Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(B) बेलन का आधार एक वृत्त होता है।
दिया गया है,आधार की त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है।
बेलन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \pi r^2$ है।
$r$ का मान और $\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$\text{Area} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
अतः,आधार का क्षेत्रफल $154 \, cm^2$ है।

(C) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $10 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{10} \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2$
$CSA = 88 \, cm^2$
अतः,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $88 \, cm^2$ है।

(D) बेलन का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) ज्ञात करने का सूत्र $2 \pi r h$ है।
बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $\pi r^{2} h$ है।
प्रश्न के अनुसार,$CSA$ और आयतन संख्यात्मक रूप से समान हैं:
$2 \pi r h = \pi r^{2} h$
दोनों पक्षों को $\pi r h$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $r \neq 0$ और $h \neq 0$):
$2 = r$
अतः,बेलन की त्रिज्या $2$ इकाई है।

(B) बेलन का आधार एक वृत्त होता है। वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ आधार का क्षेत्रफल $616\,cm^{2}$ दिया गया है।
अतः,$616 = \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r^{2} = 616 \times \frac{7}{22}$.
$r^{2} = 28 \times 7$.
$r^{2} = 196$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{196} = 14\,cm$.
अतः,बेलन के आधार की त्रिज्या $14\,cm$ है।

(C) शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और ऊँचाई $h = 8 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$l = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$l = \sqrt{36 + 64}$
$l = \sqrt{100}$
$l = 10 \, cm$.
अतः,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $10 \, cm$ है।

(C) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 4 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 6 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$CSA = \pi \times 4 \times 6 = 24 \pi \, cm^{2}$।

(B) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 7\, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 15\, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = \frac{22}{7} \times 7 \times 15$
$CSA = 22 \times 15 = 330\, cm^2$.

(D) यहाँ, दिए गए शंकु के लिए त्रिज्या $r = 4\, cm$ और ऊँचाई $h = 3\, cm$ है।
सबसे पहले, हम तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ सूत्र का उपयोग करके करेंगे।
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $TSA = \pi r(r + l)$ है।
मान रखने पर, $TSA = \pi \times 4 \times (4 + 5) = \pi \times 4 \times 9 = 36\pi\, cm^{2}$.

(A) दिए गए शंकु के लिए,त्रिज्या $r = 5\,cm$ और ऊँचाई $h = 12\,cm$ है।
सबसे पहले,हम तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके करेंगे।
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm$.
शंकु का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
शंकु के आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है।
अतः,$CSA$ और आधार के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{13}{5}$ प्राप्त होता है,जो $13:5$ है।

(D) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 7\,cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (7)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 49$
$A = 4 \times 22 \times 7$
$A = 88 \times 7 = 616\,cm^{2}$.

(B) अर्धगोले का व्यास $d = 20 \, cm$ है।
अतः, त्रिज्या $r = d / 2 = 20 / 2 = 10 \, cm$ होगी।
अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r^{2}$ होता है।
$r$ का मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \pi \times (10)^{2}$
$CSA = 2 \times \pi \times 100$
$CSA = 200 \pi \, cm^{2}$.

(C) अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $3 \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 10 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$TSA = 3 \times \pi \times (10)^{2}$
$TSA = 3 \times \pi \times 100$
$TSA = 300 \pi \, cm^{2}$।

(B) अर्धगोले का व्यास $d = 10 \, cm$ है।
अतः, त्रिज्या $r = d / 2 = 10 / 2 = 5 \, cm$ है।
अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $3 \pi r^2$ होता है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$TSA = 3 \times \pi \times (5)^2$
$TSA = 3 \times \pi \times 25$
$TSA = 75 \pi \, cm^2$.

(D) अर्धगोले के वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi r^{2})$ और आधार के क्षेत्रफल $(\pi r^{2})$ का योग होता है,जो $3\pi r^{2}$ के बराबर है।
अतः,$TSA = 3 \times (\pi r^{2}) = 3 \times 154 = 462 \, cm^{2}$।

(D) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ इकाई हैं।
दिया गया है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3}{2}$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4\pi r^{2}$ होता है।
दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{2}^{2}}$ होगा।
इसे सरल करने पर,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$।
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9:4$ है।

(D) मान लीजिए कि गोले और ठोस अर्धगोले दोनों की त्रिज्या $r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4 \pi r^2$ है।
ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $3 \pi r^2$ है।
अतः,गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{4 \pi r^2}{3 \pi r^2} = \frac{4}{3}$ होगा।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $4:3$ है।

(C) बेलन की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{14\, cm}{2} = 7\, cm$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
सूत्र में $r = 7\, cm$ और $h = 10\, cm$ का मान रखने पर:
$V = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10$
$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540\, cm^3$.
अतः,बेलन का आयतन $1540\, cm^3$ है।

