Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m \angle A = 90^{\circ}$ और $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ है,त्रिभुज दो त्रिभुजों $\Delta ABD$ और $\Delta CAD$ में विभाजित हो जाता है जो मूल त्रिभुज $\Delta ABC$ के समरूप हैं और एक-दूसरे के भी समरूप हैं।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta CAD$ है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$AD^{2} = BD \cdot CD$ या $AD^{2} = BD \cdot DC$ प्राप्त होता है।

(A) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए,यदि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर माध्यिका है,तो दो भुजाओं के वर्गों का योग माध्यिका के वर्ग और माध्यिका द्वारा विभाजित भुजा के आधे भाग के वर्ग के योग के दोगुने के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $BD = DC = \frac{1}{2}BC$ है।
दिए गए समीकरण $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ के साथ तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $\overline{AD}$ को भुजा $\overline{BC}$ पर माध्यिका होना चाहिए।

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90$ और $D$,कर्ण $\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका के प्रमेय के अनुसार,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$BD = \frac{1}{2} AC$.

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle A = 90^{\circ}$ और $m \angle B = 30^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।
समकोण त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ $\angle B$ $(30^{\circ})$ के सामने वाली भुजा $AC$ है और कर्ण $BC$ है।
इसलिए,$AC = \frac{1}{2} BC$ होगा।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$ होगा।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा की लंबाई कर्ण (hypotenuse) की आधी होती है।
यहाँ,$AB$ कोण $\angle C$ $(30^{\circ})$ के सामने की भुजा है और $AC$ कर्ण है।
इसलिए,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(C) $\Delta ABC$ और $\Delta ADB$ में:
$1$. $m \angle ABC = m \angle ADB = 90^{\circ}$ (दिया गया है)।
$2$. $m \angle BAC = m \angle DAB$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow ADB$ एक समरूपता है।

(C) $\triangle ABC$ में,चूँकि $m \angle A = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$BC^{2} = 64 + 225$
$BC^{2} = 289$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$BC = \sqrt{289} = 17$।

(A) $\Delta PQR$ में,$\angle R$ के समकोण होने के लिए,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PR^2 + QR^2 = PQ^2$ होना चाहिए।
यहाँ $PQ = 25$ और $QR = 24$ दिया गया है।
मान रखने पर: $PR^2 + 24^2 = 25^2$.
$PR^2 + 576 = 625$.
$PR^2 = 625 - 576 = 49$.
$PR = \sqrt{49} = 7$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है और $\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर डाला गया शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$QM^{2} = PM \cdot RM$
यहाँ $PM = 8$ और $RM = 12$ दिया गया है:
$QM^{2} = 8 \times 12$
$QM^{2} = 96$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$QM = \sqrt{96}$
$QM = \sqrt{16 \times 6}$
$QM = 4 \sqrt{6}$

(D) $\Delta ABC$ में,$m \angle A = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ कर्ण $\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$AB^{2} = BD \cdot BC$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{5})^{2} = 2 \cdot BC$।
$5 = 2 \cdot BC$।
$BC = \frac{5}{2} = 2.5$।
अतः,कर्ण $\overline{BC}$ की लंबाई $2.5$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = 8$ और $BM = 8$ दिया गया है,इसलिए मान रखने पर:
$8^2 = 8 \cdot CM$
$64 = 8 \cdot CM$
$CM = \frac{64}{8} = 8$.
अब,कर्ण $AC$ की लंबाई $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM = 8 + 8 = 16$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
दिया गया है कि $BD = 2 \sqrt{30}$ और $CD = 6$ है।
मान रखने पर: $(2 \sqrt{30})^2 = AD \cdot 6$।
$4 \cdot 30 = 6 \cdot AD$।
$120 = 6 \cdot AD$।
$AD = 20$।
चूंकि $AC = AD + CD$,इसलिए $AC = 20 + 6 = 26$।

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$AB^2 = AM \cdot AC$ होता है।
दिया गया है कि $AB = \sqrt{10}$ और $AM = 2.5$ है।
मान रखने पर: $(\sqrt{10})^2 = 2.5 \cdot AC$.
$10 = 2.5 \cdot AC$.
$AC = \frac{10}{2.5} = 4$.
चूंकि $AC = AM + MC$,इसलिए $4 = 2.5 + MC$ होगा।
$MC = 4 - 2.5 = 1.5$.

