Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(N/A) परमाणु के चार मॉडल हैं:
$(1)$ थॉमसन का परमाणु मॉडल।
$(2)$ रदरफोर्ड का परमाणु का नाभिकीय मॉडल।
$(3)$ बोहर का परमाणु मॉडल (हाइड्रोजन के लिए)।
$(4)$ परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल।
$J. J. Thomson$ ने $1898$ में प्रस्तावित किया कि:
- परमाणु एक गोलाकार आकार (त्रिज्या लगभग $10^{-10} \ m$) का होता है जिसमें धनात्मक आवेश समान रूप से वितरित होता है।
- इलेक्ट्रॉन इसमें इस तरह से धंसे होते हैं कि सबसे स्थिर स्थिरवैद्युत व्यवस्था प्राप्त हो सके।
- थॉमसन के अनुसार,धनात्मक आवेश पूरे गोले में वितरित होता है।
इस मॉडल को कई अलग-अलग नाम दिए गए हैं,उदाहरण के लिए: इस मॉडल को धनात्मक आवेश के पुडिंग या तरबूज के रूप में देखा जा सकता है जिसमें प्लम या बीज (इलेक्ट्रॉन) धंसे होते हैं।
इस मॉडल की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि परमाणु का द्रव्यमान परमाणु पर समान रूप से वितरित माना जाता है।
हालाँकि यह मॉडल परमाणु की समग्र तटस्थता को समझाने में सक्षम था,लेकिन यह बाद के प्रयोगों के परिणामों के अनुरूप नहीं था।
रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के अनुसार,परमाणु में अधिकांश स्थान खाली होता है,जिसे थॉमसन मॉडल द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।

(N/A) रदरफोर्ड और उनके छात्रों (हंस गीगर और अर्नेस्ट मार्सडेन) ने $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग किया था।
इस प्रयोग में,उन्होंने बहुत पतली सोने की पन्नी पर $\alpha$-कणों की बौछार की थी।
एक रेडियोधर्मी स्रोत से उच्च ऊर्जा वाले $\alpha$-कणों को एक पतली सोने की पन्नी (मोटाई $\sim 100 \ nm$) पर निर्देशित किया गया था।
पतली सोने की पन्नी के चारों ओर एक फ्लोरोसेंट जिंक सल्फाइड स्क्रीन रखी गई थी। जब $\alpha$-कण इस स्क्रीन से टकराते थे,तो वे प्रतिदीप्ति प्रभाव (प्रकाश की चमक) उत्पन्न करते थे।
इसके आधार पर,रदरफोर्ड ने अपना नाभिकीय मॉडल प्रस्तावित किया:
$1$. परमाणु में अधिकांश स्थान खाली होता है।
$2$. परमाणु का सारा धनात्मक आवेश और अधिकांश द्रव्यमान एक बहुत छोटे क्षेत्र में केंद्रित होता है जिसे नाभिक कहा जाता है।
$3$. इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर गोलाकार पथों में घूमते हैं जिन्हें कक्षाएं कहा जाता है।

(N/A) प्रेक्षण:
$(i)$ अधिकांश $\alpha$-कण सोने की पन्नी से बिना विक्षेपित हुए सीधे निकल गए।
$(ii)$ $\alpha$-कणों का एक छोटा अंश छोटे कोणों से विक्षेपित हुआ।
$(iii)$ बहुत कम $\alpha$-कण (लगभग $20,000$ में से $1$) वापस लौट आए,अर्थात,लगभग $180^{\circ}$ के कोण पर विक्षेपित हुए।
$\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के आधार पर निष्कर्ष:
$(i)$ परमाणु में अधिकांश स्थान खाली है क्योंकि अधिकांश $\alpha$-कण पन्नी से बिना विक्षेपित हुए निकल गए।
$(ii)$ कुछ धनावेशित $\alpha$-कण विक्षेपित हुए। यह विक्षेपण एक अत्यधिक प्रतिकर्षण बल के कारण होना चाहिए,जो यह दर्शाता है कि परमाणु का धनावेश पूरे परमाणु में फैला नहीं है जैसा कि $Thomson$ ने माना था। धनावेश को एक बहुत छोटे आयतन में केंद्रित होना चाहिए जिसने धनावेशित $\alpha$-कणों को प्रतिकर्षित और विक्षेपित किया।
$(iii)$ $Rutherford$ द्वारा की गई गणनाओं से पता चला कि परमाणु के कुल आयतन की तुलना में नाभिक द्वारा घेरा गया आयतन नगण्य है। परमाणु की त्रिज्या लगभग $10^{-10} \ m$ है,जबकि नाभिक की त्रिज्या $10^{-15} \ m$ है। आकार में इस अंतर को इस बात से समझा जा सकता है कि यदि एक क्रिकेट की गेंद नाभिक का प्रतिनिधित्व करती है,तो परमाणु की त्रिज्या लगभग $5 \ km$ होगी।

(N/A) अपने अवलोकनों और निष्कर्षों के आधार पर,रदरफोर्ड ने परमाणु का नाभिकीय मॉडल प्रस्तावित किया। इस मॉडल के अनुसार:
$(i)$ परमाणु का धनावेश और अधिकांश द्रव्यमान एक अत्यंत छोटे क्षेत्र में सघन रूप से केंद्रित होता है,जिसे रदरफोर्ड ने नाभिक (nucleus) कहा।
$(ii)$ नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन बहुत उच्च गति से वृत्ताकार पथों में घूमते हैं,जिन्हें कक्षाएं (orbits) कहा जाता है।
$(iii)$ रदरफोर्ड का परमाणु मॉडल सौर मंडल के समान है,जिसमें नाभिक सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन परिक्रमा करते हुए ग्रहों की तरह होते हैं।
$(iv)$ इलेक्ट्रॉन और नाभिक स्थिर वैद्युत आकर्षण बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं।

