंच जाता है,जो कि एक बंधे हुए इलेक्ट्रॉन के लिए अधिकतम संभव ऊर्जा है।
इसलिए,जब इलेक्ट्रॉन नाभिक से अनंत दूरी पर होता है तो उसके पास अधिकतम ऊर्जा होती है।

(C) $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$
जैसे-जैसे हम नाभिक से दूर जाते हैं,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है।
ऊर्जा के व्यंजक में ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$\frac{1}{n^2}$ का मान घटता है,जिससे कुल ऊर्जा $E_n$ कम ऋणात्मक हो जाती है (अर्थात यह अधिक धनात्मक हो जाती है)।
अतः,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर जाता है,उसकी ऊर्जा बढ़ती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z=1$,इसलिए $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$।
प्रत्येक संक्रमण के लिए ऊर्जा की गणना करने पर:
$A$: $n=1$ से $n=2$,$\Delta E = 10.2 \text{ eV}$।
$B$: $n=2$ से $n=3$,$\Delta E = 1.89 \text{ eV}$।
$C$: $n=1$ से $n=\infty$,$\Delta E = 13.6 \text{ eV}$।
$D$: $n=3$ से $n=5$,$\Delta E = 0.97 \text{ eV}$।
मानों की तुलना करने पर,$n=1$ से $n=\infty$ के संक्रमण के लिए सबसे अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-11}}{n^2} \, ergs$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,$E_1 = -2.18 \times 10^{-11} \, ergs$।
$n=3$ के लिए,$E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-11}}{3^2} = -\frac{2.18 \times 10^{-11}}{9} \approx -0.2422 \times 10^{-11} \, ergs$।
अवशोषित ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = (-0.2422 \times 10^{-11}) - (-2.18 \times 10^{-11}) = 1.9378 \times 10^{-11} \, ergs = 0.19378 \times 10^{-10} \, ergs$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $0.1911 \times 10^{-10} \, ergs$ है।

(B) दिया गया है,$E = -3.4 \ eV$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $-3.4 = -\frac{13.6}{n^2} \implies n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4 \implies n = 2$।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
$n = 2$ के लिए,$L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2.11 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) परमाणु में नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र है:
$PE = \frac{k_e q_1 q_2}{r}$
यहाँ,$q_1 = Ze$ (नाभिक का आवेश) और $q_2 = -e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) है।
अतः,$PE = \frac{k_e (Ze)(-e)}{r} = -\frac{k_e Z e^2}{r}$।
गॉसियन इकाइयों में जहाँ $k_e = 1$ होता है,यह व्यंजक $- \frac{Z e^2}{r}$ हो जाता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बल $(F)$ का सूत्र है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.
हाइड्रोजन परमाणु में,नाभिक का आवेश $+e$ $(Z=1)$ होता है और इलेक्ट्रॉन का आवेश $-e$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $F = k \frac{|(+e)(-e)|}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$.
यदि दिए गए विकल्पों में स्थिरांक $k$ को इकाई माना जाए,तो व्यंजक $\frac{e^2}{r^2}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार:
$1$. इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है,जो $\frac{mv^2}{r} = \frac{Ze^2}{r^2}$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. बोहर ने प्रतिपादित किया कि एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है,जो $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. बोहर मॉडल में,नाभिक को स्थिर माना जाता है,लेकिन प्रोटॉन (नाभिक) के द्रव्यमान को उपेक्षित नहीं किया जाता है; मॉडल यह मानता है कि नाभिक इलेक्ट्रॉन की तुलना में अनंत भारी है। इसलिए,यह कहना कि 'प्रोटॉन का द्रव्यमान उपेक्षित है' तकनीकी रूप से गलत है।
अतः,विकल्प $C$ गलत कथन है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_n = 2.18 \times 10^8 \times \frac{Z}{n} \ \text{cm s}^{-1}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
अतः,$v_n = 2.18 \times 10^8 \times \frac{1}{n} \ \text{cm s}^{-1}$।
गति $v_n$ को अधिकतम होने के लिए,हर (denominator) $n$ सबसे छोटा पूर्णांक होना चाहिए।
चूंकि कक्षा संख्या $n$ का मान $1$ से शुरू होता है,इसलिए $n = 1$ पर गति अधिकतम होती है।

(B) से $A$ तक संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर का योग है।
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
चूंकि ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की बंधन ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$,इसलिए $E_H = 13.6 \ eV$।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$।
अतः,$E_{He^+} = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \ eV$।
$E_{He^+} = 13.6 \times 4 \ eV = 54.4 \ eV$।

