Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OC$ को मिलाइए। चूँकि $OC$ त्रिज्या है और $PC$ बिंदु $C$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OC \perp PC$ होगा। अतः,$\angle PCO = 90^{\circ}.$
दिया है $\angle PCA = 110^{\circ},$ इसलिए $\angle OCA = \angle PCA - \angle PCO = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}.$
$\triangle OCA$ में,$OC = OA$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OAC = \angle OCA = 20^{\circ}.$
चूँकि $\angle COA = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ},$ चाप $AC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $140^{\circ}$ है।
चाप $AC$ द्वारा परिधि पर अंतरित कोण $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle COA = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ}.$
अतः,$\angle CBA = 70^{\circ}.$

(D) माना $O$ वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या $R = 9\, cm$ है। माना $AM$, $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है। चूँकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है, इसलिए लंब $AM$ केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।
माना $AM = x$ है। तो $OM = |x - 9|$ होगा।
$\triangle AMC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MC^2 = AC^2 - AM^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$।
$\triangle OMC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MC^2 = OC^2 - OM^2 = 9^2 - (x - 9)^2 = 81 - (x^2 - 18x + 81) = 18x - x^2$।
$MC^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $36 - x^2 = 18x - x^2$।
$18x = 36 \Rightarrow x = 2\, cm$।
अतः, $AM = 2\, cm$ है।
अब, $MC^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32$।
$MC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\, cm$।
चूँकि $AM$, $BC$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए $BC = 2 \times MC = 8\sqrt{2}\, cm$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}\, cm^{2}$।

(A) दिया है: केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु $A$ से दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
$OA = 13\, cm$,त्रिज्या $OP = OQ = 5\, cm$.
लघु चाप $PQ$ पर स्थित बिंदु $R$ पर स्पर्श रेखा $BC$ खींची गई है।
ज्ञात करना है: $\triangle ABC$ का परिमाप।
उपपत्ति: $\angle OPA = 90^{\circ}$ [वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है]।
समकोण $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + PA^2$
$(13)^2 = 5^2 + PA^2$
$169 = 25 + PA^2$
$PA^2 = 144$
$PA = 12\, cm$.
चूँकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $AP = AQ = 12\, cm$.
साथ ही,$BP = BR$ और $CR = CQ$ (क्रमशः बिंदु $B$ और $C$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
$\triangle ABC$ का परिमाप $= AB + BC + CA$
$= AB + (BR + RC) + CA$
$= AB + BP + CQ + CA$
$= (AB + BP) + (CQ + CA)$
$= AP + AQ$
$= 12 + 12 = 24\, cm$.

(B) $O$ वृत्त का केंद्र है और $P$ स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
चूंकि त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPQ = 90^\circ$ है।
दिया है: $OP = 7 \, cm$ (त्रिज्या) और $PQ = 24 \, cm$।
समकोण $\Delta OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
$OQ^2 = (7)^2 + (24)^2$
$OQ^2 = 49 + 576$
$OQ^2 = 625$
$OQ = \sqrt{625} = 25 \, cm$।

(C) $\odot(P, 5)$ की जीवा $\overline{AB}$,$\odot(P, 3)$ को $M$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\overline{PM} \perp \overline{AB}$।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$M$,$\overline{AB}$ का मध्य बिंदु है।
यहाँ $PM = 3$ (छोटे वृत्त की त्रिज्या) और $PB = 5$ (बड़े वृत्त की त्रिज्या) दिया गया है।
समकोण $\Delta PMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PB^2 = PM^2 + MB^2$
$5^2 = 3^2 + MB^2$
$25 = 9 + MB^2$
$MB^2 = 25 - 9 = 16$
$MB = \sqrt{16} = 4$।
चूंकि $M$,$\overline{AB}$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AB = 2 \times MB = 2 \times 4 = 8$।

