Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Gujarati

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT = \frac{w}{M} RT$ પરથી.
પ્રથમ આલેખ ($V$ અચળ હોય ત્યારે $p$ વિરુદ્ધ $T$): $p = (\frac{wR}{MV}) T$. ઢાળ $m = \frac{wR}{MV}$ થાય. $V$ અચળ હોવાથી,$m \propto w$. $m_2$ નો ઢાળ $m_1$ કરતા વધારે હોવાથી,$m_2 > m_1$.
બીજા આલેખ માટે પણ સમાન રીતે,ઢાળ $m$ એ વાયુના દળ $w$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$m_2 > m_1$.

(A-D) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બોઇલનો નિયમ: $p \propto \frac{1}{V}$ $(C)$
$(2)$ ચાર્લ્સનો નિયમ: $V \propto T$ અથવા $V = k_2T$ $(E)$
$(3)$ ગેલ્યુસેકનો નિયમ: $p \propto T$ $(A)$
$(4)$ એવોગેડ્રોનો નિયમ: $V \propto n$ $(B)$
$(5)$ આદર્શ વાયુ સમીકરણ: $pV = nRT$ $(D)$
તેથી,સાચો ક્રમ $(1-C, 2-E, 3-A, 4-B, 5-D)$ છે.

(A) અચળ કદ પર $p$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખને આઈસોકોર (isochore) કહેવામાં આવે છે.
$(B)$ અચળ તાપમાન પર $p$ વિરુદ્ધ $V$ ના આલેખને આઈસોથર્મ (isotherm) કહેવામાં આવે છે.
$(C)$ અચળ દબાણ પર $V$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખને આઈસોબાર (isobar) કહેવામાં આવે છે.

(A) બોઈલનો નિયમ: $p \propto \frac{1}{V}$ અચળ $T$ અને $n$ પર.
$(B)$ ચાર્લ્સનો નિયમ: $V \propto T$ અચળ $p$ અને $n$ પર.
$(C)$ ડાલ્ટનનો નિયમ: $P_{total} = p_1 + p_2 + p_3 + \dots$ અચળ $T$ અને $V$ પર.
$(D)$ એવોગેડ્રોનો નિયમ: $V \propto n$ અચળ $T$ અને $p$ પર.

(A-2, B-3, C-1) આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$:
$(A)$ અચળ $T$ પર $P$ વિરુદ્ધ $V$ લંબચોરસ હાયપરબોલા આપે છે. જોકે,જો આપણે $P$ વિરુદ્ધ $1/V$ આલેખીએ,તો આપણને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે. તેથી,$(A-2)$.
$(B)$ અચળ $P$ પર $V$ વિરુદ્ધ $T$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા આપે છે $(V \propto T)$. તેથી,$(B-3)$.
$(C)$ અચળ $V$ પર $P$ વિરુદ્ધ $T$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા આપે છે $(P \propto T)$. તેથી,$(C-1)$.
આમ,સાચી જોડ $(A-2, B-3, C-1)$ છે.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{m}{M}RT$ મળે.
પુનઃગોઠવણી કરતા $PM = \frac{m}{V}RT = dRT$ મળે,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે.
આમ,$d = \frac{PM}{RT}$.
અચળ દબાણ $P$ માટે,$d \propto \frac{1}{T}$.
આલેખ $(I)$ $d$ વિરુદ્ધ $T$ વચ્ચે વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે,જે સાચો છે.
આલેખ $(II)$ $d$ વિરુદ્ધ $T$ વચ્ચે સીધો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ખોટો છે.
આલેખ $(III)$ $d$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ વચ્ચે સીધો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે સાચો છે.
આલેખ $(IV)$ $d$ વિરુદ્ધ $P$ વચ્ચે સીધો રેખીય સંબંધ (અચળ $T$ પર) દર્શાવે છે,જે સાચો છે.
તેથી,આલેખ $(II)$ સાચો નથી.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં $n$,$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV = \text{constant}$,તેથી $P_1V_1 = P_2V_2$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 = 3 \ cm$,$P_1 = 48 \times 10^{-3} \ bar$,$r_2 = 12 \ cm$.
$P_1 \times \frac{4}{3} \pi (r_1)^3 = P_2 \times \frac{4}{3} \pi (r_2)^3$.
$P_2 = P_1 \times (\frac{r_1}{r_2})^3 = 48 \times 10^{-3} \times (\frac{3}{12})^3$.
$P_2 = 48 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{4})^3 = 48 \times 10^{-3} \times \frac{1}{64}$.
$P_2 = \frac{48}{64} \times 10^{-3} = 0.75 \times 10^{-3} \ bar$.
$P_2 = 750 \times 10^{-6} \ bar$.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$.
આપેલ છે:
$P_{1} = 1 \; bar$
$V_{1} = 600 \; dm^{3}$
$V_{2} = 150 \; dm^{3}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(1 \; bar) \times (600 \; dm^{3}) = P_{2} \times (150 \; dm^{3})$
$P_{2} = \frac{600 \; bar \cdot dm^{3}}{150 \; dm^{3}}$
$P_{2} = 4 \; bar$.

