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Textbook - Triangles Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Triangles · Textbook - Triangles
101+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 101 questions in Hindi
1
Medium
कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
Solution
(A) $(i)$ सभी वृत्तों का आकार समान होता है लेकिन आवश्यक नहीं कि उनका माप भी समान हो,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(ii)$ सभी वर्गों का आकार समान होता है (सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं),इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iii)$ सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं और भुजाओं का अनुपात समान होता है,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iv)$ दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि $(a)$ उनके संगत कोण बराबर हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
$(ii)$ सभी वर्गों का आकार समान होता है (सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं),इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iii)$ सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं और भुजाओं का अनुपात समान होता है,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iv)$ दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि $(a)$ उनके संगत कोण बराबर हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
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View Solution2
Easy
समरूप आकृतियों के युग्मों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए।
Solution
(N/A) दो आकृतियाँ समरूप तब कहलाती हैं जब उनका आकार समान हो लेकिन उनका माप समान होना आवश्यक नहीं है।
उदाहरण $1$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो समबाहु त्रिभुज। चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $2$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो वर्ग। चूंकि सभी वर्गों के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं और उनकी भुजाएं समानुपाती होती हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $1$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो समबाहु त्रिभुज। चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $2$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो वर्ग। चूंकि सभी वर्गों के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं और उनकी भुजाएं समानुपाती होती हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
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View Solution3
Easy
असमरूप आकृतियों के जोड़ों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए।
Solution
(N/A) दो आकृतियों को असमरूप तब कहा जाता है यदि उनका आकार समान न हो,भले ही उनकी भुजाओं की संख्या समान हो।
उदाहरण $1$: समलंब चतुर्भुज (Trapezium) और वर्ग (Square) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर नहीं होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं होती हैं।
उदाहरण $2$: त्रिभुज (Triangle) और समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनकी भुजाओं की संख्या अलग-अलग होती है और उनके ज्यामितीय गुण भी भिन्न होते हैं।
उदाहरण $1$: समलंब चतुर्भुज (Trapezium) और वर्ग (Square) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर नहीं होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं होती हैं।
उदाहरण $2$: त्रिभुज (Triangle) और समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनकी भुजाओं की संख्या अलग-अलग होती है और उनके ज्यामितीय गुण भी भिन्न होते हैं।
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View Solution4
Easy
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं।
Solution
(N/A) दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ में:
- भुजाओं का अनुपात $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ है। अतः,भुजाएँ समानुपाती हैं।
- हालाँकि,$PQRS$ के कोण $90^{\circ}$ नहीं हैं,जबकि $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
चूँकि संगत कोण बराबर नहीं हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ समरूप नहीं हैं।
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ में:
- भुजाओं का अनुपात $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ है। अतः,भुजाएँ समानुपाती हैं।
- हालाँकि,$PQRS$ के कोण $90^{\circ}$ नहीं हैं,जबकि $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
चूँकि संगत कोण बराबर नहीं हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ समरूप नहीं हैं।
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View Solution5
Easy
यदि एक रेखा $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है और $BC$ के समांतर है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (आकृति देखिए)।
Solution
(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$DE || BC$,जहाँ $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर स्थित बिंदु हैं।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE}$.
चूँकि $DB + AD = AB$ और $EC + AE = AC$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$.
पुनः व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE}$.
चूँकि $DB + AD = AB$ और $EC + AE = AC$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$.
पुनः व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।
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View Solution6
Medium
$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। $E$ और $F$ क्रमशः असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $EF \parallel AB$ है (आकृति देखें)। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$ है।
Solution
(N/A) आइए हम $AC$ को मिलाएँ जो $EF$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है (आकृति देखें)।
दिया है: $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$ है।
चूँकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए $EF \parallel DC$ है।
अब,$\Delta ADC$ में,चूँकि $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel DC$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} \quad ...(1)$
इसी प्रकार,$\Delta CAB$ में,चूँकि $GF \parallel AB$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार:
$\frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$।
दिया है: $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$ है।
चूँकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए $EF \parallel DC$ है।
अब,$\Delta ADC$ में,चूँकि $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel DC$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} \quad ...(1)$
इसी प्रकार,$\Delta CAB$ में,चूँकि $GF \parallel AB$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार:
$\frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$।
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View Solution7
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आकृति में,$\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$ और $\angle PST = \angle PRQ$ है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Solution
(N/A) यह दिया गया है कि $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$।
थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$ST \parallel QR$ है।
इसलिए,$\angle PST = \angle PQR$ (संगत कोण) $...(1)$
साथ ही,यह दिया गया है कि $\angle PST = \angle PRQ$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle PQR = \angle PRQ$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजाओं $PQ$ और $PR$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PQ = PR$ है।
इस प्रकार,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$ST \parallel QR$ है।
इसलिए,$\angle PST = \angle PQR$ (संगत कोण) $...(1)$
साथ ही,यह दिया गया है कि $\angle PST = \angle PRQ$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle PQR = \angle PRQ$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजाओं $PQ$ और $PR$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PQ = PR$ है।
इस प्रकार,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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View Solution8
Medium
आकृति $(i)$ और $(ii)$ में,$DE || BC$ है। $(i)$ में $EC$ और $(ii)$ में $AD$ ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) $(i)$ माना $EC = x \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{x}$
$x = \frac{3 \times 1}{1.5}$
$x = 2$
$\therefore EC = 2 \text{ cm}.$
$(ii)$ माना $AD = x \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{x}{7.2} = \frac{1.8}{5.4}$
$x = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$
$x = 2.4$
$\therefore AD = 2.4 \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{x}$
$x = \frac{3 \times 1}{1.5}$
$x = 2$
$\therefore EC = 2 \text{ cm}.$
$(ii)$ माना $AD = x \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{x}{7.2} = \frac{1.8}{5.4}$
$x = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$
$x = 2.4$
$\therefore AD = 2.4 \text{ cm}.$
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View Solution9
Medium
$E$ और $F$ एक $\Delta PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित स्थिति के लिए,बताइए कि क्या $EF || QR$ है: $PE = 3.9 \ cm, EQ = 3 \ cm, PF = 3.6 \ cm$ और $FR = 2.4 \ cm$.
