Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और दो त्रिज्याएँ $OA$ और $OB$ हैं। त्रिज्याओं के बीच का कोण $\angle AOB = 130^{\circ}$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ और $B$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ होगा।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$
$130^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$310^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$\angle APB = 360^{\circ} - 310^{\circ} = 50^{\circ}$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $50^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि $AP$ और $AQ$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं।
चूंकि स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
$OP$ और $OQ$ को मिलाएं। साथ ही,$OA$ को मिलाएं।
चतुर्भुज $APOQ$ में,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPA = 90^{\circ}$ और $\angle OQA = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle PAQ = 90^{\circ}$,$\angle OPA = 90^{\circ}$,और $\angle OQA = 90^{\circ}$ है,इसलिए चौथा कोण $\angle POQ$ भी $90^{\circ}$ होना चाहिए (क्योंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है)।
अतः,$APOQ$ एक वर्ग है क्योंकि $AP = AQ$ (बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं) और इसके सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
इसलिए,वृत्त की त्रिज्या $OP = AP = 5 \, cm$ है।

(C) एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण,एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।
आकृति में,$R$ लघु चाप पर स्थित है,इसलिए $\angle PRQ$ एकांतर वृत्तखंड में बने कोण का संपूरक है।
एकांतर वृत्तखंड में बना कोण $\angle QPT = 60^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,$\angle PRQ = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(D) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों $C_{1}$ और $C_{2}$ का केंद्र है,जिनकी त्रिज्याएँ $r_{1} = 4 \, cm$ और $r_{2} = 5 \, cm$ हैं।
माना $AC$ बड़े वृत्त $C_{2}$ की एक जीवा है,जो छोटे वृत्त $C_{1}$ को बिंदु $B$ पर स्पर्श करती है।
$OB$ को मिलाइए। चूँकि $AC$,वृत्त $C_{1}$ की बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OB \perp AC$ (वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
अब,समकोण $\triangle OBC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OC^{2} = BC^{2} + OB^{2}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5^{2} = BC^{2} + 4^{2}$
$25 = BC^{2} + 16$
$BC^{2} = 25 - 16 = 9$
$BC = \sqrt{9} = 3 \, cm$
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा $AC$ की लंबाई $= 2 \times BC = 2 \times 3 = 6 \, cm$ होगी।

(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
अतः,$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$।
चूँकि $\angle AOB = 125^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\angle COD = 180^{\circ} - 125^{\circ}$
$\angle COD = 55^{\circ}$।

(B) आकृति में,$AOC$ वृत्त का व्यास है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
इसलिए,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
$\triangle ACB$ में,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle BAC + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।
चूँकि $AT$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OA$ स्पर्श रेखा $AT$ पर लंब होती है।
अतः,$\angle OAT = 90^{\circ}$।
चूँकि $A, O, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं,$\angle OAT$ ही $\angle CAT$ है,अर्थात $\angle CAT = 90^{\circ}$।
हम लिख सकते हैं कि $\angle CAT = \angle CAB + \angle BAT$।
$90^{\circ} = 40^{\circ} + \angle BAT$।
$\angle BAT = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,$\angle BAT$ का मान $50^{\circ}$ है।

(C) दिया है: वृत्त की त्रिज्या $OQ = OR = 5 \, cm$ है। केंद्र $O$ से बिंदु $P$ की दूरी $OP = 13 \, cm$ है।
चूँकि $PQ$ और $PR$ स्पर्श रेखाएँ हैं,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OQP = 90^\circ$ और $\angle ORP = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$13^2 = 5^2 + PQ^2$
$169 = 25 + PQ^2$
$PQ^2 = 169 - 25 = 144$
$PQ = 12 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle OQP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों,$\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ से मिलकर बना है।
अतः,चतुर्भुज $PQOR$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle OQP) = 2 \times 30 = 60 \, cm^2$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है। $AB$ एक व्यास है,इसलिए $OA = OB = 5 \, cm$ है।
बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $XY$ खींची गई है। चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OA \perp XY$ है।
माना जीवा $CD$,$XY$ के समानांतर है। माना $CD$ व्यास $AB$ को बिंदु $E$ पर काटती है। चूंकि $CD \parallel XY$ और $OA \perp XY$ है,इसलिए $OE \perp CD$ होगा।
जीवा $CD$ की $A$ से दूरी $AE = 8 \, cm$ दी गई है।
चूंकि $OA = 5 \, cm$ है,इसलिए केंद्र $O$ से जीवा की दूरी $OE = AE - OA = 8 - 5 = 3 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^2 = OE^2 + EC^2$
$5^2 = 3^2 + EC^2$
$25 = 9 + EC^2$
$EC^2 = 16$
$EC = 4 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CD = 2 \times EC = 2 \times 4 = 8 \, cm$ है।

(A) $\triangle OAT$ में,हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
अतः,$\angle OAT = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAT$ में,हमारे पास है:
$\cos(\angle OTA) = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AT}{OT}$
यहाँ $OT = 4 \, cm$ और $\angle OTA = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\cos(30^{\circ}) = \frac{AT}{4}$
चूँकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AT}{4}$
$AT = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$AT = 2 \sqrt{3} \, cm$.

