Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(A) $n_1 = 1$ से $n_2 = 2$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन:
$\Delta E = - 2.0 \times 10^{-18} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right)$
$\Delta E = - 2.0 \times 10^{-18} \times \left( - \frac{3}{4} \right) = 1.5 \times 10^{-18} \, J$
संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.5 \times 10^{-18}}$
$\lambda = 1.325 \times 10^{-7} \, m$

(D) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का योग होती है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $P.E. = -\frac{e^2}{r}$ है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r}$ है।
अतः,कुल ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2r}$ होगी।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ समीकरण द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
प्लांक स्थिरांक,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
आवृत्ति,$\nu = 2.47 \times 10^{15} \ Hz$
मान रखने पर:
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (2.47 \times 10^{15} \ s^{-1})$
$E = 16.3761 \times 10^{-19} \ J$
$E = 1.63761 \times 10^{-18} \ J \approx 1.640 \times 10^{-18} \ J$.

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
पहली उत्सर्जन रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{\nu} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5}{36} R$.

(A) आवृत्ति $\nu$ का सूत्र $\nu = R_{\infty} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
Balmer श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3, 4, 5, \dots, \infty$ है।
सीमांत रेखा $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
मान रखने पर: $\nu = 3.29 \times 10^{15} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} = 8.225 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(C) उत्सर्जन रेखा के लिए,$n_f < n_i$ होता है।
तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ है।
परमाण्वीय हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$,$n_i = 8$,और $n_f = n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{8^2} \right] = R_H \left( \frac{1}{n^2} \right) - \frac{R_H}{64}$।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \bar{\nu}$ और $x = \frac{1}{n^2}$ है:
ढाल $m = R_H$ और अंतःखंड $c = -\frac{R_H}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,आलेख $R_H$ ढाल के साथ रैखिक होगा।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है: $K.E. = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $h\nu_0$ धातु का कार्य फलन है।
$1$. $K.E.$ और प्रकाश की ऊर्जा $(h\nu)$ के बीच का संबंध एक सीधी रेखा है जिसमें धनात्मक अंतःखंड होता है,जो ग्राफ $(A)$ से मेल खाता है।
$2$. उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है,आवृत्ति पर नहीं (देहली आवृत्ति से ऊपर),इसलिए ग्राफ $(B)$ एक सही निरूपण है।
$3$. $K.E.$ और आवृत्ति $(
u)$ के बीच का संबंध $K.E. = h\nu - h\nu_0$ है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें $K.E.$ अक्ष पर ऋणात्मक अंतःखंड होता है,न कि मूल बिंदु से गुजरने वाली। इसलिए,ग्राफ $(C)$ गलत है।
$4$. $K.E.$ आपतित प्रकाश की तीव्रता से स्वतंत्र है,इसलिए ग्राफ $(D)$ एक सही निरूपण है।
अतः,वह ग्राफ जो संबंध का प्रतिनिधित्व नहीं करता है,वह $(C)$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
मूल अवस्था $n = 1$ है,प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है,और दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ है।
सूत्र में $Z = 2$ और $n = 3$ रखने पर:
$E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} \ eV$
$E_3 = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$
$E_3 = -13.6 \times 0.4444 \ eV = -6.04 \ eV$.

(A) तरंगदैर्ध्य $\lambda = 900 \ nm = 9 \times 10^{-7} \ m$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पाश्चन श्रेणी के लिए $n_1 = 3$ है। मान रखने पर: $\frac{1}{9 \times 10^{-7}} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यह गणना दर्शाती है कि $900 \ nm$ अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में आता है,जो पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$ के अनुरूप है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$.
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times (6 \times 10^5)^2 = 1.62 \times 10^{-19} \, J$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K.E.$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\phi = E - K.E. = 4.9695 \times 10^{-19} - 1.62 \times 10^{-19} = 3.3495 \times 10^{-19} \, J$.
कार्य फलन को $eV$ में बदलने के लिए,इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ से विभाजित करें:
$\phi = \frac{3.3495 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2.093 \, eV \approx 2.1 \, eV$.