(C) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m\angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ होता है।
अतः,$PQ^{2} = PR^{2} - QR^{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$PQ^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है:
$PQ^{2} = 4(a^{2})(b^{2}) = 4a^{2}b^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$PQ = \sqrt{4a^{2}b^{2}} = 2ab$।

(B) माना $AB = AC = x$ है।
$\Delta ABC$ में,$m \angle A = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + x^2 = (\sqrt{2} a)^2$ है।
$2x^2 = 2a^2$ है।
$x^2 = a^2$,इसलिए $x = a$ (चूंकि $a \in R^+$ है)।
अतः,$AB = AC = a$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$AB^{2} = AM \cdot AC$ और $BC^{2} = MC \cdot AC$
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$AB^{2} - BC^{2} = AM \cdot AC - MC \cdot AC$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - MC)$
यहाँ $AB^{2} - BC^{2} = 175$ और $AM - MC = 7$ दिया गया है,मान रखने पर:
$175 = AC(7)$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

(D) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QS} \perp \overline{PR}$,समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार,हमारे पास $PQ^2 = PS \cdot PR$ और $QR^2 = SR \cdot PR$ है।
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर: $PQ^2 - QR^2 = (PS - SR) \cdot PR$.
दिया गया है कि $PQ^2 - QR^2 = 260$ और $PS - SR = 10$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $260 = 10 \cdot PR$.
अतः,$PR = \frac{260}{10} = 26$.

(A) दिया गया है कि $\square PQRS$ एक आयत है।
आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल $= PQ \cdot QR = 12$.
आसन्न भुजाओं का योग $PQ + QR = 7$.
$\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^\circ$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
हम जानते हैं कि $(PQ + QR)^2 = PQ^2 + QR^2 + 2(PQ \cdot QR)$.
इसलिए,$PQ^2 + QR^2 = (PQ + QR)^2 - 2(PQ \cdot QR)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $PR^2 = (7)^2 - 2(12)$.
$PR^2 = 49 - 24 = 25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PR = 5$.

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है।
दिया गया है कि $x + y = 23$ और $xy = 120$ है।
हम द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ बना सकते हैं,जो $t^2 - 23t + 120 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $t^2 - 15t - 8t + 120 = 0$ प्राप्त होता है।
$t(t - 15) - 8(t - 15) = 0$।
$(t - 15)(t - 8) = 0$।
अतः,मूल $t = 15$ और $t = 8$ हैं।
चूंकि $AB > BC$ है,इसलिए $AB = 15$ और $BC = 8$ होगा।
अतः,$AB = 15$।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m \angle A = m \angle B + m \angle C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle B + m \angle C$ के स्थान पर $m \angle A$ रखने पर,हमें $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 m \angle A = 180^{\circ}$,इसलिए $m \angle A = 90^{\circ}$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $A$ समकोण है,इसलिए $BC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AB^2 + AC^2$।
$AB = 7$ और $BC = 25$ दिया गया है,इसलिए $25^2 = 7^2 + AC^2$।
$625 = 49 + AC^2$,इसलिए $AC^2 = 625 - 49 = 576$।
अतः,$AC = \sqrt{576} = 24$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 7 + 25 + 24 = 56$।

(D) माना $\overline{AC}$ सीढ़ी है और $\overline{AB}$ दीवार की ऊँचाई है।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
यहाँ $AC = 6.5 \, m$ और $AB = 6 \, m$ दिया गया है।
$6.5^2 = 6^2 + BC^2$
$42.25 = 36 + BC^2$
$BC^2 = 42.25 - 36 = 6.25$
$BC = \sqrt{6.25} = 2.5 \, m$ है।
अतः,सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से $2.5 \, m$ दूर है।

