Molecular orbital theory Questions in Hindi

(D) $(A) \, C_2 \text{ के लिए } M.O. \text{ विन्यास } \sigma_{1s}^2 < \sigma_{1s}^* {}^2 < \sigma_{2s}^2 < \sigma_{2s}^* {}^2 < \pi_{2p_y}^2 = \pi_{2p_z}^2 < \sigma_{2p_x} \text{ है। यहाँ, } \pi_{2p_y}^2 = \pi_{2p_z}^2 \text{ } HOMO \text{ है और } \sigma_{2p_x} \text{ } LUMO \text{ है। अतः, कथन } (A) \text{ सही है।}$
$(B) \, C_2 \text{ में, चार संयोजी इलेक्ट्रॉन दो } \pi \text{ आण्विक कक्षकों } (\pi_{2p_y} \text{ और } \pi_{2p_z}) \text{ में स्थित होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप दो } \pi \text{ बंध बनते हैं। अतः, कथन } (B) \text{ सही है।}$
$(C) \, C_2^{2-} \text{ आयन में } 14 \text{ इलेक्ट्रॉन होते हैं। इसका विन्यास } \sigma_{1s}^2 < \sigma_{1s}^* {}^2 < \sigma_{2s}^2 < \sigma_{2s}^* {}^2 < \pi_{2p_y}^2 = \pi_{2p_z}^2 < \sigma_{2p_x}^2 \text{ है। बंध क्रम } \frac{1}{2}(10-4) = 3 \text{ है, जिसमें एक } \sigma \text{ और दो } \pi \text{ बंध होते हैं। अतः, कथन } (C) \text{ सही है।}$
$(D) \, \text{चूंकि सभी कथन सही हैं, इसलिए सही विकल्प } (D) \text{ है।}$

(C) अणु की स्थिरता उसके बंध क्रम $(B.O.)$ के सीधे समानुपाती होती है।
$N_2$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 3$। $N_2^+$ ($13$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 2.5$। $N_2^-$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 2.5$। चूंकि $N_2^+$ और $N_2^-$ का $B.O.$ समान है,स्थिरता एंटी-बॉन्डिंग इलेक्ट्रॉनों की संख्या से निर्धारित होती है। $N_2^+$,$N_2^-$ से अधिक स्थिर है। अतः,$N_2 > N_2^+ > N_2^-$ सही है।
$O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 2$। $O_2^+$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 2.5$। $O_2^{+2}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 3$। अतः,$O_2^{+2} > O_2^+ > O_2$ सही है।
$O_2^{-2}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $B.O. = 1$। अतः,$O_2^{+2} > O_2 > O_2^{-2}$ सही है।
विकल्प $C$ में $N_2^+ > N_2 > N_2^-$ दिया गया है,जो गलत है क्योंकि $N_2$ का $B.O.$ सबसे अधिक $(3)$ है और यह सबसे अधिक स्थिर है।

(A) $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $KK (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2pz)^2 (\pi 2px)^2 (\pi 2py)^2 (\pi^* 2px)^1 (\pi^* 2py)^1$। इसमें $2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
$O_2^+$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $KK (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2pz)^2 (\pi 2px)^2 (\pi 2py)^2 (\pi^* 2px)^1$। इसमें $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
$O_2^-$ ($17$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $KK (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2pz)^2 (\pi 2px)^2 (\pi 2py)^2 (\pi^* 2px)^2 (\pi^* 2py)^1$। इसमें $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
$O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $KK (\sigma 2s)^2 (\sigma^* 2s)^2 (\sigma 2pz)^2 (\pi 2px)^2 (\pi 2py)^2 (\pi^* 2px)^2 (\pi^* 2py)^2$। इसमें $0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
अतः,$O_2$ में अधिकतम अयुग्मित इलेक्ट्रॉन उपस्थित हैं।

(C) नोडल तल वह तल है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
$1$. $\sigma _{2s}$ आण्विक कक्षक में अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत शून्य नोडल तल होते हैं।
$2$. $\pi _{2p_y}$ आबंधी आण्विक कक्षक में एक नोडल तल (आण्विक तल स्वयं) होता है।
$3$. $\pi ^* _{2p_y}$ विपरीत-आबंधी आण्विक कक्षक में दो नोडल तल होते हैं: एक आण्विक तल और दूसरा अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत तल जो नाभिकों के बीच से गुजरता है।
$4$. $\sigma ^* _{2p_z}$ विपरीत-आबंधी आण्विक कक्षक में अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत एक नोडल तल होता है।
अतः,$\pi ^* _{2p_y}$ विपरीत-आबंधी आण्विक कक्षक में दो नोडल तल होते हैं।