Solution
(N/A) थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$EF || QR$ तभी होगा यदि $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ हो।
दिए गए मान हैं:
$PE = 3.9 \ cm$
$EQ = 3 \ cm$
$PF = 3.6 \ cm$
$FR = 2.4 \ cm$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3$
$\frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5$
चूंकि $\frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR}$ $(1.3 \neq 1.5)$,इसलिए $EF$ के $QR$ के समांतर होने की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$EF, QR$ के समांतर नहीं है।
दिए गए मान हैं:
$PE = 3.9 \ cm$
$EQ = 3 \ cm$
$PF = 3.6 \ cm$
$FR = 2.4 \ cm$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3$
$\frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5$
चूंकि $\frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR}$ $(1.3 \neq 1.5)$,इसलिए $EF$ के $QR$ के समांतर होने की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$EF, QR$ के समांतर नहीं है।
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Easy
$E$ और $F$ एक $\Delta PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर स्थित बिंदु हैं। दिए गए मामले के लिए,बताइए कि क्या $EF || QR$ है:
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm$ और $RF = 9 \, cm$.
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm$ और $RF = 9 \, cm$.
Solution
(N/A) दिया है:
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm, RF = 9 \, cm$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\frac{PF}{FR} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF, QR$ के समांतर है $(EF || QR)$.
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm, RF = 9 \, cm$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\frac{PF}{FR} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF, QR$ के समांतर है $(EF || QR)$.
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Medium
$E$ और $F$ एक $\Delta PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति के लिए,बताइए कि क्या $EF || QR$ है। $PQ = 1.28 \, cm, PR = 2.56 \, cm, PE = 0.18 \, cm$ और $PF = 0.36 \, cm$.
Solution
(A) दिया है: $PQ = 1.28 \, cm, PR = 2.56 \, cm, PE = 0.18 \, cm, PF = 0.36 \, cm$.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करते हैं:
$\frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = \frac{18}{128} = \frac{9}{64}$
$\frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}$
चूंकि $\frac{PE}{PQ} = \frac{PF}{PR} = \frac{9}{64}$ है,इसलिए रेखा $EF$ भुजाओं $PQ$ और $PR$ को समान अनुपात में विभाजित करती है।
अतः,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF || QR$ है।
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करते हैं:
$\frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = \frac{18}{128} = \frac{9}{64}$
$\frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}$
चूंकि $\frac{PE}{PQ} = \frac{PF}{PR} = \frac{9}{64}$ है,इसलिए रेखा $EF$ भुजाओं $PQ$ और $PR$ को समान अनुपात में विभाजित करती है।
अतः,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF || QR$ है।
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Medium
आकृति में,यदि $LM \parallel CB$ और $LN \parallel CD$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$ है।
Solution
(N/A) दी गई आकृति में,$LM \parallel CB$ है।
$\triangle ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \quad ...(i)$
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,चूँकि $LN \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ से,हम देखते हैं कि दायाँ पक्ष समान है।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$
$\triangle ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \quad ...(i)$
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,चूँकि $LN \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ से,हम देखते हैं कि दायाँ पक्ष समान है।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$
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Easy
आकृति में,$DE \parallel AC$ और $DF \parallel AE$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$ है।
Solution
(N/A) $\Delta ABC$ में,$DE \parallel AC$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \quad ...(i)$
$\Delta BAE$ में,$DF \parallel AE$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,चूँकि बायाँ पक्ष समान है,इसलिए दायाँ पक्ष भी समान होगा:
$\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \quad ...(i)$
$\Delta BAE$ में,$DF \parallel AE$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,चूँकि बायाँ पक्ष समान है,इसलिए दायाँ पक्ष भी समान होगा:
$\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।
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Medium
आकृति में,$DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$ है। दर्शाइए कि $EF \parallel QR$ है।
Solution
(N/A) $\Delta POQ$ में,$DE \parallel OQ$ है।
अतः,$\frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$DF \parallel OR$ है।
अतः,$\frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$
अतः,$EF \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम)।
अतः,$\frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$DF \parallel OR$ है।
अतः,$\frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$
अतः,$EF \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम)।
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Difficult
आकृति में,$A, B$ और $C$ क्रमशः $OP, OQ$ और $OR$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $AB \parallel PQ$ और $AC \parallel PR$ है। दर्शाइए कि $BC \parallel QR$ है।
Solution
(N/A) $\Delta POQ$ में,$AB \parallel PQ$ है।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$AC \parallel PR$ है।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR}$
अतः,$BC \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा)।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$AC \parallel PR$ है।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR}$
अतः,$BC \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा)।
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Medium
प्रमेय $6.1$ का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
Solution
(N/A) मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है और एक रेखा $PQ$ भुजा $BC$ के समांतर खींची गई है जो $AC$ को $Q$ पर काटती है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय $6.1$) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,हमारे पास है:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{AQ}{QC}$
$\Rightarrow AQ = QC$
यह सिद्ध करता है कि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात रेखा $PQ$ तीसरी भुजा $AC$ को समद्विभाजित करती है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय $6.1$) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,हमारे पास है:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{AQ}{QC}$
$\Rightarrow AQ = QC$
यह सिद्ध करता है कि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात रेखा $PQ$ तीसरी भुजा $AC$ को समद्विभाजित करती है।
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प्रमेय $6.2$ का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
Solution
(N/A) मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
दिया है: $AP = PB$ और $AQ = QC$.