(D) बेलन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है।
यहाँ आधार का क्षेत्रफल $20 \, cm^{2}$ दिया गया है,इसलिए $\pi r^{2} = 20 \, cm^{2}$ है।
बेलन का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$V = (20 \, cm^{2}) \times (5 \, cm) = 100 \, cm^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बेलन का आयतन $100 \, cm^{3}$ है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि आयतन $V = 20 \pi \, cm^3$ और ऊँचाई $h = 5 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 \pi = \pi r^2 \times 5$.
दोनों पक्षों को $5 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r^2 = 4$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$r = 2 \, cm$ प्राप्त होता है।
व्यास $d$ त्रिज्या का दोगुना होता है: $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \, cm$।

(D) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है।
दिया गया है कि आयतन $V = 550 \, cm^{3}$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$550 = \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times h$
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$
$h = \frac{550 \times 7}{22 \times 25}$
$h = \frac{3850}{550}$
$h = 7 \, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $7 \, cm$ है।

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 21 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 21$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 21$
$V = 22 \times 25 \times \frac{21}{21}$
$V = 22 \times 25 = 550 \, cm^{3}$.

(B) शंकु के आयतन का सूत्र इस प्रकार है: $V = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,आधार का क्षेत्रफल $= 60 \, cm^{2}$ और ऊँचाई $= 15 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times 60 \times 15$
$V = 20 \times 15 = 300 \, cm^{3}$.
अतः,शंकु का आयतन $300 \, cm^{3}$ है।

(A) मान लीजिए कि शंकु और बेलन दोनों की त्रिज्या $r$ है और उनकी ऊँचाई $h$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
शंकु के आयतन और बेलन के आयतन का अनुपात $\frac{V_{cone}}{V_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(C) बेलन के आयतन का सूत्र $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यह दिया गया है कि दोनों आकृतियों के लिए त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ समान हैं,इसलिए हम उनके आयतन की तुलना कर सकते हैं:
$V_{cylinder} = \pi r^{2} h$
चूँकि $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$,हम लिख सकते हैं कि $\pi r^{2} h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)$।
अतः,$V_{cylinder} = 3 \times V_{cone}$।

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3 \, cm$ और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (3)^{2} \times 3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 3$
$V = 9 \pi \, cm^{3}$.

(B) त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन $V$ सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $8:27$ है।

(D) दिया है: बेलनाकार टैंक का व्यास $= 2.1 \, m$.
त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \, m$ या $\frac{21}{20} \, m$.
ऊँचाई $h = 5 \, m$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r h$ है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5 = 2 \times 22 \times \frac{3}{20} \times 5 = 44 \times \frac{15}{20} = 44 \times 0.75 = 33 \, m^2$.
अतः,$CSA = 33 \, m^2$ है।

(B) बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है。
यहाँ त्रिज्या $r = 1.4 \, m$ और ऊँचाई $h = 4 \, m$ दी गई है。
मान रखने पर,$V = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 4$.
$V = \frac{22}{7} \times 1.96 \times 4 = 22 \times 0.28 \times 4 = 24.64 \, m^3$.
चूँकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$,इसलिए टैंक की क्षमता लीटर में $24.64 \times 1000 = 24640 \, \text{लीटर}$ होगी。

(B) दिया गया है: ऊँचाई $(h) = 3\,m$,व्यास $= 8\,m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,m$.
शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m$.
शंक्वाकार टैंक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi r l$.
$CSA = 3.14 \times 4 \times 5 = 3.14 \times 20 = 62.8\,m^{2}$.

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
यहाँ $A = \frac{763}{3} \, m^{2}$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{763}{3} = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$\frac{763}{3} = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{763}{3 \times 12.56}$
$r^{2} = \frac{763}{37.68}$
$r^{2} \approx 20.25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{20.25} = 4.5 \, m$.
अतः,गोले की त्रिज्या $4.5 \, m$ है।

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और ऊँचाई $h = 21 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर,$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2} \times 21$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 21$.
$V = 22 \times 36 = 792 \, cm^{3}$.