(B) बंध लंबाई बंध कोटि के व्युत्क्रमानुपाती होती है। उच्च बंध कोटि के परिणामस्वरूप छोटी बंध लंबाई होती है।
$N_2H_4$ $(H_2N-NH_2)$ में,$N-N$ बंध एक एकल बंध है (बंध कोटि = $1$)।
$N_2O_4$ $(O_2N-NO_2)$ में,$N-N$ बंध एक एकल बंध है (बंध कोटि = $1$)।
$N_2O$ $(N \equiv N^+-O^-)$ में,$N-N$ बंध एक त्रि-बंध है (बंध कोटि = $3$)।
$N_2$ $(N \equiv N)$ में,$N-N$ बंध एक त्रि-बंध है (बंध कोटि = $3$)।
$N_2$ और $N_2O$ की तुलना करने पर,$N_2$ में $N-N$ बंध एक शुद्ध त्रि-बंध है,जबकि $N_2O$ में अनुनाद संरचनाओं के कारण बंध कोटि $3$ से थोड़ी कम होती है। इसलिए,$N_2$ में $N-N$ बंध लंबाई सबसे छोटी है।

(C) अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक स्पीशीज की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $KO_2$: इसमें सुपरऑक्साइड आयन,$O_2^-$ होता है। $O_2^-$ का आणविक कक्षक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$ है। इसमें एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
$2$. $AlO_2^-$: एल्युमिनेट आयन में एक बंद-कोश संरचना होती है जिसमें कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं होता है।
$3$. $BaO_2$: इसमें पेरोक्साइड आयन,$O_2^{2-}$ होता है। इसका विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$ है। सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं।
$4$. $NO_2^+$: नाइट्रोनियम आयन में $16$ संयोजी इलेक्ट्रॉन $(5 + 6 \times 2 - 1 = 16)$ होते हैं। यह $CO_2$ के साथ आइसोइलेक्ट्रॉनिक है और इसमें कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं है।
अतः,केवल $KO_2$ में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है।

(A) नोडल तल को अंतरिक्ष में उस क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
अतः,आण्विक कक्षकों के निर्माण के दौरान,नोडल तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है।

(D) आइए बंध क्रम $(BO)$ और अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ में परिवर्तनों का विश्लेषण करें:
$O_2^{-}$ $(17e^-)$ के लिए $BO = 1.5$ और $n = 1$ है।
$O_2$ $(16e^-)$ के लिए $BO = 2$ और $n = 2$ है।
अतः,$O_2^{-} \to O_2$ परिवर्तन में बंध क्रम $1.5$ से बढ़कर $2$ हो जाता है और अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $1$ से बढ़कर $2$ हो जाती है।

(D) बंध क्रम $= 1/2 \times (N_B - N_{AB})$.
$N_2$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम $= 3$.
$N_2^+$ ($13$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम $= 2.5$. बंध क्रम घटने से $N-N$ बंध कमजोर हो जाता है।
$O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम $= 2$.
$O_2^+$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: बंध क्रम $= 2.5$. बंध क्रम बढ़ने से बंध लंबाई कम हो जाती है और अनुचुंबकत्व कम हो जाता है।
$N_2^+$ में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है,इसलिए यह अनुचुंबकीय है,प्रतिचुंबकीय नहीं। अतः,कथन $D$ गलत है।

(D) नोडल तल वह तल है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
आणविक कक्षकों के लिए,नोडल तलों की संख्या उनकी सममिति और नोड्स की संख्या से संबंधित होती है।
- $ \sigma_{1s} $ और $ \sigma^*_{2s} $ कक्षकों में क्रमशः $0$ और $1$ नोडल तल होते हैं।
- $ \sigma_{2p_z} $ कक्षक में अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत कोई नोडल तल नहीं होता है।
- $ \pi^*_{2p_x} $ एंटी-बॉन्डिंग आणविक कक्षक $ p_x $ कक्षकों के विपरीत चरण (out-of-phase) अतिव्यापन से बनता है। इसमें एक नोडल तल अंतर-नाभिकीय अक्ष से होकर गुजरता है और दूसरा नोडल तल अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत होता है।
अतः,$ \pi^*_{2p_x} $ कक्षक में दो नोडल तल होते हैं।

(C) आइए प्रत्येक युग्म के लिए अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या और बंध क्रम की गणना करें:
$1$. $CO$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $0$. $CN^{-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $0$. (समान बंध क्रम,समान अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)।
$2$. $O_2^{+}$ ($15$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $2.5$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $1$. $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $2$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $2$. (भिन्न बंध क्रम,भिन्न अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)।
$3$. $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $2$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $2$. $B_2$ ($10$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $1$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $2$. (भिन्न बंध क्रम,समान अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)।
$4$. $NO^{+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $0$. $N_2$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): बंध क्रम = $3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = $0$. (समान बंध क्रम,समान अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)।
अतः,$O_2$ और $B_2$ के युग्म में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान $(2)$ है लेकिन बंध क्रम भिन्न ($2$ और $1$ क्रमशः) है।