सिद्ध करना है: $PQ \parallel BC$.
उपपत्ति:
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$.
चूँकि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AQ = QC$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AQ}{QC} = 1$.
उपरोक्त दोनों समीकरणों से,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.
प्रमेय $6.2$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम) के अनुसार,यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$PQ \parallel BC$.
दिया है: $AP = PB$ और $AQ = QC$.
सिद्ध करना है: $PQ \parallel BC$.
उपपत्ति:
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$.
चूँकि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AQ = QC$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AQ}{QC} = 1$.
उपरोक्त दोनों समीकरणों से,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.
प्रमेय $6.2$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम) के अनुसार,यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$PQ \parallel BC$.
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$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है और इसके विकर्ण एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है।
Solution
(N/A) बिंदु $O$ से होकर एक रेखा $EF$ खींचिए,इस प्रकार कि $EF \parallel CD$ हो।
$\triangle ADC$ में,चूँकि $EO \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \quad ...(1)$
चूँकि $AB \parallel CD$ और $EF \parallel CD$ है,इसलिए $EF \parallel AB$ होगा।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $EO \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $EO \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \quad ...(1)$
चूँकि $AB \parallel CD$ और $EF \parallel CD$ है,इसलिए $EF \parallel AB$ होगा।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $EO \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}$
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Difficult
एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण परस्पर बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिए गए प्रश्न के लिए निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
एक रेखा $OE \parallel AB$ खींचिए ताकि $E, AD$ पर स्थित हो।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $OE \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
हालाँकि,यह दिया गया है कि:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,हमारे पास है:
$EO \parallel DC$
चूँकि हमने $OE \parallel AB$ की रचना की थी और हमने सिद्ध किया कि $EO \parallel DC$,तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB \parallel DC$
अतः,$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है।
एक रेखा $OE \parallel AB$ खींचिए ताकि $E, AD$ पर स्थित हो।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $OE \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
हालाँकि,यह दिया गया है कि:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,हमारे पास है:
$EO \parallel DC$
चूँकि हमने $OE \parallel AB$ की रचना की थी और हमने सिद्ध किया कि $EO \parallel DC$,तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB \parallel DC$
अतः,$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है।
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आकृति में,यदि $PQ || RS$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta POQ \sim \Delta SOR$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $PQ || RS$.
सिद्ध करना है: $\Delta POQ \sim \Delta SOR$.
उपपत्ति:
$\Delta POQ$ और $\Delta SOR$ में:
$1$. $\angle P = \angle S$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $PS$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle Q = \angle R$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $QR$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle POQ = \angle SOR$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta POQ \sim \Delta SOR$।
सिद्ध करना है: $\Delta POQ \sim \Delta SOR$.
उपपत्ति:
$\Delta POQ$ और $\Delta SOR$ में:
$1$. $\angle P = \angle S$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $PS$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle Q = \angle R$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $QR$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle POQ = \angle SOR$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta POQ \sim \Delta SOR$।
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Difficult
आकृति का अवलोकन करें और $\angle P$ ज्ञात करें।
Solution
$(40^{\circ})$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,
$\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ और $\frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
अर्थात,$\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR}$
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ ($SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इसलिए,$\angle C = \angle P$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $\angle C = \angle P$,इसलिए $\angle P = 40^{\circ}$।
$\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ और $\frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
अर्थात,$\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR}$
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ ($SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इसलिए,$\angle C = \angle P$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $\angle C = \angle P$,इसलिए $\angle P = 40^{\circ}$।
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आकृति में,$OA \cdot OB = OC \cdot OD$ दिया गया है। दर्शाइए कि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} \quad ...(1)$
साथ ही,हमारे पास है:
$\angle AOD = \angle COB \quad$ (शीर्षाभिमुख कोण) $...(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार:
$\Delta AOD \sim \Delta COB$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
अतः,$\angle A = \angle C$ और $\angle D = \angle B$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} \quad ...(1)$
साथ ही,हमारे पास है:
$\angle AOD = \angle COB \quad$ (शीर्षाभिमुख कोण) $...(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार:
$\Delta AOD \sim \Delta COB$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
अतः,$\angle A = \angle C$ और $\angle D = \angle B$.