(C) $\Delta ABC$ में,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$\overline{AD}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$7^2 + 5^2 = 2(5^2 + BD^2)$
$49 + 25 = 2(25 + BD^2)$
$74 = 2(25 + BD^2)$
$37 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 12$
$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
चूँकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(A) $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB = 17$,$BC = 15$ और $AC = 8$ दी गई हैं।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके जाँचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है।
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$AB^2 = 17^2 = 289$.
चूँकि $BC^2 + AC^2 = AB^2$,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $AB = 17$ है।
समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा उसका कर्ण होती है।
समकोण त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
माध्यिका की लंबाई = $\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5$.

(C) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ होता है।
दिया गया है कि $AB^2 + AC^2 = 148$ और $AD = 7$ है।
मान रखने पर: $148 = 2(7^2 + BD^2)$।
$148 = 2(49 + BD^2)$।
$74 = 49 + BD^2$।
$BD^2 = 74 - 49 = 25$।
$BD = \sqrt{25} = 5$।
चूंकि $\overline{AD}$ माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $BC = 2 \times BD$ होगा।
$BC = 2 \times 5 = 10$।

(B) $\Delta ADC$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$ है।
$25^{2} = AD^{2} + 7^{2}$ है।
$625 = AD^{2} + 49$ है।
$AD^{2} = 625 - 49 = 576$ है।
$AD = \sqrt{576} = 24$ है।
आयत $ABCD$ का परिमाप $= 2(AD + CD) = 2(24 + 7) = 2(31) = 62$ है।

(B) समचतुर्भुज $XYZW$ में,मान लीजिए कि विकर्ण $XZ$ और $YW$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$OX = \frac{1}{2} XZ = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ और $OY = \frac{1}{2} YW = \frac{1}{2} \times 48 = 24$.
समकोण त्रिभुज $\Delta XOY$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$XY^2 = OX^2 + OY^2$
$XY^2 = 7^2 + 24^2$
$XY^2 = 49 + 576 = 625$
$XY = \sqrt{625} = 25$.

(B) मान लीजिए समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $d_1 = 10$ और $d_2 = 24$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए विकर्ण बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,विकर्णों के आधे भाग $d_1/2 = 5$ और $d_2/2 = 12$ होंगे।
ये भाग समचतुर्भुज की भुजा के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,जिसमें भुजा कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $\text{भुजा}^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$\text{भुजा}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$\text{भुजा} = \sqrt{169} = 13$.
अतः,समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $13$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle Q : m \angle R : m \angle P = 1 : 2 : 1$ है।
माना कोण $x, 2x, x$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + x = 180^{\circ}$,जिससे $4x = 180^{\circ}$,अर्थात $x = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \angle Q = 45^{\circ}$,$m \angle R = 90^{\circ}$ और $m \angle P = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $m \angle P = m \angle Q$ है,इसलिए इनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी,अर्थात $QR = PR$।
समकोण $\Delta PQR$ में $(m \angle R = 90^{\circ})$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PR^2 + QR^2$
चूंकि $QR = PR$ है,इसलिए $PQ^2 = PR^2 + PR^2 = 2PR^2$ होगा।
दिया है $PQ = 2 \sqrt{6}$,इसलिए $PQ^2 = (2 \sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$।
अतः,$24 = 2PR^2$,जिसका अर्थ है कि $PR^2 = 12$।
वर्गमूल लेने पर,$PR = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,$\overline{AB} \cong \overline{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार पर खींची गई माध्यिका,आधार पर लंब (शीर्षलंब) भी होती है।
इसलिए,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$,अतः $\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ के सापेक्ष त्रिभुज की ऊँचाई है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AD$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18 \times 12$
क्षेत्रफल $= 9 \times 12 = 108$.