(D) $O-O$ बंध दूरी निर्धारित करने के लिए,हम प्रजातियों के बंध क्रम (bond order) को देखते हैं:
$1$. $O_2$: बंध क्रम = $2.0$.
$2$. $O_2^-$ (सुपरऑक्साइड): बंध क्रम = $1.5$.
$3$. $O_2^{2-}$ (पेरोक्साइड): बंध क्रम = $1.0$.
चूंकि बंध दूरी बंध क्रम के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए उच्चतम बंध क्रम वाली प्रजाति की बंध दूरी न्यूनतम होगी।
$O_2$ का बंध क्रम सबसे अधिक $(2.0)$ है,इसलिए इसकी $O-O$ बंध दूरी सबसे कम है।

(D) $C_2$ ($12$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $KK \sigma(2s)^2 \sigma^*(2s)^2 \pi(2p_x)^2 \pi(2p_y)^2$ है। आबंध कोटि $(6-2)/2 = 2$ है,जिसमें दो $\pi$ आबंध होते हैं।
$C_2^{2-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $KK \sigma(2s)^2 \sigma^*(2s)^2 \pi(2p_x)^2 \pi(2p_y)^2 \sigma(2p_z)^2$ है। आबंध कोटि $(8-2)/2 = 3$ है,जिसमें दो $\pi$ आबंध और एक $\sigma$ आबंध होता है।
दोनों की तुलना करने पर,आबंध कोटि $2$ से बढ़कर $3$ हो जाती है और $\sigma$ आबंधों की संख्या $0$ से बढ़कर $1$ हो जाती है। हालाँकि,$\pi$ आबंधों की संख्या दोनों स्थितियों में $2$ ही रहती है। इसलिए,यह कथन कि $\pi$ आबंधों की संख्या बढ़ती है,गलत है।

(B) $B_2$ अणु दो बोरॉन परमाणुओं के संयोजन से बनता है।
बोरॉन की परमाणु संख्या $5$ है,और इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^1$ है।
आणविक कक्षक सिद्धांत के अनुसार,$B_2$ ($10$ इलेक्ट्रॉन) के लिए आणविक कक्षक विन्यास: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^1 = \pi 2p_y^1$ है।
आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_b)$ = $6$ है।
प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_a)$ = $4$ है।
बंध क्रम = $\frac{1}{2}(N_b - N_a) = \frac{1}{2}(6 - 4) = \frac{2}{2} = 1$।

(C) $ClO_4^-$ आयन में,केंद्रीय क्लोरीन परमाणु $sp^3$ संकरित होता है।
यह चार $Cl-O$ बंध बनाता है।
$\pi$ बंध ऑक्सीजन के भरे हुए $2p$ कक्षकों और क्लोरीन के रिक्त $3d$ कक्षकों के पार्श्व अतिव्यापन द्वारा बनते हैं।
अतः,$\pi$ बंध $p\pi-d\pi$ अतिव्यापन द्वारा बनता है,जो विशेष रूप से ऑक्सीजन के $2p$ कक्षक और क्लोरीन के $3d$ कक्षक के बीच होता है।

(A) आणविक कक्षक सिद्धांत $(M.O.T)$ के अनुसार,ऑक्सीजन प्रजातियों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$1$. $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$. एंटीबॉन्डिंग इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ है।
$2$. $O_2^-$ ($17$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$. एंटीबॉन्डिंग इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 + 2 + 1 = 7$ है।
$3$. $O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$. एंटीबॉन्डिंग इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 + 2 + 2 = 8$ है।
अतः,$O_2^-$,$O_2$ और $O_2^{2-}$ में एंटीबॉन्डिंग इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः $7, 6, 8$ है।

(D) बंध क्रम की गणना आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के सूत्र $\text{Bond Order} = \frac{N_b - N_a}{2}$ का उपयोग करके की जाती है।
$O_2^+ (15 \ e^-)$ के लिए: बंध क्रम = $\frac{10 - 5}{2} = 2.5$.
$O_2 (16 \ e^-)$ के लिए: बंध क्रम = $\frac{10 - 6}{2} = 2.0$.
$O_2^- (17 \ e^-)$ के लिए: बंध क्रम = $\frac{10 - 7}{2} = 1.5$.
अतः,सही अनुक्रम $O_2^+ > O_2 > O_2^-$ है।

(C) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार:
पेरोक्साइड आयन $(O_2^{2-})$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $\sigma_{1s}^2 \sigma_{1s}^{*2} \sigma_{2s}^2 \sigma_{2s}^{*2} \sigma_{2pz}^2 \pi_{2px}^2 \pi_{2py}^2 \pi_{2px}^{*2} \pi_{2py}^{*2}$ है।
जब $O_2^{2-}$ को $O_2^-$ में परिवर्तित किया जाता है,तो उच्चतम ऊर्जा वाले भरे हुए आणविक कक्षक,जो कि एंटी-बॉन्डिंग $\pi^*$ कक्षक है,से एक इलेक्ट्रॉन निकाला जाता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन $\pi_{2py}^*$ (या $\pi_{2px}^*$) से निकाला जाता है।