(D) $He^{+}$ स्पेक्ट्रम में $n=4$ से $n=2$ के संक्रमण के लिए तरंग संख्या: $\bar{\nu} = R Z^{2} ( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} )$.
$He^{+}$ के लिए $Z=2$,$n_{1}=2$,और $n_{2}=4$ रखने पर:
$\bar{\nu} = R(2)^{2} ( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{4^{2}} ) = 4R ( \frac{3}{16} ) = \frac{3R}{4}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4}{3R}$.
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,हम ऐसा संक्रमण $n_{2} \rightarrow n_{1}$ खोजते हैं जिसके लिए $\bar{\nu} = R(1)^{2} ( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} ) = \frac{3R}{4}$.
यह समीकरण $n_{1}=1$ और $n_{2}=2$ के लिए सत्य है,क्योंकि $( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} ) = \frac{3}{4}$.
अतः,हाइड्रोजन में $n=2 \rightarrow n=1$ का संक्रमण समान तरंगदैर्ध्य रखता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा स्तरों को मुख्य क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$K$ कोश $n = 1$,$L$ कोश $n = 2$ और $M$ कोश $n = 3$ के अनुरूप है।
जब एक इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 > 3)$ से $M$ कोश $(n_1 = 3)$ में संक्रमण करता है,तो परिणामी स्पेक्ट्रल रेखाएं पाश्चन श्रेणी का हिस्सा बनती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) किसी कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ द्वारा दी जाती है। तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2(3)^2 = 18$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ से निचले ऊर्जा स्तर $(n_1)$ पर गिरता है,तो उत्सर्जित ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि ऊर्जा स्तर अलग-अलग हैं,इसलिए उत्सर्जित ऊर्जा प्रारंभिक स्तर $(n_2)$ पर निर्भर करती है। इसलिए,अलग-अलग उच्च स्तरों से समान स्तर पर गिरने पर अलग-अलग मात्रा में ऊर्जा उत्सर्जित होती है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
बामर श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ इलेक्ट्रॉन $n=2$ स्तर पर गिरता है,जो दृश्य क्षेत्र में स्थित है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था है,जो $n=1$ के अनुरूप है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया है: $n_2 = 8$ और $n_1 = 2$.
जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $n_2$ से निम्न ऊर्जा स्तर $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
मान रखने पर:
$N = \frac{(8 - 2)(8 - 2 + 1)}{2}$
$N = \frac{6 \times 7}{2}$
$N = \frac{42}{2}$
$N = 21$
अतः,स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $21$ है।

(D) जब कोई इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से ग्राउंड स्टेट में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,रेखाओं की संख्या $\frac{4(4-1)}{2} = 6$ है।
संभावित संक्रमण हैं:
$4$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1$.
चूंकि विकल्प $A, B$ और $C$ में दिए गए सभी संक्रमण संभव हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) रिट्ज़ संयोजन सिद्धांत के अनुसार,परमाणु स्पेक्ट्रम में किसी भी स्पेक्ट्रल रेखा की तरंग संख्या को दो स्पेक्ट्रल पदों के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
गणितीय रूप से,इसे $\bar{\nu} = T(n_1) - T(n_2)$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $T(n) = \frac{R_H Z^2}{n^2}$ है।
यह रिडबर्ग सूत्र की ओर ले जाता है: $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$।
विकल्प $A$ रिडबर्ग सूत्र को दर्शाता है,जो रिट्ज़ संयोजन सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग है।
अतः,$A$ सही उत्तर है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए एक स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$
अतः,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$।

(C) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,ऊर्जा का अंतर $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ कम होता जाता है।
किसी भी स्पेक्ट्रल श्रेणी में,जैसे-जैसे हम उच्च ऊर्जा स्तरों की ओर बढ़ते हैं,क्रमिक स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है,जिसका अर्थ है कि स्पेक्ट्रल रेखाएं कम तरंगदैर्ध्य (उच्च ऊर्जा) पर एक-दूसरे के करीब होती हैं,न कि लंबी तरंगदैर्ध्य पर।
इसलिए,यह कथन कि स्पेक्ट्रल रेखाएं लंबी तरंगदैर्ध्य पर करीब होती हैं,गलत है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु का रेखीय स्पेक्ट्रम ऊर्जा स्तरों के क्वांटीकरण का प्रमाण प्रदान करता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_1)$ में संक्रमण करता है,तो वह एक फोटॉन उत्सर्जित करता है।
इस उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
यह दर्शाता है कि ऊर्जा लगातार नहीं खोती है,बल्कि ऊर्जा के अलग-अलग बंडलों या पैकेटों के रूप में खोती है जिन्हें क्वांटा या फोटॉन कहा जाता है।

