Molecular orbital theory Questions in Hindi

(C) $O_2 \rightarrow O_2^+$ के लिए,आबंध कोटि $2.0$ से बढ़कर $2.5$ हो जाती है। अतः,आबंध कोटि बढ़ती है।
$N_2 \rightarrow N_2^+$ के लिए,आबंध कोटि $3.0$ से घटकर $2.5$ हो जाती है। अतः,आबंध कोटि घटती है।

(B) $O_2$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $KK(\sigma_{2s})^2(\sigma_{2s}^*)^2(\sigma_{2p_z})^2(\pi_{2p_x})^2(\pi_{2p_y})^2(\pi_{2p_x}^*)^1(\pi_{2p_y}^*)^1$ है।
जब $O_2^-$ बनाने के लिए एक इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है,तो यह सबसे कम ऊर्जा वाले रिक्त एंटी-बॉन्डिंग आणविक कक्षक $\pi_{2p_x}^*$ (या $\pi_{2p_y}^*$) में प्रवेश करता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन $\pi^*$ आणविक कक्षक में जोड़ा जाता है।

(C) $O_2$ अणु ($16$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma_{1s}^2, \sigma_{1s}^{*2}, \sigma_{2s}^2, \sigma_{2s}^{*2}, \sigma_{2p_z}^2, \pi_{2p_x}^2 = \pi_{2p_y}^2, \pi_{2p_x}^{*1} = \pi_{2p_y}^{*1}$।
प्रतिबंधन आण्विक कक्षकों को तारांकन $(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
ये हैं: $\sigma_{1s}^{*2}, \sigma_{2s}^{*2}, \pi_{2p_x}^{*1}, \pi_{2p_y}^{*1}$।
प्रतिबंधन कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या = $2 + 2 + 1 + 1 = 6$।

(N/A) $(i)$ $F. Hund$ और $R.S. Mulliken$
$(ii)$ आबंधी आण्विक कक्षक (Bonding molecular orbitals)
$(iii)$ अणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (Electronic configuration of the molecule)
$(iv)$ आबंध कोटि (Bond order)

(C) बंध क्रम की गणना $\frac{N_b - N_a}{2}$ सूत्र द्वारा की जाती है।
$(1)$ ${\rm{NO}}$ ($15$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $\frac{10 - 5}{2} = 2.5$.
$(2)$ ${\rm{CO}}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $3.0$.
$(3)$ ${\rm{O}}_2^-$ ($17$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $\frac{10 - 7}{2} = 1.5$.
$(4)$ ${\rm{O}}_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $\frac{10 - 6}{2} = 2.0$.
अतः,सही मिलान $(1-C, 2-D, 3-A, 4-B)$ है।

(A) बंध सामर्थ्य प्रजाति के बंध क्रम (bond order) के सीधे आनुपातिक होती है।
$NO^{2+}$ में कुल इलेक्ट्रॉन = $13$। बंध क्रम = $1.5$।
$NO^{+}$ में कुल इलेक्ट्रॉन = $14$। बंध क्रम = $3$।
$NO$ में कुल इलेक्ट्रॉन = $15$। बंध क्रम = $2.5$।
$NO^{-}$ में कुल इलेक्ट्रॉन = $16$। बंध क्रम = $2$।
बंध क्रम की तुलना करने पर: $NO^{+} (3) > NO (2.5) > NO^{-} (2) > NO^{2+} (1.5)$।
अतः,$NO^{2+}$ की बंध सामर्थ्य न्यूनतम है।

(B) $He_{2}$ के लिए,कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $4$ है।
आण्विक कक्षक विन्यास $\sigma_{1s}^{2} \sigma_{1s}^{*2}$ है।
बंध क्रम $(B.O.) = \frac{1}{2} [N_{b} - N_{a}] = \frac{1}{2} [2 - 2] = 0$.
चूंकि बंध क्रम $0$ है,इसलिए $He_{2}$ अणु अस्तित्व में नहीं है।

