$S$ और $T$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की भुजाओं $PR$ और $QR$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $\angle P = \angle RTS$ है। दर्शाइए कि $\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ है।

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(N/A) $\Delta RPQ$ और $\Delta RST$ में:
$\angle RTS = \angle RPQ$ (दिया है)
$\angle R = \angle R$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।

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$D$ और $E$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $CA$ और $CB$ पर स्थित बिंदु हैं,जो $C$ पर समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $AE^{2} + BD^{2} = AB^{2} + DE^{2}$।

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एक समबाहु त्रिभुज में,सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तीन गुना,उसके एक शीर्षलंब (altitude) के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

Difficult
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आकृति में,$\Delta ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\Delta PDC \sim \Delta BEC$.

प्रमेय $6.1$ का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

$6 \, m$ और $11 \, m$ ऊँचाई के दो खंभे एक समतल जमीन पर खड़े हैं। यदि खंभों के आधारों के बीच की दूरी $12 \, m$ है,तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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