(A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में,जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 = 3, 4, 5, ...)$ से $L$ कक्षा $(n_1 = 2)$ में वापस आता है,तो उत्पन्न होने वाली रेखाओं की श्रृंखला को बामर श्रेणी कहा जाता है।
यह श्रृंखला विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में स्थित होती है।

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली ऊर्जा अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्पन्न स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$.
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $5$ वें स्तर $(n_2 = 5)$ पर उत्तेजित होता है और मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में वापस आता है।
मान रखने पर: $\frac{(5 - 1)(5 - 1 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$.
अतः,कुल $10$ स्पेक्ट्रल रेखाएं उत्पन्न होती हैं।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से निम्नतम अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र है: $\text{कुल रेखाएँ} = \frac{n(n-1)}{2}$।
दिया गया है कि रेखाओं की कुल संख्या $10$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$।
दृश्य स्पेक्ट्रम बामर श्रेणी के अनुरूप है,जहाँ संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
$n = 5$ से $n = 2$ में आने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,संभावित संक्रमण हैं:
$5 \rightarrow 2$,$4 \rightarrow 2$,और $3 \rightarrow 2$।
अतः,दृश्य क्षेत्र में $3$ रेखाएँ हैं।

(C) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$H$ परमाणु $(Z=1)$ में प्रथम लाइमन संक्रमण के लिए: $n_1=1, n_2=2$. अतः,$\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R_H$.
हाइड्रोजन जैसे आयन $(Z)$ में द्वितीय बामर संक्रमण के लिए: $n_1=2, n_2=4$. अतः,$\bar{\nu}_2 = R_H Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{3}{4} R_H = R_H Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
$\frac{3}{4} = Z^2 \left( \frac{3}{16} \right) \implies Z^2 = 4 \implies Z = 2$.
अतः,$Z=2$ वाला आयन $He^{+}$ है।

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$। इलेक्ट्रॉन अनंत $(n_2 = \infty)$ से स्थिर अवस्था $n_1 = 1$ में आता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} \times (1)^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2})$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (1 - 0) = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 9.115 \times 10^{-8} \ m$
मीटर को नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए,$10^9$ से गुणा करें: $\lambda = 9.115 \times 10^{-8} \times 10^9 \ nm = 91.15 \ nm \approx 91 \ nm$.

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम का पराबैंगनी क्षेत्र लाइमन श्रेणी के अनुरूप है,जहाँ संक्रमण मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में होता है।
यदि पराबैंगनी क्षेत्र में $4$ रेखाएं हैं,तो संक्रमण $n_2 = 5, 4, 3, 2$ से $n_1 = 1$ तक हैं।
इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में $n = 5$ उत्तेजित अवस्था में है।
$n = 5$ से निम्न ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 5$ है।
कुल रेखाएं = $\frac{5(5-1)}{2} = 10$ हैं।
अवरक्त क्षेत्र में रेखाएं पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$ और ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$ के अनुरूप होती हैं।
$n = 5$ से अवरक्त क्षेत्र में संभावित संक्रमण हैं:
$5 \rightarrow 4$ (ब्रैकेट श्रेणी)
$5 \rightarrow 3$ (पाश्चन श्रेणी)
$4 \rightarrow 3$ (पाश्चन श्रेणी)
अतः,अवरक्त क्षेत्र में $3$ रेखाएं उत्पन्न होती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = mc^2 = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $m = \frac{h}{\lambda c}$। अतः,$m \propto \frac{1}{\lambda}$।
लाइमैन श्रेणी के लिए,पहली रेखा $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के संगत है:
$\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R_H \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R_H}{4}$।
बामर श्रेणी के लिए,पहली रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के संगत है:
$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R_H}{36}$।
चूंकि $m \propto \frac{1}{\lambda}$,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1/\lambda_1}{1/\lambda_2} = \frac{3R_H/4}{5R_H/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5}$।
अतः,अनुपात $27 : 5$ है।