(N/A) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,$\alpha$-कणों का प्रकीर्णन लक्ष्य परमाणुओं के नाभिकीय आवेश और द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
सोने $(Au)$ या प्लैटिनम $(Pt)$ जैसे भारी परमाणुओं में उच्च नाभिकीय आवेश $(Z)$ और अधिक द्रव्यमान होता है,जिसके परिणामस्वरूप मजबूत स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण होता है और $\alpha$-कणों का महत्वपूर्ण प्रकीर्णन होता है,जिसमें वापस टकराने वाले कण भी शामिल हैं।
यदि एल्युमिनियम $(Al)$ जैसे हल्के परमाणुओं की पतली पन्नी का उपयोग किया जाता है,तो नाभिक का आवेश और द्रव्यमान कम होता है। परिणामस्वरूप,$\alpha$-कणों और नाभिक के बीच स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण कमजोर होता है। इससे बड़े कोणों पर विक्षेपित होने वाले $\alpha$-कणों की संख्या में कमी आती है और वापस टकराने वाले $\alpha$-कणों की संख्या में काफी कमी आती है।

(B) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,प्रकीर्णन धनावेशित नाभिक और $\alpha$-कणों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण होता है।
चूंकि भारी तत्वों में नाभिकीय आवेश $(Z)$ और द्रव्यमान अधिक होता है,इसलिए वे अधिक शक्तिशाली प्रतिकर्षण बल लगाते हैं,जिससे अधिक प्रकीर्णन और वापस टकराने की संभावना बढ़ जाती है।
यदि हल्के परमाणुओं का उपयोग किया जाता है,तो नाभिकीय आवेश और द्रव्यमान कम होने के कारण प्रतिकर्षण बल कमजोर हो जाता है।
परिणामस्वरूप,बड़े कोण पर विक्षेपित होने वाले या वापस टकराने वाले $\alpha$-कणों की संख्या में काफी कमी आती है।

(C) $(i)$ रदरफोर्ड का मॉडल परमाणु के स्थायित्व को नहीं समझा सका क्योंकि शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,एक त्वरित इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा खोनी चाहिए और अंततः नाभिक में गिर जाना चाहिए।
$(ii)$ यह परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है,अर्थात,इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर कैसे वितरित होते हैं और उनकी ऊर्जा क्या है।

(N/A) रदरफोर्ड का परमाणु का नाभिकीय मॉडल एक सौर मंडल के समान है,जिसमें नाभिक सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन ग्रहों के समान होते हैं।
शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाला कोई भी आवेशित कण अपने वेग की दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण त्वरित होता है।
मैक्सवेल का विद्युतचुंबकीय सिद्धांत कहता है कि एक त्वरित आवेशित कण को विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करना चाहिए।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन विकिरण उत्सर्जित करता है,वह ऊर्जा खो देता है,जिससे उसकी कक्षा लगातार छोटी होती जाती है।
गणनाओं से पता चलता है कि इलेक्ट्रॉन को लगभग $10^{-8} \ s$ में नाभिक में गिर जाना चाहिए।
हालाँकि,परमाणु स्थिर होते हैं और इलेक्ट्रॉन नाभिक में नहीं गिरते हैं।
इसलिए,रदरफोर्ड का मॉडल परमाणु की स्थिरता की व्याख्या करने में विफल रहता है।

(C) बोर के परमाणु मॉडल के निर्माण में दो प्रमुख विकासों ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई:
$(i)$ विद्युतचुंबकीय विकिरण की द्वैत प्रकृति,जिसका अर्थ है कि विकिरणों में तरंग और कण दोनों जैसे गुण होते हैं।
$(ii)$ परमाणु स्पेक्ट्रा के संबंध में प्रयोगात्मक परिणाम,जिन्हें केवल परमाणुओं में क्वांटाइज्ड इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों को मानकर ही समझाया जा सकता है।
अतः,बोर के मॉडल के लिए दोनों विकास आवश्यक थे।

(D) विकिरण का विद्युत-चुंबकीय सिद्धांत निम्नलिखित घटनाओं की व्याख्या नहीं कर सका:
$(i)$ \text{गर्म पिंडों से विकिरण के उत्सर्जन की प्रकृति (कृष्णिका विकिरण)।}
$(ii)$ \text{प्रकाश-विद्युत प्रभाव: जब उपयुक्त आवृत्ति का विकिरण धातु की सतह से टकराता है तो इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन।}
$(iii)$ \text{तापमान के फलन के रूप में ठोस पदार्थों की ऊष्मा धारिता में परिवर्तन।}
$(iv)$ \text{हाइड्रोजन के विशेष संदर्भ में परमाणुओं का रेखीय स्पेक्ट्रम।}
अतः,सूचीबद्ध सभी अवलोकनों की व्याख्या शास्त्रीय विद्युत-चुंबकीय सिद्धांत द्वारा नहीं की जा सकती है।

