कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)

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(A) $(i)$ सभी वृत्तों का आकार समान होता है लेकिन आवश्यक नहीं कि उनका माप भी समान हो,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(ii)$ सभी वर्गों का आकार समान होता है (सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं),इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iii)$ सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं और भुजाओं का अनुपात समान होता है,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iv)$ दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि $(a)$ उनके संगत कोण बराबर हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

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आकृति में,$DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$ है। दर्शाइए कि $EF \parallel QR$ है।

एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $AC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ तथा माध्यिका $PM$ के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।

Difficult
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एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$D$ भुजा $BC$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है कि $BD = \frac{1}{3} BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $9 AD^{2} = 7 AB^{2}$ है।

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बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग की गई समरूपता कसौटी को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को सांकेतिक रूप में भी लिखिए।

आकृति में,$D$,$\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु इस प्रकार है कि $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$ है। सिद्ध कीजिए कि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है।

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