(D) પ્રથમ,દરેક વાયુના મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{CH_4} = \frac{6.4 \ g}{16 \ g \ mol^{-1}} = 0.4 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{8.8 \ g}{44 \ g \ mol^{-1}} = 0.2 \ mol$
કુલ મોલ,$n = 0.4 + 0.2 = 0.6 \ mol$
કદને $m^3$ માં ફેરવો:
$V = 10 \ L = 10 \times 10^{-3} \ m^3 = 0.01 \ m^3$
તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T = 27 + 273 = 300 \ K$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{nRT}{V} = \frac{0.6 \ mol \times 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1} \times 300 \ K}{0.01 \ m^3}$
$P = 149652 \ Pa = 149.652 \ kPa$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $150 \ kPa$ મળે છે.

(D) ધારો કે ટાયરનું કદ અચળ રહે છે, ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ, $P \propto T$ (જ્યાં $T$ કેલ્વિનમાં છે).
આપેલ છે: $P_1 = 35 \ psi$, $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$, $P_2 = 40 \ psi$.
સૂત્ર $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{40}{35} = \frac{T_2}{300}$
$T_2 = \frac{40 \times 300}{35} = \frac{12000}{35} \approx 342.86 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ} C) = 342.86 - 273 = 69.86^{\circ} C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ-ઓફ કરતા, આપણને $70^{\circ} C$ મળે છે.

(A) એસિટિલીન $(C_2H_2)$ નું મોલર દળ $26 \, g \, mol^{-1}$ છે.
મોલની સંખ્યા $(n)$ $= \frac{4.75 \, g}{26 \, g \, mol^{-1}} \approx 0.1827 \, mol$.
તાપમાન $(T)$ $= 50 + 273 = 323 \, K$.
દબાણ $(P)$ $= \frac{740}{760} \, atm \approx 0.9737 \, atm$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે.
$V = \frac{0.1827 \times 0.0826 \times 323}{0.9737} \approx 5.0059 \, L$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $5 \, L$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ તાપમાને $(T)$ અને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા $(n)$ માટે,$nRT$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેથી,$PV = \text{constant}$.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણ $(P)$ માં ફેરફાર સાથે $PV$ નું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
આમ,$PV$ વિરુદ્ધ $P$ નો આલેખ $P$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$P = \frac{nRT}{V}$.
અચળ કદ $V$ પર,$P \propto T$.
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ કદ માટે,ઊંચા તાપમાને દબાણ વધારે હોય છે.
તેથી,જો $T_1 > T_2 > T_3$ હોય,તો અચળ કદ પર અનુરૂપ દબાણ $P_1 > P_2 > P_3$ હશે.
આલેખ જોતા,સૌથી વધુ તાપમાન $(600 \ K)$ માટેનો વક્ર સૌથી ઉપરનો વક્ર હોવો જોઈએ,ત્યારબાદ $400 \ K$ અને પછી સૌથી નીચે $200 \ K$ હોવો જોઈએ.
આ તે રજૂઆત સાથે મેળ ખાય છે જ્યાં $600 \ K$ માટેનો વક્ર $400 \ K$ ના વક્રની ઉપર છે,જે $200 \ K$ ના વક્રની ઉપર છે.