(C) तरंग संख्या का सूत्र $\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
किसी भी श्रेणी के लिए,$\Delta \bar{\nu} = \bar{\nu}_{\max} - \bar{\nu}_{\min} = \frac{R_H}{(n_1+1)^2}$ होता है।
लायमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$,इसलिए $\Delta \bar{\nu}_{\text{Lyman}} = \frac{R_H}{4}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\Delta \bar{\nu}_{\text{Balmer}} = \frac{R_H}{9}$।
अतः,अनुपात $\frac{\Delta \bar{\nu}_{\text{Lyman}}}{\Delta \bar{\nu}_{\text{Balmer}}} = \frac{9}{4}$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,एक कक्षक में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ स्थिर होती है और केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
$E = -K.E = \frac{P.E}{2}$,जिसका अर्थ है $|P.E| = 2 \times |K.E|$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$1s$ कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व $\psi^2 = \frac{1}{\pi a_0^3} e^{-2r/a_0}$ द्वारा दिया जाता है। यह मान $r = 0$ (नाभिक) पर अधिकतम होता है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
इलेक्ट्रॉन नाभिक से किसी भी दूरी $r$ पर पाया जा सकता है,जिसमें $2a_0$ भी शामिल है,हालांकि प्रायिकता घनत्व दूरी के साथ तेजी से घटता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
एक विशिष्ट कक्षक में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा स्थिर होती है और नाभिक से उसकी तात्कालिक दूरी के साथ नहीं बदलती है। इसलिए,यह कथन कि कुल ऊर्जा $a_0$ पर अधिकतम होती है,गलत है।

(A) स्पेक्ट्रल श्रेणी के लिए सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_2 = \infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{R_H}{n_1^2}$.
अतः,$\lambda = \frac{n_1^2}{R_H}$.
दो श्रेणियों जिनकी निचली ऊर्जा स्तर $n_1$ और $n_2$ हैं,उनकी सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{n_2^2}{n_1^2} = 9$ है।
इसका अर्थ है $\frac{n_2}{n_1} = 3$.
लाइमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$. पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_2 = 3$.
इसलिए,अनुपात $\frac{3^2}{1^2} = 9$ है। ये श्रेणियाँ लाइमैन और पाश्चन हैं।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta E$ इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ में है,इसलिए $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$,और $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$ का उपयोग करने पर,
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\Delta E \times 1.602 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda \approx \frac{12395}{\Delta E} \times 10^{-10} \ m$.

(A) $H$ परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $\nu = R_H c (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ द्वारा दी जाती है।
लाइमन श्रेणी के लिए $n_1 = 1$ है। मान लीजिए संक्रमण $n_2 = n$ है। तो $\nu = R_H c (1 - \frac{1}{n^2})$।
शर्त $(i)$ के अनुसार: $\nu(n \to 1) = \nu(n' \to 1) + \nu(n'' \to 2)$।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $(1 - \frac{1}{n^2}) = (1 - \frac{1}{n'^2}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{n''^2})$।
$n=3$ के लिए,$\nu(3 \to 1) = R_H c (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H c$।
$n=3$ के लिए शर्तों की जाँच करने पर:
$(i)$ $\nu(3 \to 1) = \nu(2 \to 1) + \nu(3 \to 2) = R_H c (1 - \frac{1}{4}) + R_H c (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H c (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H c$। यह सही है।
अतः,यह संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ के अनुरूप है।

(B) ब्रैकेट श्रेणी की पहली रेखा $n = 5$ से $n = 4$ में होने वाले संक्रमण के अनुरूप है।
इस रेखा को उत्सर्जित करने के लिए,हाइड्रोजन परमाणु को ग्राउंड स्टेट $(n = 1)$ से $n = 5$ स्टेट में उत्तेजित करना होगा।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_5 - E_1$ है।
सूत्र $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ का उपयोग करने पर:
$E_1 = -13.6 \ eV$
$E_5 = -13.6 / 25 = -0.544 \ eV$।
अतः,$\Delta E = -0.544 - (-13.6) = 13.056 \ eV \approx 13.06 \ eV$।

(B) लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों से $n_1 = 1$ पर होता है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए,ऊर्जा का अंतर न्यूनतम होना चाहिए,जो $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है।
रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$He^+$ आयन के लिए,$Z = 2$,इसलिए $Z^2 = 4$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$।
अतः,$\lambda = \frac{1}{3R}$।

(C) $H$ परमाणु में संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$।
अतः,बड़ा $\Delta E$ छोटे $\lambda$ के अनुरूप होता है।
ऊर्जा अंतरों की तुलना करने पर: $\Delta E_1 > \Delta E_2 > \Delta E_3 > \Delta E_4$।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का क्रम: $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$ है।

