Textbook - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x - 5y = 4$
$2) 9x - 2y = 7$
विलोपन विधि:
$x$ के गुणांकों को समान करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$9x - 15y = 12$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7$
$-13y = 5$
$y = -5/13$
$y = -5/13$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x - 5(-5/13) = 4$
$3x + 25/13 = 4$
$3x = 4 - 25/13 = (52 - 25)/13 = 27/13$
$x = 9/13$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(1)$ से,$3x = 5y + 4$,इसलिए $x = (5y + 4)/3$.
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$9((5y + 4)/3) - 2y = 7$
$3(5y + 4) - 2y = 7$
$15y + 12 - 2y = 7$
$13y = -5$
$y = -5/13$
अतः $x = (5(-5/13) + 4)/3 = (-25/13 + 52/13)/3 = (27/13)/3 = 9/13$.
इस प्रकार,हल $x = 9/13$ और $y = -5/13$ है.

(X=2, Y=-3) दिए गए समीकरण:
$(1)$ $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$
$(2)$ $x - \frac{y}{3} = 3$
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करके सरल करने पर: $3x + 4y = -6$ $(3)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करके सरल करने पर: $3x - y = 9$ $(4)$
विलोपन विधि:
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9$
$5y = -15 \implies y = -3$
$y = -3$ को समीकरण $(4)$ में रखने पर: $3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(4)$ से,$y = 3x - 9$
इस मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर: $3x + 4(3x - 9) = -6$
$3x + 12x - 36 = -6 \implies 15x = 30 \implies x = 2$
$x = 2$ को $y = 3x - 9$ में रखने पर: $y = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$
अंतिम हल: $x = 2, y = -3$.

(N/A) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{x+1}{y-1} = 1 \implies x+1 = y-1 \implies x-y = -2$ $...(1)$
$\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = y+1 \implies 2x-y = 1$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x-y) - (x-y) = 1 - (-2)$
$2x - y - x + y = 1 + 2$
$x = 3$ $...(3)$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 - y = -2$
$-y = -2 - 3$
$-y = -5$
$y = 5$
अतः,भिन्न $\frac{3}{5}$ है।

(N/A) माना नूरी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पाँच वर्ष पूर्व,नूरी की आयु $(x-5)$ थी और सोनू की आयु $(y-5)$ थी।
$(x-5) = 3(y-5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ $...(1)$
दस वर्ष पश्चात,नूरी की आयु $(x+10)$ होगी और सोनू की आयु $(y+10)$ होगी।
$(x+10) = 2(y+10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x - 3(20) = -10$
$x - 60 = -10$
$x = 50$
अतः,नूरी की वर्तमान आयु $50$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $20$ वर्ष है।

(A) माना कि इकाई का अंक $x$ है और दहाई का अंक $y$ है। अतः,संख्या $10y + x$ होगी।
प्रथम शर्त के अनुसार,अंकों का योग $9$ है:
$x + y = 9$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,संख्या का $9$ गुना,अंकों को पलटने से बनी संख्या के $2$ गुने के बराबर है:
$9(10y + x) = 2(10x + y)$
$90y + 9x = 20x + 2y$
$88y - 11x = 0$
$11$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$8y - x = 0$ या $-x + 8y = 0$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + 8y) = 9 + 0$
$9y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 1 = 9$
$x = 8$
अतः,वह संख्या $10y + x = 10(1) + 8 = 18$ है।

(A) माना कि ₹ $50$ के नोटों की संख्या $x$ है और ₹ $100$ के नोटों की संख्या $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$1$. नोटों की कुल संख्या $25$ है,इसलिए $x + y = 25$ $...(1)$
$2$. नोटों का कुल मूल्य ₹ $2000$ है,इसलिए $50x + 100y = 2000$ $...(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $50$ से गुणा करें:
$50x + 50y = 1250$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(50x + 100y) - (50x + 50y) = 2000 - 1250$
$50y = 750$
$y = 15$
$y = 15$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 15 = 25$
$x = 10$
अतः,मीना ने ₹ $50$ के $10$ नोट और ₹ $100$ के $15$ नोट प्राप्त किए।