(B) दिया है,$\angle QPR = 50^{\circ}$.
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
अतः,$\angle OPR = 90^{\circ}$.
आकृति से,$\angle OPQ + \angle QPR = \angle OPR = 90^{\circ}$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\angle OPQ + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle OPQ = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\triangle OPQ$ में,$OP = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
चूंकि समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OQP = \angle OPQ = 40^{\circ}$.
$\triangle OPQ$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle POQ + \angle OPQ + \angle OQP = 180^{\circ}$.
$\angle POQ + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle POQ + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle POQ = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ एक बाह्य बिंदु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
चूँकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB$ है।
$\triangle PAB$ में,चूँकि $PA = PB$ है,इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle PBA = \angle PAB$।
मान लीजिए $\angle PBA = \angle PAB = \theta$ है।
$\triangle PAB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $50^{\circ} + \theta + \theta = 180^{\circ}$।
$2\theta = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
$\theta = 65^{\circ}$।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए,$OA \perp PA$,जिसका अर्थ है कि $\angle OAP = 90^{\circ}$।
चूँकि $\angle OAP = \angle OAB + \angle PAB$ है,इसलिए $90^{\circ} = \angle OAB + 65^{\circ}$।
$\angle OAB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$।

(D) मान लीजिए $P$ एक बाहरी बिंदु है जहाँ से $O$ केंद्र और $OA = 3 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PC$ खींची गई हैं।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle APC = 60^{\circ}$ है।
$OP$ को मिलाइए। $OP$,$\angle APC$ का कोण समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle APO = \angle CPO = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
चूँकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OA \perp AP$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,हमारे पास है:
$\tan(\angle APO) = \frac{OA}{AP}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{3}{AP}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AP}$
$AP = 3 \sqrt{3} \, cm$।
अतः,प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई $3 \sqrt{3} \, cm$ है।

(A) दिया गया है कि $AB \parallel PR$ और $PQR$ बिंदु $Q$ पर एक स्पर्शरेखा है।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा $QR$ और जीवा $BQ$ के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle BAQ = \angle BQR = 70^{\circ}$।
चूंकि $AB \parallel PR$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle ABQ = \angle BQR = 70^{\circ}$।
$\triangle ABQ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle AQB + \angle ABQ + \angle BAQ = 180^{\circ}$।
$\angle AQB + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle AQB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle AQB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।

(A) सत्य।
$\triangle PBO$ में,$OB = OP$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OPB = \angle PBO = 30^{\circ}$।
$\triangle PBO$ में कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle POB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$।
चूँकि $BOA$ एक सीधी रेखा है,$\angle POA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\triangle OPT$ में,$OP \perp PT$ (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)।
अतः,$\angle OPT = 90^{\circ}$।
$\triangle OPT$ में,$\angle PTA = 180^{\circ} - (\angle POT + \angle OPT) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) असत्य।
यहाँ $QL$,$Q$ पर एक स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है,अतः $\angle OQS = 90^{\circ} - \angle SQL = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$।
$\triangle OSQ$ में,$OS = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OSQ = \angle OQS = 40^{\circ}$।
इसी प्रकार,$R$ पर स्पर्श रेखा $RM$ के लिए,$\angle ORS = 90^{\circ} - \angle SRM = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\triangle OSR$ में,$OS = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OSR = \angle ORS = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle QSR = \angle OSQ + \angle OSR = 40^{\circ} + 30^{\circ} = 70^{\circ}$।

(B) असत्य (False)
दिया गया है कि एक जीवा $AB$ वृत्त के केंद्र $O$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अर्थात,$\angle AOB = 60^{\circ}$.
चूंकि $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),$\triangle OAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$.
मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
अतः,$OA \perp AC$ और $OB \perp BC$.
इसलिए,$\angle OAC = 90^{\circ}$ और $\angle OBC = 90^{\circ}$.
अब,$\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\angle ABC = \angle OBC - \angle OBA = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ACB + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
इस प्रकार,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,न कि $60^{\circ}$।