(C) $O_{2}$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^{2} \sigma^{*} 1s^{2} \sigma 2s^{2} \sigma^{*} 2s^{2} \sigma 2p_{z}^{2} \pi 2p_{x}^{2} = \pi 2p_{y}^{2} \pi^{*} 2p_{x}^{1} = \pi^{*} 2p_{y}^{1}$।
जब $O_{2}$ में इलेक्ट्रॉन जुड़कर $O_{2}^{-}$ बनता है,तो आने वाला इलेक्ट्रॉन $\pi^{*}$ एंटीबॉन्डिंग कक्षक में जाता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन $\pi^{*} 2p_{x}$ या $\pi^{*} 2p_{y}$ कक्षक में प्रवेश करता है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) आण्विक कक्षक सिद्धांत के अनुसार,आबंध कोटि की गणना $\text{Bond Order} = \frac{N_b - N_a}{2}$ द्वारा की जाती है।
$15$ इलेक्ट्रॉनों वाले द्विपरमाणुक अणु ($NO$ की तरह) के लिए,आण्विक कक्षक विन्यास: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1$ है।
आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_b)$ = $10$.
प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_a)$ = $5$.
$\text{Bond Order} = \frac{10 - 5}{2} = 2.5$.
अतः,$AX$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $15$ है।

(C) .

रासायनिक स्पीशीज	आबंध कोटि (Bond Order)
$He_{2}^{+}$	$0.5$
$He_{2}^{-}$	$0.5$
$Be_{2}$	$0$
$O_{2}^{2-}$	$1$

$M.O.T.$ के अनुसार,यदि किसी रासायनिक स्पीशीज की आबंध कोटि शून्य है,तो वह स्पीशीज अस्तित्व में नहीं होती है।

(A) बंध क्रम $(B.O.)$ की गणना सूत्र $B.O. = \frac{1}{2} (N_b - N_a)$ द्वारा की जाती है,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$(a) \ Ne_2$ $(20 \ e^-)$: $B.O. = \frac{10-10}{2} = 0$.
$(b) \ N_2$ $(14 \ e^-)$: $B.O. = \frac{10-4}{2} = 3$.
$(c) \ F_2$ $(18 \ e^-)$: $B.O. = \frac{10-8}{2} = 1$.
$(d) \ O_2$ $(16 \ e^-)$: $B.O. = \frac{10-6}{2} = 2$.
अतः,सही मिलान है: $(a)$ $\rightarrow (iii), (b)$ $\rightarrow (iv), (c)$ $\rightarrow (i), (d)$ $\rightarrow (ii)$.

(A) $O_{2}^{-}$ ($17$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $(\sigma_{1s})^{2}(\sigma_{1s}^{*})^{2}(\sigma_{2s})^{2}(\sigma_{2s}^{*})^{2}(\sigma_{2p_{z}})^{2}(\pi_{2p_{x}}^{2} = \pi_{2p_{y}}^{2})(\pi_{2p_{x}}^{*2} = \pi_{2p_{y}}^{*1})$.
$\text{आबंध कोटि} = \frac{N_b - N_a}{2} = \frac{10 - 7}{2} = 1.5$.
चूंकि $\pi^{*}$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है,इसलिए यह आयन अनुचुंबकीय है।

(B) $O_{2}^{2-}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $8 + 8 + 2 = 18$ है।
इसका आण्विक कक्षक विन्यास है: $\sigma_{1s}^{2} \sigma_{1s}^{*2} \sigma_{2s}^{2} \sigma_{2s}^{*2} \sigma_{2p_{z}}^{2} (\pi 2p_{x}^{2} = \pi 2p_{y}^{2}) (\pi_{2p_{x}}^{*2} = \pi_{2p_{y}}^{*2})$।
चूंकि सभी आण्विक कक्षक पूरी तरह से भरे हुए हैं,इसलिए इसमें $0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।

(C) $B_{2}^{+}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5 + 5 - 1 = 9$ है।
$B_{2}^{+}$ का आणविक कक्षक विन्यास $\sigma_{1s}^{2} \sigma_{1s}^{*2} \sigma_{2s}^{2} \sigma_{2s}^{*2} \pi_{2py}^{1}$ है।
इसमें $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $(n=1)$ है।
स्पिन-ओनली चुंबकीय आघूर्ण $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu = \sqrt{1(1+2)} = \sqrt{3} \ BM$.
दिया गया है $\sqrt{3} = 1.73$,इसलिए $\mu = 1.73 \ BM = 173 \times 10^{-2} \ BM$.

