Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(N/A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। तरंगदैर्ध्य ऊर्जा अंतर $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1}$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें न्यूनतम ऊर्जा संक्रमणों की आवश्यकता होती है,जो $n_1$ के ऊपर $n_2$ के सबसे छोटे मानों के अनुरूप होते हैं।
$n_2 = 2$ के लिए,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} R_H$,जिससे $\lambda_1 \approx 121.6 \ nm$ प्राप्त होता है।
$n_2 = 3$ के लिए,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H$,जिससे $\lambda_2 \approx 102.6 \ nm$ प्राप्त होता है।
अतः,दो अधिकतम तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ और $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ में होने वाले संक्रमणों के अनुरूप हैं।

(N/A) आयनन एन्थैल्पी वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $= -2.18 \times 10^{-18} \ J$
अनंत पर इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $= 0 \ J$
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $= 0 - (-2.18 \times 10^{-18} \ J) = 2.18 \times 10^{-18} \ J$
$1 \ mol$ हाइड्रोजन परमाणुओं से $1 \ mol$ इलेक्ट्रॉन हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा
$= 2.18 \times 10^{-18} \ J \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$= 13.12796 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$
$\approx 13.13 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$

(N/A) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ सूत्र $K.E. = h \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है और $\nu$ आवृत्ति है।
दिया गया है $K.E. = 5.65 \times 10^{-25} \ J$.
अतः,$\nu = \frac{K.E.}{h} = \frac{5.65 \times 10^{-25} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$.
$\nu \approx 8.53 \times 10^8 \ Hz$.

(B) न्यूटनियन यांत्रिकी स्थूल कणों (जैसे,लुढ़कती गेंद,गिरता हुआ पत्थर,कक्षा में ग्रहों की गति,आदि) पर लागू होती है।
यह प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों पर लागू नहीं होती है,जिनका द्रव्यमान बहुत कम होता है,जहाँ तरंग-कण द्वैतता और अनिश्चितता महत्वपूर्ण होती है।

(N/A) तरंग संख्या $\bar{v}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{v} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ cm^{-1}$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2$ से $n_1 = 2$ तक होता है।
दिया गया है $n_2 = 4$ और $R_H = 109677 \ cm^{-1}$.
मान रखने पर: $\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 109677 \left( \frac{4-1}{16} \right) \ cm^{-1} = 109677 \times \frac{3}{16} \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 20564.44 \ cm^{-1}$.

(N/A) किसी भी तत्व के रेखीय स्पेक्ट्रम में विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अनुरूप अलग-अलग रेखाएं होती हैं। ये रेखाएं परमाणु के भीतर निश्चित ऊर्जा स्तरों के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं। चूंकि उत्सर्जित या अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा इन स्तरों के बीच के अंतर के अनुरूप होती है,इसलिए यह पुष्टि करता है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा क्वांटाइज्ड है।

(N/A) हम जानते हैं कि,$h v = h v_0 + KE$ या
$h v_0 = h v - KE = (6.626 \times 10^{-34} \ J s \times 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}) - 1.988 \times 10^{-19} \ J$
$h v_0 = 6.626 \times 10^{-19} \ J - 1.988 \times 10^{-19} \ J = 4.638 \times 10^{-19} \ J$
$v_0 = \frac{4.638 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J s} = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$
जब,$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$,तो आपतित फोटॉन की आवृत्ति:
$v = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.0 \times 10^8 \ m s^{-1}}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$
चूंकि आपतित आवृत्ति $v = 5.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$,देहली आवृत्ति $v_0 = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$ से कम है,इसलिए कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा।