(C) કુલ દબાણ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total}RT$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ,દરેક વાયુના મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{O_2} = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol$
$n_{H_2} = \frac{2 \ g}{2 \ g/mol} = 1.0 \ mol$
કુલ મોલ $n_{total} = 0.125 + 1.0 = 1.125 \ mol$.
$V = 1 \ L$,$R = 0.082 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$,અને $T = 273 \ K$ સાથે $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P \times 1 = 1.125 \times 0.082 \times 273$
$P = 25.18 \ atm$.

(C) આપેલ છે:
કદ $V = 4.00 \times 10^{3} \ m^{3} = 4.00 \times 10^{6} \ L$
દબાણ $P = 1.0 \ atm$
તાપમાન $T = 300 \ K$
વાયુ અચળાંક $R = 0.083 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{\text{દળ} (m)}{\text{મોલર દળ} (M)}$:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.0 \times 4.00 \times 10^{6}}{0.083 \times 300} \ mol$
$n = \frac{4.00 \times 10^{6}}{24.9} \ mol \approx 1.6064 \times 10^{5} \ mol$
$CH_{4}$ નું મોલર દળ $= 16 \ g \ mol^{-1}$
દળ $m = n \times M = 1.6064 \times 10^{5} \times 16 \ g$
$m = 25.7024 \times 10^{5} \ g$
$X \times 10^{5} \ g$ સાથે સરખાવતા,$X = 25.7024$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,$X = 26$.

(C) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,વાયુના નિશ્ચિત કદ માટે,દબાણ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}}$.
આપેલ છે: $P_{1} = 300 \ kPa = 300 \times 10^{3} \ Pa$,$T_{1} = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_{2} = 1.2 \times 10^{6} \ Pa$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{300 \times 10^{3}}{300} = \frac{1.2 \times 10^{6}}{T_{2}}$.
$1000 = \frac{1.2 \times 10^{6}}{T_{2}} \Rightarrow T_{2} = \frac{1.2 \times 10^{6}}{1000} = 1200 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ} C) = 1200 - 273 = 927^{\circ} C$.

(C) આપેલ છે:
કદ $V = 10.0 \, L$
$O_2$ નું દળ $(W)$ = $64 \, g$
$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M)$ = $32 \, g \, mol^{-1}$
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$
વાયુ અચળાંક $R = 0.0831 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1}$
પગલું $1$: મોલની સંખ્યા $(n)$ શોધો:
$n = \frac{W}{M} = \frac{64 \, g}{32 \, g \, mol^{-1}} = 2 \, mol$
પગલું $2$: આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને દબાણ $(P)$ શોધો:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{2 \, mol \times 0.0831 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1} \times 300 \, K}{10.0 \, L}$
$P = \frac{49.86}{10} \, bar = 4.986 \, bar \approx 4.9 \, bar$

(D) આપેલ છે: આદર્શ વાયુ $A$ અને $H_2$ વાયુ સમાન દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ પર છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$n = \frac{PV}{RT}$.
બંને વાયુઓ માટે $P$ અને $V$ સમાન હોવાથી,$n_A T_A = n_{H_2} T_{H_2}$.
અહીં,$n_A = \frac{3.0}{M_A}$ અને $n_{H_2} = \frac{0.2}{2.0} = 0.1 \ mol$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3.0}{M_A} \times 300 = 0.1 \times 200$.
$\frac{900}{M_A} = 20$.
$M_A = \frac{900}{20} = 45 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $\text{ટેન્ક સખત હોવાથી, કદ } V \text{ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ, અચળ કદ માટે દબાણ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: } \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}.
\text{આપેલ છે:}
P_1 = 30 \ atm
T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K
T_2 = 45^{\circ} C = 318 \ K
\text{સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:}
\frac{30}{300} = \frac{P_2}{318}
0.1 = \frac{P_2}{318}
P_2 = 31.8 \ atm.
\text{નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા } P_2 = 32 \ atm \text{ મળે છે。}$