(A) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार,बंध क्रम की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{Bond Order} = \frac{N_b - N_a}{2}$,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉन हैं और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉन हैं।
$O_{2}^{+} (15 \ e^-)$ के लिए: $\text{Bond Order} = \frac{10 - 5}{2} = 2.5$
$O_{2} (16 \ e^-)$ के लिए: $\text{Bond Order} = \frac{10 - 6}{2} = 2.0$
$O_{2}^{-} (17 \ e^-)$ के लिए: $\text{Bond Order} = \frac{10 - 7}{2} = 1.5$
$O_{2}^{2-} (18 \ e^-)$ के लिए: $\text{Bond Order} = \frac{10 - 8}{2} = 1.0$
अतः,सही अनुक्रम $O_{2}^{+} > O_{2} > O_{2}^{-} > O_{2}^{2-}$ है।

(A) $CO$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6 + 8 = 14$ है। आणविक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) के अनुसार,$14$-इलेक्ट्रॉन वाली प्रजाति का बंध क्रम $\frac{10-4}{2} = 3$ होता है।
$NO^{\oplus}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $7 + 8 - 1 = 14$ है। इसी प्रकार,$NO^{\oplus}$ का बंध क्रम $\frac{10-4}{2} = 3$ है।
बंध क्रमों के बीच का अंतर $|3 - 3| = 0$ है।
यह दिया गया है कि अंतर $\frac{x}{2}$ है,इसलिए $\frac{x}{2} = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = 0$।

(B) $O_{2}^{2-}$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $8 + 8 + 2 = 18$ है।
$O_{2}^{2-}$ का आण्विक कक्षक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2, \pi^* 2p_y^2$ है।
आबंधी आण्विक कक्षक $\sigma 1s, \sigma 2s, \sigma 2p_z, \pi 2p_x, \text{ और } \pi 2p_y$ हैं।
इन आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः $2, 2, 2, 2, \text{ और } 2$ है।
कुल आबंधी इलेक्ट्रॉन = $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$।

(N/A) धातुएं इलेक्ट्रॉनों की गति के माध्यम से विद्युत का चालन करती हैं। धातुओं में,परमाणु कक्षक अतिव्यापन करके आणविक कक्षक बनाते हैं जो ऊर्जा में इतने करीब होते हैं कि वे एक बैंड बनाते हैं।
यदि यह बैंड आंशिक रूप से भरा हुआ है या यह उच्च ऊर्जा वाले खाली चालन बैंड (conduction band) के साथ अतिव्यापन करता है,तो लागू विद्युत क्षेत्र के तहत इलेक्ट्रॉन आसानी से प्रवाहित हो सकते हैं,जिससे विद्युत चालकता प्राप्त होती है।
धातुएं ठोस और पिघली हुई दोनों अवस्थाओं में विद्युत का चालन करती हैं।

(C) $O_{2}^{+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^{2}, \sigma^{*} 1s^{2}, \sigma 2s^{2}, \sigma^{*} 2s^{2}, \sigma 2p_{z}^{2}, \pi 2p_{x}^{2} = \pi 2p_{y}^{2}, \pi^{*} 2p_{x}^{1}$ है।
चूंकि $O_{2}^{+}$ आयन में $15$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसमें $\pi^{*}$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है।
अतः,यह अनुचुंबकीय (paramagnetic) प्रकृति का होता है,जिससे विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है।

(B) बंध क्रम निर्धारित करने के लिए,हम आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ का उपयोग करते हैं:
$1$. $C_{2}^{2-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम = $(10-4)/2 = 3$.
$2$. $N_{2}^{2-}$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम = $(10-6)/2 = 2$.
$3$. $O_{2}^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम = $(10-8)/2 = 1$.
अतः,बंध क्रम का सही क्रम $O_{2}^{2-} < N_{2}^{2-} < C_{2}^{2-}$ है।