(N/A) माना $P$ दो संकेंद्रित वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। माना $\overline{AB}$ बड़े वृत्त की जीवा है जिसकी त्रिज्या $R = 13$ है,जो छोटे वृत्त को जिसकी त्रिज्या $r = 8$ है,बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि $\overline{AB}$ छोटे वृत्त पर बिंदु $M$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $\overline{PM}$ जीवा $\overline{AB}$ पर लंब है। अतः,$\angle PMB = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PMB$ में:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PB^2 = PM^2 + MB^2$ है।
यहाँ,$PB = 13$ (बड़े वृत्त की त्रिज्या) और $PM = 8$ (छोटे वृत्त की त्रिज्या) है।
$13^2 = 8^2 + MB^2$
$169 = 64 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 64 = 105$
$MB = \sqrt{105}$ है।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times MB$ होगा।
$AB = 2\sqrt{105}$।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A$,केंद्र $P$ और त्रिज्या $r = 10$ वाले वृत्त के बाहरी भाग में स्थित है।
चूँकि $A$ से जाने वाली रेखा वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $AB$ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। अतः,$\angle PBA = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$।
यहाँ $PA = 26$ और $PB = r = 10$ दिया गया है।
$26^2 = 10^2 + AB^2$।
$676 = 100 + AB^2$।
$AB^2 = 676 - 100 = 576$।
$AB = \sqrt{576} = 24$।

(B) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 8$ है।
बिंदु $A$ वृत्त के बाहरी भाग में स्थित है।
$A$ से होकर जाने वाली एक रेखा वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है,जिसका अर्थ है कि $AB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या $OB$ स्पर्श बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा $AB$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$\triangle OBA$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OBA = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
यहाँ $OB = r = 8$ और $AB = 15$ दिया गया है।
$OA^2 = 8^2 + 15^2$
$OA^2 = 64 + 225$
$OA^2 = 289$
$OA = \sqrt{289} = 17$.
अतः,$OA$ की लंबाई $17$ है।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $R = 41$ और $r = 40$ हैं।
माना कि $O$ उभयनिष्ठ केंद्र है।
माना कि $AB$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए $OP$,$AB$ पर लंब है और $OP = r = 40$ है।
समकोण त्रिभुज $ riangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$41^2 = 40^2 + AP^2$
$1681 = 1600 + AP^2$
$AP^2 = 1681 - 1600 = 81$
$AP = 9$।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AP = 2 \times 9 = 18$ है।

(D) केंद्र $O$ वाले वृत्त में,त्रिज्या $OQ$ स्पर्श बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है। इसलिए,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OQ^2 + PQ^2 = OP^2$
यहाँ $OP = 34$ और $PQ = 16$ दिया गया है:
$OQ^2 + 16^2 = 34^2$
$OQ^2 + 256 = 1156$
$OQ^2 = 1156 - 256 = 900$
$OQ = \sqrt{900} = 30$.
वृत्त की त्रिज्या $30$ है। वृत्त का व्यास $2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 30 = 60$ होगा।

(A) माना संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $O$ है। बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 17$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $r = 8$ है।
माना $AB$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि $AB$ छोटे वृत्त के लिए बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$ जीवा $AB$ पर लंब है $(OP \perp AB)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$17^2 = 8^2 + AP^2$
$289 = 64 + AP^2$
$AP^2 = 289 - 64 = 225$
$AP = \sqrt{225} = 15$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AP = 2 \times 15 = 30$.
अतः,जीवा की लंबाई $30$ है।

(A) दिया गया है कि $r = OX = 12$ और $XP = 5$ है।
चूँकि $PX$ वृत्त की $X$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OX$ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा $PX$ के लंबवत होती है।
अतः,$\angle OXP = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OXP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OX^2 + XP^2$
$OP^2 = (12)^2 + (5)^2$
$OP^2 = 144 + 25$
$OP^2 = 169$
$OP = \sqrt{169} = 13$।
इस प्रकार,$OP$ की लंबाई $13$ है।

(C) चतुर्भुज $OXPY$ में,त्रिज्याएँ $OX$ और $OY$ क्रमशः स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं $PX$ और $PY$ पर लंब होती हैं।
अतः,$\angle OXP = 90^\circ$ और $\angle OYP = 90^\circ$ है।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
$\angle XOY + \angle OXP + \angle XPY + \angle OYP = 360^\circ$
$100^\circ + 90^\circ + \angle XPY + 90^\circ = 360^\circ$
$280^\circ + \angle XPY = 360^\circ$
$\angle XPY = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$ है।
चूँकि $OP$,$\angle XPY$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए:
$m \angle XPO = \frac{1}{2} m \angle XPY$
$m \angle XPO = \frac{1}{2} (80^\circ) = 40^\circ$।