(D) પ્રવાહીનું દળ $= 135.0 - 40.0 = 95.0 \ g$
પાત્રનું કદ $= \frac{\text{પ્રવાહીનું દળ}}{\text{પ્રવાહીની ઘનતા}} = \frac{95.0 \ g}{0.95 \ g \ mL^{-1}} = 100 \ mL = 0.1 \ L$
આદર્શ વાયુનું દળ $= 40.5 - 40.0 = 0.5 \ g$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{w}{M}$:
$PV = \frac{w}{M} RT$
$0.82 \ atm \times 0.1 \ L = \frac{0.5 \ g}{M} \times 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 250 \ K$
$0.082 = \frac{0.5 \times 0.082 \times 250}{M}$
$M = \frac{0.5 \times 0.082 \times 250}{0.082} = 0.5 \times 250 = 125 \ g \ mol^{-1}$

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
જ્યાં $n = \frac{m}{M}$,$m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $pV = \frac{m}{M} RT$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $p = \left( \frac{RT}{M} \right) \left( \frac{m}{V} \right)$ મળે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,સમીકરણ $p = \left( \frac{RT}{M} \right) d$ બને છે.
આ $y = mx$ પ્રકારની સીધી રેખા છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{RT}{M}$ છે.
ઢાળ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચું તાપમાન વધુ ઢાળ આપશે.
$T_3 > T_2 > T_1$ આપેલ હોવાથી,ઢાળનો ક્રમ $T_3 > T_2 > T_1$ થશે.
તેથી,$T_3$ માટે સૌથી વધુ ઢાળ અને $T_1$ માટે સૌથી ઓછો ઢાળ ધરાવતો આલેખ સાચો છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આપેલ છે: $P = 1.5 \, bar$,$V = 416 \, L$,$m = 100 \, g$,$T = 27 + 273 = 300 \, K$,અને $R = 0.083 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 416 = \frac{100}{M} \times 0.083 \times 300$.
$624 = \frac{2490}{M}$.
$M = \frac{2490}{624} \approx 3.99 \, g \, mol^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$M = 4 \, g \, mol^{-1}$ મળે છે.

(D) પાણીના મોલની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{0.90 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = 0.05 \ mol$.
તાપમાન $(T)$ $27 + 273 = 300 \ K$ છે.
$atm$ માં દબાણ $(P)$ $\frac{32.0 \ Torr}{760 \ Torr \ atm^{-1}} = \frac{32}{760} \ atm$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કદ $(V)$ શોધીએ છીએ:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.05 \times 0.082 \times 300}{32 / 760} = \frac{0.05 \times 0.082 \times 300 \times 760}{32} = 29.21 \ L$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $29$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ અને $d = \frac{m}{V}$,આપણને $P = \frac{dRT}{M}$ મળે છે.
મોલર દળ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $M = \frac{dRT}{P}$.
આપેલ કિંમતો:
$d = 0.46 \, g \, L^{-1}$
$R = 0.082 \, L \, atm \, K^{-1} \, mol^{-1}$
$T = 257 + 273 = 530 \, K$
$P = \frac{100}{760} \, atm$
આ કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{0.46 \times 0.082 \times 530 \times 760}{100}$
$M = 151.93 \, g \, mol^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $152$ મળે છે.