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
दिया गया है: $V = 9504\,cm^{3}$,$r = 18\,cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (18)^{2} \times h$
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 324 \times h$
$9504 = 22 \times 108 \times \frac{h}{7}$
$9504 = 2376 \times \frac{h}{7}$
$h = \frac{9504 \times 7}{2376}$
$h = 4 \times 7 = 28\,cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $28\,cm$ है।

(C) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4\pi r^{2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 1256\,cm^{2}$ और $\pi = 3.14$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56}$
$r^{2} = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $r = 10\,cm$ प्राप्त होता है।

(C) शंकु के छिन्नक के लिए, तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र है:
$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$
यहाँ $h = 4\,cm$, $r_1 = 10\,cm$ और $r_2 = 7\,cm$ दिया गया है:
$l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,cm$
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र है:
$CSA = \pi l(r_1 + r_2)$
मान रखने पर:
$CSA = \pi \times 5 \times (10 + 7) = \pi \times 5 \times 17 = 85\pi\,cm^2$

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ है।
यहाँ दिया गया है: $r_{1} = 3\,cm$,$r_{2} = 2\,cm$,और $h = 21\,cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times (3^{2} + 2^{2} + 3 \times 2)$
$V = 22 \times (9 + 4 + 6)$
$V = 22 \times 19$
$V = 418\,cm^{3}$.
अतः,गिलास की धारिता $418\,cm^{3}$ है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ और $\frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)$.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 4}{16 \times 5} = \frac{9}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $9:20$ है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 1.5\,cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (1.5)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 4 \times \pi \times 0.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 2 \times \pi \times 2.25$
$V = 4.5 \pi\,cm^{3}$.

(A) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ होगी।
नया आयतन $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $r' = 2r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$V' = 8V$ है।
इस प्रकार,आयतन मूल आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(B) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र: $TSA = 3\pi r^{2}$ है।
यहाँ,$TSA = 462\,cm^{2}$ दिया गया है।
अतः,$3\pi r^{2} = 462$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए,$3 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 462$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{3 \times 22}$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{66}$.
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 7 = 14\,cm$ होगा।

(A) $r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यह सूत्र समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई भाग होता है।

(D) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि $r_1 : r_2 = 3 : 4$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
इसलिए,दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27:64$ है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ $V = 4.5 \pi \, cm^3$ दिया गया है,इसलिए:
$4.5 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर:
$4.5 = \frac{4}{3} r^3$
$r^3 = 4.5 \times \frac{3}{4} = \frac{45}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$
व्यास $d = 2r$ होता है,इसलिए:
$d = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(C) क्षेत्रफल को उस द्वि-आयामी स्थान की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे कोई वस्तु घेरती है। क्षेत्रफल की मानक इकाई वर्ग इकाई (जैसे $m^2$,$cm^2$,$km^2$) होती है।
$cm^3$ और $m^3$ आयतन की इकाइयाँ हैं।
$cm$ लंबाई की एक इकाई है।
अतः,$cm^2$ क्षेत्रफल की एक इकाई है।

(B) आयतन को किसी त्रिविमीय वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली $(SI)$ में,लंबाई की मूल इकाई मीटर $(m)$ है।
चूंकि आयतन की गणना तीन विमाओं (लंबाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊंचाई) के गुणनफल के रूप में की जाती है,इसलिए इसकी इकाई लंबाई की इकाई का घन होती है।
अतः,आयतन की इकाई $m \times m \times m = m^3$ है।
- $m$ लंबाई की एक इकाई है।
- $m^2$ क्षेत्रफल की एक इकाई है।
- $cm^2$ भी क्षेत्रफल की एक इकाई है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) घनाकार टैंक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \text{भुजा}^3$ है।
यहाँ भुजा की लंबाई $1\, m$ दी गई है,इसलिए आयतन $V = (1\, m)^3 = 1\, m^3$ होगा।
हम जानते हैं कि $1\, m^3 = 1000\, \text{लीटर}$ होता है।
अतः,टैंक में संग्रहित किए जा सकने वाले पानी की अधिकतम मात्रा $1000\, \text{लीटर}$ है।

(D) भुजा वाले घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^{2}$ होता है।
यहाँ भुजा की लंबाई $a = 4 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (4 \, cm)^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times 16 \, cm^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 96 \, cm^{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + hl)$ होता है,जहाँ $l$,$b$ और $h$ क्रमशः घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई हैं।
दी गई विमाएँ $l = 15\,cm$,$b = 12\,cm$ और $h = 10\,cm$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(15 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 15)$
$= 2(180 + 120 + 150)$
$= 2(450)$
$= 900\,cm^{2}$।

(B) दिए गए अर्धगोले के लिए,त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $3 \pi r^{2}$ है।
सूत्र में $r = 1 \, cm$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \times \pi \times (1)^{2} = 3 \pi \, cm^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $132 \, cm^2$ है और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$132 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 3$
$132 = \frac{132}{7} \times r$
दोनों पक्षों को $\frac{7}{132}$ से गुणा करने पर:
$r = 132 \times \frac{7}{132} = 7 \, cm$.
व्यास $d$ त्रिज्या का दोगुना होता है:
$d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$.

(D) बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r(h + r)$ होता है।
दिया गया है,त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और ऊँचाई $h = 13 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (13 + 7)$
$= 2 \times 22 \times 20$
$= 44 \times 20 = 880 \, cm^{2}$.