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Difficult
$90\, cm$ की ऊँचाई वाली एक लड़की $1.2\, m/s$ की चाल से एक लैंप-पोस्ट के आधार से दूर जा रही है। यदि लैंप भूमि से $3.6\, m$ की ऊँचाई पर है,तो $4\, \text{सेकंड}$ के बाद उसकी छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए $AB$ लैंप-पोस्ट है और $CD$ लैंप-पोस्ट से $4\, \text{सेकंड}$ तक दूर चलने के बाद लड़की की स्थिति है।
आकृति से,आप देख सकते हैं कि $DE$ लड़की की छाया है। मान लीजिए $DE = x$ मीटर है।
अब,$BD = 1.2\, m/s \times 4\, s = 4.8\, m$.
ध्यान दें कि $\Delta ABE$ और $\Delta CDE$ में:
$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ है क्योंकि लैंप-पोस्ट और लड़की दोनों जमीन पर लंबवत खड़े हैं)।
$\angle E = \angle E$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$.
यहाँ $AB = 3.6\, m$ और $CD = 90\, cm = 0.9\, m$ दिया गया है।
$\frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9}$.
$\frac{4.8 + x}{x} = 4$.
$4.8 + x = 4x$.
$3x = 4.8$.
$x = 1.6\, m$.
अतः,$4\, \text{सेकंड}$ तक चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई $1.6\, m$ है।
आकृति से,आप देख सकते हैं कि $DE$ लड़की की छाया है। मान लीजिए $DE = x$ मीटर है।
अब,$BD = 1.2\, m/s \times 4\, s = 4.8\, m$.
ध्यान दें कि $\Delta ABE$ और $\Delta CDE$ में:
$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ है क्योंकि लैंप-पोस्ट और लड़की दोनों जमीन पर लंबवत खड़े हैं)।
$\angle E = \angle E$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$.
यहाँ $AB = 3.6\, m$ और $CD = 90\, cm = 0.9\, m$ दिया गया है।
$\frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9}$.
$\frac{4.8 + x}{x} = 4$.
$4.8 + x = 4x$.
$3x = 4.8$.
$x = 1.6\, m$.
अतः,$4\, \text{सेकंड}$ तक चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई $1.6\, m$ है।
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Difficult
आकृति में,$CM$ और $RN$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है,तो सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$
$(ii)$ $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
$(iii)$ $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$
$(i)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$
$(ii)$ $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
$(iii)$ $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$
Solution
(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं और संगत कोण बराबर हैं:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
चूंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$AB = 2AM$ और $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ से,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
साथ ही,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ से)।
$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ चूंकि $\Delta AMC \sim \Delta PNR$,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ से,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ और $\Delta RNQ$ में:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ और $(1)$ से)।
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (माध्यिका के गुणधर्म से $BC = 2BM$ और $QR = 2QN$ होने के कारण)।
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं और संगत कोण बराबर हैं:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
चूंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$AB = 2AM$ और $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ से,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
साथ ही,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ से)।
$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ चूंकि $\Delta AMC \sim \Delta PNR$,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ से,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ और $\Delta RNQ$ में:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ और $(1)$ से)।
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (माध्यिका के गुणधर्म से $BC = 2BM$ और $QR = 2QN$ होने के कारण)।
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.
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Easy
बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(A) $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}, \angle C = 40^{\circ}$
$\angle P = 60^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 40^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 80^{\circ}$,और $\angle C = \angle R = 40^{\circ}$ है,इसलिए संगत कोण बराबर हैं।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है।
$\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}, \angle C = 40^{\circ}$
$\angle P = 60^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 40^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 80^{\circ}$,और $\angle C = \angle R = 40^{\circ}$ है,इसलिए संगत कोण बराबर हैं।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है।
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Medium
बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(N/A) $\triangle ABC$ और $\triangle QRP$ में:
$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{QP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.
$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{QP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.