(A) बोर के मॉडल के दो महत्वपूर्ण बिंदु जिनका उपयोग इस सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है:
$(i)$ इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा के वृत्ताकार पथ में घूमते हैं। इन पथों को कक्षा,स्थिर अवस्था या अनुमत ऊर्जा अवस्था कहा जाता है।
$(ii)$ जब इलेक्ट्रॉन एक उच्च स्थिर अवस्था से निम्न स्थिर अवस्था में या निम्न स्थिर अवस्था से उच्च स्थिर अवस्था में जाता है,तो ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण होता है।
व्युत्पत्ति:
$n$-वीं स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा: $E_{n} = -R_{H} \left( \frac{1}{n^{2}} \right)$,जहाँ $R_{H}$ रिडबर्ग स्थिरांक $(2.18 \times 10^{-18} \ J)$ है।
जब इलेक्ट्रॉन प्रारंभिक कक्षा $(n_{i})$ से अंतिम कक्षा $(n_{f})$ में संक्रमण करता है,तो ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta E)$:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = R_{H} \left[ \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right]$
चूंकि $\Delta E = h\nu$,आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ होती है।
तरंग संख्या $\bar{\nu} = \frac{\nu}{c} = \frac{\Delta E}{hc}$ है।
मान रखने पर,$\frac{R_{H}}{hc} \approx 109677 \ cm^{-1}$ प्राप्त होता है,जो तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग स्थिरांक है।
अतः,$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right] \ cm^{-1}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$n_{1} = 2$ और $n_{2} = 3$ के लिए:
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{5}{36} \right) = 3.03 \times 10^{-19} \ J$.
आवृत्ति $\nu$ की गणना $\Delta E = h\nu$ का उपयोग करके की जाती है:
$\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.03 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} = 4.57 \times 10^{14} \ Hz$.

(A) थॉमसन का परमाणु मॉडल आमतौर पर $Plum \ pudding$,$Raisin \ pudding$ या $Watermelon$ (तरबूज) मॉडल के रूप में जाना जाता है.

(N/A) $1$. परमाणु स्पेक्ट्रा का उपयोग तत्वों की विशिष्ट स्पेक्ट्रमी रेखाएँ प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
$2$. प्राप्त स्पेक्ट्रम की तुलना ज्ञात स्पेक्ट्रमी रेखाओं से करके अज्ञात तत्वों की पहचान की जा सकती है।
$3$. इस प्रकार,परमाणु स्पेक्ट्रा (रेखीय स्पेक्ट्रम) का उपयोग मुख्य रूप से तत्वों की पहचान के लिए किया जाता है।

(N/A) परमाणु में कई उच्च ऊर्जा स्तर होते हैं। जब एक उत्तेजित इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था (ground state) में वापस आता है,तो वह विभिन्न मध्यवर्ती ऊर्जा स्तरों से होकर गुजर सकता है। चूंकि इन संक्रमणों के लिए कई संभावित मार्ग होते हैं,इसलिए एक अकेले इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन स्पेक्ट्रम भी कई स्पेक्ट्रमी रेखाएँ प्रदर्शित करता है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में,$n = 2$ पर समाप्त होने वाले संक्रमण बामर श्रेणी के अंतर्गत आते हैं।
बामर श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में आती है।
इसलिए,$n = 5$ से $n = 2$ का संक्रमण दृश्य क्षेत्र में बामर श्रेणी के अनुरूप है।

(A) गैसीय परमाणु में इलेक्ट्रॉन विशिष्ट,असतत ऊर्जा स्तरों में मौजूद होते हैं।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में संक्रमण करता है,तो वह ऊर्जा के अंतर $(E = h\nu)$ के अनुरूप विशिष्ट आवृत्ति वाले फोटॉन के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करता है।
चूंकि ये ऊर्जा स्तर क्वांटीकृत होते हैं,इसलिए उत्सर्जित विकिरण में विशिष्ट,असतत तरंग दैर्ध्य होती है,जिसके परिणामस्वरूप एक सतत स्पेक्ट्रम के बजाय एक रेखीय स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_{lower}^2} - \frac{1}{n_{higher}^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,क्रमिक कोशों के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है।
इसलिए,संक्रमणों के लिए ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है:
$E_1 (n=2 \to n=1) > E_2 (n=3 \to n=2) > E_3 (n=4 \to n=3) > E_4 (n=5 \to n=4)$.
अतः,ऊर्जाओं का बढ़ता क्रम $E_4 < E_3 < E_2 < E_1$ है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
इसका सूत्र है: $mvr = \frac{n h}{2 \pi}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ मुख्य क्वांटम संख्या या कक्षा की संख्या को दर्शाता है।

