Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Gujarati

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$n = 1 \ mol$ માટે,સમીકરણ $P = (RT) \times (V^{-1})$ બને છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$ અને $x = V^{-1}$,આપણને ઢાળ $m = RT$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $m = 32.8 \ L \ atm \ mol^{-1}$ અને $R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
તેથી,$RT = 32.8 \ L \ atm \ mol^{-1}$.
$T = \frac{32.8 \ L \ atm \ mol^{-1}}{0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}} = 400 \ K$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
સાંદ્રતા $C = \frac{n}{V}$ હોવાથી,સમીકરણને $P = CRT$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$C = \frac{P}{RT}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{16.4 \ atm}{0.082 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 200 \ K}$.
$C = \frac{16.4}{16.4} = 1.00 \ mol \ L^{-1}$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી.
$n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{m}{M} RT$ થાય.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ માટે ગોઠવતા,$d = \frac{PM}{RT}$ મળે.
અચળ તાપમાન $T$ અને ચોક્કસ આણ્વીય દળ $M$ ધરાવતા વાયુ માટે,$\frac{M}{RT}$ પદ અચળ છે.
તેથી,$d \propto P$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$P$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{V}$ ના આલેખ માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = (nRT) \times \frac{1}{V}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,અને $m = nRT$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળ (slope) $m = 1.1$ છે.
તેથી,$nRT = 1.1$.
આપણને $P = 10 \ atm$ આપેલ છે.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1.1}{10} = 0.11 \ L$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
બંને બાજુને $V$ વડે ભાગતા,આપણને $p = (n/V)RT = CRT$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ $mol$ $L^{-1}$ માં સાંદ્રતા છે.
આપેલ છે કે $p = 16.4$ $atm$,$C = 1$ $mol$ $L^{-1}$,અને $R = 0.082$ $L$ $atm$ $mol^{-1}$ $K^{-1}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $16.4 = 1 \times 0.082 \times T$.
$T = 16.4 / 0.082 = 200$ $K$.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$.
જેમ તાપમાન ઘટે છે,તેમ કદ પણ ઘટે છે.
સૈદ્ધાંતિક રીતે,વાયુનું કદ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને શૂન્ય થાય છે,જે $0 \ K$ છે.
સેલ્સિયસ માપક્રમમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$.
તેથી,$0 \ K = -273.15^{\circ} C$ થાય.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT} = 1$ હોય છે.
આપેલ ડેટા ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P = 1, 2, \text{ અને } 3 \ bar$ માટે,$\frac{PV}{RT}$ નું મૂલ્ય $1$ છે.
$P = 4 \ bar$ અને $P = 5 \ bar$ માટે,$\frac{PV}{RT}$ નું મૂલ્ય $1$ થી વિચલિત થાય છે (અનુક્રમે $1.5$ અને $2.0$).
તેથી,વાયુ $1$ થી $3 \ bar$ ના દબાણના ગાળામાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.

(A) વાયુ $(X)$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $1 \ L$ ફ્લાસ્કમાં $1 \ mol \ L^{-1}$ છે,તેથી પ્રારંભિક મોલ $(n_1) = 1 \ mol$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક દબાણ $(P_1)$:
$P_1 = \frac{n_1 RT}{V} = \frac{1 \times 0.082 \times 200}{1} = 16.4 \ atm$.
$0.1 \ mol$ $X$ ઉમેર્યા પછી,નવા મોલ $(n_2) = 1 + 0.1 = 1.1 \ mol$.
તાપમાન $(T)$ અને કદ $(V)$ અચળ હોવાથી,દબાણ એ મોલની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto n)$.
તેથી,$\frac{P_1}{n_1} = \frac{P_2}{n_2}$.
$P_2 = P_1 \times \frac{n_2}{n_1} = 16.4 \times \frac{1.1}{1} = 18.04 \ atm$.