(A) $N(SiH_3)_3$ (ट्राइसिलाइलामाइन) में,$N$ परमाणु पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) $Si$ परमाणुओं के रिक्त $d$-कक्षकों में दान किया जाता है,जिसे $p\pi-d\pi$ बैक-बॉन्डिंग कहा जाता है।
यह बैक-बॉन्डिंग $N-Si$ बंध को आंशिक द्वि-बंध गुण प्रदान करती है,जिससे यह सामान्य $N-Si$ एकल बंध से छोटा हो जाता है।
इस बैक-बॉन्डिंग के कारण,$N$ परमाणु $sp^2$ संकरण अपनाता है,जिससे अणु समतलीय हो जाता है।
चूंकि एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म बैक-बॉन्डिंग में शामिल होता है,इसलिए यह दान के लिए उपलब्ध नहीं होता,जिससे $N(SiH_3)_3$,$NH_3$ की तुलना में बहुत दुर्बल क्षार बन जाता है।

(C) $N(SiH_3)_3$ में,नाइट्रोजन परमाणु के पास एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) होता है।
सिलिकॉन के पास रिक्त $3d$ कक्षक होते हैं।
नाइट्रोजन परमाणु पर स्थित एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म सिलिकॉन के रिक्त $3d$ कक्षक में दान कर दिया जाता है,जिससे $p\pi-d\pi$ बैक बॉन्ड बनता है।
यह बैक बॉन्डिंग नाइट्रोजन के संकरण को $sp^3$ से $sp^2$ में बदल देती है,जिससे अणु समतलीय (त्रिकोणीय समतलीय) हो जाता है।

(A) आबंध कोटि की गणना करने का सूत्र: $Bond \ order = \frac{1}{2} \times (N_b - N_a)$, जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
(1) $N_2^+$ ($13$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = \frac{1}{2} \times (9 - 4) = 2.5$.
$O_2^+$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = \frac{1}{2} \times (10 - 5) = 2.5$.
चूंकि दोनों की आबंध कोटि $2.5$ है, इसलिए यह युग्म सही है।
(2) $F_2$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 1$.
$Ne_2$ ($20$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 0$.
(3) $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 2$.
$B_2$ ($10$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 1$.
(4) $C_2$ ($12$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 2$.
$N_2$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: $Bond \ order = 3$.

(B) एंटीबॉन्डिंग मॉलिक्यूलर ऑर्बिटल में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति निर्धारित करने के लिए,हम $MO$ विन्यास लिखते हैं:
$C_2$ ($12$ इलेक्ट्रॉन): $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2$. (कोई अयुग्मित इलेक्ट्रॉन नहीं है)।
$O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन): $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$. (एंटीबॉन्डिंग $\pi^*$ ऑर्बिटल्स में $2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं)।
$He_2^+$ ($3$ इलेक्ट्रॉन): $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^1$. (एंटीबॉन्डिंग $\sigma^*$ ऑर्बिटल में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है)।
अतः,$O_2$ और $He_2^+$ के युग्म में एंटीबॉन्डिंग मॉलिक्यूलर ऑर्बिटल में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(A) $N_2$ और $CN^-$ समइलेक्ट्रॉनिक हैं,दोनों में $14$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$N_2$ एक उदासीन अणु है जिसमें बहुत मजबूत त्रि-बंध $(N \equiv N)$ और उच्च बंध वियोजन ऊर्जा $(941 \ kJ \ mol^{-1})$ होती है,जो इसे रासायनिक रूप से अक्रिय बनाती है।
$CN^-$ एक ऋण आवेशित आयन है,जो इसे उदासीन $N_2$ अणु की तुलना में न्यूक्लियोफाइल के रूप में अधिक सक्रिय बनाता है।
अतः,$CN^-$ की तुलना में $N_2$ की अक्रियता मुख्य रूप से इसकी उच्च बंध ऊर्जा और एक उदासीन प्रजाति के रूप में स्थिरता के कारण है।

(C) आइसोइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियाँ वे होती हैं जिनमें इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है।
$CO$ के लिए: $6 + 8 = 14$ इलेक्ट्रॉन।
$NO^{+}$ के लिए: $7 + 8 - 1 = 14$ इलेक्ट्रॉन।
$CN^{-}$ के लिए: $6 + 7 + 1 = 14$ इलेक्ट्रॉन।
$C_2^{2-}$ के लिए: $(6 \times 2) + 2 = 14$ इलेक्ट्रॉन।
चूंकि इन सभी प्रजातियों में $14$ इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए ये आइसोइलेक्ट्रॉनिक हैं।

(A) बंध लंबाई,बंध कोटि (bond order) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$O_2$ के लिए बंध कोटि $2.0$ है।
$O_3$ के लिए बंध कोटि $1.5$ है (अनुनाद के कारण)।
$O_2^{2-}$ (पेरोक्साइड आयन) के लिए बंध कोटि $1.0$ है।
चूंकि बंध लंबाई $\propto \frac{1}{\text{बंध कोटि}}$,इसलिए बंध लंबाई का सही क्रम $O_2 < O_3 < O_2^{2-}$ है।