(N/A) स्थिर कक्षाओं की त्रिज्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है: $r_{n} = \frac{n^{2} a_{0}}{Z} = \frac{(52.9) n^{2}}{Z} \, pm$ ($1$-इलेक्ट्रॉन सिस्टम के लिए)।
जहाँ:
$n = \text{मुख्य क्वांटम संख्या} = \text{कक्षा संख्या} = \text{ऊर्जा स्तर} = 1, 2, 3, \dots$
$Z = \text{परमाणु क्रमांक}$
$a_{0} = 52.9 \, pm = 0.0529 \, nm = 5.29 \times 10^{-11} \, m$ (बोर त्रिज्या)।

(N/A) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को तब शून्य माना जाता है जब इलेक्ट्रॉन नाभिक से अनंत दूरी पर हो,अर्थात वह नाभिक के प्रभाव से मुक्त हो। यह स्थिति तब होती है जब मुख्य क्वांटम संख्या $n = \infty$ होती है।

(A) $1$ इलेक्ट्रॉन युक्त हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बोहर मॉडल के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$
जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।

(N/A) कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{Z}{n}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक (नाभिकीय आवेश) है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$1$. जैसे-जैसे नाभिकीय आवेश $(Z)$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन का वेग बढ़ता है।
$2$. जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ बढ़ती है,इलेक्ट्रॉन का वेग घटता है।

(N/A) $Zeeman$ प्रभाव का अर्थ है बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल रेखाओं का विभाजन।
$Stark$ प्रभाव का अर्थ है बाहरी विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल रेखाओं का विभाजन।
ये प्रभाव दर्शाते हैं कि स्पेक्ट्रल रेखाएं एकल रेखाएं नहीं हैं बल्कि निकट स्थित घटकों से बनी हैं,जो ऊर्जा स्तरों के क्वांटाइजेशन के लिए प्रमाण प्रदान करते हैं।

(B) $Photon$ विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीय विकिरण (प्रकाश) से जुड़े ऊर्जा का असतत पैकेट है।
$Quantum$ ऊर्जा के किसी भी असतत पैकेट के लिए उपयोग किया जाने वाला एक सामान्य शब्द है,चाहे उसका स्रोत कुछ भी हो (जैसे,$E = h\nu$)।
इसलिए,सभी फोटॉन क्वांटम होते हैं,लेकिन सभी क्वांटम फोटॉन नहीं होते हैं।

(A) $(i)$ सत्य: कूलम्बिक और गुरुत्वाकर्षण दोनों बल व्युत्क्रम-वर्ग नियम $F \propto \frac{1}{r^2}$ का पालन करते हैं।
$(ii)$ सत्य: रदरफोर्ड ने देखा कि बहुत कम $\alpha$-कण (लगभग $20000$ में से $1$) वापस लौटते हैं,जो नाभिक के छोटे आकार की पुष्टि करता है।
$(iii)$ सत्य: $\alpha$-कणों के प्रकीर्णन का पता लगाने के लिए $ZnS$ पर्दे का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह टकराने पर प्रकाश की चमक (scintillations) उत्पन्न करता है।
$(iv)$ सत्य: प्रकीर्णन पैटर्न ने रदरफोर्ड को नाभिक के आकार का अनुमान लगभग $10^{-15} \ m$ लगाने में मदद की।

(N/A) $(i)$ सत्य: $Bohr$ मॉडल केवल एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों तक सीमित है और यह आणविक बंधन की व्याख्या नहीं करता है।
$(ii)$ सत्य: $Bohr$ मॉडल को परमाणु का ग्रहीय मॉडल कहा जाता है।
$(iii)$ असत्य: इलेक्ट्रॉन स्थिर कक्षा में गति करते समय ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण नहीं करते हैं; वे केवल कक्षाओं के बीच संक्रमण के दौरान ही ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं।
$(iv)$ असत्य: $Brackett$ श्रेणी की रेखाएँ अवरक्त (infrared) क्षेत्र में पाई जाती हैं,पराबैंगनी क्षेत्र में नहीं।

(A) $(i)$ सत्य। जब इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में वापस आता है,तो संभावित संक्रमण $4$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1$ हैं। ये लाइमैन,बामर और पाश्चन श्रेणियों के अनुरूप हैं।
$(ii)$ असत्य। फंड श्रेणी $n_f=5$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है। चूंकि इलेक्ट्रॉन $n=4$ से वापस आ रहा है,इसलिए यह फंड श्रेणी में विकिरण का उत्सर्जन नहीं कर सकता है।