(A) $M.O.$ सिद्धांत के अनुसार,बंधन की मजबूती बंधन क्रम $(B.O.)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
यदि एक इलेक्ट्रॉन को एंटी-बॉन्डिंग आणविक कक्षक $(M.O.)$ से हटा दिया जाता है,तो बंधन क्रम बढ़ जाता है,जिससे बंधन अधिक मजबूत हो जाता है।
आइए अणुओं का विश्लेषण करें:
$1$. $NO$ ($15$ $e^-$): विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1$ है। $\pi^* 2p_x$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर $B.O.$ $2.5$ से बढ़कर $3.0$ हो जाता है।
$2$. $N_2$ ($14$ $e^-$): बॉन्डिंग कक्षक $(\sigma 2p_z)$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर $B.O.$ $3.0$ से घटकर $2.5$ हो जाता है।
$3$. $O_2$ ($16$ $e^-$): विन्यास में $\pi^* 2p_x$ और $\pi^* 2p_y$ में इलेक्ट्रॉन होते हैं। $\pi^*$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर $B.O.$ $2.0$ से बढ़कर $2.5$ हो जाता है।
$4$. $C_2$ ($12$ $e^-$): बॉन्डिंग कक्षक $(\pi 2p)$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर $B.O.$ $2.0$ से घटकर $1.5$ हो जाता है।
$5$. $B_2$ ($10$ $e^-$): बॉन्डिंग कक्षक $(\pi 2p)$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर $B.O.$ $1.0$ से घटकर $0.5$ हो जाता है।
इस प्रकार,$NO$ और $O_2$ के लिए बंधन अधिक मजबूत हो जाता है।

(A) आण्विक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार,आबंध कोटि (Bond Order) की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{Bond Order} = \frac{1}{2} (N_b - N_a)$,जहाँ $N_b$ आबंधी आण्विक कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी आण्विक कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।

स्पीशीज	आबंध कोटि
$O_{2}^{2-}$	$1.0$
$O_{2}^{-}$	$1.5$
$O_{2}$	$2.0$
$O_{2}^{+}$	$2.5$

आबंध कोटि का बढ़ता क्रम: $O_{2}^{2-} < O_{2}^{-} < O_{2} < O_{2}^{+}$ है।

(C) प्रतिचुंबकीय प्रजातियों को निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक प्रजाति में इलेक्ट्रॉनों की संख्या की जाँच करते हैं:
$N_{2}$ ($14$ $e^-$): सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,इसलिए यह प्रतिचुंबकीय है।
$O_{2}^{2-}$ ($18$ $e^-$): सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,इसलिए यह प्रतिचुंबकीय है।
अन्य सभी प्रजातियों में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए वे अनुचुंबकीय (paramagnetic) हैं।
अतः,प्रतिचुंबकीय प्रजातियों की कुल संख्या $2$ है।

(C) . $\Psi_{MO} = \Psi_{A} - \Psi_{B}$ प्रति-आबंधी आण्विक कक्षक $(III)$ को दर्शाता है।
$B$. $\mu = Q \times r$ द्विध्रुव आघूर्ण का सूत्र है $(I)$।
$C$. $\frac{N_{b} - N_{a}}{2}$ आबंध कोटि का सूत्र है $(IV)$।
$D$. $\Psi_{MO} = \Psi_{A} + \Psi_{B}$ आबंधी आण्विक कक्षक $(II)$ को दर्शाता है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(B) प्रत्येक स्पीशीज के लिए आबंध कोटि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$CN^{-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): आबंध कोटि $= \frac{10-4}{2} = 3$
$NO^{+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): आबंध कोटि $= \frac{10-4}{2} = 3$
$O_{2}$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): आबंध कोटि $= \frac{10-6}{2} = 2$
$O_{2}^{+}$ ($15$ इलेक्ट्रॉन): आबंध कोटि $= \frac{10-5}{2} = 2.5$
$O_{2}^{2+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): आबंध कोटि $= \frac{10-4}{2} = 3$
अतः,$CN^{-}, NO^{+},$ और $O_{2}^{2+}$ की आबंध कोटि $3$ समान है।
ऐसी स्पीशीज की कुल संख्या $3$ है।