(C) बोहर के परमाणु मॉडल ने प्रस्तावित किया था कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर अच्छी तरह से परिभाषित वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। हालाँकि,हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत और पदार्थ की तरंग-कण द्वैतता द्वारा इसे बाद में गलत साबित कर दिया गया,जो यह सुझाव देते हैं कि इलेक्ट्रॉन निश्चित वृत्ताकार पथों के बजाय त्रि-आयामी कक्षकों (orbitals) में मौजूद होते हैं। इसलिए,यह कथन कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है,आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में गलत माना जाता है।

(C) कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$r_{2H}$ के लिए,$n=2, Z=1 \implies r_{2H} = 0.529 \times 4 = 2.116 \ \mathring{A}$।
$r_{1He^{+}}$ के लिए,$n=1, Z=2 \implies r_{1He^{+}} = 0.529 \times \frac{1}{2} = 0.2645 \ \mathring{A}$।
$r_{1H}$ के लिए,$n=1, Z=1 \implies r_{1H} = 0.529 \ \mathring{A}$।
अतः,$r_{2H} > r_{1H} > r_{1He^{+}}$,इसलिए विकल्प $A$ गलत है।
आयनन ऊर्जा $I.E. = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ द्वारा दी जाती है।
$I.E._{H} (Z=1, n=1) = 13.6 \ \text{eV}$।
$I.E._{He^{+}} (Z=2, n=1) = 13.6 \times 4 = 54.4 \ \text{eV}$।
$I.E._{Li^{+2}} (Z=3, n=1) = 13.6 \times 9 = 122.4 \ \text{eV}$।
अतः,$I.E._{Li^{+2}} > I.E._{He^{+}} > I.E._{H}$,इसलिए विकल्प $B$ गलत है।
कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ है।
$E_{1H} = -13.6 \ \text{eV}$,$E_{2H} = -3.4 \ \text{eV}$,$E_{3H} = -1.51 \ \text{eV}$।
चूंकि $-13.6 < -3.4 < -1.51$,इसलिए $E_{1H} < E_{2H} < E_{3H}$ सही है।
विकल्प $C$ सही है।

(B) माना इलेक्ट्रॉन $E = E_{n_2} - E_{n_1}$ ऊर्जा वाले फोटॉन को अवशोषित करके $n_1$ से $n_2$ अवस्था में उत्तेजित होता है।
$n_2$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में वापस आने पर उत्सर्जित फोटॉनों की कुल संख्या $\frac{n_2(n_2-1)}{2} = 10$ है।
$n_2$ के लिए हल करने पर: $n_2^2 - n_2 - 20 = 0 \implies (n_2-5)(n_2+4) = 0$. अतः $n_2 = 5$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_{incident} = E_5 - E_{n_1}$ है।
$7$ संक्रमणों की ऊर्जा आपतित फोटॉन से अधिक है। ये संक्रमण $n > n_1$ स्तरों से $n \le n_1$ स्तरों तक होने चाहिए।
आपतित फोटॉन से कम या उसके बराबर ऊर्जा वाले फोटॉनों की संख्या $10 - 7 = 3$ है। ये संक्रमण $n \le n_1$ स्तरों से $n=1$ तक के हैं।
ऐसे संक्रमणों की संख्या $\frac{n_1(n_1-1)}{2} = 3$ है।
$n_1$ के लिए हल करने पर: $n_1^2 - n_1 - 6 = 0 \implies (n_1-3)(n_1+2) = 0$. अतः $n_1 = 3$ है।
चूंकि $n_1 = 3$ है,इसलिए इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में $2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था में था।

(D) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(mvr)$ सूत्र $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
$CGS$ इकाइयों में प्लांक स्थिरांक $h$ का मान $6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$ होता है।
मान रखने पर: $mvr = \frac{2 \times 6.626 \times 10^{-27}}{2 \times 3.14159}$।
$mvr = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{3.14159} \approx 2.109 \times 10^{-27} \ erg \ s$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,पहली उत्तेजित $n=2$,दूसरी $n=3$ और तीसरी $n=4$ है)।
$E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} = -13.6 \times \frac{4}{16} = -13.6 \times 0.25 = -3.4 \, eV$.
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का कुल ऊर्जा $(E)$ के साथ संबंध $P.E. = 2 \times E$ होता है।
अतः,$P.E. = 2 \times (-3.4 \, eV) = -6.8 \, eV$.