(D) त्रिज्या $OY$ स्पर्श बिंदु $Y$ पर स्पर्श रेखा $PY$ के लंबवत होती है।
अतः,$\Delta PYO$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OYP = 90^{\circ}$ है।
$\Delta PYO$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OY^2 + PY^2$
यहाँ $OP = 30$ और $PY = 24$ दिया गया है,और $OY = r$ है:
$30^2 = r^2 + 24^2$
$900 = r^2 + 576$
$r^2 = 900 - 576$
$r^2 = 324$
$r = \sqrt{324} = 18$
अतः,त्रिज्या $r$ का मान $18$ है।

(A) $\overline{OX}$ एक त्रिज्या है और $\overleftrightarrow{PX}$ बिंदु $X$ पर एक स्पर्श रेखा है।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$\overline{OX} \perp \overleftrightarrow{PX}$,जिसका अर्थ है $m\angle OXP = 90^\circ$.
समकोण त्रिभुज $\Delta PXO$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
इसलिए,$m\angle OXP + m\angle XPO + m\angle XOP = 180^\circ$.
$90^\circ + 65^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$155^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$m\angle XOP = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.

(B) माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है।
यहाँ,$AB = 8$,$BC = 15$ और $\angle B = 90^{\circ}$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$AC^{2} = 64 + 225 = 289$
$AC = \sqrt{289} = 17$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta AOB$,$\Delta BOC$ और $\Delta AOC$ के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है,जहाँ $O$ अंतःकेंद्र है:
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\text{Area}(\Delta AOB) + \text{Area}(\Delta BOC) + \text{Area}(\Delta AOC)$
$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r + \frac{1}{2} \times AC \times r$
$\frac{1}{2} \times 8 \times 15 = \frac{1}{2} \times r \times (AB + BC + AC)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times (8 + 15 + 17)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times 40$
$60 = 20r$
$r = \frac{60}{20} = 3$.
वैकल्पिक रूप से,एक समकोण त्रिभुज के लिए,अंतःत्रिज्या $r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

(240/17) माना $R$,$OP$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $OP$,जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OP \perp AB$,$R$ पर है।
समकोण $\Delta OAP$ में,$\angle OAP = 90^{\circ}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OP^2 = OA^2 + AP^2$.
$(17)^2 = (8)^2 + AP^2 \implies 289 = 64 + AP^2 \implies AP^2 = 225 \implies AP = 15$.
$\Delta OAP$ में,$AR$,कर्ण $OP$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुण का उपयोग करते हुए,$OA^2 = OR \cdot OP$.
$(8)^2 = OR \cdot 17 \implies OR = \frac{64}{17}$.
समकोण $\Delta OAR$ में,$AR^2 = OA^2 - OR^2$.
$AR^2 = 8^2 - \left(\frac{64}{17}\right)^2 = 64 - \frac{4096}{289} = \frac{18496 - 4096}{289} = \frac{14400}{289}$.
$AR = \sqrt{\frac{14400}{289}} = \frac{120}{17}$.
चूँकि $OP$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \cdot AR = 2 \cdot \left(\frac{120}{17}\right) = \frac{240}{17}$.

(D) माना संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $P$ है। त्रिज्याएँ $R = 13$ और $r = 8$ हैं।
$\overline{AB}$ बड़े वृत्त का व्यास है,इसलिए $AB = 2 \times 13 = 26$ और $PB = 13$ है।
$\overline{BD}$ छोटे वृत्त को $D$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $\overline{PD} \perp \overline{BD}$ और $PD = 8$ है।
समकोण $\Delta PDB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BD^2 = PB^2 - PD^2 = 13^2 - 8^2 = 169 - 64 = 105$ है।
माना $\overline{BD}$ बड़े वृत्त को $C$ पर प्रतिच्छेद करती है। चूँकि $\overline{PD} \perp \overline{BC}$,इसलिए $D$ जीवा $\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है,अतः $CD = BD$ है। इस प्रकार,$CD^2 = 105$ है।
बड़े वृत्त में,$\angle ACB$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle ACB = 90^\circ$ है।
$\Delta ABC$ और $\Delta PBD$ में,$\angle ACB = \angle PDB = 90^\circ$ और $\angle B$ उभयनिष्ठ है। अतः,$AA$ समरूपता के अनुसार $\Delta ABC \sim \Delta PBD$ है।
इसलिए,$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{PD} \implies \frac{26}{13} = \frac{AC}{8} \implies 2 = \frac{AC}{8} \implies AC = 16$ है।
समकोण $\Delta ACD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 16^2 + 105 = 256 + 105 = 361$ है।
$AD = \sqrt{361} = 19$ है।