(C) $P-V$ આલેખ માટે,$V$-અક્ષને સમાંતર એક રેખા દોરો (અચળ $P$). અચળ દબાણે,કદ $V$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$. સમાન દબાણ માટે $T_2$ નો વક્ર $T_1$ કરતા વધારે કદ પર હોવાથી,$T_2 > T_1$ મળે છે.
$V-T$ આલેખ માટે,સમીકરણ $V = (\frac{nR}{P})T$ છે. રેખાનો ઢાળ $\frac{nR}{P}$ છે,જે દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. $P_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ $P_2$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા નાનો હોવાથી,$P_1 > P_2$ થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી.
$n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{m}{M} RT$.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ માટે ગોઠવતા,$d = \frac{PM}{RT}$ મળે.
આપેલ છે: $P = 0.82 \ atm$,$M = 4 \ g \ mol^{-1}$,$R = 0.082 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$,અને $T = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{0.82 \times 4}{0.082 \times 300} = \frac{4}{30} = 0.1333 \ g \ L^{-1} = 1.33 \times 10^{-1} \ g \ L^{-1}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$PV = nRT$
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$PV = \frac{m}{M} RT$
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$P = \frac{m}{V} \times \frac{RT}{M}$
$P = \rho \times \frac{RT}{M}$
તેથી,ઘનતા $\rho$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\rho = \frac{PM}{RT}$

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $(P)$ એ વાયુના કદ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto \frac{1}{V}$ અથવા $PV = \text{અચળ}$.
$1$. આલેખ $(b)$: $PV$ વિરુદ્ધ $P$ દર્શાવે છે. $PV$ અચળ હોવાથી,આલેખ $P$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે.
$2$. આલેખ $(c)$: $PV$ વિરુદ્ધ $V$ દર્શાવે છે. $PV$ અચળ હોવાથી,આલેખ $V$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે.
આમ,આલેખ $(b)$ અને $(c)$ બંને બોઈલના નિયમ મુજબ $PV$ નો અચળ ગુણાકાર યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) વાયુની ઘનતા $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{pM}{RT}$
આપેલ છે:
દબાણ $(p)$ = $5 \text{ atm}$
$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M)$ = $32 \text{ g mol}^{-1}$
વાયુ અચળાંક $(R)$ = $0.082 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$
તાપમાન $(T)$ = $127 + 273 = 400 \text{ K}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{5 \times 32}{0.082 \times 400}$
$d = \frac{160}{32.8} \approx 4.878 \text{ g L}^{-1}$
આમ,ઘનતા આશરે $4.88 \text{ g L}^{-1}$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,તાપમાન $T = \frac{PV}{nR}$ થાય.
આપેલ કિંમતો: $P = 3.32 \ bar$,$V = 5 \ dm^3 = 5 \ L$,$n = 4 \ mol$,અને વાયુ અચળાંક $R = 0.08314 \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4 \times 0.08314} = \frac{16.6}{0.33256} \approx 49.91 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T \approx 50 \ K$ મળે છે.

(A) બોયલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,$PV = k$.
$1.$ $y = P$ અને $x = V$ માટે,સંબંધ $P = k/V$ એ અતિવલય દર્શાવે છે. તેથી,$(A)$ એ $2$ સાથે જોડાય છે.
$2.$ $y = P$ અને $x = 1/V$ માટે,સંબંધ $P = k(1/V)$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$(B)$ એ $3$ સાથે જોડાય છે.
$3.$ $y = PV$ અને $x = P$ માટે,સંબંધ $PV = k$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$(C)$ એ $1$ સાથે જોડાય છે.