(C) $1$. પ્રોપેન $(C_{3}H_{8})$ ના મોલની ગણતરી કરો:
$C_{3}H_{8}$ નું મોલર દળ = $(3 \times 12) + (8 \times 1) = 44 \, g \, mol^{-1}$.
મોલ $(n)$ = $\frac{11 \, g}{44 \, g \, mol^{-1}} = 0.25 \, mol$.
$2$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરો:
આપેલ $P = 2 \, MPa = 2 \times 10^{6} \, Pa$,$V = 2 \, dm^{3} = 2 \times 10^{-3} \, m^{3}$,$n = 0.25 \, mol$,$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
$2 \times 10^{6} \times 2 \times 10^{-3} = 0.25 \times 8.3 \times T$.
$4000 = 2.075 \times T$.
$T = \frac{4000}{2.075} \approx 1927.71 \, K$.
$3$. તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવો:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15 = 1927.71 - 273.15 = 1654.56 \, ^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $1655 \, ^{\circ}C$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$pV = nRT$.
$1 \ mole$ વાયુ માટે,$n = 1$,તેથી $pV = RT$ અથવા $p = \frac{RT}{V}$.
$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ લેતા.
બિંદુ $X$ માટે: $V = 50 \ L, T = 200 \ K$.
$p_X = \frac{0.0821 \times 200}{50} = 0.3284 \ atm \approx 0.328 \ atm$.
બિંદુ $Y$ માટે: $V = 50 \ L, T = 500 \ K$.
$p_Y = \frac{0.0821 \times 500}{50} = 0.821 \ atm \approx 0.820 \ atm$.
બિંદુ $Z$ માટે: $V = 20 \ L, T = 200 \ K$.
$p_Z = \frac{0.0821 \times 200}{20} = 0.821 \ atm \approx 0.820 \ atm$.
આમ,$X, Y, Z$ પર દબાણ અનુક્રમે $0.328 \ atm, 0.820 \ atm, 0.820 \ atm$ છે.

(B) વાયુની ઘનતા $\rho = 5 \ mg \ cm^{-3} = 5 \ g \ L^{-1}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{w}{M}$,આપણને મળે છે $p = \frac{wRT}{MV} = \frac{\rho RT}{M}$.
બાષ્પ ક્લસ્ટરના મોલર દળ $M$ માટે ગોઠવતા: $M = \frac{\rho RT}{p}$.
અહીં $\rho = 5 \ g \ L^{-1}$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 300 \ K$,અને $p = 1 \ atm$ છે:
$M = \frac{5 \times 0.0821 \times 300}{1} = 123.15 \ g \ mol^{-1}$.
એસિટિક એસિડ $(CH_3COOH)$ ના એક અણુનું મોલર દળ $60 \ g \ mol^{-1}$ છે.
ક્લસ્ટરમાં અણુઓની સંખ્યા $n = \frac{M_{cluster}}{M_{monomer}} = \frac{123.15}{60} \approx 2.05$.
આમ,અણુઓની સંખ્યા $2$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $p = 2 \, atm$,$V = 2.24 \, L$,$R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,અને $T = 298 \, K$.
$n = \frac{pV}{RT} = \frac{2 \times 2.24}{0.0821 \times 298} \approx 0.183 \, mol$.
$N_2$ નું મોલર દળ $28 \, g/mol$ છે.
$N_2$ નું મહત્તમ દળ $m = n \times M = 0.183 \times 28 \approx 5.124 \, g$.
પાત્ર $2 \, atm$ પર ફાટી જાય છે,તેથી સુરક્ષિત જથ્થો $5.124 \, g$ કરતા થોડો ઓછો હોવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$4.2 \, g$ એ સૌથી નજીકની કિંમત છે જે સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરે છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$p V = n R T$.
તાપમાનના વિધેય તરીકે કદ માટે પુનઃગોઠવતા,આપણને $V = (\frac{n R}{p}) T$ મળે છે.
$V$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખનો ઢાળ $\text{slope} = \frac{n R}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\text{slope} = 0.328 \, L \, K^{-1}$,$n = 2 \, mol$,અને $R = 0.0821 \, L \, atm \, mol^{-1} \, K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.328 = \frac{2 \times 0.0821}{p}$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $p = \frac{2 \times 0.0821}{0.328} = \frac{0.1642}{0.328} = 0.5 \, atm$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ મુજબ.
બંધ પાત્ર હોવાથી,કદ $(V)$ અને મોલની સંખ્યા $(n)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$p \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $p_1 = 1 \, atm$,$T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$,અને $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{300} = \frac{p_2}{600}$.
$p_2 = \frac{600}{300} = 2 \, atm$.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
$(A)$ અચળ $T$ પર,$p = \frac{nRT}{V}$,તેથી $p \propto \frac{1}{V}$. આ એક લંબચોરસ હાઇપરબોલા છે,જે આદર્શ વાયુ માટે સાચું છે.
$(B)$ અચળ $p$ પર $p$ વિરુદ્ધ $1/V$ નો આલેખ ખોટો છે કારણ કે આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં $1/V$ બદલાય ત્યારે $p$ અચળ રહી શકે નહીં,સિવાય કે $T$ પણ પ્રમાણસર બદલાય. વધુમાં,અચળ $T$ પર આદર્શ વાયુ માટે $p$ એ $1/V$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,અચળ નથી.
$(C)$ $pV$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ જેનો ઢાળ $nR$ હોય,અચળ આડી રેખા નહીં. આમ,આ આલેખ પણ ખોટો છે.
તેથી,$B$ અને $C$ બંને આલેખ આદર્શ વાયુના વર્તનને દર્શાવતા નથી.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત દળનું દબાણ $(p)$ તેના કદ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore p \propto \frac{1}{V}$ અથવા $pV = \text{અચળ}$.
જ્યારે $p$ ને $V$ ની વિરુદ્ધ આલેખવામાં આવે ત્યારે આ સંબંધ લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે.
તેથી,$p$ અને $V$ વચ્ચે વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવતો આલેખ બોઈલના નિયમનું સાચું નિરૂપણ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,એટલે કે $U = f(T)$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,તાપમાન અચળ રહે છે $(T_2 = T_1 = 300 \ K)$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v(T_2 - T_1) = 0$.