(A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^\circ$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,इसलिए $m \angle B + m \angle B = 180^\circ$,यानी $2 m \angle B = 180^\circ$,जिसका अर्थ है कि $m \angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
मान लीजिए $AC = 17x$ और $AB = 15x$ है। दिया गया है कि $BC = 8$,इसलिए $(17x)^2 = (15x)^2 + 8^2$ होगा।
$289x^2 = 225x^2 + 64$।
$64x^2 = 64$,इसलिए $x^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अतः,$AB = 15(1) = 15$ और $AC = 17(1) = 17$ है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$ होगा।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$।

(B) समबाहु त्रिभुज का परिमाप का सूत्र है: $P = 3 \times \text{भुजा}$.
यहाँ $P = 12$ दिया गया है,इसलिए $12 = 3 \times \text{भुजा}$.
अतः,भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \frac{12}{3} = 4$ है।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2$.
भुजा का मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$.

(B) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle P = 90^{\circ}$ है और $\overline{PM}$ कर्ण $\overline{QR}$ पर शीर्षलंब है,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब कर्ण के दो खंडों का ज्यामितीय माध्य होता है।
अतः,संबंध $PM^{2} = QM \cdot RM$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$PM^{2} = (2x^{2}) \cdot (8x^{2})$
$PM^{2} = 16x^{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$PM = \sqrt{16x^{4}}$
$PM = 4x^{2}$

(A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
अतः,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AC = 13$ और $CM = 9$ दिया गया है,इसलिए $AM = AC - CM = 13 - 9 = 4$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $BM^2 = 4 \cdot 9 = 36$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$BM = \sqrt{36} = 6$।

(C) $\Delta PQR$ में,हमें दिया गया है कि $m \angle P = m \angle Q + m \angle R$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$ है।
$m \angle Q + m \angle R$ के स्थान पर $m \angle P$ रखने पर,हमें $m \angle P + m \angle P = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cdot m \angle P = 180^{\circ}$,अतः $m \angle P = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $P$ पर $90^{\circ}$ है,इसलिए $QR$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$25^2 = 20^2 + PR^2$ है।
$625 = 400 + PR^2$,इसलिए $PR^2 = 625 - 400 = 225$ है।
अतः,$PR = \sqrt{225} = 15$ है।
$\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 20 + 25 + 15 = 60$ है।

(B) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
यहाँ विकर्ण $d = 8 \sqrt{2}$ दिया गया है।
अतः,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें भुजा की लंबाई $a = 8$ प्राप्त होती है।
वर्ग का परिमाप $P = 4 \times a$ के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $P = 4 \times 8 = 32$ प्राप्त होता है।

(D) वर्ग के क्षेत्रफल की गणना उसके विकर्ण $d$ की लंबाई का उपयोग करके इस सूत्र द्वारा की जा सकती है: $\text{Area} = \frac{d^2}{2}$।
यहाँ विकर्ण की लंबाई $d = 6$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$।

(D) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$b$ कर्ण है ($\angle B$ के सम्मुख भुजा)।
अतः,$b^{2} = a^{2} + c^{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $b^{2} = 9^{2} + 12^{2}$।
$b^{2} = 81 + 144 = 225$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$b = \sqrt{225} = 15$।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m \angle A = 90^{\circ}$ है,भुजा $a$ कर्ण है,और $b$ तथा $c$ अन्य दो भुजाएँ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $a^2 = b^2 + c^2$.
यहाँ $a = 20$ और $b = 12$ दिया गया है,मान रखने पर:
$20^2 = 12^2 + c^2$
$400 = 144 + c^2$
$c^2 = 400 - 144$
$c^2 = 256$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $c = \sqrt{256} = 16$ प्राप्त होता है।

(A) आयत $ABCD$ में,हम जानते हैं कि सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $CD = AB$ और $DA = BC$.
साथ ही,$\angle B = 90^{\circ}$.
दिया गया समीकरण: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 338$.
समान भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 338$.
$2(AB^{2} + BC^{2}) = 338$.
$AB^{2} + BC^{2} = 169$.
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
अतः,$AC^{2} = 169$.
$AC = \sqrt{169} = 13$.