(B) આપેલ છે: $n = 4 \ mol$,$V = 5 \ L$,$P = 3.32 \ bar$,$R = 0.083 \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$.
તાપમાન માટે સૂત્ર: $T = \frac{PV}{nR}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{3.32 \times 5}{4 \times 0.083}$.
$T = \frac{16.6}{0.332} = 50 \ K$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તાપમાન સાથે વાયુના કદમાં થતા ફેરફારનો અભ્યાસ સૌપ્રથમ જેક્સ ચાર્લ્સ $(1787)$ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને ચાર્લ્સના નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે,"અચળ દબાણે વાયુના આપેલા દળનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે."
ગાણિતિક રીતે,અચળ દબાણે $V \propto T$ અથવા $\frac{V}{T} = k$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
નવું કદ $V_2 = V + 0.10V = 1.10V$ થશે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $P_1V = P_2(1.10V)$.
$P_2 = P_1 / 1.10 \approx 0.9091 P_1$.
દબાણમાં ફેરફાર $P_2 - P_1 = 0.9091 P_1 - P_1 = -0.0909 P_1$ છે.
આ આશરે $9.09 \%$ નો ઘટાડો દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $10 \%$ નો ઘટાડો છે,જે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ દબાણે આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અચળ દબાણે,$V \propto T$.
અથવા,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) આપેલ છે: વાયુનો જથ્થો $n = 4.0 \ mol$,કદ $V = 5 \ dm^3$,દબાણ $p = 3.32 \ bar$,અને વાયુ અચળાંક $R = 0.083 \ bar \ dm^3 \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $p \ V = n \ R \ T$ નો ઉપયોગ કરતા,તાપમાન $T$ માટે:
$T = \frac{p \ V}{n \ R}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4.0 \times 0.083}$
$T = \frac{16.6}{0.332} = 50 \ K$.
તેથી,વાયુનું તાપમાન $50 \ K$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{w}{M}$.
વાયુ $A$ માટે: $P_A V = \frac{w_A}{M_A} RT \implies 1 \times V = \frac{2}{M_A} RT \implies V = \frac{2RT}{M_A} \quad (1)$.
જ્યારે વાયુ $B$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $P_{total} = P_A + P_B = 1.5 \ atm$. કારણ કે $P_A = 1 \ atm$,તેથી $P_B = 0.5 \ atm$.
વાયુ $B$ માટે: $P_B V = \frac{w_B}{M_B} RT \implies 0.5 \times V = \frac{3}{M_B} RT \implies V = \frac{6RT}{M_B} \quad (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $\frac{2RT}{M_A} = \frac{6RT}{M_B}$.
$\frac{2}{M_A} = \frac{6}{M_B} \implies \frac{M_A}{M_B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,મોલર દળનો ગુણોત્તર $M_A : M_B$ એ $1: 3$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,અચળ તાપમાન $T = 300 \ K$ પર દરેક વાયુના મોલ શોધીએ.
$H_2$ માટે: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT} = \frac{1 \ bar \times 1 \ L}{RT} = \frac{1}{RT}$.
$O_2$ માટે: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT} = \frac{2 \ bar \times 2 \ L}{RT} = \frac{4}{RT}$.
કુલ મોલ $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{1+4}{RT} = \frac{5}{RT}$.
$10 \ L$ ના ફ્લાસ્કમાં,કુલ દબાણ $P_{total}$ એ $P_{total} = \frac{n_{total} RT}{V_{final}}$ દ્વારા મળે છે.
$P_{total} = \frac{(5/RT) \times RT}{10 \ L} = \frac{5}{10} \ bar = 0.5 \ bar$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ તાપમાને $(T)$ દબાણ અને કદનો ગુણાકાર $(PV)$ મોલની સંખ્યા $(n)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
મોલના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,મિશ્રણનું કુલ દબાણ $(P_{mix})$ અંતિમ કદ $(V_{final} = 100 \ L)$ માં $A$ અને $B$ ના આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$A$ ની પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = 1 \ bar$,$V_1 = 2 \ L$.
$B$ ની પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_2 = p_B \ bar$,$V_2 = 4 \ L$.
મિશ્રણની અંતિમ સ્થિતિ: $P_{mix} = 0.1 \ bar$,$V_{final} = 100 \ L$.
બોઈલના નિયમ મુજબ $(P_1V_1 + P_2V_2 = P_{mix}V_{final})$:
$(1 \ bar \times 2 \ L) + (p_B \ bar \times 4 \ L) = 0.1 \ bar \times 100 \ L$
$2 + 4p_B = 10$
$4p_B = 8$
$p_B = 2 \ bar$.
તેથી,$p_B$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{PM}{RT}$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$M$ મોલર દળ છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન (કેલ્વિન) છે.
આ સંબંધ પરથી,$d \propto \frac{P}{T}$.
ઘનતા મહત્તમ કરવા માટે,આપણે સૌથી વધુ દબાણ $(P)$ અને સૌથી ઓછું તાપમાન $(T)$ જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ તાપમાન અને $3 \ bar$ દબાણ પર ગુણોત્તર $\frac{P}{T}$ સૌથી વધુ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
અણુઓની સંખ્યા મોલની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,જો મોલની સંખ્યા સમાન હોય તો અણુઓની સંખ્યા સમાન હશે.
વિવિધ વાયુઓના સમાન કદ $(V)$ માટે,જો બધા ફ્લાસ્કનું તાપમાન $(T)$ અને દબાણ $(P)$ સમાન હોય તો મોલની સંખ્યા $(n)$ સમાન થશે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે બધા ફ્લાસ્કનું તાપમાન અને દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.