(N/A) कृष्णिका विकिरण (black body radiation) की घटना के लिए पहली ठोस व्याख्या $1900$ में मैक्स प्लांक द्वारा दी गई थी।
जब ठोस पदार्थों को गर्म किया जाता है,तो वे तरंगदैर्ध्य की एक विस्तृत श्रृंखला में विकिरण उत्सर्जित करते हैं।
उदाहरण: जब लोहे की छड़ को भट्टी में गर्म किया जाता है,तो वह पहले मंद लाल रंग की हो जाती है और जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वह उत्तरोत्तर अधिक लाल होती जाती है; रंग और आवृत्ति बदल जाते हैं।
कृष्णिका (Black body): वह आदर्श पिंड,जो सभी आवृत्तियों के विकिरणों का उत्सर्जन और अवशोषण करता है,कृष्णिका कहलाता है और ऐसे पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण को कृष्णिका विकिरण कहा जाता है।
उत्सर्जित विकिरण का सटीक आवृत्ति वितरण: किसी दिए गए तापमान पर,उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य में कमी के साथ बढ़ती है,एक निश्चित तरंगदैर्ध्य पर अधिकतम मान तक पहुँचती है और फिर तरंगदैर्ध्य में और कमी के साथ घटने लगती है (आकृति देखें)।
कृष्णिका विकिरण को शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय विकिरण सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है,लेकिन इसे प्लांक के क्वांटम सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है।

(N/A) प्लांक का क्वांटम सिद्धांत कृष्णिका विकिरण (black body radiation) और प्रकाश-विद्युत प्रभाव जैसी घटनाओं को समझाने के लिए प्रस्तावित किया गया था,जिन्हें प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सका था।
मुख्य बिंदु:
$1$. परमाणु और अणु ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण निरंतर तरीके के बजाय 'क्वांटा' नामक छोटे पैकेटों में करते हैं।
$2$. विकिरण के एक क्वांटम की ऊर्जा $(E)$ उसकी आवृत्ति $(v)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे $E = hv$ समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ है।
$3$. किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित या अवशोषित कुल ऊर्जा क्वांटम का एक पूर्णांक गुणज होती है,जिसे $E = nhv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
महत्व:
प्लांक का सिद्धांत विभिन्न तापमानों पर कृष्णिका से विकिरण की तीव्रता के वितरण को आवृत्ति या तरंग दैर्ध्य के फलन के रूप में समझाने में सफल रहा,जिसे चिरसम्मत भौतिकी समझाने में विफल रही थी।

(N/A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव: जब कुछ धातुएं (जैसे पोटेशियम,रूबिडियम,सीज़ियम आदि) प्रकाश की किरण के संपर्क में आती हैं,तो उनसे इलेक्ट्रॉन (या विद्युत धारा) उत्सर्जित होते हैं। इस घटना को प्रकाश-विद्युत प्रभाव कहा जाता है।
एक निश्चित आवृत्ति का प्रकाश निर्वात कक्ष के अंदर एक साफ धातु की सतह पर पड़ता है। धातु से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं और उन्हें एक डिटेक्टर द्वारा गिना जाता है जो उनकी गतिज ऊर्जा को मापता है।
प्रायोगिक परिणाम और अवलोकन:
$(i)$ जैसे ही प्रकाश की किरण सतह पर पड़ती है,धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो जाते हैं। प्रकाश किरण के टकराने और इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के बीच कोई समय अंतराल नहीं होता है।
$(ii)$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता या चमक के समानुपाती होती है। (इलेक्ट्रॉनों की संख्या $\propto$ प्रकाश की तीव्रता)।
$(iii)$ देहली आवृत्ति (Threshold frequency): एक विशिष्ट न्यूनतम आवृत्ति,$v_{0}$ होती है,जिसके नीचे प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं देखा जाता है। इसे देहली आवृत्ति कहा जाता है।
$v > v_{0}$ आवृत्ति पर,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन एक निश्चित गतिज ऊर्जा के साथ बाहर आते हैं। इन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा उपयोग किए गए प्रकाश की आवृत्ति बढ़ने के साथ बढ़ती है।
उपरोक्त सभी परिणामों को शास्त्रीय भौतिकी के नियमों के आधार पर नहीं समझाया जा सका,लेकिन आइंस्टीन $(1905)$ प्लांक के क्वांटम सिद्धांत का उपयोग करके प्रकाश-विद्युत प्रभाव को समझाने में सफल रहे।
$(\text{उपयोग किए गए प्रकाश की ऊर्जा}) \propto (\text{प्रकाश की आवृत्ति}) \propto (\text{उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा})$ और $(\text{उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या}) \propto (\text{प्रकाश की तीव्रता})$।

(N/A) आइंस्टीन $(1905)$ ने प्लांक के विद्युत चुम्बकीय विकिरण के क्वांटम सिद्धांत का उपयोग करके प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या की।
धातु की सतह पर प्रकाश की किरण डालना,फोटॉन नामक कणों की बौछार करने जैसा है। जब पर्याप्त ऊर्जा वाला फोटॉन धातु के परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन से टकराता है,तो वह अपनी ऊर्जा तुरंत इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है,जिससे इलेक्ट्रॉन बिना किसी समय अंतराल के बाहर निकल जाता है।
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा आपतित विकिरण की आवृत्ति के समानुपाती होती है और यह प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $= h\nu$
इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को कार्य फलन $(W = h\nu_{0})$ कहा जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$h\nu = W + \frac{1}{2} m_{e} V^{2}$
$W = h\nu_{0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h\nu = h\nu_{0} + \frac{1}{2} m_{e} V^{2}$
$\frac{1}{2} m_{e} V^{2} = h(\nu - \nu_{0})$
जहाँ $m_{e}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$V$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का वेग है,और $\nu > \nu_{0}$। प्रकाश की अधिक तीव्र किरण में फोटॉनों की संख्या अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी अधिक होती है।