(D) $N_2$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$ है। बंध क्रम = $(10-4)/2 = 3$ है।
$N_2^+$ में,एक इलेक्ट्रॉन आबंधी आणविक कक्षक $(\sigma 2p_z)$ से हट जाता है,इसलिए विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^1$ हो जाता है। बंध क्रम = $(9-4)/2 = 2.5$ है। बंध क्रम घटने के कारण $N-N$ बंध कमजोर हो जाता है और $N_2^+$ अनुचुंबकीय होता है।
$O_2$ के लिए,विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$ है। बंध क्रम = $(10-6)/2 = 2$ है।
$O_2^+$ में,एक इलेक्ट्रॉन प्रति-आबंधी आणविक कक्षक $(\pi^*)$ से हट जाता है,इसलिए विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1$ हो जाता है। बंध क्रम = $(10-5)/2 = 2.5$ है। बंध क्रम बढ़ता है और अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2$ से घटकर $1$ होने के कारण अनुचुंबकत्व घटता है।
अतः,यह कथन कि $N_2^+$ प्रतिचुंबकीय हो जाता है,गलत है।

(C) बंध क्रम $(B.O.)$ की गणना $B.O. = \frac{1}{2} (N_b - N_a)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$1. CN^{-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$ है। $B.O. = \frac{10 - 4}{2} = 3$.
$2. O_2^-$ ($17$ इलेक्ट्रॉन): विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$ है। $B.O. = \frac{10 - 7}{2} = 1.5$.
$3. NO^{+}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2$ है। $B.O. = \frac{10 - 4}{2} = 3$.
$4. CN^{+}$ ($12$ इलेक्ट्रॉन): विन्यास $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2$ है। $B.O. = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
अतः,$CN^{-}$ और $NO^{+}$ दोनों का बंध क्रम $3$ है।

(D) $B_2$ अणु में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $10$ है।
आणविक कक्षक विन्यास $\sigma(1s)^2 \sigma^*(1s)^2 \sigma(2s)^2 \sigma^*(2s)^2 \pi 2p_x^1 \pi 2p_y^1$ है।
$\pi 2p$ कक्षकों में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण,$B_2$ अणु अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।
उच्चतम अधिकृत आणविक कक्षक $(HOMO)$ $\pi$ प्रकार की है,न कि $\sigma$ प्रकार की।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों गलत हैं।

(A) $F_2$ अणु ($18$ इलेक्ट्रॉन) का $MO$ इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$।
आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_b)$ $= 10$।
प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_a)$ $= 8$।
बंध क्रम $= \frac{N_b - N_a}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$।
चूंकि $N_b - N_a = 2$,इसलिए प्रति-आबंधी कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या वास्तव में आबंधी कक्षकों से दो कम है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) $M.O.T.$ के अनुसार $C_2$ अणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$\sigma 1s^2 < \sigma^* 1s^2 < \sigma 2s^2 < \sigma^* 2s^2 < \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2$
$C_2$ अणु में बंध क्रम $2$ है और दोनों बंध $\pi$ बंध हैं,क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल $\pi 2p$ कक्षकों में उपस्थित हैं।

(D) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार,$O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$.
चूंकि $O_2$ में $\pi^*$ एंटीबॉन्डिंग कक्षकों में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए यह अनुचुंबकीय व्यवहार प्रदर्शित करता है।
इसके विपरीत,$N_2$ ($14$ इलेक्ट्रॉन),$H_2$ ($2$ इलेक्ट्रॉन),और $Li_2$ ($6$ इलेक्ट्रॉन) में सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित होते हैं,जिससे वे प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) होते हैं।

(B) द्विपरमाणुक स्पीशीज का बंध क्रम $\text{Bond Order} = \frac{N_b - N_a}{2}$ सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$14$ तक कुल इलेक्ट्रॉनों वाली स्पीशीज के लिए विन्यास: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \sigma 2p_z^2$ है।
$1. CN^{+}$ ($12$ इलेक्ट्रॉन): $\text{Bond Order} = \frac{8-4}{2} = 2.0$
$2. CN$ ($13$ इलेक्ट्रॉन): $\text{Bond Order} = \frac{9-4}{2} = 2.5$
$3. CN^{-}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन): $\text{Bond Order} = \frac{10-4}{2} = 3.0$
$4. NO$ ($15$ इलेक्ट्रॉन): $\text{Bond Order} = \frac{10-5}{2} = 2.5$
मानों की तुलना करने पर,$CN^{-}$ का बंध क्रम सबसे अधिक $3.0$ है।

(A) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार:
$CN^{-}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6 + 7 + 1 = 14$ है।
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma_{1s}^{2}, \sigma_{1s}^{*2}, \sigma_{2s}^{2}, \sigma_{2s}^{*2}, \pi_{2p_{x}}^{2} = \pi_{2p_{y}}^{2}, \sigma_{2p_{z}}^{2}$।
आबंध कोटि $= \frac{1}{2}(N_b - N_a) = \frac{1}{2}(10 - 4) = 3$।
चूंकि सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,इसलिए $CN^{-}$ प्रतिचुंबकीय है।

