Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

(C) બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.),જેને $d = \text{gcd}(a, b)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સૌથી મોટો ધન પૂર્ણાંક છે જે $a$ અને $b$ બંનેને ભાગે છે.
$1$. વ્યાખ્યા મુજબ,$d$ એ $a$ અને $b$ બંનેને ભાગવો જોઈએ,તેથી $d \mid a$ અને $d \mid b$ સત્ય છે.
$2$. $a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ $c$ એ ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$c \leqslant d$ સત્ય છે.
$3$. ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવના ગુણધર્મ મુજબ,$a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ $c$ એ તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ ને પણ ભાગે છે. તેથી,$c \mid d$ સત્ય છે.
$4$. વિધાન $c > d$ અસત્ય છે કારણ કે જો $c$ એ સામાન્ય અવયવ હોય,તો તે ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ કરતા મોટો હોઈ શકે નહીં.

(A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય અને સંમેય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો અનુસાર,જો કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) ના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} 5^{n}$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અઋણ પૂર્ણાંકો છે,તો તે સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાંત હોય છે.
તેથી,$\frac{p}{q}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ સાંત દશાંશ નિરૂપણ છે.

(B) અપૂર્ણાંક $\frac{12}{35}$ માટે,આપણે પ્રથમ છેદ $q = 35$ ને તપાસીએ.
છેદનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $q = 5 \times 7$ છે.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત ત્યારે જ હોય જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં છેદ $35$ માં અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે (જે $2$ કે $5$ નથી),તેથી $\frac{12}{35}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{42}{35}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગ.સા.અ.),જે $7$ છે,તેના વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{42 \div 7}{35 \div 7} = \frac{6}{5}$.
હવે,છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવીને અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10} = 1.2$.
અહીં દશાંશ અભિવ્યક્તિ $1.2$ એ નિશ્ચિત અંકો પછી અટકી જાય છે,તેથી તે સાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.

(D) દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવીને અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
$\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
દશાંશ નિરૂપણ $0.094$ માં,દશાંશ ચિહ્ન પછી $3$ અંકો છે.

(A) $\frac{9}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા અંકો પછી શાંત થશે તે શોધવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times 10^2 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2$.
હવે,અપૂર્ણાંક $\frac{9}{2^6 \times 5^2}$ છે.
$2$ અને $5$ ની ઘાત સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^4$ વડે ગુણીશું:
$\frac{9 \times 5^4}{2^6 \times 5^2 \times 5^4} = \frac{9 \times 625}{2^6 \times 5^6} = \frac{5625}{(2 \times 5)^6} = \frac{5625}{10^6}$.
છેદ $10^6$ હોવાથી,દશાંશ નિરૂપણ $6$ અંકો પછી શાંત થશે.

(C) $\frac{337}{125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણીને છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવી શકીએ છીએ.
$\frac{337}{125} = \frac{337 \times 8}{125 \times 8}$
$= \frac{2696}{1000}$
$= 2.696$

(C) જ્યારે બે કરણીઓને તેમના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવવામાં આવે અને તેમનો કરણીગત ભાગ (radicand) સમાન હોય,ત્યારે તેમને સજાતીય કરણીઓ કહેવાય છે.
પ્રથમ,$\sqrt{12}$ ને સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$B) \sqrt{36} = 6$ (આ એક સંમેય સંખ્યા છે,કરણી નથી)
$C) \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$D) \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$
અહીં $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ છે,જે બંનેમાં અસંમેય અવયવ $\sqrt{3}$ સમાન છે.
તેથી,$\sqrt{12}$ અને $\sqrt{48}$ એ સજાતીય કરણીઓ છે.

(B) જ્યારે બે કરણીઓનું સાદું રૂપ આપ્યા પછી તેમનો કરણીનો ભાગ સમાન હોય,ત્યારે તેમને 'સજાતીય કરણી' કહેવાય છે.
$A) \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $\sqrt{16} = 4$. આ સજાતીય કરણી નથી.
$B) \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ અને $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$. બંનેમાં કરણીનો ભાગ $\sqrt{2}$ સમાન છે,તેથી આ સજાતીય કરણી છે.
$C) \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ અને $\sqrt{6}$. આ સજાતીય કરણી નથી.
$D) \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ અને $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. આ સજાતીય કરણી નથી.
તેથી,સાચી જોડી $\sqrt{18}$ અને $\sqrt{50}$ છે.