(D) अनुचुंबकीय प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करने हेतु आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ का उपयोग करते हैं:
$1. B_{2} (10 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\pi 2p_x)^1 (\pi 2p_y)^1$ ($2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$2. Li_{2} (6 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2$ ($0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,प्रतिचुंबकीय)
$3. C_{2} (12 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\pi 2p_x)^2 (\pi 2p_y)^2$ ($0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,प्रतिचुंबकीय)
$4. C_{2}^{-} (13 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\pi 2p_x)^2 (\pi 2p_y)^2 (\sigma 2p_z)^1$ ($1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$5. O_{2}^{2-} (18 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2p_z)^2 (\pi 2p_x)^2 (\pi 2p_y)^2 (\pi^* 2p_x)^2 (\pi^* 2p_y)^2$ ($0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,प्रतिचुंबकीय)
$6. O_{2}^{+} (15 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^2 (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2p_z)^2 (\pi 2p_x)^2 (\pi 2p_y)^2 (\pi^* 2p_x)^1$ ($1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$7. He_{2}^{+} (3 \ e^-): (\sigma 1s)^2 (\sigma^* 1s)^1$ ($1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
अतः,अनुचुंबकीय प्रजातियाँ $B_{2}, C_{2}^{-}, O_{2}^{+},$ और $He_{2}^{+}$ हैं। कुल संख्या $4$ है।

(D) $C_{2}$ अणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^{2}, \sigma^{*} 1s^{2}, \sigma 2s^{2}, \sigma^{*} 2s^{2}, \pi 2p_{y}^{2} = \pi 2p_{x}^{2}$ है।
आणविक कक्षक सिद्धांत के अनुसार,$\pi 2p$ कक्षकों के बाद अगला उपलब्ध आणविक कक्षक $\sigma 2p_{z}$ है।
इसलिए,यदि $C_{2}$ अणु में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है,तो यह $\sigma 2p_{z}$ आणविक कक्षक में जाएगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रतिचुंबकीय होने के लिए,कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन उपस्थित नहीं होना चाहिए।
प्रत्येक प्रजाति का आणविक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिखें।
दिए गए सभी विकल्पों के लिए,$\sigma_{1s}^{2} \sigma_{1s}^{*2} \sigma_{2s}^{2} \sigma_{2s}^{*2} \sigma_{2p_z}^{2} \pi_{2p_x}^{2} = \pi_{2p_y}^{2}$ सामान्य है।
इसके बाद:
$O_{2}^{+}: \pi_{2p_x}^{*1}$ (एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$O_{2}^{-}: \pi_{2p_x}^{*2} = \pi_{2p_y}^{*1}$ (एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$O_{2}: \pi_{2p_x}^{*1} = \pi_{2p_y}^{*1}$ (दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन,अनुचुंबकीय)
$O_{2}^{2-}: \pi_{2p_x}^{*2} = \pi_{2p_y}^{*2}$ (कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं,प्रतिचुंबकीय)।
अतः,$O_{2}^{2-}$ प्रतिचुंबकीय प्रजाति है।

(C)
किसी स्पीशीज का आबंध क्रम $(BO)$ $BO = \frac{N_b - N_a}{2}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है,जहाँ $N_b$ आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$(a)$ $O_2$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1, \pi^* 2p_y^1$ है। $BO = \frac{10 - 6}{2} = 2.0$.
$(b)$ $F_2$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2, \pi^* 2p_y^2$ है। $BO = \frac{10 - 8}{2} = 1.0$.
$(c)$ $O_2^{+}$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1$ है। $BO = \frac{10 - 5}{2} = 2.5$.
$(d)$ $F_2^{-}$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2, \pi^* 2p_y^2, \sigma^* 2p_z^1$ है। $BO = \frac{10 - 9}{2} = 0.5$.
अतः,$O_2^{+}$ का आबंध क्रम सबसे अधिक है।

(D)
$O_2^{2-}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $18$ है।
$O_2^{2-}$ का आण्विक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है:
$\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$.
आबंध कोटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $BO = \frac{N_b - N_a}{2}$,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
यहाँ,$N_b = 10$ और $N_a = 8$ है।
अतः,$BO = \frac{10 - 8}{2} = 1$.