(B) વાયુ $X$ માટે: $P_X V = \frac{m_X}{M_X} RT \Rightarrow 2V = \frac{1}{M_X} RT$ ...$(i)$
વાયુ $Y$ માટે: $P_Y V = \frac{m_Y}{M_Y} RT$
કુલ દબાણ $P_{total} = 3 \ atm$ આપેલ છે,તેથી $P_Y = P_{total} - P_X = 3 - 2 = 1 \ atm$.
વાયુ $Y$ માટે કિંમતો મૂકતા: $1 \cdot V = \frac{2}{M_Y} RT$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{1} = \frac{1/M_X}{2/M_Y} = \frac{M_Y}{2M_X}$
$4M_X = M_Y$ અથવા $M_Y = 4M_X$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેને $PV = (m/M)RT$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઘનતા $(d = m/V)$ માટે ગોઠવતા,આપણને $d = (PM) / (RT)$ મળે છે.
આપેલ છે: $P = 76 \ cm \ Hg = 1 \ atm$,$T = 273 \ K$,$d = 1.94 \ g/dm^3$ (જે $1.94 \ g/L$ છે),અને $R = 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.94 = (1 \times M) / (0.0821 \times 273)$.
$M = 1.94 \times 0.0821 \times 273 \approx 43.5 \ g/mol$.
$CO_2$ નું આણ્વીય દળ $12 + 2 \times 16 = 44 \ g/mol$ છે.
તેથી,તે વાયુ $CO_2$ છે.

(B) આપેલ છે:
$T = 27 + 273 = 300 \ K$
$V = 10 \ L$
$He$ નું મોલર દળ $= 4 \ g \ mol^{-1}$
$Ne$ નું મોલર દળ $= 20 \ g \ mol^{-1}$
$P = 1.23 \ atm$
$R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = n_{He} + n_{Ne} = \frac{W_{He}}{M_{He}} + \frac{W_{Ne}}{M_{Ne}}$:
$PV = (\frac{W_{He}}{4} + \frac{W_{Ne}}{20})RT$
$1.23 \times 10 = (\frac{W_{He}}{4} + \frac{W_{Ne}}{20}) \times 0.082 \times 300$
$12.3 = (\frac{W_{He}}{4} + \frac{W_{Ne}}{20}) \times 24.6$
$\frac{W_{He}}{4} + \frac{W_{Ne}}{20} = \frac{12.3}{24.6} = 0.5$
$20$ વડે ગુણતા:
$5W_{He} + W_{Ne} = 10$ (સમીકરણ $i$)
કુલ દળ આપેલ છે:
$W_{He} + W_{Ne} = 4$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $ii$ ને સમીકરણ $i$ માંથી બાદ કરતા:
$(5W_{He} + W_{Ne}) - (W_{He} + W_{Ne}) = 10 - 4$
$4W_{He} = 6 \Rightarrow W_{He} = 1.5 \ g$
$W_{Ne} = 4 - 1.5 = 2.5 \ g$
નિયોનનું દળ $\%$ $= \frac{W_{Ne}}{\text{કુલ દળ}} \times 100 = \frac{2.5}{4} \times 100 = 62.5 \%$