(N/A) माना कि प्रथम तीन दिनों का नियत किराया $Rs$ $x$ है और उसके बाद प्रत्येक दिन का अतिरिक्त किराया $Rs$ $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
सरिता के लिए: पुस्तक $7$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $4$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 4y = 27$ $...(1)$
सूसी के लिए: पुस्तक $5$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $2$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 2y = 21$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 27 - 21$
$2y = 6$
$y = 3$ $...(3)$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 4(3) = 27$
$x + 12 = 27$
$x = 15$
अतः,नियत किराया $Rs$ $15$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया $Rs$ $3$ है।

(N/A) मान लीजिए कि बेंगलुरु के बस स्टैंड से मल्लेश्वरम का किराया ₹ $x$ है और यशवंतपुर का किराया ₹ $y$ है। दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास है:
$2x + 3y = 46$,अर्थात $2x + 3y - 46 = 0$ $...(1)$
$3x + 5y = 74$,अर्थात $3x + 5y - 74 = 0$ $...(2)$
वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication method) द्वारा समीकरणों को हल करने के लिए,हम गुणांकों का उपयोग इस प्रकार करते हैं:
$\frac{x}{(3)(-74) - (5)(-46)} = \frac{y}{(-46)(3) - (-74)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (3)(3)}$
अर्थात,$\frac{x}{-222 + 230} = \frac{y}{-138 + 148} = \frac{1}{10 - 9}$
अर्थात,$\frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1}$
अतः,$\frac{x}{8} = 1$ और $\frac{y}{10} = 1$,जिससे $x = 8$ और $y = 10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बेंगलुरु के बस स्टैंड से मल्लेश्वरम का किराया ₹ $8$ है और यशवंतपुर का किराया ₹ $10$ है।

(B) दिए गए समीकरण $4x + py + 8 = 0$ और $2x + 2y + 2 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 4, b_{1} = p, c_{1} = 8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 2, c_{2} = 2$
रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{4}{2} \neq \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 \neq \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$p \neq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$4$ को छोड़कर $p$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।

(A) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $kx + 3y - (k - 3) = 0$ और $12x + ky - k = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ और $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k}$।
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k^2 = 36$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \pm 6$।
$\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$ से,हमें $3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$k = 0$ या $k = 6$।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $k = 6$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x - 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$3x - 9y - 2 = 0$ ... $(2)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -3$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = -2$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y - 5 = 0$
$3x + 2y - 8 = 0$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -8$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(1)(-8) - (2)(-5)} = \frac{y}{(-5)(3) - (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-8 + 10} = \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 - 3}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1}$
अतः,$x = 2$ और $y = 1$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 5y - 20 = 0$ --- $(1)$
$6x - 10y - 40 = 0$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -20$
$a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -40$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती (coincident) हैं।
अतः,इस रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x - 3y - 7 = 0$ ... $(1)$
$3x - 3y - 15 = 0$ ... $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $\frac{1}{3} \neq 1$),इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9}$
$\frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{24} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{24}{6} = 4$
$y$ के लिए: $\frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \implies y = \frac{-6}{6} = -1$
अतः,अद्वितीय हल $x = 4, y = -1$ है।

(A) दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x + 3y - 7 = 0$
$(a-b)x + (a+b)y - (3a + b - 2) = 0$
रैखिक समीकरण युग्म $\frac{a_1}{a_2}x + \frac{b_1}{b_2}y + \frac{c_1}{c_2} = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{a-b}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{a+b}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-(3a+b-2)} = \frac{7}{3a+b-2}$ है।
अनुपातों की तुलना करने पर:
$1) \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} \implies 2a + 2b = 3a - 3b \implies a - 5b = 0 \implies a = 5b$ (समीकरण $1$)
$2) \frac{2}{a-b} = \frac{7}{3a+b-2} \implies 6a + 2b - 4 = 7a - 7b \implies a - 9b = -4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $a = 5b$ रखने पर:
$5b - 9b = -4 \implies -4b = -4 \implies b = 1$.
अब,$b = 1$ को $a = 5b$ में रखने पर:
$a = 5(1) = 5$.
अतः,$a = 5$ और $b = 1$ अभीष्ट मान हैं।