(C) आइसोइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियाँ वे होती हैं जिनमें इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है।
$CO$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $6 + 8 = 14$ है।
$(A)$ $O_2^{+}$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $8 + 8 - 1 = 15$ है।
$(B)$ $O_2^{-}$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $8 + 8 + 1 = 17$ है।
$(C)$ $CN^{-}$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $6 + 7 + 1 = 14$ है।
$(D)$ $N_2^{+}$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $7 + 7 - 1 = 13$ है।
अतः,$CN^{-}$ और $CO$ आइसोइलेक्ट्रॉनिक हैं।

(C) आबंध क्रम की गणना $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(N_b - N_a)$ द्वारा की जाती है,जहाँ $N_b$ आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$(A)$ $CO$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(10 - 4) = 3$.
$O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन): $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(10 - 8) = 1$.
$(B)$ $O_2^{-}$ ($17$ इलेक्ट्रॉन): $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(10 - 7) = 1.5$.
$CO$ का $\text{B.O.} = 3$ है।
$(C)$ $O_2^{2-}$ का $\text{B.O.} = 1$ है।
$B_2$ ($10$ इलेक्ट्रॉन): $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(6 - 4) = 1$.
$(D)$ $CO$ का $\text{B.O.} = 3$ है।
$N_2^{+}$ ($13$ इलेक्ट्रॉन): $\text{B.O.} = \frac{1}{2}(9 - 4) = 2.5$.
अतः,$O_2^{2-}$ और $B_2$ दोनों का आबंध क्रम $1$ है,इसलिए विकल्प $(C)$ सही है।

(D)
प्रतिचुंबकीय स्पीशीज वे होती हैं जिनमें उनके आणविक कक्षकों में सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित (paired) होते हैं।
$(i)$ $NO$: कुल इलेक्ट्रॉन $= 7+8=15$। इसमें $\pi^* 2p_x$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है,इसलिए यह अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।
$(ii)$ $NO_2$: कुल इलेक्ट्रॉन $= 7+8+8=23$। इसमें विषम संख्या में इलेक्ट्रॉन होने के कारण यह अनुचुंबकीय है।
$(iii)$ $O_2$: कुल इलेक्ट्रॉन $= 16$। आणविक कक्षक सिद्धांत के अनुसार,इसमें $\pi^* 2p_x$ और $\pi^* 2p_y$ कक्षकों में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए यह अनुचुंबकीय है।
$(iv)$ $CO_2$: कुल इलेक्ट्रॉन $= 22$। इसकी संरचना $O=C=O$ है। इसमें सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित होते हैं,इसलिए यह प्रतिचुंबकीय है।

(A) $N_2$ $(14 \ e^-)$: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$. $HOMO$ $\sigma 2p_z$ है,जिसमें $0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
$N_2^{+}$ $(13 \ e^-)$: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^1$. $HOMO$ $\sigma 2p_z$ है,जिसमें $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
$O_2$ $(16 \ e^-)$: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$. $HOMO$ $\pi^* 2p$ है,जिसमें $2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
$O_2^{+}$ $(15 \ e^-)$: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1$. $HOMO$ $\pi^* 2p$ है,जिसमें $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
अतः,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः $0, 1, 2, 1$ है।

(A) बंध क्रम की गणना $\text{Bond Order} = \frac{1}{2} (N_b - N_a)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
$1$. $O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम = $\frac{1}{2} (10 - 8) = 1$.
$2$. $CO$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम = $\frac{1}{2} (10 - 4) = 3$.
$3$. $NO^{+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $CO$ के साथ समइलेक्ट्रॉनिक (isoelectronic) होने के कारण,इसका बंध क्रम भी $3$ है।

(A) एसिटिलाइड आयन $C_2^{2-}$ है।
$C_2^{2-}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= (6 \times 2) + 2 = 14 \ e^-$.
आणविक कक्षक सिद्धांत के अनुसार,$C_2^{2-}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$ है।
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (N_b - N_a) = \frac{1}{2} (10 - 4) = 3$.
चूंकि सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,यह प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) है।
अब,$NO^{+}$ की जाँच करें: कुल इलेक्ट्रॉन $= 7 + 8 - 1 = 14 \ e^-$.
$NO^{+}$ का भी बंध क्रम $3$ है और यह प्रतिचुंबकीय है।
अतः,गुण $NO^{+}$ से मेल खाते हैं।

