निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी भी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए।
एक आयत का क्षेत्रफल $9$ वर्ग इकाई कम हो जाता है,यदि उसकी लंबाई $5$ इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई $3$ इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को $3$ इकाई और चौड़ाई को $2$ इकाई बढ़ा दें,तो क्षेत्रफल $67$ वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

(A) माना कि आयत की लंबाई $x$ इकाई और चौड़ाई $y$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= x y$
प्रथम शर्त के अनुसार:
$(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$3x - 5y = 6$ ...$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$2x + 3y = 61$ ...$(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$\frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (-5)(2)}$
$\frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10}$
$\frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19}$
$x = \frac{323}{19} = 17$
$y = \frac{171}{19} = 9$
अतः,लंबाई $17$ इकाई और चौड़ाई $9$ इकाई है।