(B) दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
$3x + y - 1 = 0$
$(2k - 1)x + (k - 1)y - (2k + 1) = 0$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -1$ और $a_2 = 2k - 1, b_2 = k - 1, c_2 = -(2k + 1)$ है।
रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
अतः,$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} \neq \frac{-1}{-(2k + 1)}$
$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$ लेने पर:
$3(k - 1) = 1(2k - 1)$
$3k - 3 = 2k - 1$
$3k - 2k = -1 + 3$
$k = 2$
अतः,$k = 2$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$8x + 5y = 9$ $...(i)$
$3x + 2y = 4$ $...(ii)$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(ii)$ से:
$3x = 4 - 2y \implies x = \frac{4 - 2y}{3}$ $...(iii)$
$(iii)$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$8(\frac{4 - 2y}{3}) + 5y = 9$
$32 - 16y + 15y = 27$
$-y = 27 - 32$
$-y = -5 \implies y = 5$
$y = 5$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$x = \frac{4 - 2(5)}{3} = \frac{4 - 10}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
अतः,$x = -2, y = 5$.
वज्र-गुणन विधि:
$8x + 5y - 9 = 0$
$3x + 2y - 4 = 0$
सूत्र $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$
$\frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 - 15}$
$\frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$
$x = -2, y = 5$.

(N/A) माना छात्रावास का नियत मासिक व्यय $x$ है और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
विद्यार्थी $A$ के लिए: $x + 20y = 1000$ $...(1)$
विद्यार्थी $B$ के लिए: $x + 26y = 1180$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 26y) - (x + 20y) = 1180 - 1000$
$6y = 180$
$y = 30$
$y = 30$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 20(30) = 1000$
$x + 600 = 1000$
$x = 400$
अतः,छात्रावास का नियत मासिक व्यय ₹ $400$ है और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ $30$ है।

(A) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \implies 3x - y = 3$ $...(1)$
$\frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \implies 4x - y = 8$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(4x - y) - (3x - y) = 8 - 3$
$x = 5$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(5) - y = 3$
$15 - y = 3$
$y = 12$
अतः,भिन्न $\frac{5}{12}$ है।

(20) माना सही उत्तरों की संख्या $x$ है और गलत उत्तरों की संख्या $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
प्रथम स्थिति के लिए: $3x - y = 40$ $...(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $4x - 2y = 50$
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x - y = 25$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25$
$x = 15$
$x = 15$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(15) - y = 25$
$30 - y = 25$
$y = 5$
अतः,सही उत्तरों की संख्या $15$ है और गलत उत्तरों की संख्या $5$ है।
कुल प्रश्नों की संख्या $= x + y = 15 + 5 = 20$.

(A) माना कि पहली कार की गति $u \ km/h$ और दूसरी कार की गति $v \ km/h$ है।
जब कारें एक ही दिशा में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u - v) \ km/h$ होती है। चूँकि वे $5 \ \text{घंटे}$ में $100 \ km$ की दूरी तय करके मिलती हैं,इसलिए:
$5(u - v) = 100 \Rightarrow u - v = 20 \quad \dots(1)$
जब कारें एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u + v) \ km/h$ होती है। चूँकि वे $1 \ \text{घंटे}$ में $100 \ km$ की दूरी तय करके मिलती हैं,इसलिए:
$1(u + v) = 100 \Rightarrow u + v = 100 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(u - v) + (u + v) = 20 + 100$
$2u = 120 \Rightarrow u = 60 \ km/h$
$u = 60$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$60 + v = 100 \Rightarrow v = 40 \ km/h$
अतः,पहली कार की गति $60 \ km/h$ और दूसरी कार की गति $40 \ km/h$ है।

(A) माना कि आयत की लंबाई $x$ इकाई और चौड़ाई $y$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= x y$
प्रथम शर्त के अनुसार:
$(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$3x - 5y = 6$ ...$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$2x + 3y = 61$ ...$(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$\frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (-5)(2)}$
$\frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10}$
$\frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19}$
$x = \frac{323}{19} = 17$
$y = \frac{171}{19} = 9$
अतः,लंबाई $17$ इकाई और चौड़ाई $9$ इकाई है।