(B) $NO$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) अनुचुंबकीय है और इसकी आबंध कोटि $2.5$ है।
$NO^{+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) प्रतिचुंबकीय है और इसकी आबंध कोटि $3$ है।
अतः,$NO \rightarrow NO^{+}$ प्रक्रिया में आबंध कोटि बढ़ती है और गुण अनुचुंबकीय से प्रतिचुंबकीय में बदल जाता है।

(B) आण्विक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) के अनुसार,$B_2, C_2,$ और $N_2$ जैसे समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के लिए,$2s-2p$ मिश्रण के कारण $\sigma 2p_z$ कक्षक की ऊर्जा $\pi 2p_x$ और $\pi 2p_y$ कक्षकों से अधिक होती है।
अतः,$N_2$ के लिए ऊर्जा का सही बढ़ता हुआ क्रम $\sigma 1s < \sigma^* 1s < \sigma 2s < \sigma^* 2s < (\pi 2p_x = \pi 2p_y) < \sigma 2p_z < (\pi^* 2p_x = \pi^* 2p_y) < \sigma^* 2p_z$ है।

(A) $CO$ का बंध क्रम $3$ है क्योंकि इसमें त्रि-बंध $(C \equiv O)$ होता है।
$NO^{+}$ का बंध क्रम $3$ है क्योंकि यह $CO$ के साथ समइलेक्ट्रॉनिक है और इसमें त्रि-बंध $(N \equiv O^{+})$ होता है।
बंध क्रम का योग $3 + 3 = 6$ है।

(D) आणविक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) का उपयोग करके प्रत्येक प्रजाति का विश्लेषण करने पर:

$Species$	$Magnetic \ behaviour$	$Bond \ order$
$H_2$	प्रतिचुंबकीय	$1$
$He_2^{+}$	अनुचुंबकीय	$0.5$
$O_2^{+}$	अनुचुंबकीय	$2.5$
$N_2^{2-}$	अनुचुंबकीय	$2$
$O_2^{2-}$	प्रतिचुंबकीय	$1$
$F_2$	प्रतिचुंबकीय	$1$
$Ne_2^{+}$	अनुचुंबकीय	$0.5$
$B_2$	अनुचुंबकीय	$1$

तालिका से,केवल $B_2$ अनुचुंबकीय है और इसका बंध क्रम $1$ है।
अतः,ऐसी कुल प्रजातियों की संख्या $1$ है।

(A) एक द्विपरमाणुक अणु में,$2s$ परमाणु कक्षक मिलकर एक आबंधी आण्विक कक्षक $(\sigma 2s)$ और एक प्रति-आबंधी आण्विक कक्षक $(\sigma^* 2s)$ बनाते हैं।
$2p$ परमाणु कक्षक मिलकर तीन आबंधी आण्विक कक्षक $(\sigma 2p_z, \pi 2p_x, \pi 2p_y)$ और तीन प्रति-आबंधी आण्विक कक्षक $(\sigma^* 2p_z, \pi^* 2p_x, \pi^* 2p_y)$ बनाते हैं।
प्रति-आबंधी आण्विक कक्षकों की कुल संख्या $= 1 (2s { \text{से}}) 3 (2p { \text{से}}) = 4$.

(A) आणविक कक्षक सिद्धांत के अनुसार, बनने वाले आणविक कक्षकों की संख्या संयोजित होने वाले परमाणु कक्षकों की संख्या के बराबर होती है।
$1.$ $2s$ परमाणु कक्षकों से: $2$ परमाणु कक्षक (प्रत्येक परमाणु से $2s$) मिलकर $2$ आणविक कक्षक ($\sigma 2s$ और $\sigma^* 2s$) बनाते हैं।
$2.$ $2p$ परमाणु कक्षकों से: $6$ परमाणु कक्षक (प्रत्येक परमाणु से $2p_x, 2p_y, 2p_z$) मिलकर $6$ आणविक कक्षक $(\sigma 2p_z, \sigma^* 2p_z, \pi 2p_x, \pi 2p_y, \pi^* 2p_x, \pi^* 2p_y)$ बनाते हैं।
कुल आणविक कक्षक = $2 + 6 = 8$.