(C) ધારો કે બે અનુબદ્ધ દ્વિપદી કરણીઓ $(a + \sqrt{b})$ અને $(a - \sqrt{b})$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,$a^2 - b$ પણ એક સંમેય સંખ્યા જ મળે છે.
તેથી,બે અનુબદ્ધ દ્વિપદી કરણીઓનો ગુણાકાર હંમેશા એક સંમેય સંખ્યા હોય છે.

(C) દ્વિપદી કરણીના બે પદો વચ્ચેની નિશાની બદલીને અનુબદ્ધ કરણી મેળવવામાં આવે છે.
$a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપની દ્વિપદી કરણી માટે,તેની અનુબદ્ધ કરણી $a-\sqrt{b}$ થાય છે.
આપેલ પદ $3+\sqrt{2}$ છે,તેથી આપણે કરણીવાળા ભાગની નિશાની બદલીશું.
આમ,$3+\sqrt{2}$ ની અનુબદ્ધ કરણી $3-\sqrt{2}$ છે.

(B) $(\sqrt{3}+2)^{2}$ ઉકેલવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 2$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}+2)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2(\sqrt{3})(2) + (2)^{2}$
$= 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$= 7 + 4\sqrt{3}$.

(D) $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $5$ થાય અને ગુણાકાર $6$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $3$ અને $2$ છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\sqrt{5+2 \sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \times 2}}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{3+2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}}$
$= \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$
$= \sqrt{3}+\sqrt{2}$

(A) $\frac{1}{3+\sqrt{8}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3-\sqrt{8})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{3+\sqrt{8}} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} \times \frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3-\sqrt{8}}{(3)^2 - (\sqrt{8})^2}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{1}$
$= 3-\sqrt{8}$

(C) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $\sqrt{140}$ ને $2\sqrt{35}$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,પદ $\sqrt{12-2\sqrt{35}}$ બને છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $12$ અને ગુણાકાર $35$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $5$ છે.
આપણે $12$ ને $(7+5)$ અને $35$ ને $(7 \times 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \times 5}}$.
નિત્યસમ $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}$ મળે છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ છે.

(D) કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ ને $2k+1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ ને $n = 4k \pm 1$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે અથવા કિંમતો મૂકીને ચકાસી શકાય છે.
ધારો કે $n = 1$,તો $n^{2}-1 = 1^{2}-1 = 0$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
ધારો કે $n = 3$,તો $n^{2}-1 = 3^{2}-1 = 9-1 = 8$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
ધારો કે $n = 5$,તો $n^{2}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
સામાન્ય સાબિતી: $n$ એકી હોવાથી,$n = 2k+1$.
$n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1-1 = 4k(k+1)$.
$k(k+1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે,એટલે કે $k(k+1) = 2m$.
તેથી,$n^{2}-1 = 4(2m) = 8m$.
આમ,$n^{2}-1$ હંમેશા $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r,$ જ્યાં શેષ $r$ એ શરત $0 \leq r < b$ નું પાલન કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ એ $0$ અથવા તેનાથી મોટી અને ભાજક $b$ કરતા નાની હોય છે. તેથી,સાચી શરત $0 \leq r < b$ છે.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leqslant r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,આપણને $b = 7$ આપેલ છે.
શરત $0 \leqslant r < b$ માં $b = 7$ મૂકતા,આપણને $0 \leqslant r < 7$ મળે છે.
તેથી,શેષ $r$ માટેની સાચી શરત $0 \leqslant r < 7$ છે.

(D) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,$r$ માટેની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
કારણ કે $r$ ની કિંમત $5$ કરતા નાની હોવી જોઈએ,તેથી $r = 6$ શક્ય નથી.

(B) આ ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક જોડી માટે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) અને ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. $\text{લ.સા.અ.}(8, 16, 24)$:
અવિભાજ્ય અવયવો: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
લ.સા.અ. = $2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$. ($b$ સાથે મેળ ખાય છે)
$2$. $\text{ગુ.સા.અ.}(8, 16, 24)$:
સામાન્ય અવયવો: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
ગુ.સા.અ. = $2^3 = 8$. ($c$ સાથે મેળ ખાય છે)
$3$. $\text{લ.સા.અ.}(6, 12, 18)$:
અવિભાજ્ય અવયવો: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
લ.સા.અ. = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. ($a$ સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $\text{ગુ.સા.અ.}(6, 12, 18)$:
સામાન્ય અવયવો: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
ગુ.સા.અ. = $2^1 \times 3^1 = 6$. ($e$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a), (4-e)$ છે.