(N/A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव को आइंस्टीन के समीकरण द्वारा समझाया जा सकता है:
$E_{\text{photon}} = W + K.E._{\text{max}}$
$h\nu = W + \frac{1}{2}m_e v^2$
जहाँ:
$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
$W = h\nu_0$ कार्य फलन (work function) है (इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा)।
$\frac{1}{2}m_e v^2$ उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
मुख्य संबंध:
$1$. फोटॉन की ऊर्जा: $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$.
$2$. इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा: $K.E. = h(\nu - \nu_0)$.
$3$. फोटॉनों की संख्या: प्रकाश पुंज की तीव्रता प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है। अधिक तीव्र प्रकाश पुंज में फोटॉनों की संख्या अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप उत्सर्जित होने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी अधिक होती है।

(A) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ द्वारा दी जाती है।
$1 \ mol$ फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = N_A \times h \times \nu$ है।
दिया गया है: $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $\nu = 4.0 \times 10^{14} \ Hz$।
$E = (6.022 \times 10^{23}) \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (4.0 \times 10^{14}) \ J \ mol^{-1}$।
$E \approx 159529 \ J \ mol^{-1} \approx 159.5 \ kJ \ mol^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $159.0 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E = \frac{hc}{\lambda}$
दिए गए मान:
$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-8} \ cm = 6 \times 10^{-5} \ cm$
मान रखने पर:
$E = \frac{(6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s) \times (3 \times 10^{10} \ cm/s)}{6 \times 10^{-5} \ cm}$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-17}}{6 \times 10^{-5}} \ erg$
$E = 3.31 \times 10^{-12} \ erg$

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि $h$ और $c$ नियतांक हैं,$E \propto \frac{1}{\lambda}$.
दिया गया है कि $E_1 = E$ और $\lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$.
$E_2 = 2E$ के लिए,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
मान रखने पर: $\frac{2E}{E} = \frac{6000 \ \mathring{A}}{\lambda_2}$.
$2 = \frac{6000 \ \mathring{A}}{\lambda_2}$.
$\lambda_2 = \frac{6000 \ \mathring{A}}{2} = 3000 \ \mathring{A}$.

(B) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\nu = 5 \times 10^{10} \ s^{-1}$।
एक फोटॉन की ऊर्जा $= (6.62 \times 10^{-34}) \times (5 \times 10^{10}) = 33.1 \times 10^{-24} \ J = 3.31 \times 10^{-23} \ J$।
$1$ मोल फोटॉन की ऊर्जा $= N_A \times E = (6.022 \times 10^{23}) \times (3.31 \times 10^{-23} \ J) \approx 19.93 \ \text{J}$।
अतः,ऊर्जा लगभग $19.9 \ \text{J}$ है।

आयनीकरण ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है $E = 8.2 \times 10^{-19} \ J$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
आवृत्ति $\nu = \frac{E}{h} = \frac{8.2 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 1.238 \times 10^{15} \ Hz$.
तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{8.2 \times 10^{-19}} \approx 2.42 \times 10^{-7} \ m = 242 \ nm$.

(N/A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम: जब गैसीय हाइड्रोजन से विद्युत विसर्जन (electric discharge) गुजारा जाता है,तो $H_{2}$ अणु वियोजित हो जाते हैं और उत्पन्न ऊर्जावान उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु विद्युत-चुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं,जिसे हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम कहा जाता है।
विशेषताएँ:
$1$. यह एक रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम है।
$2$. यह एक असतत (discontinuous) स्पेक्ट्रम है।
$3$. इसमें तरंगदैर्ध्य के विभिन्न क्षेत्रों में बड़ी संख्या में स्पेक्ट्रल रेखाएँ दिखाई देती हैं (जैसे लाइमन,बामर,पाशन,ब्रैकेट और फंड श्रेणी)।
$4$. प्रत्येक श्रेणी का नाम उसके खोजकर्ता के नाम पर रखा गया है।

(N/A) $1885$ में,जोहान बामर ने प्रायोगिक अवलोकनों के आधार पर प्रदर्शित किया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की दृश्य क्षेत्र की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ के निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
$\bar{\nu} = 109677 \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) \text{ cm}^{-1}$
जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
स्पेक्ट्रमी रेखाओं की इस श्रेणी को बामर श्रेणी कहा जाता है। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में यह एकमात्र ऐसी श्रेणी है जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में दिखाई देती है।