(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(1)$ पाउली का अपवर्जन नियम: $(E)$
$(2)$ हुंड का अधिकतम बहुलता का नियम: $(A)$
$(3)$ हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत: $(B)$
$(4)$ प्लांक का क्वांटम सिद्धांत: $(D)$
अतः,सही क्रम $(1-E), (2-A), (3-B), (4-D)$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल श्रेणियाँ निम्न ऊर्जा स्तर $(n_1)$ द्वारा परिभाषित होती हैं:
$1$. लाइमैन श्रेणी: $n_1 = 1$
$2$. बामर श्रेणी: $n_1 = 2$
$3$. पाश्चन श्रेणी: $n_1 = 3$
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: $n_1 = 4$
दिए गए संक्रमणों का मिलान करने पर:
$(A) n = 5 \to n = 4$ ब्रैकेट श्रेणी है।
$(B) n = 3 \to n = 2$ बामर श्रेणी है।
$(D) n = 4 \to n = 3$ पाश्चन श्रेणी है।
सही विकल्प $B$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W + K.E._{max}$
$K.E._{max} = E - W$
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{300 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-19} \ J$
दिया गया कार्य फलन $W = 4.41 \times 10^{-19} \ J$
$K.E._{max} = 6.63 \times 10^{-19} - 4.41 \times 10^{-19} = 2.22 \times 10^{-19} \ J$
$10^{-21} \ J$ में परिवर्तित करने पर: $2.22 \times 10^{-19} \ J = 222 \times 10^{-21} \ J$
अतः,सही उत्तर $222$ है।

(A) परमाणुओं की क्वांटम प्रकृति उन घटनाओं द्वारा प्रदर्शित होती है जहाँ ऊर्जा क्वांटाइज्ड होती है,जैसे कि प्रकाश-विद्युत प्रभाव,परमाणु स्पेक्ट्रम,और कृष्णिका विकिरण।
$1$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव (विकल्प $B$) दर्शाता है कि प्रकाश ऊर्जा के अलग-अलग पैकेटों (फोटॉन) के रूप में परस्पर क्रिया करता है।
$2$. परमाणु स्पेक्ट्रम (विकल्प $C$) दर्शाता है कि परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन अलग-अलग ऊर्जा स्तरों में होते हैं।
$3$. कृष्णिका विकिरण (विकल्प $D$) दर्शाता है कि ऊर्जा का उत्सर्जन क्वांटाइज्ड होता है।
हालाँकि,$Ar$ जैसी गैस की आंतरिक ऊर्जा (विकल्प $A$) शास्त्रीय गतिज सिद्धांत के अनुसार तापमान के साथ लगातार बढ़ती है,जो एक शास्त्रीय घटना है,न कि क्वांटम घटना। इसलिए,$Ar$ की आंतरिक ऊर्जा बनाम तापमान को दर्शाने वाला चित्र परमाणुओं की क्वांटम प्रकृति की सीधी अभिव्यक्ति नहीं है।

(C) Rydberg सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^{2} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ है।
Lyman श्रेणी में $H$ परमाणु के लिए सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(n_{1} = 1)$,संक्रमण $n_{2} = \infty$ से $n_{1} = 1$ है:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R_{H} (1)^{2} \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R_{H}$ $\Rightarrow \lambda_{1} = \frac{1}{R_{H}}$.
$He^{+}$ आयन के लिए Balmer श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(n_{1} = 2)$,संक्रमण $n_{2} = 3$ से $n_{1} = 2$ है:
$\frac{1}{\lambda_{2}} = R_{H} (2)^{2} \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R_{H} \times 4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
$\frac{1}{\lambda_{2}} = 4 R_{H} \left( \frac{9-4}{36} \right) = 4 R_{H} \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5 R_{H}}{9}$.
$\lambda_{2} = \frac{9}{5 R_{H}}$.
$\frac{1}{R_{H}} = \lambda_{1}$ रखने पर,हमें $\lambda_{2} = \frac{9 \lambda_{1}}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) कक्षा की त्रिज्या $r_{n} = a_{0} \times \frac{n^{2}}{Z}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_{0}$ बोहर त्रिज्या है,$n$ कक्षा संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{2+}$ के लिए,$Z = 3$. अतः,$\Delta R_{1} = r_{4} - r_{3} = a_{0} \times \frac{4^{2} - 3^{2}}{3} = a_{0} \times \frac{16 - 9}{3} = \frac{7}{3} a_{0}$.
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$. अतः,$\Delta R_{2} = r_{4} - r_{3} = a_{0} \times \frac{4^{2} - 3^{2}}{2} = a_{0} \times \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} a_{0}$.
अनुपात $\Delta R_{1} : \Delta R_{2} = \frac{7/3}{7/2} = \frac{2}{3}$.