(B) परमाण्वीय कक्षकों के रैखिक संयोजन $(LCAO)$ के लिए शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$. संयोजित होने वाले परमाण्वीय कक्षकों की ऊर्जा समान होनी चाहिए।
$2$. संयोजित होने वाले परमाण्वीय कक्षकों की आण्विक अक्ष के परितः सममिति समान होनी चाहिए।
$3$. संयोजित होने वाले परमाण्वीय कक्षकों का अतिव्यापन अधिकतम होना चाहिए।
इन शर्तों के आधार पर,कथन $A$ और $C$ सही हैं। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कथन $I$ गलत है क्योंकि एक $\pi$ आबंधी आण्विक कक्षक $(MO)$ में अंतर-नाभिकीय अक्ष के ऊपर और नीचे इलेक्ट्रॉन घनत्व अधिक होता है।
कथन $II$ सही है क्योंकि $\pi^*$ प्रति-आबंधी आण्विक कक्षक में दो नाभिकों के बीच अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत एक नोडल तल होता है,जहाँ इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है।
अतः,कथन $I$ गलत है लेकिन कथन $II$ सही है।

(B) $M.O.T.$ (आण्विक कक्षक सिद्धांत) के अनुसार:
$O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 2$.
$O_2^{-}$ ($17$ इलेक्ट्रॉन): अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 1$.
$NO$ ($15$ इलेक्ट्रॉन): अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 1$.
$CN^{-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 0$.
$O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन): अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 0$.
अतः,एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन वाली प्रजातियाँ $O_2^{-}$ और $NO$ हैं। कुल संख्या $2$ है।

(B) प्रतिआबंधी आण्विक कक्षक $(\sigma^*)$ परमाणु कक्षकों के विनाशी व्यतिकरण द्वारा बनते हैं।
प्रतिआबंधी आण्विक कक्षक के लिए तरंग फलन को भाग लेने वाले परमाणु कक्षकों के तरंग फलनों के घटाव द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\sigma^* = \psi_A - \psi_B$.

(B) आबंध कोटि की गणना का सूत्र: $\text{B.O.} = \frac{N_b - N_a}{2}$ है।
$C_2$ $(12 \ e^-)$: $\text{B.O.} = \frac{8-4}{2} = 2$.
$O_2$ $(16 \ e^-)$: $\text{B.O.} = \frac{10-6}{2} = 2$.
$Be_2, Li_2, Ne_2, N_2, He_2$ की आबंध कोटि क्रमशः $0, 1, 0, 3, 0$ है।
अतः,केवल $C_2$ और $O_2$ की आबंध कोटि $2$ है। कुल संख्या $2$ है।

(C) अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ का उपयोग करते हैं:
$N_2$: $(14 \ e^-) \rightarrow \sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$ ($0$ अयुग्मित $e^-$)
$O_2$: $(16 \ e^-) \rightarrow \dots, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$ ($2$ अयुग्मित $e^-$)
$C_2^{-}$: $(13 \ e^-) \rightarrow \dots, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^1$ ($1$ अयुग्मित $e^-$)
$O_2^{-}$: $(17 \ e^-) \rightarrow \dots, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$ ($1$ अयुग्मित $e^-$)
$O_2^{2-}$: $(18 \ e^-) \rightarrow \dots, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$ ($0$ अयुग्मित $e^-$)
$H_2^{+}$: $(1 \ e^-) \rightarrow \sigma 1s^1$ ($1$ अयुग्मित $e^-$)
$CN^{-}$: $(14 \ e^-) \rightarrow \dots, \sigma 2p_z^2$ ($0$ अयुग्मित $e^-$)
$He_2^{+}$: $(3 \ e^-) \rightarrow \sigma 1s^2, \sigma^* 1s^1$ ($1$ अयुग्मित $e^-$)
एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन वाली प्रजातियाँ $C_2^{-}, O_2^{-}, H_2^{+}, He_2^{+}$ हैं।
कुल संख्या = $4$.