स्वीडिश स्पेक्ट्रोस्कोपिस्ट,जोहान्स रिडबर्ग ने नोट किया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में रेखाओं की सभी श्रेणियों को निम्नलिखित व्यंजक द्वारा वर्णित किया जा सकता है: $\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) \ cm^{-1}$.
जहाँ,$n_{1} = 1, 2, 3 \ldots$ और $n_{2} = (n_{1} + 1), (n_{1} + 2), (n_{1} + 3) \ldots$.
हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग स्थिरांक $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ है।
हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की श्रेणियों को $n_{1}$ मान के आधार पर पहचाना जाता है:
$n_{1} = 1$: लाइमन श्रेणी,$n_{2} = 2, 3, 4 \ldots$ (पराबैंगनी क्षेत्र)।
$n_{1} = 2$: बामर श्रेणी,$n_{2} = 3, 4, 5 \ldots$ (दृश्य क्षेत्र)।
$n_{1} = 3$: पाशन श्रेणी,$n_{2} = 4, 5, 6 \ldots$ (अवरक्त क्षेत्र)।
$n_{1} = 4$: ब्रैकेट श्रेणी,$n_{2} = 5, 6, 7 \ldots$ (अवरक्त क्षेत्र)।
$n_{1} = 5$: फंड श्रेणी,$n_{2} = 6, 7, 8 \ldots$ (अवरक्त क्षेत्र)।
सभी तत्वों में,हाइड्रोजन परमाणु का स्पेक्ट्रम सबसे सरल होता है,जो एक रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम है।

(N/A) स्वीडिश स्पेक्ट्रोस्कोपिस्ट,जोहान्स रिडबर्ग ने नोट किया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में रेखाओं की सभी श्रेणियों को निम्नलिखित व्यंजक द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
$\bar{v} = R_H \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) \ cm^{-1}$
जहाँ:
$\bar{v}$ तरंग संख्या है।
$R_H$ हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग स्थिरांक है,जो $109677 \ cm^{-1}$ है।
$n_1 = 1, 2, 3, \dots$
$n_2 = (n_1 + 1), (n_1 + 2), (n_1 + 3), \dots$
हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की श्रेणियों की पहचान $n_1$ के मान से की जाती है:
$n_1 = 1$: लाइमन श्रेणी (पराबैंगनी क्षेत्र)
$n_1 = 2$: बामर श्रेणी (दृश्य क्षेत्र)
$n_1 = 3$: पाशन श्रेणी (अवरक्त क्षेत्र)
$n_1 = 4$: ब्रैकेट श्रेणी (अवरक्त क्षेत्र)
$n_1 = 5$: फंड श्रेणी (अवरक्त क्षेत्र)

(N/A) गैसीय अवस्था में सभी परमाणु रेखीय स्पेक्ट्रम प्रदर्शित करते हैं।
प्रत्येक परमाणु के लिए रेखीय स्पेक्ट्रम अद्वितीय होता है,जिसका अर्थ है कि यह किसी अन्य परमाणु के समान नहीं होता है।
सभी परमाणुओं में एक प्रकार की नियमितता देखी जाती है।
हाइड्रोजन का स्पेक्ट्रम सरल होता है,जबकि भारी तत्वों या परमाणुओं के लिए यह अधिक जटिल होता है।

(N/A) नील्स बोहर $(1913)$ हाइड्रोजन परमाणु की संरचना और उसके स्पेक्ट्रम की सामान्य विशेषताओं को मात्रात्मक रूप से समझाने वाले पहले वैज्ञानिक थे।
मॉडल की अभिधारणाएं:
$(i)$ हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा वाले वृत्ताकार पथ में घूम सकता है। इन पथों को कक्षा,स्थिर अवस्था या अनुमत ऊर्जा अवस्था कहा जाता है। ये कक्षाएं नाभिक के चारों ओर संकेंद्रित रूप से व्यवस्थित होती हैं।
$(ii)$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है। हालाँकि,जब इलेक्ट्रॉन द्वारा आवश्यक ऊर्जा अवशोषित की जाती है,तो वह निचली स्थिर अवस्था से उच्च स्थिर अवस्था में चला जाता है,या जब इलेक्ट्रॉन उच्च स्थिर अवस्था से निचली स्थिर अवस्था में आता है,तो ऊर्जा उत्सर्जित होती है। ऊर्जा परिवर्तन निरंतर तरीके से नहीं होता है।
$(iii)$ जब दो स्थिर अवस्थाओं के बीच संक्रमण होता है जिनकी ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ है,तो अवशोषित या उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$E = h \nu$ और $\Delta E = (E_{2} - E_{1})$
इसलिए,$\nu = \frac{\Delta E}{h}$ (बोहर का आवृत्ति नियम)
जहाँ $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः निचली और उच्च अनुमत ऊर्जा अवस्थाओं की ऊर्जाएं हैं।
$(iv)$ किसी दी गई स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
$m_{e} v r = n \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
इस प्रकार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का पूर्णांक गुणज हो,इसीलिए केवल कुछ निश्चित कक्षाएं ही अनुमत हैं।