(N/A) दिए गए समीकरणों के युग्म को इस प्रकार लिखें:
$2\left(\frac{1}{x}\right) + 3\left(\frac{1}{y}\right) = 13$ $...(1)$
$5\left(\frac{1}{x}\right) - 4\left(\frac{1}{y}\right) = -2$ $...(2)$
ये समीकरण मानक रूप $ax + by + c = 0$ में नहीं हैं। यदि हम $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$ प्रतिस्थापित करें,तो समीकरण $(1)$ और $(2)$ से हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 13$ $...(3)$
$5p - 4q = -2$ $...(4)$
अब,हम इन समीकरणों को विलोपन विधि से हल करते हैं। समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8p + 12q = 52$ $...(5)$
$15p - 12q = -6$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$23p = 46 \implies p = 2$
$p = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(2) + 3q = 13 \implies 4 + 3q = 13 \implies 3q = 9 \implies q = 3$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$ और $q = \frac{1}{y}$,इसलिए:
$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः,हल $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है।

(A) माना कि $\frac{1}{x-1} = p$ और $\frac{1}{y-2} = q$ है। तब दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$5p + q = 2$ $...(1)$
$6p - 3q = 1$ $...(2)$
इन्हें हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$15p + 3q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6p - 3q) + (15p + 3q) = 1 + 6$
$21p = 7$
$p = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$p = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + q = 2$
$\frac{5}{3} + q = 2$
$q = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$p$ और $q$ के मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।

(N/A) माना कि स्थिर पानी में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
अतः धारा के अनुकूल नाव की गति $= (x+y)\, km/h$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $= (x-y)\, km/h$ होगी।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करते हुए।
प्रथम स्थिति में,$30\, km$ धारा के प्रतिकूल और $44\, km$ धारा के अनुकूल जाने में कुल $10\, \text{घंटे}$ लगते हैं:
$\frac{30}{x-y} + \frac{44}{x+y} = 10 \quad ...(1)$
दूसरी स्थिति में,$40\, km$ धारा के प्रतिकूल और $55\, km$ धारा के अनुकूल जाने में कुल $13\, \text{घंटे}$ लगते हैं:
$\frac{40}{x-y} + \frac{55}{x+y} = 13 \quad ...(2)$
माना $\frac{1}{x-y} = u$ और $\frac{1}{x+y} = v \quad ...(3)$
इन मानों को समीकरण $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$30u + 44v = 10 \quad ...(4)$
$40u + 55v = 13 \quad ...(5)$
विलोपन विधि का उपयोग करके हल करने पर:
समीकरण $(4)$ को $4$ से और $(5)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
समीकरणों को घटाने पर: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}.$
$v = \frac{1}{11}$ को समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}.$
अब,$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$ और $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{11} \implies x+y = 11.$
इन्हें जोड़ने पर: $2x = 16 \implies x = 8.$
इन्हें घटाने पर: $2y = 6 \implies y = 3.$
अतः,स्थिर पानी में नाव की गति $8\, km/h$ है और धारा की गति $3\, km/h$ है।

(X=1/2, Y=1/3) दिए गए समीकरण:
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2$ ...$(1)$
$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$ ...$(2)$
माना $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$ है। इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$\frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 \Rightarrow 3p + 2q = 12$ ...$(3)$
$\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2p + 3q = 13$ ...$(4)$
समीकरण $(3)$ को $3$ से और समीकरण $(4)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9p + 6q = 36$ ...$(5)$
$4p + 6q = 26$ ...$(6)$
समीकरण $(5)$ में से $(6)$ को घटाने पर:
$(9p - 4p) + (6q - 6q) = 36 - 26$
$5p = 10 \Rightarrow p = 2$
$p = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3(2) + 2q = 12$
$6 + 2q = 12 \Rightarrow 2q = 6 \Rightarrow q = 3$
चूंकि $p = \frac{1}{x} = 2$ है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q = \frac{1}{y} = 3$ है,इसलिए $y = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(X=4, Y=9) माना कि $\frac{1}{\sqrt{x}} = p$ और $\frac{1}{\sqrt{y}} = q$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 2$ $...(1)$
$4p - 9q = -1$ $...(2)$
$q$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6p + 9q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(4p - 9q) + (6p + 9q) = -1 + 6$
$10p = 5$
$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$p = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(\frac{1}{2}) + 3q = 2$
$1 + 3q = 2$
$3q = 1$
$q = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$
$q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9$
अतः,हल $x = 4, y = 9$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{4}{x} + 3y = 14$ $...(1)$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$ $...(2)$
माना $\frac{1}{x} = p$। इसे समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$4p + 3y = 14$ $...(3)$
$3p - 4y = 23$ $...(4)$
विलोपन विधि का उपयोग करते हुए,समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16p + 12y = 56$ $...(5)$
$9p - 12y = 69$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$25p = 125$
$p = 5$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{1}{x} = 5$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{5}$।
$p = 5$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$4(5) + 3y = 14$
$20 + 3y = 14$
$3y = 14 - 20$
$3y = -6$
$y = -2$
अतः,हल $x = \frac{1}{5}$ और $y = -2$ है।