(D) $[Ni(CO)_4]$ संकुल में,$d \pi - p \pi$ बैक-बॉन्डिंग के कारण $Ni-C$ आबंध लंबाई में कमी और $C-O$ आबंध लंबाई में वृद्धि होती है।
इस घटना,इसके चुंबकीय गुणों और धातु-लिगेंड आबंध की प्रकृति को $Molecular \ Orbital \ Theory$ $(MOT)$ द्वारा सबसे अच्छी तरह समझाया जा सकता है।

(A) चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ का सूत्र $\mu = \sqrt{n(n+2)} \; B.M$ है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है। $1.73 \; B.M$ के लिए,$n = 1$ होता है।

स्पीशीज	अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $(n)$
$O_{2}^{+}$	$1$
$O_{2}^{-}$	$1$
$O_{2}$	$2$

चूंकि $O_{2}^{+}$ और $O_{2}^{-}$ दोनों में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है,इसलिए दोनों का चुंबकीय आघूर्ण $1.73 \; B.M$ होता है।

(B) आबंध सामर्थ्य एक अणु बनाने वाले दो परमाणुओं के बीच बंधन की सीमा को दर्शाता है।
आण्विक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) के अनुसार,आबंध सामर्थ्य,आबंध कोटि के सीधे समानुपाती होता है।
इसलिए,उच्च आबंध कोटि परमाणुओं के बीच एक मजबूत आबंध को इंगित करती है।

(N/A) आण्विक कक्षकों के निर्माण के लिए परमाण्वीय कक्षकों को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$(a)$ संयोजित होने वाले परमाण्वीय कक्षकों की ऊर्जा समान या लगभग समान होनी चाहिए। इसका अर्थ है कि एक समनाभिकीय अणु में,एक परमाणु का $1s$ परमाण्वीय कक्षक दूसरे परमाणु के $1s$ परमाण्वीय कक्षक के साथ संयोजित हो सकता है,न कि $2s$ कक्षक के साथ।
$(b)$ संयोजित होने वाले परमाण्वीय कक्षकों का अभिविन्यास उचित होना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि अतिव्यापन अधिकतम हो।
$(c)$ अतिव्यापन की सीमा अधिक होनी चाहिए।

(N/A) बेरिलियम $(Be)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2} \, 2s^{2}$ है।
$Be_{2}$ अणु के लिए आण्विक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma_{1s}^2 \, \sigma_{1s}^{*2} \, \sigma_{2s}^2 \, \sigma_{2s}^{*2}$।
आबंध कोटि (Bond Order) की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\text{Bond Order} = \frac{1}{2}(N_{b} - N_{a})$।
यहाँ,$N_{b}$ आबंधी आण्विक कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_{a}$ प्रति-आबंधी आण्विक कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$Be_{2}$ के लिए,$N_{b} = 4$ और $N_{a} = 4$ है।
$\therefore \text{Bond Order} = \frac{1}{2}(4 - 4) = 0$।
$0$ आबंध कोटि यह दर्शाती है कि अणु अस्थिर है और इसका अस्तित्व नहीं है।

(A) किसी स्पीशीज की स्थिरता उसके बंध क्रम (bond order) के सीधे आनुपातिक होती है। बंध क्रम की गणना $\frac{1}{2}(N_b - N_a)$ के रूप में की जाती है,जहाँ $N_b$ बंधक इलेक्ट्रॉन हैं और $N_a$ प्रति-बंधक इलेक्ट्रॉन हैं।
$1$. $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: विन्यास $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^*(2s)]^2 [\sigma(2p_z)]^2 [\pi(2p_x)]^2 [\pi(2p_y)]^2 [\pi^*(2p_x)]^1 [\pi^*(2p_y)]^1$ है। बंध क्रम $= \frac{1}{2}(10 - 6) = 2$। यह दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों के कारण अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।
$2$. $O_2^+$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: विन्यास $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^*(2s)]^2 [\sigma(2p_z)]^2 [\pi(2p_x)]^2 [\pi(2p_y)]^2 [\pi^*(2p_x)]^1$ है। बंध क्रम $= \frac{1}{2}(10 - 5) = 2.5$। यह एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के कारण अनुचुंबकीय है।
$3$. $O_2^-$ ($17$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: विन्यास $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^*(2s)]^2 [\sigma(2p_z)]^2 [\pi(2p_x)]^2 [\pi(2p_y)]^2 [\pi^*(2p_x)]^2 [\pi^*(2p_y)]^1$ है। बंध क्रम $= \frac{1}{2}(10 - 7) = 1.5$। यह एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के कारण अनुचुंबकीय है।
$4$. $O_2^{2-}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) के लिए: विन्यास $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^*(2s)]^2 [\sigma(2p_z)]^2 [\pi(2p_x)]^2 [\pi(2p_y)]^2 [\pi^*(2p_x)]^2 [\pi^*(2p_y)]^2$ है। बंध क्रम $= \frac{1}{2}(10 - 8) = 1$। यह प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) है क्योंकि सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं।
स्थिरता का क्रम: $O_2^+ > O_2 > O_2^- > O_2^{2-}$।