(B) આદર્શ વાયુ માટે,ગતિઊર્જા $(KE) = \frac{3}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ $P$ વિરુદ્ધ $V^{-1}$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવાથી,$P = m \times V^{-1}$ થાય,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ સાથે સરખાવતા,$P = RT \times V^{-1}$ મળે,તેથી ઢાળ $m = RT$ થાય.
જોકે,પ્રશ્નમાં ઢાળ $m$ ને $KE$ ના સંદર્ભમાં $P = \frac{2 \ KE}{3} \times V^{-1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે.
તેથી,ઢાળ $m = \frac{2 \ KE}{3} = 2000 \ J \ mol^{-1}$.
$KE$ માટે ગણતરી કરતા: $KE = \frac{2000 \times 3}{2} = 3000 \ J \ mol^{-1}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેને $P = (nRT) \times (\frac{1}{V})$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,અને $c = 0$,ઢાળ $m$ એ $nRT$ જેટલો થાય છે.
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $m$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(m \propto T)$.
આપેલ શરત $T_1 > T_2 > T_3$ મુજબ,ઢાળનો સાચો ક્રમ $m_1 > m_2 > m_3$ થશે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
સાંદ્રતા એટલે એકમ કદ દીઠ મોલની સંખ્યા,એટલે કે $C = \frac{n}{V}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી,આપણે $\frac{n}{V}$ શોધવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવી શકીએ:
$\frac{n}{V} = \frac{P}{RT}$.
તેથી,સાંદ્રતા $\frac{P}{RT} \ mol/L$ છે.

(A) એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = RT$ છે,જેને $V = (R/p)T$ તરીકે લખી શકાય.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$,ઢાળ $m = R/p$ મળે છે.
$R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $m$ એ દબાણ $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto 1/p)$.
આપેલ શરત $p_1 < p_2 < p_3$ મુજબ,$1/p_1 > 1/p_2 > 1/p_3$ થાય.
તેથી,ઢાળ વચ્ચેનો સાચો સંબંધ $m_1 > m_2 > m_3$ છે.

(C) ખુલ્લા પાત્ર માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,$n \propto \frac{1}{T}$ થાય.
તેથી,$n_1 T_1 = n_2 T_2$.
આપેલ છે: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 727 + 273 = 1000 \ K$.
બાકી રહેલી હવાનો અંશ $\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{300}{1000} = \frac{3}{10}$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
કદ $V$ ને મોલ $n$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવતા: $V = n \times (\frac{RT}{P})$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $Y = mx + C$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = V$ અને $x = n$,ઢાળ $m = \frac{RT}{P}$ મળે છે.
અહીં $R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 300 \ K$,અને $P = 1 \ atm$ છે.
$\text{ઢાળ} = \frac{0.0821 \times 300}{1} = 24.6 \ L \ mol^{-1}$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{wRT}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે છે.
વાયુ $A$ માટે: $n_A = \frac{5V}{RT} = \frac{4}{M_A} \implies M_A = \frac{4RT}{5V}$.
જ્યારે વાયુ $B$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $10 \ atm$ થાય છે. વાયુ $B$ નું આંશિક દબાણ $P_B = P_{total} - P_A = 10 \ atm - 5 \ atm = 5 \ atm$ છે.
વાયુ $B$ માટે: $n_B = \frac{5V}{RT} = \frac{16}{M_B} \implies M_B = \frac{16RT}{5V}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{4RT/5V}{16RT/5V} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$4 M_A = M_B$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$
$\therefore m = \frac{PVM}{RT}$
બંને પાત્રોમાં સમાન વાયુ $(CO_2)$ હોવાથી,મોલર દળ $(M)$ અચળ રહેશે.
તેથી,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{P_A V_A}{P_B V_B} \times \frac{T_B}{T_A}$
આપેલ છે: $P_A = 4P_B$,$V_A = 4V_B$,$T_A = 4T_B$,અને $m_B = x \ g$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{m_A}{x} = \frac{(4P_B)(4V_B)}{P_B V_B} \times \frac{T_B}{4T_B}$
$\frac{m_A}{x} = 16 \times \frac{1}{4} = 4$
$m_A = 4x \ g$