(N/A) दिया है: $\overline{AB}$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है। रेखा $l$ वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है। $D$,$A$ से रेखा $l$ पर डाले गए लंब का पाद है (अर्थात $\overline{AD} \perp l$)।
सिद्ध करना है: $\angle BAO \cong \angle BAD$।
उपपत्ति:
$1$. $\Delta OAB$ में,$\overline{OA} \cong \overline{OB}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$2$. अतः,$\angle ABO \cong \angle BAO$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) ... $(1)$।
$3$. रेखा $l$ वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है और $\overline{OB}$ स्पर्श बिंदु $B$ से जाने वाली त्रिज्या है। अतः,$\overline{OB} \perp l$।
$4$. हमें दिया गया है कि $\overline{AD} \perp l$।
$5$. चूँकि $\overline{OB}$ और $\overline{AD}$ दोनों एक ही रेखा $l$ पर लंब हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समांतर होंगी $(\overline{OB} \parallel \overline{AD})$।
$6$. $\overline{OB} \parallel \overline{AD}$ और $\overleftrightarrow{AB}$ को तिर्यक रेखा लेने पर,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$7$. अतः,$\angle ABO \cong \angle BAD$ (एकांतर अंतःकोण) ... $(2)$।
$8$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि $\angle BAO$ और $\angle BAD$ दोनों $\angle ABO$ के बराबर हैं,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BAO \cong \angle BAD$।

(N/A) $O$ केंद्र वाला एक वृत्त चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ को क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ और $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।
उपपत्ति: $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ और $\overline{OS}$ खींचिए।
चूँकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $\overline{AS} \cong \overline{AP}$।
$\Delta ASO$ और $\Delta APO$ में:
$\overline{AS} \cong \overline{AP}$ (बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ)
$\overline{OS} \cong \overline{OP}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\overline{AO} \cong \overline{AO}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$\Delta ASO \cong \Delta APO$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसका अर्थ है $m \angle OAS = m \angle OAP$,इसलिए $m \angle OAB = \frac{1}{2} m \angle DAB$।
इसी प्रकार,हम दिखा सकते हैं:
$m \angle OBA = \frac{1}{2} m \angle ABC$
$m \angle OCD = \frac{1}{2} m \angle BCD$
$m \angle ODC = \frac{1}{2} m \angle CDA$
$\Delta AOB$ में,$m \angle AOB = 180^{\circ} - (m \angle OAB + m \angle OBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC)$।
$\Delta COD$ में,$m \angle COD = 180^{\circ} - (m \angle OCD + m \angle ODC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle BCD + m \angle CDA)$।
इनका योग करने पर:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC + m \angle BCD + m \angle CDA)$।
चूँकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।

(D) मान लीजिए $OP$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ है। चूँकि $PA$ और $PB$ बाहरी बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PA = PB$ और $\triangle OAP \cong \triangle OBP$। अतः,$OP$ जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
दिया है $AB = 24$,इसलिए $AR = RB = 12$।
समकोण $\triangle ORA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OR^2 = OA^2 - AR^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$।
अतः,$OR = 5$।
$\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ (स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)। $AR$ कर्ण $OP$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुणधर्म से,$OA^2 = OR \cdot OP$।
$13^2 = 5 \cdot OP \implies 169 = 5 \cdot OP \implies OP = \frac{169}{5} = 33.8$।
समकोण $\triangle OAP$ में,$PA^2 = OP^2 - OA^2 = (33.8)^2 - 13^2 = 1142.44 - 169 = 973.44$।
$PA = \sqrt{973.44} = 31.2 = \frac{156}{5}$।

(D) $\odot(O, 15)$ में,$OA = OB = 15$ (त्रिज्या) और $AB = 30$ (व्यास)।
$\odot(O, 9)$ में,$OD = 9$ (त्रिज्या)।
चूंकि $BD$,$D$ पर $\odot(O, 9)$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\overline{OD} \perp \overline{BD}$। अतः,$\triangle ODB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ODB = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $AB$,$\odot(O, 15)$ का व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
अब,$\triangle ODB$ और $\triangle ACB$ पर विचार करें:
$1$. $\angle ODB = \angle ACB = 90^{\circ}$
$2$. $\angle DBO = \angle CBA$ (उभयनिष्ठ कोण)
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ODB \sim \triangle ACB$।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AC}{OD} = \frac{AB}{OB}$
$\frac{AC}{9} = \frac{30}{15}$
$\frac{AC}{9} = 2$
$AC = 9 \times 2 = 18$।