(A) ડાયઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ ના મોલ $= \frac{3.2 \ g}{32 \ g \ mol^{-1}} = 0.1 \ mol$.
$STP$ પર ડાયઓક્સિજન વાયુનું કદ $(V_1)$ $= 0.1 \ mol \times 22.4 \ L \ mol^{-1} = 2.24 \ L$.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,$P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે કે $P_2 = \frac{1}{3}P_1$,તેથી $P_1 \times 2.24 = (\frac{1}{3}P_1) \times V_2$.
$V_2 = 2.24 \times 3 = 6.72 \ L$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T$ અચળ છે,તેથી $n = \frac{PV}{RT}$.
$CH_4$ માટે: $n_1 = \frac{2 \times 2}{RT} = \frac{4}{RT}$.
$CO_2$ માટે: $n_2 = \frac{4 \times 3}{RT} = \frac{12}{RT}$.
$Ne$ માટે: $n_3 = \frac{3 \times 4}{RT} = \frac{12}{RT}$.
કુલ મોલ $n_T = n_1 + n_2 + n_3 = \frac{4 + 12 + 12}{RT} = \frac{28}{RT}$.
કુલ કદ $V_T = 2 + 3 + 4 = 9 \ L$.
અંતિમ દબાણ $P_T = \frac{n_T RT}{V_T} = \frac{28}{RT} \times \frac{RT}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.11 \ atm$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = 100 \, units$.
કદ $40 \%$ ઘટતું હોવાથી,અંતિમ કદ $V_2 = 100 - 40 = 60 \, units$.
આપેલ છે $P_1 = 940.3 \, mm \, Hg$.
કિંમતો મૂકતા: $940.3 \times 100 = P_2 \times 60$.
$P_2 = \frac{94030}{60} = 1567.16 \, mm \, Hg$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $1567 \, mm \, Hg$ છે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ એ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto \frac{1}{V})$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ:
$P = (nRT) \times (\frac{1}{V})$
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,અને ઢાળ $m = nRT$ છે.
જેમ કે ઢાળ $(nRT)$ એ તાપમાન $(T)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,તેથી $P$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{V}$ નો આલેખ દરેક તાપમાન માટે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા આપશે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઢાળ $(nRT)$ પણ વધે છે. તેથી,$T_3 > T_2 > T_1$ માટે,$T_3$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ હશે,ત્યારબાદ $T_2$ અને પછી $T_1$ આવશે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$V$ વિરુદ્ધ $P$ આલેખ માટે,ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Area = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$.
અહીં,$P$-અક્ષ પરનો પાયો $(30 - 10) \ kPa = 20 \ kPa = 20 \times 10^3 \ Pa$ છે.
$V$-અક્ષ પરની ઊંચાઈ $(30 - 10) \ dm^3 = 20 \ dm^3 = 20 \times 10^{-3} \ m^3$ છે.
$V$ વિરુદ્ધ $P$ આલેખમાં ચક્ર $A$ $\rightarrow B$ $\rightarrow C$ $\rightarrow A$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.
$W = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^3 \ Pa) \times (20 \times 10^{-3} \ m^3) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \ J = 200 \ J$.