(N/A) कक्षकों के निरूपण में प्लस $(+)$ और माइनस $(-)$ चिह्न इलेक्ट्रॉन तरंग फलन $(\psi)$ के चरण (phase) के अनुरूप होते हैं। इनका महत्व निम्नलिखित है:
$(i)$ यह निर्धारित करने के लिए कि कक्षकों के बीच रचनात्मक या विनाशी व्यतिकरण (अतिव्यापन) होगा या नहीं।
$(ii)$ यह इंगित करने के लिए कि अंतःक्रिया पर निकाय की ऊर्जा बढ़ेगी (प्रतिकर्षण) या घटेगी (आकर्षण)।
$(iii)$ यह भविष्यवाणी करने के लिए कि रासायनिक बंध बनेगा या नहीं।
$(iv)$ बंध निर्माण,आणविक ज्यामिति और बंध कोण के बारे में जानकारी प्रदान करने के लिए।

बंध क्रम को एक अणु के बंध (bonding) और विपरीत-बंध (anti-bonding) कक्षकों में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या के अंतर के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $N_{b}$ बंध कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_{a}$ विपरीत-बंध कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,तो:
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (N_{b} - N_{a})$
$1$. $N_{2}$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) के लिए:
विन्यास: $[\sigma(1s)]^2 [\sigma^{*}(1s)]^2 [\sigma(2s)]^2 [\sigma^{*}(2s)]^2 [\pi(2p_{x})]^2 [\pi(2p_{y})]^2 [\sigma(2p_{z})]^2$
$N_{b} = 10, N_{a} = 4$
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (10 - 4) = 3$
$2$. $O_{2}$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) के लिए:
विन्यास: $[\sigma(1s)]^2 [\sigma^{*}(1s)]^2 [\sigma(2s)]^2 [\sigma^{*}(2s)]^2 [\sigma(2p_{z})]^2 [\pi(2p_{x})]^2 [\pi(2p_{y})]^2 [\pi^{*}(2p_{x})]^1 [\pi^{*}(2p_{y})]^1$
$N_{b} = 10, N_{a} = 6$
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (10 - 6) = 2$
$3$. $O_{2}^{+}$ ($15$ इलेक्ट्रॉन) के लिए:
विन्यास: $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^{*}(2s)]^2 [\sigma(2p_{z})]^2 [\pi(2p_{x})]^2 [\pi(2p_{y})]^2 [\pi^{*}(2p_{x})]^1$
$N_{b} = 8, N_{a} = 3$ ($KK$ कोश को छोड़कर)
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (8 - 3) = 2.5$
$4$. $O_{2}^{-}$ ($17$ इलेक्ट्रॉन) के लिए:
विन्यास: $KK [\sigma(2s)]^2 [\sigma^{*}(2s)]^2 [\sigma(2p_{z})]^2 [\pi(2p_{x})]^2 [\pi(2p_{y})]^2 [\pi^{*}(2p_{x})]^2 [\pi^{*}(2p_{y})]^1$
$N_{b} = 8, N_{a} = 5$ ($KK$ कोश को छोड़कर)
बंध क्रम $= \frac{1}{2} (8 - 5) = 1.5$

(B) $KO_{2}$ यौगिक $K^{+}$ और $O_{2}^{-}$ आयनों से बना है।
सुपरऑक्साइड आयन $O_{2}^{-}$ में $13$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
आणविक कक्षक सिद्धांत (molecular orbital theory) के अनुसार,$O_{2}^{-}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $\sigma 1s^{2}, \sigma^{*} 1s^{2}, \sigma 2s^{2}, \sigma^{*} 2s^{2}, \sigma 2p_{z}^{2}, \pi 2p_{x}^{2} = \pi 2p_{y}^{2}, \pi^{*} 2p_{x}^{2} = \pi^{*} 2p_{y}^{1}$ है।
$\pi^{*} 2p$ आणविक कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन की उपस्थिति $O_{2}^{-}$ को अनुचुम्बकीय बनाती है।

(N/A) आइसोइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियां वे होती हैं जिनमें इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या समान होती है। आणविक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) के अनुसार,यदि दो या दो से अधिक द्विपरमाणुक अणु या आयन आइसोइलेक्ट्रॉनिक हैं,तो उनकी बंध कोटि समान होती है।
उदाहरण-$1$: $F_{2}$ और $O_{2}^{2-}$ दोनों में $18$ इलेक्ट्रॉन होते हैं। इनकी बंध कोटि $1$ है।
उदाहरण-$2$: $N_{2}$,$CO$,और $NO^{+}$ आइसोइलेक्ट्रॉनिक हैं,जिनमें से प्रत्येक में $14$ इलेक्ट्रॉन होते हैं। ये सभी त्रि-बंध प्रदर्शित करते हैं।