(C) धातु का कार्य फलन $\Phi = 4.2 \, eV = 4.2 \times 1.602 \times 10^{-19} \, J \approx 6.73 \times 10^{-19} \, J$ है।
आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2000 \times 10^{-10}} \, J = 9.939 \times 10^{-19} \, J$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = E - \Phi$।
$K_{max} = (9.939 - 6.73) \times 10^{-19} \, J = 3.209 \times 10^{-19} \, J$।
अतः,गतिज ऊर्जा लगभग $3.2 \times 10^{-19} \, J$ है।

(A) $He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z=2$ और मुख्य क्वांटम संख्या $n=2$ है।
कक्षा की परिधि $2 \pi r = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r = 0.529 \frac{n^{2}}{Z} \ \mathring{A}$ होती है।
परिधि के सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$2 \pi \times (0.529 \frac{n^{2}}{Z}) = n \lambda$
$\lambda = \frac{2 \pi \times 0.529 \times n}{Z}$
$n=2$ और $Z=2$ रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 2}{2} \ \mathring{A}$
$\lambda = 2 \times 3.1416 \times 0.529 \ \mathring{A} \approx 3.33 \ \mathring{A}$.

(B) बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों $n_{2} = 3, 4, 5, 6, \ldots$ से ऊर्जा स्तर $n_{1} = 2$ पर होता है।
बामर श्रेणी में,चार स्पेक्ट्रमी रेखाएँ दृश्य क्षेत्र में आती हैं।
ये रेखाएँ $n_{2} = 3 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\alpha})$,$n_{2} = 4 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\beta})$,$n_{2} = 5 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\gamma})$,और $n_{2} = 6 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\delta})$ संक्रमणों के अनुरूप हैं।
इन स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य लगभग $400 \ nm$ और $700 \ nm$ के बीच होती है।

(D) एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
कुल ऊर्जा $E = n \times E_{photon} = \frac{nhc}{\lambda}$,जहाँ $n$ फोटॉनों की संख्या है।
दिया गया है:
$E = 3 \times 10^{-18} \, J$
$\lambda = 660 \, nm = 660 \times 10^{-9} \, m$
$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$c = 3 \times 10^{8} \, m/s$
$n$ के लिए सूत्र:
$n = \frac{E \times \lambda}{h \times c}$
मान रखने पर:
$n = \frac{3 \times 10^{-18} \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}$
$n = 10$
अतः,उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $10$ है।

(A) $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$,इसलिए $r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A}$.
$Be^{3+}$ आयन के लिए,$Z = 4$. मान लीजिए कक्षा संख्या $n$ है।
दिया गया है $r_H = r_{Be^{3+}}$,इसलिए $0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \times \frac{n^2}{4}$.
$1 = \frac{n^2}{4} \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.
कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ द्वारा दी जाती है।
$Be^{3+}$ के लिए,$Z = 4$ और $n = 2$,इसलिए $E = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{16}{4} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ \text{eV}$.