(A) वृत्त की त्रिज्या $OP = 9$ है।
चूँकि $PQ$ बिंदु $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है।
अतः,$\angle OPQ = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$OQ^2 = 9^2 + 40^2$।
$OQ^2 = 81 + 1600$।
$OQ^2 = 1681$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$OQ = \sqrt{1681} = 41$।
इस प्रकार,$OQ$ की लंबाई $41$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की गणना करें: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $r = \frac{16 + 30 - 34}{2}$.
$r = \frac{46 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $6$ है।

(C) दिया गया है कि $P$,केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के बाहर एक बिंदु है। $\overleftrightarrow{PQ}$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या $OQ$,स्पर्श बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है। अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 26$ और $PQ = 10$ दिया गया है,इसलिए:
$26^2 = r^2 + 10^2$
$676 = r^2 + 100$
$r^2 = 676 - 100 = 576$
$r = \sqrt{576} = 24$.
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 24 = 48$ है।

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जो क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख हैं। यहाँ,$a = BC = 24$,$b = AC$,और $c = AB$ है।
दिया गया है $AB + AC = 32$,अतः $c + b = 32$ है।
समकोण त्रिभुज में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + c^2 = b^2$ होता है।
$a = 24$ रखने पर,हमें $24^2 + c^2 = b^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 - c^2 = 576$।
$(b - c)(b + c) = 576$।
चूंकि $b + c = 32$,इसलिए $(b - c)(32) = 576$,जिससे $b - c = 18$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(b + c) + (b - c) = 32 + 18 \implies 2b = 50 \implies b = 25$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(b + c) - (b - c) = 32 - 18 \implies 2c = 14 \implies c = 7$।
समकोण त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a + c - b}{2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r = \frac{24 + 7 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

(A) माना $AP = AR = x$, $BP = BQ = y$, और $CQ = CR = z$ (बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)।
दिया गया है:
$AB = x + y = 14$ $(1)$
$BC = y + z = 11$ $(2)$
$CA = z + x = 7$ $(3)$
समीकरण $(1)$, $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(x + y + z) = 14 + 11 + 7 = 32$
$x + y + z = 16$
अब, योग में से प्रत्येक समीकरण को घटाने पर:
$z = (x + y + z) - (x + y) = 16 - 14 = 2$
$x = (x + y + z) - (y + z) = 16 - 11 = 5$
$y = (x + y + z) - (z + x) = 16 - 7 = 9$
अतः, $AP = x = 5$, $BQ = y = 9$, और $RC = z = 2$.

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण $AC$ की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ है।
मान रखने पर: $r = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(C) $1$. चूंकि वृत्त भुजाओं को $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है,बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। अतः $DR = DS = r$। $\angle D = 90^\circ$ होने के कारण $ORDS$ एक $r$ भुजा वाला वर्ग है,इसलिए $DR = DS = r$।
$2$. $CD = 25$ दिया गया है,इसलिए $CR = CD - DR = 25 - r$। स्पर्श रेखाएं समान होने के कारण $CQ = CR = 25 - r$।
$3$. $BC = 38$ दिया गया है,इसलिए $BQ = BC - CQ = 38 - (25 - r) = 13 + r$।
$4$. $BP = 25$ दिया गया है। $BP = BQ$ होने के कारण,$25 = 13 + r$,अर्थात $r = 12$।

(A) एक चतुर्भुज $ABCD$ जो एक वृत्त के परिगत है,उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
इसका कारण यह है कि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ को क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
तब $AP = AS, BP = BQ, CQ = CR,$ और $DR = DS$ होगा।
सम्मुख भुजाओं का योग: $AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC$.
दिया गया है: $AB = 8, BC = 10, CD = 7$.
मान रखने पर: $8 + 7 = AD + 10$.
$15 = AD + 10$.
$AD = 15 - 10 = 5$.