अणु/आयन	$N_{2}, CO, NO^{+}$
बंध संरचना	$N \equiv N, C \equiv O, N \equiv O^{+}$

(N/A) दो परमाणुओं के बीच आबंध कोटि,आबंध सामर्थ्य के सीधे समानुपाती होती है। जैसे-जैसे आबंध कोटि बढ़ती है,आबंध एन्थैल्पी बढ़ती है,आबंध लंबाई घटती है और अणु की स्थिरता बढ़ती है。
$\text{Bond Strength} \propto \text{Bond order} \propto \frac{1}{\text{Bond length}} \propto \text{Stability of molecule}$
इस संबंध को निम्नलिखित उदाहरणों द्वारा दर्शाया गया है:

(A) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार,$O_2$ अणु ($16$ इलेक्ट्रॉन) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$।
चूंकि $\pi^*$ एंटीबॉन्डिंग कक्षकों में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए $O_2$ अणु अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।
बंध क्रम की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{Bond Order} = \frac{N_b - N_a}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$।

(N/A) $1$. धनात्मक (bonding) अतिव्यापन: इस प्रकार के अतिव्यापन में,परमाणु ऑर्बिटल्स के अतिव्यापित होने वाले लोब्स का चिह्न (फेज) समान होता है। इससे दो नाभिकों के बीच इलेक्ट्रॉन घनत्व में वृद्धि होती है,जिसके परिणामस्वरूप बॉन्डिंग मॉलिक्यूलर ऑर्बिटल का निर्माण होता है (उदाहरण: $s+s$ या समान फेज के साथ $p_z+p_z$)।
$2$. ऋणात्मक (antibonding) अतिव्यापन: इस प्रकार के अतिव्यापन में,परमाणु ऑर्बिटल्स के अतिव्यापित होने वाले लोब्स का चिह्न (फेज) विपरीत होता है। इससे दो नाभिकों के बीच इलेक्ट्रॉन घनत्व में कमी आती है,जिसके परिणामस्वरूप एंटीबॉन्डिंग मॉलिक्यूलर ऑर्बिटल का निर्माण होता है (उदाहरण: $s-s$ या विपरीत फेज के साथ $p_z-p_z$)।

(B) आणविक कक्षक सिद्धांत $(MOT)$ के अनुसार,डाइऑक्सीजन अणु $(O_2)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1 = \pi^* 2p_y^1$।
चूंकि अणु में एंटीबॉन्डिंग $\pi^*$ आणविक कक्षकों में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए यह अनुचुंबकीय (paramagnetic) व्यवहार प्रदर्शित करता है।

(A) $H_2^+$ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(1 + 1 - 1) = 1$ है।
$H_2$ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(1 + 1) = 2$ है।
$O_2^+$ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(8 + 8 - 1) = 15$ है।

(N/A) आण्विक कक्षक $(MO)$ सिद्धांत $F. Hund$ और $R.S. Mulliken$ द्वारा $1932$ में विकसित किया गया था। इस सिद्धांत की विशेषताएं निम्नलिखित हैं:
$(i)$ अणु में इलेक्ट्रॉन विभिन्न आण्विक कक्षकों में उपस्थित होते हैं,जैसे परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन विभिन्न परमाणु कक्षकों में उपस्थित होते हैं।
$(ii)$ समान ऊर्जा और उचित सममिति वाले परमाणु कक्षक मिलकर आण्विक कक्षक बनाते हैं।
$(iii)$ जबकि परमाणु कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन एक नाभिक से प्रभावित होता है,आण्विक कक्षक में यह अणु में परमाणुओं की संख्या के आधार पर दो या दो से अधिक नाभिकों से प्रभावित होता है। इस प्रकार,परमाणु कक्षक एक-केंद्रित होता है,जबकि आण्विक कक्षक बहु-केंद्रित होता है।
$(iv)$ बनने वाले आण्विक कक्षकों की संख्या संयोजित होने वाले परमाणु कक्षकों की संख्या के बराबर होती है। जब दो परमाणु कक्षक जुड़ते हैं,तो दो आण्विक कक्षक बनते हैं। एक को आबंधी आण्विक कक्षक और दूसरे को विपरीत-आबंधी आण्विक कक्षक कहा जाता है।
$(v)$ आबंधी आण्विक कक्षक की ऊर्जा कम होती है और इसलिए यह संबंधित विपरीत-आबंधी आण्विक कक्षक की तुलना में अधिक स्थिर होता है।
$(vi)$ जिस प्रकार परमाणु में नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन प्रायिकता वितरण परमाणु कक्षक द्वारा दिया जाता है,उसी प्रकार अणु में नाभिकों के समूह के चारों ओर इलेक्ट्रॉन प्रायिकता वितरण आण्विक कक्षक द्वारा दिया जाता है।
$(vii)$ आण्विक कक्षक,परमाणु कक्षकों की तरह,$Aufbau$ सिद्धांत के अनुसार भरे जाते हैं,जो $Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत और $Hund$ के नियम का पालन करते हैं।