(N/A) नील्स बोर $(1913)$ हाइड्रोजन परमाणु की संरचना और उसके स्पेक्ट्रम की सामान्य विशेषताओं को मात्रात्मक रूप से समझाने वाले पहले वैज्ञानिक थे।
मॉडल की अभिधारणाएँ:
$(i)$ हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा वाले वृत्ताकार पथ में घूम सकते हैं। इन पथों को कक्षा,स्थिर अवस्थाएँ या अनुमत ऊर्जा अवस्थाएँ कहा जाता है। ये कक्षाएँ नाभिक के चारों ओर संकेंद्रित रूप से व्यवस्थित होती हैं।
$(ii)$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है। हालाँकि,जब इलेक्ट्रॉन द्वारा आवश्यक ऊर्जा अवशोषित की जाती है,तो वह निचली स्थिर अवस्था से उच्च स्थिर अवस्था में चला जाता है,या जब इलेक्ट्रॉन उच्च से निचली स्थिर अवस्था में आता है,तो ऊर्जा उत्सर्जित होती है। ऊर्जा परिवर्तन निरंतर तरीके से नहीं होता है।
$(iii)$ जब दो स्थिर अवस्थाओं के बीच संक्रमण होता है जिनकी ऊर्जा में अंतर $\Delta E$ है,तो अवशोषित या उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$E = h \nu$ और $\Delta E = (E_{2} - E_{1})$
अतः,$\nu = \frac{\Delta E}{h}$ (बोर का आवृत्ति नियम)
जहाँ $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः निचली और उच्च अनुमत ऊर्जा अवस्थाओं की ऊर्जा हैं।
$(iv)$ किसी दी गई स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$m_{e} v r = n(\frac{h}{2 \pi})$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
इस प्रकार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का पूर्णांक गुणज हो,इसीलिए केवल कुछ निश्चित कक्षाएँ ही अनुमत हैं।

(N/A) $(i)$ मुख्य क्वांटम संख्या: इलेक्ट्रॉन के लिए स्थिर अवस्थाओं को $n = 1, 2, 3, \dots$ के रूप में क्रमांकित किया जाता है। इन पूर्णांक संख्याओं को मुख्य क्वांटम संख्या के रूप में जाना जाता है।
(ii) स्थिर कक्षा की त्रिज्या $(r)$: स्थिर अवस्थाओं की त्रिज्या को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $r_n = n^2 a_0$, जहाँ $a_0 = 52.9 \text{ pm}$ है।
- पहली स्थिर $(n = 1)$ अवस्था की त्रिज्या, जिसे बोहर कक्षा कहा जाता है, $52.9 \text{ pm}$ है।
- सामान्यतः, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन इस कक्षा $(n = 1)$ में पाया जाता है।
- जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, $r$ का मान बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर स्थित है।
(iii) स्थिर अवस्था की ऊर्जा: स्थिर अवस्था की ऊर्जा को इस व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $E_n = -R_H \left(\frac{1}{n^2}\right)$, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $R_H$ (रिडबर्ग स्थिरांक) $= 2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$ है।
- मूल अवस्था $(n = 1)$ की ऊर्जा $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$ है।
- $n = 2$ के लिए स्थिर अवस्था की ऊर्जा $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J} \times \left(\frac{1}{2^2}\right) = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$ है।
- जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के प्रभाव से मुक्त हो जाता है, तो ऊर्जा को शून्य माना जाता है $(n = \infty)$, जो एक आयनित हाइड्रोजन परमाणु $(H^+)$ के अनुरूप है।

(N/A) $(i)$ मुख्य क्वांटम संख्या: इलेक्ट्रॉन के लिए स्थिर अवस्थाओं को $n = 1, 2, 3, \dots$ के रूप में क्रमांकित किया जाता है। इन पूर्णांक संख्याओं को मुख्य क्वांटम संख्या कहा जाता है।
$(ii)$ स्थिर कक्षा की त्रिज्या $(r)$: स्थिर अवस्थाओं की त्रिज्या को $r_n = n^2 a_0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ है। पहली स्थिर अवस्था $(n = 1)$ की त्रिज्या,जिसे बोहर कक्षा कहा जाता है,$52.9 \ pm$ है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$r$ का मान बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर होता जाता है।
$(iii)$ स्थिर अवस्था की ऊर्जा: स्थिर अवस्था की ऊर्जा $E_n = -R_H (1/n^2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_H = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ है। निम्नतम अवस्था $(n = 1)$ के लिए,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$ है। $n = 2$ के लिए,$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \ J$ है। जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के प्रभाव से मुक्त होता है $(n = \infty)$,तो ऊर्जा $0 \ J$ होती है,जो आयनित हाइड्रोजन परमाणु $(H^+)$ को दर्शाती है।
$(iv)$ $H$ का आइसोइलेक्ट्रॉनिक आयन: हाइड्रोजन में $1$ इलेक्ट्रॉन होता है। आइसोइलेक्ट्रॉनिक आयन में भी $1$ इलेक्ट्रॉन होना चाहिए,जैसे $He^+$,$Li^{2+}$,या $Be^{3+}$।
$(v)$ इलेक्ट्रॉन का वेग: स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = v_0 (Z/n)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ हाइड्रोजन के लिए $v_0 = 2.188 \times 10^6 \ m/s$ है।

(N/A) रैखिक संवेग: रैखिक संवेग द्रव्यमान $(m)$ और वेग $(v)$ का गुणनफल है।
रैखिक संवेग $= m \times v$
कोणीय संवेग: कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ का गुणनफल है।
कोणीय संवेग $= I \times \omega$
नाभिक से $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले $m_e$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन के लिए:
चूंकि $I = m_e r^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$,
इन मानों को कोणीय संवेग के समीकरण में रखने पर:
कोणीय संवेग $= (m_e r^2) \times (\frac{v}{r}) = m_e v r$.