(A) माना कि $u = \frac{1}{x-1}$ और $v = \frac{1}{y-2}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$\frac{5}{3} + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$u$ और $v$ के मूल मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$2$) $\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
चरण $1$: अंश के प्रत्येक पद को हर $xy$ से विभाजित करके समीकरणों को सरल करें:
समीकरण $(1)$ बनता है: $\frac{7x}{xy} - \frac{2y}{xy} = 5 \implies \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5$
समीकरण $(2)$ बनता है: $\frac{8x}{xy} + \frac{7y}{xy} = 15 \implies \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15$
चरण $2$: मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(i)$ $-2u + 7v = 5$
(ii) $7u + 8v = 15$
चरण $3$: विलोपन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें।
समीकरण $(i)$ को $7$ से और (ii) को $2$ से गुणा करें:
$-14u + 49v = 35$
$14u + 16v = 30$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $65v = 65 \implies v = 1$।
चरण $4$: $v = 1$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$-2u + 7(1) = 5 \implies -2u = -2 \implies u = 1$।
चरण $5$: $x$ और $y$ ज्ञात करें:
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1$।
अंतिम उत्तर: $x = 1, y = 1$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $6x + 3y = 6xy$
$(2)$ $2x + 4y = 5xy$
दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$(1)$ से: $\frac{6x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{6xy}{xy} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6$
$(2)$ से: $\frac{2x}{xy} + \frac{4y}{xy} = \frac{5xy}{xy} \implies \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(3)$ $3u + 6v = 6$
$(4)$ $4u + 2v = 5$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$12u + 6v = 15$ $(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(12u + 6v) - (3u + 6v) = 15 - 6$
$9u = 9 \implies u = 1$
$u = 1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3(1) + 6v = 6 \implies 6v = 3 \implies v = \frac{1}{2}$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$
और $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(X=3, Y=2) माना $u = \frac{1}{x+y}$ और $v = \frac{1}{x-y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$10u + 2v = 4$ --- $(1)$
$15u - 5v = -2$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$50u + 10v = 20$
$30u - 10v = -4$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $80u = 16$,अतः $u = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$।
$u = \frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{1}{5}) + 2v = 4 \implies 2 + 2v = 4 \implies 2v = 2 \implies v = 1$।
अब,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
और $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर: $2x = 6 \implies x = 3$।
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $2y = 4 \implies y = 2$।
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।

(N/A) माना $u = \frac{1}{3x+y}$ और $v = \frac{1}{3x-y}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$u + v = \frac{3}{4}$ --- $(1)$
$\frac{1}{2}u - \frac{1}{2}v = -\frac{1}{8}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$u - v = -\frac{1}{4}$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(u + v) + (u - v) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$2u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$u = \frac{1}{4}$
$u = \frac{1}{4}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{4} + v = \frac{3}{4}$
$v = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$3x+y = \frac{1}{u} = 4$ --- $(4)$
$3x-y = \frac{1}{v} = 2$ --- $(5)$
$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$6x = 6 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान $(4)$ में रखने पर:
$3(1) + y = 4 \implies y = 1$
अतः,हल $x = 1, y = 1$ है।

(A) माना कि रितु की स्थिर जल में चाल $x\, \text{किमी/घंटा}$ है और धारा की चाल $y\, \text{किमी/घंटा}$ है।
तैरते समय रितु की चाल:
धारा के प्रतिकूल (Upstream) $= (x - y)\, \text{किमी/घंटा}$
धारा के अनुकूल (Downstream) $= (x + y)\, \text{किमी/घंटा}$
प्रश्न के अनुसार:
धारा के अनुकूल: $2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10$ $...(1)$
धारा के प्रतिकूल: $2(x - y) = 4 \Rightarrow x - y = 2$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$
समीकरण $(1)$ में $x = 6$ रखने पर:
$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$
अतः, रितु की स्थिर जल में चाल $6\, \text{किमी/घंटा}$ है और धारा की चाल $4\, \text{किमी/घंटा}$ है।