(B) પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ માટે,તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $\omega = -nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ છે.
આપેલ છે:
$n = 1 \ mol$
$T = 18 + 273.15 = 291.15 \ K$
$V_1 = 10 \ L$
$V_2 = 10 + 90 = 100 \ L$
$R = 0.08206 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = -1 \times 0.08206 \times 291.15 \times \ln \left(\frac{100}{10}\right)$
$\omega = -23.887 \times \ln(10)$
$\omega = -23.887 \times 2.303$
$\omega \approx -55.01 \ L \ atm$
તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $55 \ L \ atm$ છે.

(B) પાત્રની અંદરનું કુલ દબાણ બાહ્ય દબાણ જેટલું હોય છે,જે $P_{total} = 1 \ atm$ છે.
અજ્ઞાત સંયોજન $0.68 \ atm$ નું બાષ્પ દબાણ ધરાવે છે. તેથી,અજ્ઞાત સંયોજનનું આંશિક દબાણ $P_{unknown} = 0.68 \ atm$ છે.
$He$ નું આંશિક દબાણ $P_{He} = P_{total} - P_{unknown} = 1 \ atm - 0.68 \ atm = 0.32 \ atm$ છે.
$He$ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.32 \ atm \times V = 0.1 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 273 \ K$.
$0.32 \times V = 2.24133$.
$V = \frac{2.24133}{0.32} \approx 7.004 \ L$.
આમ,કુલ કદ $7 \ L$ ની નજીક છે.

(A) ખાના $A$ માં શરૂઆતના મોલ $(n_A)$: $n_A = \frac{P_A V_A}{R T_A} = \frac{5 \times 1}{R \times 400} = \frac{1}{80R}$
ખાના $B$ માં શરૂઆતના મોલ $(n_B)$: $n_B = \frac{P_B V_B}{R T_B} = \frac{1 \times 3}{R \times 300} = \frac{1}{100R}$
કુલ મોલ $(n_{total})$ = $n_A + n_B = \frac{1}{80R} + \frac{1}{100R} = \frac{5+4}{400R} = \frac{9}{400R}$
સંતુલન સમયે,દીવાલ ઉષ્માવહક અને હલનચલન કરી શકે તેવી છે,તેથી બંને ખાનાઓમાં દબાણ $(P)$ અને તાપમાન $(T)$ સમાન હશે.
ધારો કે $V_A'$ અને $V_B'$ નવા કદ છે. $V_A' + V_B' = 1 + 3 = 4 \ m^3$.
કુલ સિસ્ટમ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P(V_A' + V_B') = n_{total} R T$
$P(4) = (\frac{9}{400R}) R T \implies P = \frac{9T}{1600}$
ખાના $A$ માટે: $P V_A' = n_A R T \implies (\frac{9T}{1600}) V_A' = (\frac{1}{80R}) R T$
$V_A' = \frac{1}{80} \times \frac{1600}{9} = \frac{20}{9} \approx 2.22 \ m^3$.