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Easy
बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(NONE) $\triangle LMP$ और $\triangle DEF$ में:
$\frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} = 0.675$
$\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = 0.5$
$\frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} = 0.4$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान नहीं है (अर्थात,$\frac{LM}{DE} \neq \frac{LP}{DF} \neq \frac{MP}{EF}$),इसलिए ये दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।
$\frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} = 0.675$
$\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = 0.5$
$\frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} = 0.4$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान नहीं है (अर्थात,$\frac{LM}{DE} \neq \frac{LP}{DF} \neq \frac{MP}{EF}$),इसलिए ये दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।
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बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता की कसौटी लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(N/A) $\triangle MNL$ और $\triangle QPR$ में:
दिया है कि $\angle M = \angle Q = 70^{\circ}$।
साथ ही,इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाओं का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{MN}{QP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{ML}{QR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{MN}{QP} = \frac{ML}{QR} = \frac{1}{2}$ और $\angle M = \angle Q$ है,इसलिए $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle MNL \sim \triangle QPR$।
दिया है कि $\angle M = \angle Q = 70^{\circ}$।
साथ ही,इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाओं का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{MN}{QP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{ML}{QR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{MN}{QP} = \frac{ML}{QR} = \frac{1}{2}$ और $\angle M = \angle Q$ है,इसलिए $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle MNL \sim \triangle QPR$।
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बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(NONE) $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
दिया गया है कि $\angle A = 80^{\circ}$ और $\angle F = 80^{\circ}$।
इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएँ हैं:
$AB = 2.5$,$AC$ नहीं दिया गया है।
$DF = 5$,$EF = 6$।
भुजाओं के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{AB}{DF} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$
चूँकि दो भुजाओं का अनुपात समान है लेकिन उनके बीच का कोण समान नहीं है (कोण $80^{\circ}$,$\triangle ABC$ में $A$ पर है और $\triangle DEF$ में $F$ पर है),इसलिए ये त्रिभुज $SAS$ कसौटी के अनुसार समरूप नहीं हैं।
अतः,दिए गए त्रिभुज समरूप नहीं हैं।
दिया गया है कि $\angle A = 80^{\circ}$ और $\angle F = 80^{\circ}$।
इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएँ हैं:
$AB = 2.5$,$AC$ नहीं दिया गया है।
$DF = 5$,$EF = 6$।
भुजाओं के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{AB}{DF} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$
चूँकि दो भुजाओं का अनुपात समान है लेकिन उनके बीच का कोण समान नहीं है (कोण $80^{\circ}$,$\triangle ABC$ में $A$ पर है और $\triangle DEF$ में $F$ पर है),इसलिए ये त्रिभुज $SAS$ कसौटी के अनुसार समरूप नहीं हैं।
अतः,दिए गए त्रिभुज समरूप नहीं हैं।
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बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।
Solution
(N/A) $\Delta DEF$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle D = 70^{\circ}$ और $\angle E = 80^{\circ}$।
अतः,$\angle F = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\Delta PQR$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle Q = 80^{\circ}$ और $\angle R = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
दोनों त्रिभुजों की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle P = 70^{\circ}$
$\angle E = \angle Q = 80^{\circ}$
$\angle F = \angle R = 30^{\circ}$
चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं,इसलिए $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
सांकेतिक रूप: $\Delta DEF \sim \Delta PQR$।
दिया है $\angle D = 70^{\circ}$ और $\angle E = 80^{\circ}$।
अतः,$\angle F = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\Delta PQR$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle Q = 80^{\circ}$ और $\angle R = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
दोनों त्रिभुजों की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle P = 70^{\circ}$
$\angle E = \angle Q = 80^{\circ}$
$\angle F = \angle R = 30^{\circ}$
चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं,इसलिए $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
सांकेतिक रूप: $\Delta DEF \sim \Delta PQR$।
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Difficult
आकृति में,$\Delta ODC \sim \Delta OBA$,$\angle BOC = 125^{\circ}$ और $\angle CDO = 70^{\circ}$ है। $\angle DOC$,$\angle DCO$ और $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) चूंकि $DB$ एक सीधी रेखा है,$\angle DOC$ और $\angle BOC$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
$\angle DOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle DOC + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DOC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
$\triangle ODC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
दिया गया है कि $\Delta ODC \sim \Delta OBA$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle OAB = \angle OCD = \angle DCO$
अतः,$\angle OAB = 55^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle DOC = 55^{\circ}$,$\angle DCO = 55^{\circ}$ और $\angle OAB = 55^{\circ}$.
$\angle DOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle DOC + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DOC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
$\triangle ODC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
दिया गया है कि $\Delta ODC \sim \Delta OBA$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle OAB = \angle OCD = \angle DCO$
अतः,$\angle OAB = 55^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle DOC = 55^{\circ}$,$\angle DCO = 55^{\circ}$ और $\angle OAB = 55^{\circ}$.