(B) $He^{\oplus}$ $(Z=2)$ में तीसरे बामर संक्रमण की ऊर्जा $n=5$ से $n=2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\Delta E = 13.6 \times Z^{2} \times (\frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}}) = 13.6 \times 4 \times (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}}) = 54.4 \times 0.21 = 11.424 \, eV$.
$(A)$ $He^{\oplus}$ की प्रथम उत्तेजन ऊर्जा ($n=1$ से $n=2$): $\Delta E = 40.8 \, eV$.
$(B)$ $Li^{2+}$ $(Z=3)$ की तीसरी पृथक्करण ऊर्जा ($n=4$ से $n=\infty$): $\Delta E = 13.6 \times 9 \times (\frac{1}{16}) = 7.65 \, eV$.
$(C)$ $H$ परमाणु की चौथी उत्तेजन ऊर्जा ($n=1$ से $n=5$): $\Delta E = 13.056 \, eV$.
$(D)$ $Be^{3+}$ $(Z=4)$ की आयनन ऊर्जा: $\Delta E = 217.6 \, eV$.
मानों की तुलना करने पर,$7.65 \, eV < 11.424 \, eV$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति का सूत्र है: $v = RC Z^{2} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$।
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_{1} = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है। प्रथम रेखा $n_{2} = 4$ से $n_{1} = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$Be^{+3}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = RC \times (4)^{2} \times \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right)$
$v = RC \times 16 \times \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$
$v = 16 RC \times \left( \frac{16 - 9}{144} \right)$
$v = 16 RC \times \frac{7}{144}$
$v = \frac{7 RC}{9}$

(D) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
$He^{+}$ के लिए तीसरी रेखा,$n_2 = 5$ और $Z = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = \frac{21R}{25}$।
$Li^{2+}$ के लिए पहली रेखा,$n_2 = 3$ और $Z = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = 9R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{4}$।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{25}{21R} \times \frac{5R}{4} = \frac{125}{84}$।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,ऊर्जा स्तर एक-दूसरे के करीब आते जाते हैं।
दो क्रमिक स्तरों $n$ और $n+1$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,पद $(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})$ कम हो जाता है,जिससे ऊर्जा अंतराल में कमी आती है।
अतः,$n$ बढ़ने के साथ ऊर्जा अंतराल कम हो जाता है।

(B) हीलियम $(He)$ का स्पेक्ट्रम $Li^{+}$ के समान दिखता है क्योंकि दोनों $2$-इलेक्ट्रॉन सिस्टम हैं। हीलियम में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,और लिथियम आयन $(Li^{+})$ में भी $3 - 1 = 2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं। बोहर के सिद्धांत के अनुसार,समान संख्या में इलेक्ट्रॉन रखने वाली प्रजातियों के लिए स्पेक्ट्रम समान होते हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है। $He^{+}$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $E_n = -13.6 \times \frac{4}{n^2} = -\frac{54.4}{n^2} \ eV$।
इलेक्ट्रॉन को आयनित करने के लिए,दी गई ऊर्जा आयनन ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो $|E_n| = \frac{54.4}{n^2} \ eV$ है।
यह दिया गया है कि $2.5 \ eV$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के साथ टक्कर से आयनन होता है,इसलिए उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-2.5 \ eV$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{54.4}{n^2} \leq 2.5$।
$n^2 \geq \frac{54.4}{2.5} = 21.76$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $\sqrt{21.76} \approx 4.66$ है।
इसलिए,$n$ के लिए न्यूनतम पूर्णांक मान $5$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन का $r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ वेग के साथ कोणीय संवेग $J = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है।
$v = \frac{J}{mr}$ को $KE$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{J}{mr} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{J^2}{m^2r^2} \right) = \frac{J^2}{2mr^2}$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) $H$-जैसे परमाणुओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
$He^{+}$ $(Z=2)$ की बामर श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $x$ के लिए: $n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$.
$\frac{1}{x} = R(2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = 4R \left[ \frac{1}{4} \right] = R$
$\Rightarrow x = \frac{1}{R}$
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ की पाश्चन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए: $n_1 = 3$ और $n_2 = 4$.
$\frac{1}{\lambda} = R(3)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = 9R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = 9R \left[ \frac{16-9}{144} \right] = 9R \left[ \frac{7}{144} \right] = \frac{7R}{16}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{16}{7R} = \frac{16x}{7}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वृत्ताकार कक्षाओं के लिए केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$।
दी गई दूरियों $r_1 = r$ और $r_2 = 4r$ के लिए,उनके आवर्तकाल का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{r_1}{r_2})^{3/2} = (\frac{r}{4r})^{3/2} = (\frac{1}{4})^{3/2} = \frac{1}{8}$।
अतः,उनके आवर्तकाल का अनुपात $1:8$ है।