हाइड्रोजन परमाणु के मामले में देखे गए रेखीय स्पेक्ट्रम को बोर के मॉडल का उपयोग करके मात्रात्मक रूप से समझाया जा सकता है।
स्पेक्ट्रम में उत्सर्जित ऊर्जा $(\Delta E)$ : बोर की धारणा के अनुसार,जब इलेक्ट्रॉन कक्षाओं के बीच गति करता है तो विकिरण उत्सर्जित या अवशोषित होता है।
दो कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\Delta E = E_{f} - E_{i}$
चूंकि $E_{n} = -R_{H} \left( \frac{1}{n^{2}} \right)$,जहां $n = 1, 2, 3, \dots$
$E_{n}$ का मान रखने पर:
$\Delta E = -\left( \frac{R_{H}}{n_{f}^{2}} \right) - \left( -\frac{R_{H}}{n_{i}^{2}} \right)$
$\therefore \Delta E = R_{H} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
$\therefore \Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
रेखीय स्पेक्ट्रम की आवृत्ति $(\nu)$ :
चूंकि $\Delta E = h\nu$,इसलिए $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ होता है।
मान रखने पर:
$\nu = \frac{2.18 \times 10^{-18} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
$\therefore \nu = 3.29 \times 10^{15} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right) \ Hz$
इस समीकरण का उपयोग करके उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखा की आवृत्ति की गणना की जा सकती है।

(A) माना ऊर्जा स्तर $n_1$ और $n_2$ हैं जहाँ $n_2 > n_1$ है। दिया गया है कि $n_1 + n_2 = 4$ और $n_2 - n_1 = 2$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $n_2 = 3$ और $n_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र है:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = 109678 \times 3^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 109678 \times 9 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 109678 \times 9 \times \frac{8}{9} = 109678 \times 8 \ cm^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{109678 \times 8} \approx 1.14 \times 10^{-6} \ cm$.

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R \left[\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right]$
$H$ परमाणु में अनंत अवस्था $(n_2 = \infty)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के लिए:
$R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}\right] = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
अतः,$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \approx 9.116 \times 10^{-8} \ m = 91.16 \ nm \approx 91 \ nm$.

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$।
यहाँ,संक्रमण $n_1 = 3$ से $n_2 = 5$ में हो रहा है।
चूंकि निचली ऊर्जा स्तर $n_1 = 3$ है,इसलिए यह संक्रमण पाश्चन श्रेणी से संबंधित है।
पाश्चन श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के इन्फ्रारेड $(IR)$ क्षेत्र में स्थित है।

(A) बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक होना चाहिए।
तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\bar{\nu} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$ और $R_H = 109677 \ cm^{-1}$ है।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 109677 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = 109677 \times \frac{1}{4} = 27419.25 \ cm^{-1}$।
अतः,$\bar{\nu} \approx 2.7419 \times 10^{4} \ cm^{-1}$।

(A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,$R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 3$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) \ m^{-1}$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \ m^{-1} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{8}{9} \ m^{-1}$.
$\frac{1}{\lambda} \approx 0.975 \times 10^7 \ m^{-1}$.
$\lambda \approx 1.026 \times 10^{-7} \ m$.

(A) $n = 2$ अवस्था से अनंत तक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = R_H \times h \times c \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ रखने पर,हमें $E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \times (\frac{1}{2^2} - 0) = 5.45 \times 10^{-19} \ J$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{hc}{E}$ का उपयोग करके की जाती है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{5.45 \times 10^{-19} \ J} = 3.64 \times 10^{-7} \ m$.

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{R_H}{n^2} \, J \, \text{atom}^{-1}$.
इसे $kJ \, mol^{-1}$ में बदलने के लिए,आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ से गुणा करके $1000$ से विभाजित करने पर:
$E_n (kJ \, mol^{-1}) = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \times 6.02 \times 10^{23}}{n^2 \times 1000} \approx -\frac{1312}{n^2} \, kJ \, mol^{-1}$.

कक्षा $(n)$	ऊर्जा $(kJ \, mol^{-1})$
$1$	$-1312$
$2$	$-328$
$3$	$-145.8$
$4$	$-82$

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \times n^2 / Z$ है,जहाँ $a_0 = 0.0529 \ nm$ और हाइड्रोजन के लिए $Z = 1$ है।
पहली कक्षा के लिए $(n=1)$: $r_1 = 0.0529 \times (1)^2 / 1 = 0.0529 \ nm$.
दूसरी कक्षा के लिए $(n=2)$: $r_2 = 0.0529 \times (2)^2 / 1 = 0.0529 \times 4 = 0.2116 \ nm$.
तीसरी कक्षा के लिए $(n=3)$: $r_3 = 0.0529 \times (3)^2 / 1 = 0.0529 \times 9 = 0.4761 \ nm$.

हाइड्रोजन-समान प्रजातियों की आयनन ऊर्जा $(IE)$ का सूत्र है: $IE = 1312 \times Z^2 \, kJ \, mol^{-1}$।
$H$ $(Z=1)$ के लिए: $IE = 1312 \times (1)^2 = 1312 \, kJ \, mol^{-1}$।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए: $IE = 1312 \times (2)^2 = 1312 \times 4 = 5248 \, kJ \, mol^{-1}$।
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए: $IE = 1312 \times (3)^2 = 1312 \times 9 = 11808 \, kJ \, mol^{-1}$।
अतः,मान क्रमशः $1312 \, kJ \, mol^{-1}$,$5248 \, kJ \, mol^{-1}$,और $11808 \, kJ \, mol^{-1}$ हैं।

(A) दिया गया है: $\Delta E = 214.68 \ kJ \ mol^{-1} = 214.68 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$.
प्रति इलेक्ट्रॉन ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,आवोगाद्रो संख्या $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ से विभाजित करें:
$\Delta E_{\text{per electron}} = \frac{214.68 \times 10^3}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.565 \times 10^{-19} \ J$.
संबंध $\Delta E = hv$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$:
$v = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.565 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 5.38 \times 10^{14} \ Hz$.

हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n^{th}$ बोर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times Z^2}{n^2} \, J$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। $3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
$3^{rd}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा: $E_3 = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times 2^2}{3^2} = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times 4}{9} \, J \approx -9.67 \times 10^{-19} \, J$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-9.67 \times 10^{-19} \, J) = 9.67 \times 10^{-19} \, J$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ का उपयोग करके की जाती है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s \times 3 \times 10^8 \, m/s}{9.67 \times 10^{-19} \, J} \approx 2.055 \times 10^{-7} \, m$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ संबंध द्वारा दी जाती है।
$2^{nd}$ कक्षा के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $r_2 \propto 2^2 = 4$ है।
$3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n_2 = 3$,इसलिए $r_3 \propto 3^2 = 9$ है।
अतः,$2^{nd}$ कक्षा और $3^{rd}$ कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_2}{r_3} = \frac{4}{9}$ या $4:9$ है।

(N/A) $(i)$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ है।
$J \ mol^{-1}$ में,$E = (-2.18 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}) \times (6.022 \times 10^{23} \ atom \ mol^{-1}) = -1.312 \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = -1312 \ kJ \ mol^{-1}$.
$(ii)$ पहले संक्रमण ($n=1$ से $n=2$) के लिए,$\Delta E = E_2 - E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2}) = 1.635 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$.
प्रति मोल,$\Delta E = 1.635 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23} = 9.846 \times 10^5 \ J \ mol^{-1} = 984.6 \ kJ \ mol^{-1}$.
$(iii)$ आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=\infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है। $\Delta E = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-1312 \ kJ \ mol^{-1}) = 1312 \ kJ \ mol^{-1}$.

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
यहाँ $n_1 = 2$,$n_2 = 3$,और $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ है।
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36}$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.5236 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda = 6.563 \times 10^{-7} \ m = 656.3 \ nm$.
यह तरंगदैर्ध्य बामर श्रेणी के अनुरूप है,जो दृश्य क्षेत्र में स्थित है।

(N/A) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $n_1 = 2$ है।
पहली रेखा के लिए $(n_2 = 3)$: $\frac{1}{656} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
दूसरी रेखा के लिए $(n_2 = 4)$: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\lambda_2}{656} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
अतः,$\lambda_2 = 656 \times \frac{20}{27} \approx 486 \ nm$.

(A) संक्रमण के लिए ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_3 - E_2 = 1.31 \times 10^6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) \ J \ mol^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta E = 1.31 \times 10^6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 1.31 \times 10^6 \times \frac{5}{36} \ J \ mol^{-1}$.
$\Delta E = 1.8194 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
प्रति परमाणु ऊर्जा ज्ञात करने के लिए आवोगाद्रो संख्या से विभाजित करें: $E_{atom} = \frac{1.8194 \times 10^5}{6.02 \times 10^{23}} \ J \approx 3.022 \times 10^{-19} \ J$.
संबंध $E = h\nu$ का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $\nu = \frac{E}{h} = \frac{3.022 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} \ Hz$.
$\nu \approx 4.58 \times 10^{14} \ Hz$.

(N/A) $(i)$ यह हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम के सूक्ष्म विवरणों (डबलेट,अर्थात दो निकट स्थित रेखाएँ) को समझाने में विफल रहता है,जिन्हें परिष्कृत स्पेक्ट्रोस्कोपिक तकनीकों का उपयोग करके देखा जाता है।
यह मॉडल हाइड्रोजन के अलावा अन्य परमाणुओं (जैसे,हीलियम परमाणु या आयन जिनमें एक से अधिक इलेक्ट्रॉन होते हैं) के स्पेक्ट्रम को समझाने में भी असमर्थ है।
- ज़ीमैन प्रभाव: बोर का सिद्धांत चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में $H$ स्पेक्ट्रम को समझाने में असमर्थ था।
- स्टार्क प्रभाव: बोर का सिद्धांत विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में $H$ स्पेक्ट्रम को समझाने में असमर्थ था।
- बोर का सिद्धांत स्पेक्ट्रल रेखाओं के विभाजन को समझाने में असमर्थ था।
$(ii)$ यह रासायनिक बंधों द्वारा अणुओं के निर्माण की परमाणुओं की क्षमता को समझाने में विफल रहा।

(N/A) बोर मॉडल निम्नलिखित कारणों से विफल रहता है:
$1$. यह इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण के रूप में मानता है और इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति को अनदेखा करता है।
$2$. यह मानता है कि इलेक्ट्रॉन अच्छी तरह से परिभाषित गोलाकार कक्षाओं में घूमते हैं। हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,एक ही समय में इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक वेग दोनों को निर्धारित करना असंभव है।
$3$. यह मॉडल पदार्थ के द्वैत व्यवहार की उपेक्षा करता है और हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का खंडन करता है। परिणामस्वरूप,इसे बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

(A) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_1 = -13.12 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ है।
पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए,$E_1 = -13.12 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ है।
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ के लिए,$E_2 = \frac{-13.12 \times 10^5}{2^2} = \frac{-13.12 \times 10^5}{4} = -3.28 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ है।
संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = (-3.28 \times 10^5) - (-13.12 \times 10^5) = 9.84 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$।