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View Solution32
Medium
एक समलंब $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है,के विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,दर्शाइए कि $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब है जिसमें $AB \parallel CD$ है और विकर्ण $AC$ तथा $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
उपपत्ति:
$\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ पर विचार कीजिए।
$1$. $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
उपपत्ति:
$\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ पर विचार कीजिए।
$1$. $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
इति सिद्धम्।
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View Solution33
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आकृति में,$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$ और $\angle 1 = \angle 2$ है। दर्शाइए कि $\Delta PQS \sim \Delta TQR$ है।
Solution
(N/A) $\Delta PQR$ में,दिया है कि $\angle PQR = \angle PRQ$ है।
चूंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = PR$ $....(i)$
दिया है,
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$
$(i)$ का उपयोग करते हुए,$PR$ को $PQ$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $....(ii)$
अब,$\Delta PQS$ और $\Delta TQR$ में:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $[(ii)$ से$]$
$\angle Q = \angle Q$ $[\text{उभयनिष्ठ कोण}]$
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta PQS \sim \Delta TQR$ है।
चूंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = PR$ $....(i)$
दिया है,
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$
$(i)$ का उपयोग करते हुए,$PR$ को $PQ$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $....(ii)$
अब,$\Delta PQS$ और $\Delta TQR$ में:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $[(ii)$ से$]$
$\angle Q = \angle Q$ $[\text{उभयनिष्ठ कोण}]$
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta PQS \sim \Delta TQR$ है।
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View Solution34
Difficult
$S$ और $T$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की भुजाओं $PR$ और $QR$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $\angle P = \angle RTS$ है। दर्शाइए कि $\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ है।
Solution
(N/A) $\Delta RPQ$ और $\Delta RST$ में:
$\angle RTS = \angle RPQ$ (दिया है)
$\angle R = \angle R$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
$\angle RTS = \angle RPQ$ (दिया है)
$\angle R = \angle R$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
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View Solution35
Medium
आकृति में,यदि $\Delta ABE \cong \Delta ACD$ है,तो दर्शाइए कि $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $\Delta ABE \cong \Delta ACD.$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$.
अतः,$AB = AC$ $...(1)$
और,$AE = AD$ $...(2)$
अब,$\Delta ADE$ और $\Delta ABC$ पर विचार करें:
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
साथ ही,$\angle DAE = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$.
अतः,$AB = AC$ $...(1)$
और,$AE = AD$ $...(2)$
अब,$\Delta ADE$ और $\Delta ABC$ पर विचार करें:
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
साथ ही,$\angle DAE = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
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View Solution36
Easy
आकृति में,$\Delta ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\Delta AEP \sim \Delta CDP$ है।
Solution
(N/A) $\Delta AEP$ और $\Delta CDP$ में:
$\angle AEP = \angle CDP = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle APE = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,
$\Delta AEP \sim \Delta CDP$.
$\angle AEP = \angle CDP = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle APE = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,
$\Delta AEP \sim \Delta CDP$.
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View Solution37
Easy
आकृति में,$\Delta ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\Delta ABD \sim \Delta CBE$.
Solution
(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta CBE$ में:
$\angle ADB = \angle CEB = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle ABD = \angle CBE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta ABD \sim \Delta CBE$
$\angle ADB = \angle CEB = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle ABD = \angle CBE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta ABD \sim \Delta CBE$
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View Solution38
Easy
आकृति में,$\Delta ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\Delta AEP \sim \Delta ADB$ है।
Solution
(N/A) $\triangle AEP$ और $\triangle ADB$ में:
$1. \angle AEP = \angle ADB = 90^{\circ}$ (दिया है कि $AD$ और $CE$ शीर्षलंब हैं)।
$2. \angle PAE = \angle DAB$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,हम प्राप्त करते हैं:
$\triangle AEP \sim \triangle ADB$।
$1. \angle AEP = \angle ADB = 90^{\circ}$ (दिया है कि $AD$ और $CE$ शीर्षलंब हैं)।
$2. \angle PAE = \angle DAB$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,हम प्राप्त करते हैं:
$\triangle AEP \sim \triangle ADB$।
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View Solution39
Easy
आकृति में,$\Delta ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\Delta PDC \sim \Delta BEC$.
Solution
(N/A) $\Delta PDC$ और $\Delta BEC$ में:
$\angle PDC = \angle BEC = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle PCD = \angle BCE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta PDC \sim \Delta BEC$.
$\angle PDC = \angle BEC = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle PCD = \angle BCE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta PDC \sim \Delta BEC$.