(B) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
अतः,$AC = \sqrt{100} = 10$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ या $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$AB \times BC = AC \times BM$.
$8 \times 6 = 10 \times BM$.
$48 = 10 \times BM$.
$BM = \frac{48}{10} = 4.8$.

(C) $\Delta AMB$ में,$m \angle M = 90^{\circ}$ और $m \angle B = 45^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle MAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
चूंकि $m \angle MAB = m \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\Delta AMB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
अतः,$AM = BM = 4$ होगा।
दिया गया है कि $M \in \overline{BC}$,इसलिए $BC = BM + MC$ होगा।
$7 = 4 + MC$,जिसका अर्थ है कि $MC = 7 - 4 = 3$ होगा।
अब,समकोण $\Delta AMC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$
$AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$।

(D) यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
विकल्प $A$ के लिए: $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $B$ के लिए: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $D$ के लिए: $8^{2} + 24^{2} = 64 + 576 = 640$,जबकि $26^{2} = 676$। चूंकि $640 \neq 676$,इसलिए ये एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं नहीं हैं।

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,मान लीजिए $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{O\}$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $O$,$\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(12) = 6$.
$\Delta ABD$ में,$\overline{AO}$ भुजा $\overline{BD}$ पर माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} + AD^{2} = 2(AO^{2} + BO^{2})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $200 = 2(AO^{2} + 6^{2})$.
$100 = AO^{2} + 36$.
$AO^{2} = 100 - 36 = 64$.
$AO = \sqrt{64} = 8$.
चूंकि $O$,$\overline{AC}$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AC = 2 AO = 2 \times 8 = 16$.

(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसे समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है: $AC^{2} + BD^{2} = 2(AB^{2} + BC^{2})$.
यहाँ $AB^{2} + BC^{2} = 260$ और $AC = 18$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $18^{2} + BD^{2} = 2(260)$.
$324 + BD^{2} = 520$.
$BD^{2} = 520 - 324$.
$BD^{2} = 196$.
$BD = \sqrt{196} = 14$.

(C) एक वर्ग में,विकर्ण की लंबाई का सूत्र है: $\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times \text{भुजा}$.
यहाँ भुजा की लंबाई $AB = 4 \sqrt{2}$ दी गई है।
सूत्र में भुजा का मान रखने पर:
$\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times (4 \sqrt{2})$
$= 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 4 \times 2 = 8$.
अतः,विकर्ण की लंबाई $8$ है।

(D) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3 \times \text{भुजा}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 18$ दिया गया है,इसलिए $18 = 3 \times \text{भुजा}$,जिसका अर्थ है कि $\text{भुजा} = 6$ है।
समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब $(h)$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ है।
भुजा का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}$।

(C) अपोलोनियस का प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,यदि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,तो दो भुजाओं के वर्गों का योग माध्यिका के वर्ग और तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग का दोगुना होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC$।
$BD$ के स्थान पर $DC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$ प्राप्त होता है।

(D) एक त्रिक $(a, b, c)$ पाइथागोरस त्रिक कहलाता है यदि यह $a^2 + b^2 = c^2$ की शर्त को पूरा करता है,जहाँ $c$ सबसे बड़ी संख्या है।
विकल्प $A$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $B$ के लिए: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $C$ के लिए: $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $D$ के लिए: $13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394$,जबकि $37^2 = 1369$. चूँकि $1394 \neq 1369$,इसलिए यह पाइथागोरस त्रिक नहीं है।

(B) $1.$ समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है। अतः,$BM = \frac{1}{2} AC$ $(1-d)$.
$2.$ समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण पर शीर्षलंब $\overline{AD}$ के लिए,समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$AC^2 = CD \cdot BC$ संबंध प्राप्त होता है $(2-c)$.
$3.$ $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ त्रिभुज में,$30^\circ$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है। यहाँ,$BC$,$30^\circ$ के सम्मुख है,इसलिए $BC = \frac{1}{2} AB$ $(3-b)$.
$4.$ अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{BD}$ के लिए,$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ होता है $(4-a)$.
अतः,सही मिलान $(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$ है।