(A) दिया गया है: वृत्त की त्रिज्या $OQ = 21$ और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी $OP = 25$ है।
चूंकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर लंब होती है $(OQ \perp PQ)$।
अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$25^2 = 21^2 + PQ^2$
$625 = 441 + PQ^2$
$PQ^2 = 184$
नोट: यदि त्रिज्या $15$ होती,तो $PQ = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $20$ है।

(40/3) माना $O$ त्रिज्या $r = 10$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $AB = 16$ है,इसलिए $AM = MB = 8$ होगा। $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$। माना $PA = x$ है। $\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)। $AA$ समरूपता के अनुसार,$\triangle OMA \sim \triangle OAP$ है। अतः,$\frac{PA}{AM} = \frac{OA}{OM}$,जिससे हमें $\frac{x}{8} = \frac{10}{6}$ प्राप्त होता है। $x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 9$ है।
बिंदु $P$ वृत्त के बाहर स्थित है और $PT$ बिंदु $T$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OTP = 90^\circ$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OT^2 + PT^2$
यहाँ $OT = r = 9$ और $PT = 40$ दिया गया है।
$OP^2 = 9^2 + 40^2$
$OP^2 = 81 + 1600$
$OP^2 = 1681$
$OP = \sqrt{1681} = 41$।
अतः,$OP$ की लंबाई $41$ है।

(D) यहाँ $O$ वृत्त का केंद्र है और त्रिज्या $r = 30$ है।
चूँकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।
अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 34$ और $OQ = r = 30$ दिया गया है।
$34^2 = 30^2 + PQ^2$
$1156 = 900 + PQ^2$
$PQ^2 = 1156 - 900$
$PQ^2 = 256$
$PQ = \sqrt{256} = 16$.
अतः,स्पर्श रेखा $PQ$ की लंबाई $16$ है।

(A) वृत्त $\odot(O, r)$ में,$PA$ और $PB$ बाहरी बिंदु $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$ है।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
अतः,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ$ है।
दिए गए मान रखने पर: $100^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle APB = 360^\circ$।
$280^\circ + \angle APB = 360^\circ$,जिससे $\angle APB = 80^\circ$ प्राप्त होता है।
रेखा $OP$,$\angle APB$ को समद्विभाजित करती है। इसलिए,$m\angle OPB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$।

(B) माना $O$ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर लंब होती है (अर्थात,$\angle OQP = 90^\circ$)।
समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 29$ और $PQ = 20$ दिया गया है,मान रखने पर:
$29^2 = r^2 + 20^2$
$841 = r^2 + 400$
$r^2 = 841 - 400$
$r^2 = 441$
$r = \sqrt{441} = 21$.
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 21 = 42$ होगा।

(C) सबसे पहले,हम जांचते हैं कि क्या $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।
दी गई भुजाएँ $7, 24, 25$ हैं।
चूंकि $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$,इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AC = 25$ है।
त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाला वृत्त अंतःवृत्त (incircle) कहलाता है।
एक समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a + b - c}{2}$ है,जहाँ $a$ और $b$ समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं और $c$ कर्ण है।
यहाँ,$a = 7, b = 24, c = 25$ है।
$r = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 3 = 6$ है।

(D) $1$. $\triangle OBP$ में,चूँकि $PB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $OB$ स्पर्श रेखा $PB$ पर लंब है। अतः,$\angle OBP = 90^\circ$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज $\triangle OBP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है। इसलिए,$\angle POB + \angle OBP + \angle OPB = 180^\circ$ है।
$3$. ज्ञात मान रखने पर: $\angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$,जिससे $\angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ प्राप्त होता है।
$4$. चूँकि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं,इसलिए $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ है। अतः,$\angle AOP = \angle POB = 55^\circ$ है।
$5$. इसलिए,$m\angle AOB = \angle AOP + \angle POB = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$ है।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए $\angle B$ और $\angle D$ सम्मुख कोण हैं।
अतः,$m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$60^{\circ} + m \angle D = 180^{\circ}$।
इस प्रकार,$m \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्त $C_1$ हैं जिसकी त्रिज्या $R = 34$ है और $C_2$ है जिसकी त्रिज्या $r = 16$ है।
माना $AB$ बड़े वृत्त $C_1$ की जीवा है जो छोटे वृत्त $C_2$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि $AB$,$C_2$ के लिए बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$,$AB$ पर लंब है $(OP \perp AB)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$34^2 = 16^2 + AP^2$
$1156 = 256 + AP^2$
$AP^2 = 1156 - 256 = 900$
$AP = \sqrt{900} = 30$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AP$.
$AB = 2 \times 30 = 60$.