(C) कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $r \propto n^2$,इसलिए $A \propto (n^2)^2 = n^4$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{1}$,तो $(\frac{n_1}{n_2})^4 = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{n_1}{n_2} = (4)^{1/4} = \sqrt{2}$।
कक्षा में इलेक्ट्रॉन की आवृत्ति $f \propto \frac{1}{n^3}$ होती है।
अतः,$\frac{f_1}{f_2} = (\frac{n_2}{n_1})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,अनुपात $1 : 2\sqrt{2}$ है।

(A) हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तर संक्रमण के आधार पर रेखाओं की कई श्रेणियाँ होती हैं।
श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. लायमन श्रेणी: $n_1 = 1$ (पराबैंगनी क्षेत्र)
$2$. बामर श्रेणी: $n_1 = 2$ (दृश्य क्षेत्र)
$3$. पाश्चन श्रेणी: $n_1 = 3$ (अवरक्त क्षेत्र)
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: $n_1 = 4$ (अवरक्त क्षेत्र)
$5$. फंड श्रेणी: $n_1 = 5$ (अवरक्त क्षेत्र)
अतः,दृश्य क्षेत्र में देखी जाने वाली श्रेणी बामर श्रेणी है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{v_0}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ एक स्थिरांक है।
इसका अर्थ है कि वेग कक्षा संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{n}$।
$1^{st}$,$2^{nd}$ और $3^{rd}$ कक्षा के लिए,वेग का अनुपात:
$v_1 : v_2 : v_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) Balmer श्रेणी $(n_1 = 2)$ के लिए Rydberg सूत्र $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$H_{\alpha}$ रेखा के लिए,$n_2 = 3$: $\frac{1}{X} = RZ^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = RZ^2 \left( \frac{5}{36} \right) \implies RZ^2 = \frac{36}{5X}$.
$H_{\beta}$ रेखा के लिए,$n_2 = 4$: $\frac{1}{\lambda_{\beta}} = RZ^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = RZ^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
$RZ^2$ का मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda_{\beta}} = \left( \frac{36}{5X} \right) \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{108}{80X}$.
अतः,$\lambda_{\beta} = X \left( \frac{80}{108} \right) \ \mathring{A}$.

(C) हाइड्रोजन-समान स्पीशीज के लिए आयनन विभव $(I.P.)$ का सूत्र $E_n = -13.6 \times Z^2 / n^2 \ eV$ है। मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$I.P. = 13.6 \times Z^2 = 36 \ eV$ है।
किसी भी अवस्था $n$ के लिए ऊर्जा $E_n = -36 / n^2 \ eV$ है।
दूसरी उत्तेजन ऊर्जा मूल अवस्था $(n=1)$ से तीसरे ऊर्जा स्तर $(n=3)$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
तीसरे स्तर की ऊर्जा $E_3 = -36 / 3^2 = -36 / 9 = -4 \ eV$ है।
मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -36 / 1^2 = -36 \ eV$ है।
दूसरी उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = -4 - (-36) = 32 \ eV$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज के लिए,कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n=1, 2, 3, 4$ के लिए,ऊर्जा के मान $E_1 = -13.6 Z^2, E_2 = -3.4 Z^2, E_3 = -1.51 Z^2, E_4 = -0.85 Z^2$ हैं।
ऊर्जा अंतर की गणना करने पर:
$(E_2 - E_1) = 10.2 Z^2$
$(E_3 - E_2) = 1.89 Z^2$
$(E_4 - E_3) = 0.66 Z^2$
इन मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $(E_2 - E_1) > (E_3 - E_2) > (E_4 - E_3)$।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $x$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करता है,तो स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या प्रत्येक स्तर से संभव संक्रमणों के योग द्वारा ज्ञात की जाती है।
$x$ ऊर्जा स्तर वाले परमाणु के लिए,संक्रमण $x$ से $(x-1), (x-2), \dots, 1$ तक होते हैं।
रेखाओं की संख्या इस योग द्वारा दी जाती है: $(x-1) + (x-2) + (x-3) + \dots + 2 + 1$।
यह प्रथम $(x-1)$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर है,जो $1 + 2 + 3 + \dots + (x - 1)$ है।