(A) પગલું $1$: દરેક વાયુના મોલની સંખ્યા ગણો.
$n_{CH_4} = \frac{4 \ g}{16 \ g/mol} = 0.25 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{4.4 \ g}{44 \ g/mol} = 0.1 \ mol$
પગલું $2$: કુલ મોલની સંખ્યા $(n_T)$ ગણો.
$n_T = 0.25 \ mol + 0.1 \ mol = 0.35 \ mol$
પગલું $3$: દબાણ શોધવા માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરો.
આપેલ છે: $V = 1 \ L$,$T = 27 + 273 = 300 \ K$,$R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$P = \frac{n_T RT}{V} = \frac{0.35 \times 0.082 \times 300}{1} = 8.61 \ atm \approx 8.6 \ atm$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $V = (\frac{nR}{P})T$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા $(V = mT)$ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $(m)$ એ $\frac{nR}{P}$ જેટલો છે.
ઢાળ એ દબાણ $(P)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જે રેખાનો ઢાળ વધારે હોય તેનું દબાણ ઓછું હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,$P_1$ રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $P_2$ અને પછી $P_3$ (જેનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે).
તેથી,દબાણનો સાચો ક્રમ $P_3 > P_2 > P_1$ અથવા $P_1 < P_2 < P_3$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PM = dRT$ છે.
અહીં,$P = 1 \ atm$,$d = 1.24 \ g/L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,અને $T = 273 \ K$ છે.
મોલર દળ $(M)$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$M = \frac{dRT}{P} = \frac{1.24 \times 0.0821 \times 273}{1} \approx 28 \ g/mol$.
$CO$ નું મોલર દળ $12 + 16 = 28 \ g/mol$ છે.
તેથી,તે વાયુ $CO$ છે.

(B) $\text{ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, અચળ દબાણે, } V \propto T \text{ અથવા } \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.
\text{આપેલ છે: } V_1 = 3 \,L, T_1 = 35 + 273 = 308 \,K.
V_2 = 2.5 \,L, T_2 = T.
\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{3}{308} = \frac{2.5}{T_2}.
T_2 = \frac{2.5 \times 308}{3} = 256.67 \,K.
\text{સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: } T(^{\circ}C) = 256.67 - 273 = -16.33^{\circ} C.
\text{નજીકના વિકલ્પ મુજબ, } T \approx -16^{\circ} C$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT = \frac{w}{M} RT$
જ્યાં $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
આપેલ છે: $w = 4.4 \ g$,$T = 0^{\circ} C = 273 \ K$,$R = 0.082 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,$P = 0.82 \ atm$,$V = 2.73 \ L$.
કિંમતો મૂકતા: $0.82 \times 2.73 = \frac{4.4}{M} \times 0.082 \times 273$
$M = \frac{4.4 \times 0.082 \times 273}{0.82 \times 2.73}$
$M = 44 \ g/mol$.
$CO_2$ નું આણ્વીય દળ $44 \ g/mol$ છે.
તેથી,વાયુ $CO_2$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે: $n = 1 \ mol$,$V = 12 \ L = 12 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 297 + 273 = 570 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$P = \frac{nRT}{V} = \frac{1 \times 8.314 \times 570}{12 \times 10^{-3}} \ Pa$.
$P = \frac{4738.98}{0.012} \ Pa = 394915 \ Pa \approx 395 \ kPa$.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ, અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે: $P_1 = 2 \,atm$, $V_1 = V$, $V_2 = \frac{V}{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times V = P_2 \times \frac{V}{4}$.
$P_2 = 2 \times 4 = 8 \,atm$.
અંતિમ દબાણ $8 \,atm$ છે.
દબાણમાં વધારો $= P_2 - P_1 = 8 \,atm - 2 \,atm = 6 \,atm$.