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और दो त्रिज्याएँ $OA$ और $OB$ हैं। त्रिज्याओं के बीच का कोण $\angle AOB = 48^{\circ}$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। मान लीजिए ये स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
चूँकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ होगा।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $48^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$।
$228^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$।
$\angle APB = 360^{\circ} - 228^{\circ} = 132^{\circ}$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $132^{\circ}$ है।

(D) आकृति से,$PA$ और $PB$ एक बाहरी बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रमेय के अनुसार,एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB$ है।
$\triangle PAB$ में,चूंकि $PA = PB$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,जिसका अर्थ है कि $m \angle PBA = m \angle PAB$।
आकृति में,स्पर्श रेखा $PA$ और जीवा $AB$ के बीच का कोण $55^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,$m \angle PAB = 55^{\circ}$ है।
चूंकि $m \angle PBA = m \angle PAB$ है,इसलिए $m \angle PBA = 55^{\circ}$ होगा।

(A) दी गई आकृति में,$OP$ केंद्र $O$ को बाह्य बिंदु $P$ से जोड़ने वाला रेखाखंड है। रेखा $OP$ जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि $OP \perp AB$ और $OP$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AC = CB = \frac{AB}{2}$ होगा।
यहाँ $AB = 10$ दिया गया है,इसलिए $AC = \frac{10}{2} = 5$।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $R$ और $r$ हैं और उनका केंद्र $O$ है।
माना कि $OM$ केंद्र $O$ से बाहरी वृत्त की जीवा $AB$ पर लंब है। चूँकि $AB$ छोटे वृत्त को $M$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $OM = r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OA^2 = OM^2 + AM^2$,इसलिए $R^2 = r^2 + AM^2$ है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = AB / 2 = 15 / 2 = 7.5$ है।
अतः,$R^2 - r^2 = AM^2 = (7.5)^2$ है।
इसी प्रकार,बाहरी वृत्त की जीवा $CD$ के लिए,माना कि $ON$ केंद्र $O$ से $CD$ पर लंब है। चूँकि $CD$ छोटे वृत्त को $N$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $ON = r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ONC$ में,$OC^2 = ON^2 + CN^2$,इसलिए $R^2 = r^2 + CN^2$ है।
अतः,$CN^2 = R^2 - r^2 = (7.5)^2$ है।
इसलिए,$CN = 7.5$ है।
केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CD = 2 \times CN = 2 \times 7.5 = 15$ है।

(C) प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
बिंदु $A$ से,$AB$ और $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $AB = AC = 3$।
बिंदु $P$ से,$PB$ और $PS$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PB = PS$।
बिंदु $Q$ से,$QC$ और $QS$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $QC = QS$।
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ$।
चूँकि $PQ = PS + SQ$,हम $PS$ के स्थान पर $PB$ और $SQ$ के स्थान पर $QC$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
परिमाप $= AP + (PB + QC) + AQ$।
परिमाप $= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$।
चूँकि $AB = 3$ और $AC = 3$,इसलिए परिमाप $= 3 + 3 = 6$।

(D) वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $PA = PB = 8$ है।
$\triangle PAB$ में,चूंकि $PA = PB$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $m \angle PBA = m \angle PAB = 60^\circ$ है।
अब,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$m \angle APB + m \angle PAB + m \angle PBA = 180^\circ$ है।
$m \angle APB + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ है।
$m \angle APB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ है।
चूंकि $\triangle PAB$ के सभी कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$AB = PA = PB = 8$ है।

(A) माना कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है। यह वृत्त समकोण त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त है,जहाँ $AB = 3$ और $BC = 4$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $1$ है।

(D) वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। इसलिए,एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक और केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

(D) एक रेखा जो एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,उसे वृत्त की छेदक रेखा (secant) कहा जाता है।
- त्रिज्या वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड है।
- व्यास वह जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
- चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा है।
- छेदक रेखा वह रेखा है जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।

(B) वृत्त से संबंधित प्रमेय के अनुसार: वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। यह ज्यामिति में वृत्त का एक मूलभूत गुण है। इसलिए,स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है।