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से निचले स्तर में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जन रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चतम ऊर्जा स्तर की मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n = 4$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण के लिए,संभावित उत्सर्जन रेखाओं की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
संभावित संक्रमण हैं:
$4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$.
अतः,कुल $6$ संभावित उत्सर्जन रेखाएँ हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति का सूत्र है: $v_n = v_1 \times \frac{Z}{n}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ में,गति $v_1 = x$ है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ में,गति $v_3 = v_1 \times \frac{1}{3} = \frac{x}{3}$ होगी।

(A) लायमन श्रेणी $n_1 = 1$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है। $1^{st}$ लाइमन रेखा $n_2 = 2 \rightarrow n_1 = 1$ है। $3^{rd}$ लाइमन रेखा $n_2 = 4 \rightarrow n_1 = 1$ है।
दिया गया संक्रमण $3^{rd}$ लाइमन रेखा $(n_2 = 4)$ से $1^{st}$ लाइमन रेखा $(n_2 = 2)$ तक है:
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 2$,और $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4-1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
$\lambda = \frac{16}{3R}$

(C) एक मोल फोटॉन के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = \frac{N_A hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\lambda = 121.5 \ nm = 121.5 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
$\Delta E = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{121.5 \times 10^{-9}} \ J/mol$.
गणना करने पर,$\Delta E \approx 984,000 \ J/mol$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $982 \ kJ/mol$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h v = h v_0 + K.E.$
अतः,$K.E. = h v - h v_0$.
आवृत्ति $v_1$ और $v_2$ के लिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:2$ दिया गया है:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{1}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(h v_1 - h v_0) = 1(h v_2 - h v_0)$
$2h v_1 - 2h v_0 = h v_2 - h v_0$
देहली आवृत्ति $v_0$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$2h v_1 - h v_2 = 2h v_0 - h v_0$
$v_0 = 2v_1 - v_2$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $hv = hv_0 + \frac{1}{2}mv^2$
यहाँ $v = \frac{c}{\lambda}$ और $v_0 = \frac{c}{\lambda_0}$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)$
वेग $v^2 = \frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)$
इसलिए,$v = [\frac{2hc}{m} \{ \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \}]^{1/2}$

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4500 \ \mathring{A} = 4.5 \times 10^{-7} \ m$.
बल्ब की शक्ति $P = 150 \ W = 150 \ J/s$.
प्रकाश उत्सर्जन की दक्षता = $8 \ \%$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित प्रकाश ऊर्जा $E = 150 \times \frac{8}{100} = 12 \ J/s$.
माना प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$.
कुल ऊर्जा $E = n \times \frac{hc}{\lambda} \implies n = \frac{E \lambda}{hc}$.
मान रखने पर: $n = \frac{12 \times 4.5 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.72 \times 10^{19}$.

(C) बल्ब की शक्ति $P = 200 \ W = 200 \ J \ s^{-1}$ है।
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 200 \ nm = 2 \times 10^{-7} \ m$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
माना प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा $P = n \times \frac{hc}{\lambda}$ है।
अतः,$n = \frac{P \times \lambda}{h \times c} = \frac{200 \times 2 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.012 \times 10^{20}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(D) आइंस्टीन ऊर्जा $E$ का सूत्र है: $E = \frac{N_A hc}{\lambda}$.
दिया गया है: $E = 1.995 \times 10^{12} \ erg \ mol^{-1} = 1.995 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ (चूंकि $1 \ J = 10^7 \ erg$).
$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{N_A hc}{E} = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.995 \times 10^5}$.
$\lambda \approx 6 \times 10^{-7} \ m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $6 \times 10^{-7} \ m = 6000 \ \mathring{A}$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = h \nu$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दिया गया है कि $E_1 = h \times (2 \times 10^{12}) = E$.
दूसरे फोटॉन के लिए,$E_2 = h \times (4 \times 10^{12})$.
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{h \times 4 \times 10^{12}}{h \times 2 \times 10^{12}} = 2$.
अतः,$E_2 = 2E$.

(D) थॉमसन के परमाणु मॉडल के अनुसार,परमाणु एक धनावेशित गोला है जिसमें इलेक्ट्रॉन तरबूज के बीज की तरह या पुडिंग में प्लम की तरह धंसे होते हैं। इन समानताओं के कारण,इसे $Plum \ pudding$ मॉडल,$Raisin \ pudding$ मॉडल या $Watermelon$ मॉडल के रूप में जाना जाता है। इसलिए,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।