(A) माना कि एक महिला द्वारा काम पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या $x$ है और एक पुरुष द्वारा लिए गए दिनों की संख्या $y$ है।
अतः,एक महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x}$.
एक पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{y}$.
प्रश्न के अनुसार:
$4(\frac{2}{x} + \frac{5}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ $(i)$
$3(\frac{3}{x} + \frac{6}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{3}$ $(ii)$
माना $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$. इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$2p + 5q = \frac{1}{4} \Rightarrow 8p + 20q = 1$ $(iii)$
$3p + 6q = \frac{1}{3} \Rightarrow 9p + 18q = 1$ $(iv)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{p}{-20 + 18} = \frac{q}{9 - 8} = \frac{1}{144 - 180}$
$\frac{p}{-2} = \frac{q}{-1} = \frac{1}{-36}$
$p = \frac{1}{18}$ और $q = \frac{1}{36}$.
अतः,$x = 18$ और $y = 36$.
इस प्रकार,$1$ महिला अकेले काम को $18$ दिनों में और $1$ पुरुष अकेले $36$ दिनों में पूरा करेगा।

(N/A) माना रेलगाड़ी की चाल $u \ km/h$ और बस की चाल $v \ km/h$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
स्थिति $1$: $60 \ km$ रेलगाड़ी द्वारा और $240 \ km$ बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय = $4 \ \text{घंटे}$।
$\frac{60}{u} + \frac{240}{v} = 4 \quad ...(1)$
स्थिति $2$: $100 \ km$ रेलगाड़ी द्वारा और $200 \ km$ बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय = $4 \ \text{घंटे }+ 10 \ \text{मिनट }= 4 + \frac{10}{60} = 4 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} \ \text{घंटे}$।
$\frac{100}{u} + \frac{200}{v} = \frac{25}{6} \quad ...(2)$
माना $\frac{1}{u} = p$ और $\frac{1}{v} = q$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$60p + 240q = 4 \quad ...(3)$
$100p + 200q = \frac{25}{6} \implies 600p + 1200q = 25 \quad ...(4)$
समीकरण $(3)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$600p + 2400q = 40 \quad ...(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$(600p + 2400q) - (600p + 1200q) = 40 - 25$
$1200q = 15 \implies q = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80}$
$q = \frac{1}{80}$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$60p + 240(\frac{1}{80}) = 4$
$60p + 3 = 4 \implies 60p = 1 \implies p = \frac{1}{60}$
चूंकि $p = \frac{1}{u} = \frac{1}{60}$ और $q = \frac{1}{v} = \frac{1}{80}$,हमें प्राप्त होता है:
$u = 60 \ km/h$ और $v = 80 \ km/h$।
अतः,रेलगाड़ी की चाल $60 \ km/h$ और बस की चाल $80 \ km/h$ है।

(A-D) माना अनी की आयु $x$ वर्ष है और बीजू की आयु $y$ वर्ष है।
दिया गया है कि उनकी आयु का अंतर $3\, \text{वर्ष}$ है,इसलिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: $x - y = 3$ या स्थिति $II$: $y - x = 3$.
अनी के पिता धर्म की आयु $= 2x$ वर्ष।
बीजू की बहन कैथी की आयु $= y/2$ वर्ष।
धर्म और कैथी की आयु का अंतर $30\, \text{वर्ष}$ है,इसलिए $2x - y/2 = 30,$ जिसे सरल करने पर $4x - y = 60$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: $x - y = 3$ और $4x - y = 60$.
दूसरे समीकरण में से पहला समीकरण घटाने पर: $(4x - y) - (x - y) = 60 - 3 \implies 3x = 57 \implies x = 19$.
तब $y = 19 - 3 = 16$.
स्थिति $II$: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
$4x - y = 60$ में मान रखने पर: $4x - (x + 3) = 60 \implies 3x = 63 \implies x = 21$.
तब $y = 21 + 3 = 24$.
अतः,अनी और बीजू की आयु या तो $(19, 16)$ वर्ष है या $(21, 24)$ वर्ष है।