(C) સખત પાત્રમાં,વાયુનું કદ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta V = 0$.
કારણ કે કાર્ય $W = -P_{ext} \Delta V$,તેથી $W = 0$ થાય છે.
આ પ્રકારની પ્રક્રિયાને સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = q + W$. $W = 0$ હોવાથી,$\Delta U = q$,જેનો અર્થ છે કે શોષાયેલી ઉષ્મા સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા એ છે જ્યાં દબાણ અચળ રહે છે,જે અહીં નથી.
તેથી,તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,તાપમાન અને દબાણની સમાન પરિસ્થિતિઓમાં,વાયુઓના સમાન કદમાં મોલની સંખ્યા સમાન હોય છે. પાત્રો સમાન હોવાથી,કદ સમાન છે,તેથી $n_A = n_B$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{w}{Mw}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $w$ એ દળ છે અને $Mw$ એ મોલર દળ છે.
તેથી,$\frac{w_A}{40} = \frac{w_B}{x}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{w_A}{w_B} = \frac{40}{x}$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{w_A}{w_B} = \frac{5}{8}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{5}{8} = \frac{40}{x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{40 \times 8}{5} = 8 \times 8 = 64$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,$P = \frac{nRT}{V}$.
અહીં $n$,$R$,$T$ અને $V$ સમાન હોવાથી,આદર્શ વાયુઓ માટે દબાણ સમાન રહે છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ માટે,વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ મુજબ,આકર્ષણ બળો ઓછા હોવાથી $H_2$ વાયુ આદર્શ વર્તણૂકની સૌથી નજીક છે અને તે મહત્તમ દબાણ દર્શાવે છે.

(C) ગે-લ્યુસેકનો નિયમ જણાવે છે કે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો કદ અચળ રાખવામાં આવે.
ગાણિતિક રીતે,આને $P \propto T$ અથવા અચળ કદ $(V)$ અને નિશ્ચિત જથ્થા $(n)$ માટે $\frac{P}{T} = \text{અચળ}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) $CO_2$ નું આપેલ દળ $= 8.8 \times 10^{-2} \ kg = 88 \ g$ છે.
$CO_2$ નું આણ્વીય દળ $44 \ g \ mol^{-1}$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{88 \ g}{44 \ g \ mol^{-1}} = 2 \ mol$ થાય.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને $PV = 2 \ RT$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{PV}{RT}$
આપેલ કિંમતો: $P = 3.18 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$,$V = 8.314 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 318 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{(3.18 \times 10^5) \times (8.314 \times 10^{-3})}{8.314 \times 318}$
$n = \frac{3.18 \times 10^2}{318} = \frac{318}{318} = 1 \ mole$

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto \frac{1}{V}$.
આનો અર્થ એ છે કે $PV = k$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
તેથી,જો આપણે $y$-અક્ષ પર $PV$ અને $x$-અક્ષ પર $P$ નો આલેખ દોરીએ,તો દબાણ $P$ માં ફેરફાર થવા છતાં $PV$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
આના પરિણામે દબાણ અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા મળે છે.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાન અને વાયુના જથ્થા માટે:
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
આપેલ છે:
$P_1 = 1 \ atm$,$V_1 = 25 \ mL$
$P_2 = 1.25 \ atm$,$V_2 = ?$
કિંમતો મૂકતા:
$1 \ atm \times 25 \ mL = 1.25 \ atm \times V_2$
$V_2 = \frac{1 \ atm \times 25 \ mL}{1.25 \ atm} = 20 \ mL$

(A) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
આપેલ છે:
$P_1 = 105 \ kPa$,$V_1 = 11.2 \ dm^3$
$P_2 = 210 \ kPa$,$V_2 = ?$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{105 \ kPa \times 11.2 \ dm^3}{210 \ kPa} = 5.6 \ dm^3$