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View Solution40
Easy
$E$,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की बढ़ाई गई भुजा $AD$ पर स्थित एक बिंदु है और $BE$,$CD$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $\Delta ABE \sim \Delta CFB$ है।
Solution
(N/A) $\triangle ABE$ और $\triangle CFB$ में:
$1$. $\angle A = \angle C$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. $\angle AEB = \angle CBF$ (चूंकि $AE \parallel BC$ और $BE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए ये एकांतर अंतःकोण हैं)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABE \sim \triangle CFB$ है।
$1$. $\angle A = \angle C$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. $\angle AEB = \angle CBF$ (चूंकि $AE \parallel BC$ और $BE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए ये एकांतर अंतःकोण हैं)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABE \sim \triangle CFB$ है।
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View Solution41
Medium
आकृति में,$\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ दो समकोण त्रिभुज हैं,जो क्रमशः $B$ और $M$ पर समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $\Delta ABC \sim \Delta AMP$
$(ii)$ $\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$
$(i)$ $\Delta ABC \sim \Delta AMP$
$(ii)$ $\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$
Solution
(N/A) $\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ में:
$\angle ABC = \angle AMP = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta AMP$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अतः,$\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$।
$\angle ABC = \angle AMP = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta AMP$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अतः,$\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$।
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View Solution42
Difficult
$CD$ और $GH$ क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के समद्विभाजक हैं,इस प्रकार कि $D$ और $H$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta EFG$ की भुजाओं $AB$ और $FE$ पर स्थित हैं। यदि $\Delta ABC \sim \Delta FEG$ है,तो सिद्ध कीजिए कि:
$(i) \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$
$(ii) \Delta DCB \sim \Delta HGE$
$(iii) \Delta DCA \sim \Delta HGF$
$(i) \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$
$(ii) \Delta DCB \sim \Delta HGE$
$(iii) \Delta DCA \sim \Delta HGF$
Solution
(N/A) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta FEG$ है।
अतः,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ और $\angle ACB = \angle FGE$ है।
चूंकि $\angle ACB = \angle FGE$ है,इसलिए उनके समद्विभाजक भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle ACD = \angle FGH$ (कोण समद्विभाजक)।
और,$\angle DCB = \angle HGE$ (कोण समद्विभाजक)।
$(i)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$।
$(ii)$ $\Delta DCB$ और $\Delta HGE$ में:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle E$ (दिया है)
अतः,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
$(iii)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
अतः,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ और $\angle ACB = \angle FGE$ है।
चूंकि $\angle ACB = \angle FGE$ है,इसलिए उनके समद्विभाजक भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle ACD = \angle FGH$ (कोण समद्विभाजक)।
और,$\angle DCB = \angle HGE$ (कोण समद्विभाजक)।
$(i)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$।
$(ii)$ $\Delta DCB$ और $\Delta HGE$ में:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle E$ (दिया है)
अतः,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
$(iii)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
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View Solution43
Medium
आकृति में,$E$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ की बढ़ाई गई भुजा $CB$ पर स्थित एक बिंदु है,जिसमें $AB = AC$ है। यदि $AD \perp BC$ और $EF \perp AC$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta ABD \sim \Delta ECF$.
Solution
(N/A) दिया है: $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle ABC = \angle ACB$।
चूंकि $E$,$CB$ को बढ़ाने पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta ABD$ और $\Delta ECF$ में:
$1$. $\angle ADB = \angle EFC = 90^{\circ}$ (दिया है)।
$2$. $\angle ABD = \angle ECF$ (क्योंकि $\angle ABC = \angle ACB$)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \sim \Delta ECF$।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle ABC = \angle ACB$।
चूंकि $E$,$CB$ को बढ़ाने पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta ABD$ और $\Delta ECF$ में:
$1$. $\angle ADB = \angle EFC = 90^{\circ}$ (दिया है)।
$2$. $\angle ABD = \angle ECF$ (क्योंकि $\angle ABC = \angle ACB$)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \sim \Delta ECF$।
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View Solution44
Difficult
एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $BC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $QR$ तथा माध्यिका $PM$ के समानुपाती हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$ है।
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D$ और $M$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2}$ है।
इन मानों को दिए गए अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
अतः,$SSS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABD \sim \Delta PQM$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (दिया है)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D$ और $M$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2}$ है।
इन मानों को दिए गए अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
अतः,$SSS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABD \sim \Delta PQM$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (दिया है)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
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View Solution45
Easy
$D$,त्रिभुज $ABC$ की भुजा $BC$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\angle ADC = \angle BAC$ है। दर्शाइए कि $CA^2 = CB \cdot CD$ है।
Solution
(N/A) $\triangle ADC$ और $\triangle BAC$ में:
$\angle ADC = \angle BAC$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle BCA$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\triangle ADC \sim \triangle BAC$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए,$\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA}$।
वज्र-गुणन करने पर,$CA^2 = CB \cdot CD$ प्राप्त होता है।
$\angle ADC = \angle BAC$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle BCA$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\triangle ADC \sim \triangle BAC$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए,$\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA}$।
वज्र-गुणन करने पर,$CA^2 = CB \cdot CD$ प्राप्त होता है।
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View Solution46
Difficult
एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $AC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ तथा माध्यिका $PM$ के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
Solution
(A) दिया है कि,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
मान लीजिए कि हम $AD$ और $PM$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $L$ तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि $AD = DE$ और $PM = ML$ हो। फिर,$B$ को $E$ से,$C$ को $E$ से,$Q$ को $L$ से और $R$ को $L$ से जोड़िए।
हम जानते हैं कि माध्यिका सम्मुख भुजा को विभाजित करती है। इसलिए,$BD = DC$ और $QM = MR$ है।
साथ ही,$AD = DE$ (रचना से) और $PM = ML$ (रचना से) है।
चतुर्भुज $ABEC$ में,विकर्ण $AE$ और $BC$ एक-दूसरे को बिंदु $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,चतुर्भुज $ABEC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore AC = BE$ और $AB = EC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज $PQLR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PR = QL, PQ = LR$ है।
यह दिया गया था कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ समरूपता कसौटी से)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ और $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (दिया है)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (समीकरण $(3)$ का उपयोग करते हुए)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ समरूपता कसौटी से)।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
मान लीजिए कि हम $AD$ और $PM$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $L$ तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि $AD = DE$ और $PM = ML$ हो। फिर,$B$ को $E$ से,$C$ को $E$ से,$Q$ को $L$ से और $R$ को $L$ से जोड़िए।
हम जानते हैं कि माध्यिका सम्मुख भुजा को विभाजित करती है। इसलिए,$BD = DC$ और $QM = MR$ है।
साथ ही,$AD = DE$ (रचना से) और $PM = ML$ (रचना से) है।
चतुर्भुज $ABEC$ में,विकर्ण $AE$ और $BC$ एक-दूसरे को बिंदु $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,चतुर्भुज $ABEC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore AC = BE$ और $AB = EC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज $PQLR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PR = QL, PQ = LR$ है।
यह दिया गया था कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ समरूपता कसौटी से)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ और $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (दिया है)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (समीकरण $(3)$ का उपयोग करते हुए)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ समरूपता कसौटी से)।
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MediumMCQ
$6\, m$ लंबाई का एक ऊर्ध्वाधर खंभा जमीन पर $4\, m$ लंबी छाया बनाता है और उसी समय एक मीनार $28\, m$ लंबी छाया बनाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($m$ में)
A
$32$
B
$38$
C
$42$
D
$51$
Solution
(C) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $CD$ खंभे की ऊँचाई है।
माना $BE$ मीनार की छाया है और $DF$ खंभे की छाया है।
चूँकि सूर्य की किरणें एक ही समय पर समान कोण पर पड़ती हैं,इसलिए वस्तुओं और उनकी छायाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज समरूप होते हैं।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABE \sim \triangle CDF$ है।
इसका अर्थ है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF}$
दिया गया है कि $CD = 6\, m$,$DF = 4\, m$,और $BE = 28\, m$ है।
मान रखने पर:
$\frac{AB}{6} = \frac{28}{4}$
$\frac{AB}{6} = 7$
$AB = 7 \times 6 = 42\, m$ है।
अतः,मीनार की ऊँचाई $42\, m$ है।
माना $BE$ मीनार की छाया है और $DF$ खंभे की छाया है।
चूँकि सूर्य की किरणें एक ही समय पर समान कोण पर पड़ती हैं,इसलिए वस्तुओं और उनकी छायाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज समरूप होते हैं।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABE \sim \triangle CDF$ है।
इसका अर्थ है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF}$
दिया गया है कि $CD = 6\, m$,$DF = 4\, m$,और $BE = 28\, m$ है।
मान रखने पर:
$\frac{AB}{6} = \frac{28}{4}$
$\frac{AB}{6} = 7$
$AB = 7 \times 6 = 42\, m$ है।
अतः,मीनार की ऊँचाई $42\, m$ है।
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Medium
यदि $AD$ और $PM$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ की माध्यिकाएँ हैं,जहाँ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}.$
Solution
(N/A) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
साथ ही,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,वे अपनी सम्मुख भुजाओं को दो बराबर भागों में विभाजित करती हैं।
$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में,
$\angle B = \angle Q$ [समीकरण $(2)$ का उपयोग करते हुए]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [समीकरण $(4)$ का उपयोग करते हुए]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
साथ ही,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,वे अपनी सम्मुख भुजाओं को दो बराबर भागों में विभाजित करती हैं।
$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में,
$\angle B = \angle Q$ [समीकरण $(2)$ का उपयोग करते हुए]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [समीकरण $(4)$ का उपयोग करते हुए]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$
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Medium
आकृति में,रेखाखंड $XY$,$\Delta ABC$ की भुजा $AC$ के समांतर है और यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात $\frac{AX}{AB}$ ज्ञात कीजिए।
Solution
(D) हमें दिया गया है कि $XY \parallel AC$ है।
$\angle BXY = \angle A$ और $\angle BYX = \angle C$ (संगत कोण)।
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय)।
चूंकि $XY$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$।
अतः,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$।
$\angle BXY = \angle A$ और $\angle BYX = \angle C$ (संगत कोण)।
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय)।
चूंकि $XY$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$।
अतः,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$।
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MediumMCQ
मान लीजिए कि $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ है और उनके क्षेत्रफल क्रमशः $64 \text{ cm}^2$ और $121 \text{ cm}^2$ हैं। यदि $EF = 15.4 \text{ cm}$ है,तो $BC$ ($\text{cm}$ में) ज्ञात कीजिए।
A
$10.2$
B
$11.2$
C
$13.5$
D
$16.8$
Solution
(B) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
दिया गया है कि $\text{ar}(\Delta ABC) = 64 \text{ cm}^2$,$\text{ar}(\Delta DEF) = 121 \text{ cm}^2$ और $EF = 15.4 \text{ cm}$ है।
$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4}$
$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$
$BC = \frac{8 \times 15.4}{11}$
$BC = 8 \times 1.4 = 11.2 \text{ cm}$.
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
दिया गया है कि $\text{ar}(\Delta ABC) = 64 \text{ cm}^2$,$\text{ar}(\Delta DEF) = 121 \text{ cm}^2$ और $EF = 15.4 \text{ cm}$ है।
$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4}$
$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$
$BC = \frac{8 \times 15.4}{11}$
$BC = 8 \times 1.4 = 11.2 \text{ cm}$.
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1Are these Triangles questions useful for JEE and NEET?
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