(A) मान लीजिए कि दोनों मित्रों के पास क्रमशः $Rs$ $x$ और $Rs$ $y$ की पूँजी है।
पहली शर्त के अनुसार: "मुझे सौ दे दो,मित्र! तब मैं तुमसे दोगुना धनी हो जाऊँगा।"
$x + 100 = 2(y - 100)$
$x + 100 = 2y - 200$
$x - 2y = -300$ $...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार: "यदि तुम मुझे दस दे दो,तो मैं तुमसे छह गुना धनी हो जाऊँगा।"
$6(x - 10) = y + 10$
$6x - 60 = y + 10$
$6x - y = 70$ $...(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$12x - 2y = 140$ $...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300)$
$11x = 440$
$x = 40$
$x = 40$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$40 - 2y = -300$
$-2y = -340$
$y = 170$
अतः,उनकी क्रमशः पूँजी की राशि $Rs$ $40$ और $Rs$ $170$ है।

(A) माना ट्रेन की गति $x\, km/h$ है और लिया गया समय $t\, \text{घंटे}$ है। दूरी $d = xt$ $...(i)$ है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि गति $(x + 10)\, km/h$ है,तो लिया गया समय $(t - 2)\, \text{घंटे}$ है:
$(x + 10)(t - 2) = d$
$xt - 2x + 10t - 20 = d$
चूंकि $d = xt$,हमें $-2x + 10t = 20$,या $-x + 5t = 10$ $...(ii)$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि गति $(x - 10)\, km/h$ है,तो लिया गया समय $(t + 3)\, \text{घंटे}$ है:
$(x - 10)(t + 3) = d$
$xt + 3x - 10t - 30 = d$
चूंकि $d = xt$,हमें $3x - 10t = 30$ $...(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$-2x + 10t = 20$ $...(iv)$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(3x - 10t) + (-2x + 10t) = 30 + 20$
$x = 50\, km/h$.
समीकरण $(ii)$ में $x = 50$ रखने पर:
$-50 + 5t = 10$
$5t = 60$
$t = 12\, \text{घंटे}$.
दूरी $d = xt = 50 \times 12 = 600\, km$.

(36) माना पंक्तियों की संख्या $x$ है और एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या $y$ है।
कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या $= x \times y = xy$.
प्रथम शर्त के अनुसार:
यदि एक पंक्ति में $3$ विद्यार्थी अधिक हों,तो $1$ पंक्ति कम हो जाती है।
$(x - 1)(y + 3) = xy$
$xy + 3x - y - 3 = xy$
$3x - y = 3$ $...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
यदि एक पंक्ति में $3$ विद्यार्थी कम हों,तो $2$ पंक्तियाँ अधिक हो जाती हैं।
$(x + 2)(y - 3) = xy$
$xy - 3x + 2y - 6 = xy$
$-3x + 2y = 6$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(3x - y) + (-3x + 2y) = 3 + 6$
$y = 9$
समीकरण $(i)$ में $y = 9$ रखने पर:
$3x - 9 = 3$
$3x = 12$
$x = 4$
कुल विद्यार्थियों की संख्या $= xy = 4 \times 9 = 36$.

(A) दिया गया है कि,$\angle C = 3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$।
$3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$ से,हमें $3 \angle B = 2 \angle A + 2 \angle B$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\angle B = 2 \angle A$ या $2 \angle A - \angle B = 0 \dots (i)$ मिलता है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
चूंकि $\angle C = 3 \angle B$ है,इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + \angle B + 3 \angle B = 180^{\circ}$,जो $\angle A + 4 \angle B = 180^{\circ} \dots (ii)$ देता है।
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर,हमें $8 \angle A - 4 \angle B = 0 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$9 \angle A = 180^{\circ}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\angle A = 20^{\circ}$।
$\angle A = 20^{\circ}$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$20^{\circ} + 4 \angle B = 180^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $4 \angle B = 160^{\circ}$,जो $\angle B = 40^{\circ}$ देता है।
अंत में,$\angle C = 3 \angle B = 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$ और $\angle C = 120^{\circ}$ हैं।

(N/A) समीकरण $5x - y = 5$ के लिए,हम $y = 5x - 5$ लिख सकते हैं। हल तालिका इस प्रकार है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-5$	$0$	$5$

समीकरण $3x - y = 3$ के लिए,हम $y = 3x - 3$ लिख सकते हैं। हल तालिका इस प्रकार है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-3$	$0$	$3$