(B) कथन $-I$ असत्य है क्योंकि बोहर का सिद्धांत केवल एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों (जैसे $H$,$He^{+}$,$Li^{2+}$) पर लागू होता है। चूंकि $Li^{+}$ में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए बोहर का सिद्धांत इसके स्पेक्ट्रम की व्याख्या नहीं कर सकता है।
कथन $-II$ सत्य है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र में स्पेक्ट्रमी रेखाओं का विपाटन 'जीमन प्रभाव' (Zeeman effect) कहलाता है,जिसे बोहर का सिद्धांत समझाने में विफल रहा था।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार :
$A$. $KE = 13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ eV/atom \Rightarrow KE \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ (सही)
$B$. $e^{-}$ की गति $\propto \frac{Z}{n} \Rightarrow v \times n \propto Z$ (गलत)
$C$. $e^{-}$ के परिक्रमण की आवृत्ति = $\frac{v}{2 \pi r}$. चूँकि $v \propto \frac{Z}{n}$ और $r \propto \frac{n^{2}}{Z}$,इसलिए आवृत्ति $\propto \frac{Z^{2}}{n^{3}}$ (गलत)
$D$. $F = \frac{kZe^{2}}{r^{2}}$. चूँकि $r \propto \frac{n^{2}}{Z}$,इसलिए $F \propto \frac{Z}{(n^{2}/Z)^{2}} = \frac{Z^{3}}{n^{4}}$ (सही)
अतः,कथन $A$ और $D$ सही हैं।

(C) बोर के परमाणु मॉडल में इलेक्ट्रॉन का वेग $V \propto \frac{Z}{n}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Z$ परमाणु क्रमांक है (नाभिक पर धनात्मक आवेश का परिमाण दर्शाता है) और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
कथन $I$ का दावा है कि धनात्मक आवेश $(Z)$ में कमी के साथ वेग बढ़ता है। चूँकि $V \propto Z$,इसलिए नाभिक पर धनात्मक आवेश कम होने पर वेग घटता है। अतः,कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ का दावा है कि मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ में कमी के साथ वेग बढ़ता है। चूँकि $V \propto \frac{1}{n}$,इसलिए $n$ घटने पर वेग बढ़ता है। अतः,कथन $II$ सही है।

(B) $v$: अधिकतम गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की गति।
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार:
$E = \phi + K.E._{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = h \nu_{0} + \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$
$\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{500 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-34} \times 4.3 \times 10^{14} + \frac{1}{2} \times 9.0 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$3.978 \times 10^{-19} = 2.8509 \times 10^{-19} + 4.5 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$1.1271 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$v^{2} = \frac{1.1271 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} \approx 0.2504 \times 10^{12} = 25.04 \times 10^{10}$
$v \approx 5.004 \times 10^{5} \ ms^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,मान $5$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r = n^{2}a_{0}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,$r = 2^{2}a_{0} = 4a_{0}$.
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
$K.E.$ व्यंजक में $v$ का मान रखने पर: $K.E. = \frac{n^{2}h^{2}}{8\pi^{2}mr^{2}}$.
$n=2$ और $r=4a_{0}$ रखने पर: $K.E. = \frac{2^{2}h^{2}}{8\pi^{2}m(4a_{0})^{2}} = \frac{4h^{2}}{8\pi^{2}m(16a_{0}^{2})} = \frac{h^{2}}{32\pi^{2}ma_{0}^{2}}$.
इसकी तुलना $\frac{h^{2}}{xma_{0}^{2}}$ से करने पर,हमें $x = 32\pi^{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\pi = 3.14$,$\pi^{2} = (3.14)^{2} = 9.8596$.
$x = 32 \times 9.8596 = 315.5072$.
$10x = 3155.072$.
निकटतम पूर्णांक में,$10x = 3155$.

(A) $0.1 \, s$ में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E = P \times t = 10^{-3} \, W \times 0.1 \, s = 10^{-4} \, J$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3.00 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{1000 \times 10^{-9} \, m} = 1.989 \times 10^{-19} \, J$ है।
फोटॉनों की संख्या $n = \frac{E}{E_{photon}} = \frac{10^{-4} \, J}{1.989 \times 10^{-19} \, J} \approx 5.027 \times 10^{14}$ है।
इसे $x \times 10^{13}$ के रूप में व्यक्त करने पर,$n = 50.27 \times 10^{13}$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,$x = 50$।

(C) बल्ब की शक्ति $P = 50 \, W = 50 \, J \cdot s^{-1}$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s \times 3.0 \times 10^{8} \, m \cdot s^{-1}}{795 \times 10^{-9} \, m} = 2.5018 \times 10^{-19} \, J$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n)$ $n = \frac{P}{E}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$n = \frac{50}{2.5018 \times 10^{-19}} \approx 1.998 \times 10^{20}$.
यह दिया गया है कि $n = x \times 10^{20}$,इसलिए $x \approx 2$.