(C) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है।
अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R(1 - 0) = R$,जिसका अर्थ है $\lambda_L = \frac{1}{R} = 912 \ \mathring{A}$।
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है।
अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
इससे $\lambda_B = \frac{4}{R} = 4 \lambda_L$ प्राप्त होता है।
$\lambda_L$ का मान रखने पर,हमें $\lambda_B = 4 \times 912 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए बामर श्रेणी की पहली रेखा $n_2=3$ से $n_1=2$ का संक्रमण है: $\bar{\nu} = R (1)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R (\frac{5}{36})$.
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए,हमें वह संक्रमण $n_2 \rightarrow n_1$ खोजना है जिसके लिए $\bar{\nu} = R (2)^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = R \frac{5}{36}$ हो।
सरल करने पर,$(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = \frac{5}{144}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जांच करने पर,$n_2=6$ और $n_1=4$ के लिए: $(\frac{1}{16} - \frac{1}{36}) = \frac{5}{144}$ प्राप्त होता है।
अतः,$He^{+}$ में $6 \rightarrow 4$ संक्रमण समान तरंग संख्या रखता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है:
$K_{max} = hv - hv_0$
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए $K_{max}$ का धनात्मक होना आवश्यक है,इसलिए:
$hv > hv_0$ या $v > v_0$
यहाँ,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है। अतः,प्रकाश-विद्युत प्रभाव केवल तब होता है जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति एक निश्चित न्यूनतम मान से अधिक होती है,जिसे देहली आवृत्ति कहा जाता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $KE = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $h\nu_0$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में: $KE_1 = h\nu - h\nu_0 \ldots(1)$
जब आवृत्ति दोगुनी की जाती है: $KE_2 = h(2\nu) - h\nu_0 = 2h\nu - h\nu_0 \ldots(2)$
समीकरण $(1)$ से,$h\nu = KE_1 + h\nu_0$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$KE_2 = 2(KE_1 + h\nu_0) - h\nu_0$
$KE_2 = 2KE_1 + 2h\nu_0 - h\nu_0$
$KE_2 = 2KE_1 + h\nu_0$
चूंकि $h\nu_0 > 0$,नई गतिज ऊर्जा $KE_2$,$2KE_1$ से अधिक होगी।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य बढ़ती है,फोटॉन की ऊर्जा कम होती जाती है।
दिए गए रंगों के लिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{\text{green}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{red}}$ है।
इसलिए,ऊर्जा का क्रम $E_{\text{green}} > E_{\text{yellow}} > E_{\text{red}}$ है।
चूंकि सतह पीले प्रकाश के साथ इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करती है,इसलिए पीले प्रकाश की ऊर्जा सतह की देहली ऊर्जा (वर्क फंक्शन) से कम है।
चूंकि लाल प्रकाश की ऊर्जा पीले प्रकाश से भी कम है,इसलिए यह भी देहली ऊर्जा से कम होगी।
अतः,लाल प्रकाश द्वारा कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा,चाहे तीव्रता या अवधि कुछ भी हो।

(D) प्रकाश-विद्युत समीकरण $h\nu = \Phi + KE$ है,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है और $KE$ गतिज ऊर्जा है।
शून्य वेग के लिए,$KE = 0$,इसलिए $h\nu = \Phi$.
दिया गया है $\Phi = 4 \, eV$,इसलिए $h\nu = 4 \, eV$.
$\lambda = \frac{hc}{\Phi}$ संबंध का उपयोग करने पर,जहाँ $hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$:
$\lambda = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{4 \, eV} = 3100 \, \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ समीकरण $KE = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $\Phi$ स्थिर होता है,इसलिए उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा सीधे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ पर निर्भर करती है।

(D) $1s$ इलेक्ट्रॉनिक स्तर हाइड्रोजन परमाणु को फोटॉन को अवशोषित करने की अनुमति देता है लेकिन उसे उत्सर्जित करने की नहीं।
विकिरण के अवशोषण पर,इलेक्ट्रॉन $1s$ स्तर से उच्च स्तर जैसे $2s$ या $3s$ में स्थानांतरित हो जाता है।
लेकिन फोटॉन उत्सर्जित करने के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में जाना चाहिए।
चूंकि $1s$ सबसे निचला ऊर्जा स्तर है,इसलिए इलेक्ट्रॉन निचले स्तर में नहीं जा सकता है।
अतः,उत्सर्जन संभव नहीं है।

(B) मूल अवस्था $(GS)$ और प्रथम उत्तेजित अवस्था $(1^{st} ES)$ के बीच ऊर्जा का अंतर उनकी आयनन ऊर्जाओं के अंतर द्वारा दिया जाता है:
$\Delta E = 1540 - 300 = 1240 \ kJ \ mol^{-1}$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए,हम $1 \ eV \approx 96.5 \ kJ \ mol^{-1}$ का उपयोग करते हैं:
$\Delta E = \frac{1240}{96.5} \approx 12.85 \ eV$.
$\lambda (nm) = \frac{1240}{\Delta E (eV)}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\lambda = \frac{1240}{12.85} \approx 96.5 \ nm$.
चूंकि तरंग दैर्ध्य $96.5 \ nm$ है,जो $10 \ nm$ से $400 \ nm$ की सीमा में आता है,इसलिए उत्सर्जित प्रकाश $UV$ क्षेत्र में है।