इन बिंदुओं को आलेख पर अंकित करने पर,हमें दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं जो $(1, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
त्रिभुज इन दो रेखाओं और $y$-अक्ष (जहाँ $x = 0$ है) द्वारा बनता है।
त्रिभुज के शीर्ष दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और वे बिंदु हैं जहाँ प्रत्येक रेखा $y$-अक्ष को काटती है,जो $(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।
अतः,शीर्षों के निर्देशांक $(1, 0)$,$(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$px + qy = p - q \quad \dots(1)$
$qx - py = p + q \quad \dots(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $p$ से और समीकरण $(2)$ को $q$ से गुणा करने पर:
$p(px + qy) = p(p - q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \quad \dots(3)$
$q(qx - py) = q(p + q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2)$
$p^2x + q^2x = p^2 + q^2$
$x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2$
$x = \frac{p^2 + q^2}{p^2 + q^2} = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$p(1) + qy = p - q$
$p + qy = p - q$
$qy = -q$
$y = -1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।

(N/A) $ax + by = c \dots(1)$
$bx + ay = 1 + c \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $a$ से और समीकरण $(2)$ को $b$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2x + aby = ac \dots(3)$
$b^2x + aby = b + bc \dots(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(a^2 - b^2)x = ac - bc - b$
$x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a \left[ \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2} \right] + by = c$
$by = c - \frac{ac(a - b) - ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{c(a^2 - b^2) - (a^2c - abc - ab)}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{abc - b^2c + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{bc(a - b) + ab}{a^2 - b^2}$
$y = \frac{c(a - b) + a}{a^2 - b^2}$

दिए गए समीकरण हैं:
$(a-b)x + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2 \dots(1)$
$(a+b)(x+y) = a^2 + b^2 \dots(2)$
समीकरण $(2)$ का विस्तार करने पर:
$(a+b)x + (a+b)y = a^2 + b^2 \dots(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$[(a-b)x + (a+b)y] - [(a+b)x + (a+b)y] = (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 + b^2)$
$(a-b-a-b)x = -2ab - 2b^2$
$-2bx = -2b(a+b)$
$x = a+b$
$x = a+b$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(a-b)(a+b) + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$a^2 - b^2 + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$(a+b)y = -2ab$
$y = \frac{-2ab}{a+b}$

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $152x - 378y = -74$
$(2)$ $-378x + 152y = -604$
चरण $1$: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(152x - 378x) + (-378y + 152y) = -74 - 604$
$-226x - 226y = -678$
$-226$ से भाग देने पर:
$x + y = 3$ --- $(3)$
चरण $2$: समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(152x - (-378x)) + (-378y - 152y) = -74 - (-604)$
$530x - 530y = 530$
$530$ से भाग देने पर:
$x - y = 1$ --- $(4)$
चरण $3$: समीकरण $(3)$ और $(4)$ को हल करने पर:
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर: $2x = 4 \implies x = 2$
$(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $2y = 2 \implies y = 1$
अतः,हल $x = 2, y = 1$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0 \quad \dots(1)$
$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $b$ से और समीकरण $(2)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$b^2x - aby = 0 \quad \dots(3)$
$a^2x + aby = a(a^2 + b^2) = a^3 + ab^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(b^2x - aby) + (a^2x + aby) = 0 + a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$
$x = a$
$x = a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$b(a) - ay = 0$
$ab - ay = 0$
$ay = ab$
$y = b$
अतः,हल $x = a$ और $y = b$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
$(4y + 20) + (-4x) = 180$
$-4x + 4y = 160$
$-x + y = 40$ $...(i)$
साथ ही,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$(3y - 5) + (-7x + 5) = 180$
$-7x + 3y = 180$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3x + 3y = 120$ $...(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(-7x + 3y) - (-3x + 3y) = 180 - 120$
$-4x = 60$
$x = -15$
समीकरण $(i)$ में $x = -15$ रखने पर:
$-(-15) + y = 40$
$15 + y = 40$
$y = 25$
अब,कोणों की गणना:
$\angle A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120^{\circ}$
$\angle B = 3y - 5 = 3(25) - 5 = 70^{\circ}$
$\angle C = -4x = -4(-15) = 60^{\circ}$
$\angle D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 110^{\circ}$