(B) પ્રથમ આલેખ ($p$ વિરુદ્ધ $1/V$) માટે: આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ મુજબ,$p = (nRT) \times (1/V)$ થાય. રેખાનો ઢાળ $nRT$ છે. $T_2$ માટેનો ઢાળ $T_1$ કરતા વધારે હોવાથી,$T_2 > T_1$ થાય.
બીજા આલેખ ($V$ વિરુદ્ધ $T$) માટે: ચાર્લ્સના નિયમ $V = (nR/p) \times T$ મુજબ,રેખાનો ઢાળ $nR/p$ છે. $p_2$ માટેનો ઢાળ $p_1$ કરતા વધારે હોવાથી,અને ઢાળ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$p_1 > p_2$ થાય.
તેથી,સાચું અવલોકન $T_2 > T_1$ અને $p_1 > p_2$ છે.

(C) બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને આપેલા વાયુના જથ્થા માટે,દબાણ $(p)$ તેના કદ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$p \propto \frac{1}{V}$
$p \cdot V = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે)
આ સંબંધ $y$-અક્ષ પર દબાણ $(p)$ અને $x$-અક્ષ પર કદ $(V)$ ને આલેખતી વખતે લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
તેથી,જે આલેખ બોઈલના નિયમનું યોગ્ય રીતે નિરૂપણ કરે છે તે હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $V$ વધતા $p$ ઘટે છે.

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = 420 \ cm^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
તાપમાનમાં $20^{\circ} C$ નો ઘટાડો થતા,$T_2 = 300 \ K - 20 \ K = 280 \ K$.
સૂત્ર $V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_2 = \frac{420 \ cm^3 \times 280 \ K}{300 \ K} = 392 \ cm^3$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે. $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{m}{M}RT$,જે $P = \frac{m}{V} \times \frac{RT}{M} = \frac{dRT}{M}$ માં ફેરવાય છે.
સમાન વાયુના સમાન જથ્થા માટે,મોલર દળ $M$ અચળ છે,તેથી $P \propto d \times T$.
તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$.
આમ,તેમના દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) આપેલ છે:
$N_2$ વાયુનું દબાણ $(P) = 2.3 \ atm$
કદ $(V) = 2.6 \ cm^3 = 2.6 \times 10^{-3} \ L$
તાપમાન $(T) = 27^{\circ} C + 273 = 300 \ K$
વાયુ અચળાંક $(R) = 0.0821 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$
$n = \frac{PV}{RT}$
$n = \frac{2.3 \ atm \times 2.6 \times 10^{-3} \ L}{0.0821 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 300 \ K}$
$n = \frac{5.98 \times 10^{-3}}{24.63} \ mol$
$n \approx 2.42 \times 10^{-4} \ mol$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2 \times 10^{-4} \ mol$ છે.

(B) બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાન $(T)$ અને વાયુના જથ્થા $(n)$ પર,વાયુનું દબાણ $(p)$ તેના કદ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$p \propto \frac{1}{V} \implies pV = \text{અચળ} \quad (k)$
$1$. આલેખ $(ii)$: વિવિધ તાપમાને $p$ વિરુદ્ધ $V$ દર્શાવે છે. $pV = nRT$ હોવાથી,$p = \frac{nRT}{V}$. આપેલ $V$ માટે,જેમ $T$ વધે તેમ $p$ વધે છે. તેથી,$T_3 > T_2 > T_1$ માટે,$T_3$ નો વક્ર $T_2$ ની ઉપર હોવો જોઈએ,જે $T_1$ ની ઉપર છે. આલેખ $(ii)$ માં $T_1 < T_2 < T_3$ સાથે વક્ર યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે,જે બોઈલના નિયમનું સાચું નિરૂપણ છે.
$2$. આલેખ $(iv)$: $pV$ વિરુદ્ધ $p$ દર્શાવે છે. $pV = nRT$ હોવાથી,અચળ $T$ માટે,$pV$ અચળ રહે છે. જેમ $T$ વધે છે,તેમ $nRT$ નું મૂલ્ય વધે છે. તેથી,ઊંચા તાપમાન માટે $pV$ નું મૂલ્ય વધારે હોવું જોઈએ. આલેખ $(iv)$ માં $T_1 < T_2 < T_3$ સાથે $pV$ ના મૂલ્યો વધતા દર્શાવ્યા છે,જે સાચું છે.
આમ,આલેખ $(ii)$ અને $(iv)$ સાચા છે.