(A) स्रोत द्वारा प्रति सेकंड प्रदान की गई कुल ऊर्जा $= \frac{1000 \, J}{10 \, s} = 100 \, J/s$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, Js \times 3 \times 10^8 \, m/s}{400 \times 10^{-9} \, m} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$.
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $= \frac{\text{प्रति सेकंड कुल ऊर्जा}}{\text{एक फोटॉन की ऊर्जा}} = \frac{100}{4.9695 \times 10^{-19}} \approx 2.012 \times 10^{20}$.
चूंकि एक फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2.012 \times 10^{20}$ है।
इसे $x \times 10^{20}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x \approx 2$ प्राप्त होता है।

(A) थॉमसन मॉडल में,धनात्मक आवेश को परमाणु में समान रूप से वितरित माना जाता है।
चूंकि धनात्मक आवेश एक छोटे केंद्रीय नाभिक में केंद्रित नहीं होता है,इसलिए $\alpha$-कणों द्वारा अनुभव किया जाने वाला स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बहुत कमजोर होगा।
परिणामस्वरूप,$\alpha$-कण धनात्मक आवेश के समान वितरण के कारण बहुत छोटे विक्षेपों और गति में मामूली कमी के साथ सोने की पन्नी से गुजर जाएंगे।

(D) बोहर के परमाणु मॉडल के अनुसार, त्रिज्या $r$ का मान $r \propto \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
$Li^{2+}$ की $3^{rd}$ कक्षा के लिए, $n_1 = 3$ और $Z_1 = 3$ है।
$He^{+}$ की $2^{nd}$ कक्षा के लिए, $n_2 = 2$ और $Z_2 = 2$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{(r_3)_{Li^{2+}}}{(r_2)_{He^{+}}} = \frac{n_1^2}{n_2^2} \times \frac{Z_2}{Z_1}$।
मान रखने पर: $\frac{(r_3)_{Li^{2+}}}{105.8 \, pm} = \frac{3^2}{2^2} \times \frac{2}{3} = \frac{9}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2} = 1.5$।
अतः, $(r_3)_{Li^{2+}} = 105.8 \, pm \times 1.5 = 158.7 \, pm$।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को कार्य फलन $(W)$ के रूप में जाना जाता है।
कार्य फलन का सूत्र $W = h \nu_0$ है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \, s$
$\nu_0 = 1.3 \times 10^{15} \, s^{-1}$
गणना:
$W = (6.6 \times 10^{-34} \, J \, s) \times (1.3 \times 10^{15} \, s^{-1})$
$W = 8.58 \times 10^{-19} \, J$
अतः,न्यूनतम ऊर्जा $8.58 \times 10^{-19} \, J$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की आयनन ऊर्जा $E_n = -E_H \times Z^2 / n^2$ द्वारा दी जाती है।
$Li$ $(Z=3)$ के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ में,इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = 0 - (-2.2 \times 10^{-18} \times 3^2 / 1^2) = 19.8 \times 10^{-18} \, J$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = hc / \lambda$ है,इसलिए $\lambda = hc / E$.
मान रखने पर: $\lambda = (6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (19.8 \times 10^{-18}) \approx 1.0045 \times 10^{-8} \, m$.
इसे $x \times 10^{-8} \, m$ के साथ तुलना करने पर,$x \approx 1$ प्राप्त होता है।

(B) बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_{n} = a_{0} \times \frac{n^{2}}{Z}$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए $Z = 1$ है,इसलिए $r_{n} \propto n^{2}$ होता है।
$3^{\text{rd}}$ कक्षा के लिए,$r_{3} \propto 3^{2} = 9$.
$4^{\text{th}}$ कक्षा के लिए,$r_{4} \propto 4^{2} = 16$.
अनुपात लेने पर,$\frac{r_{4}}{r_{3}} = \frac{16}{9}$.
अतः,$r_{4} = \frac{16}{9} r_{3}$.