(B) यह कथन 'असत्य' है।
मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बाह्य बिंदु $P$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $L$ है।
त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र को बाह्य बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, कर्ण केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी $(d)$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $d^2 = r^2 + L^2$ होता है।
चूंकि $d > r$, इसलिए $L = \sqrt{d^2 - r^2}$ प्राप्त होता है।
बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी $(d)$ के आधार पर, स्पर्श रेखा की लंबाई $(L)$ त्रिज्या $(r)$ से अधिक, उसके बराबर या उससे कम हो सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि बाह्य बिंदु वृत्त के बहुत करीब है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई त्रिज्या से छोटी हो सकती है।

(TRUE) सत्य।
मान लीजिए $PT$ एक बाह्य बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा है जो स्पर्श बिंदु $T$ पर मिलती है। $OT$ को मिलाइए।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OT \perp PT$ है।
अतः,$\triangle OPT$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OTP = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। यहाँ,$OP$ कर्ण है।
इसलिए,$OP > PT$,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की लंबाई $PT$ हमेशा $OP$ से कम होती है।

(A) सत्य।
वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो सकता है यदि वे दोनों स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हों। ज्यामिति में,समांतर रेखाओं के बीच का कोण $0^{\circ}$ माना जाता है क्योंकि वे कभी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(A) सत्य
मान लीजिए कि बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $T$ और $R$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। दिया गया है,त्रिज्या $OT = a$ है।
रेखाखंड $OP$ दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण $\angle T P R$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$\angle T P O = \angle R P O = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OT \perp PT$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में,हमारे पास है:
$\sin 45^{\circ} = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{OT}{OP}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{OP}$
अतः,$OP = a\sqrt{2}$।

(B) असत्य।
मान लीजिए कि $PT$ और $PR$ बिंदु $P$ से $O$ केंद्र और $a$ त्रिज्या $(OT = OR = a)$ वाले वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
रेखा $OP$ स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle TPO = \angle RPO = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OTP = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OTP$ में:
$\sin(\angle TPO) = \frac{OT}{OP}$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{a}{OP}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{OP}$
$OP = 2a$।
अतः,कथन $OP = a\sqrt{3}$ असत्य है।

(A) सत्य।
मान लीजिए $EAF$,$\triangle ABC$ के परिवृत्त के बिंदु $A$ पर एक स्पर्श रेखा है।
हमें सिद्ध करना है कि $EAF \parallel BC$ है।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) के अनुसार,स्पर्श रेखा $EAF$ और जीवा $AB$ के बीच का कोण,जीवा $AB$ द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण $\angle ACB$ के बराबर होता है।
अतः,$\angle EAB = \angle ACB$ है।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है,इसलिए समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle ABC = \angle ACB$।
इन दो संबंधों से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle EAB = \angle ABC$ है।
चूंकि ये कोण रेखा $EAF$ और $BC$ द्वारा तिर्यक रेखा $AB$ के साथ बनाए गए एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए इन कोणों की समानता यह सिद्ध करती है कि $EAF \parallel BC$ है।

(B) असत्य।
मान लीजिए $PQ$ एक रेखाखंड है और $A$ उस पर स्थित एक बिंदु है। यदि कई वृत्त रेखाखंड $PQ$ को बिंदु $A$ पर स्पर्श करते हैं,तो प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु $A$ पर रेखाखंड $PQ$ के लंबवत होती है।
मान लीजिए इन वृत्तों के केंद्र $C_1, C_2, C_3, \dots$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त रेखाखंड $PQ$ को बिंदु $A$ पर स्पर्श करता है,इसलिए प्रत्येक वृत्त के केंद्र को बिंदु $A$ से जोड़ने वाला रेखाखंड (जैसे $C_1A, C_2A, C_3A, \dots$) बिंदु $A$ पर $PQ$ के लंबवत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि सभी केंद्र $C_1, C_2, C_3, \dots$ एक ऐसी रेखा पर स्थित हैं जो $PQ$ पर बिंदु $A$ पर लंबवत है। हालाँकि,इन केंद्रों के $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होने के लिए,बिंदु $A$ का $PQ$ का मध्य-बिंदु होना आवश्यक है। चूँकि प्रश्न में यह निर्दिष्ट नहीं है कि $A$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए केंद्र $A$ पर $PQ$ के लंबवत रेखा पर स्थित हैं,लेकिन वे $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित हों,यह आवश्यक नहीं है।

(TRUE) सत्य।
मान लीजिए कि एक रेखाखंड $PQ$ के अंत बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाले कई वृत्त हैं।
चूंकि $PQ$ इन सभी वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ जीवा है,इसलिए $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाले किसी भी वृत्त का केंद्र $P$ और $Q$ से समान दूरी पर होना चाहिए।
हम जानते हैं कि दो निश्चित बिंदुओं $P$ और $Q$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड $PQ$ का लंब समद्विभाजक होता है।
इसलिए,ऐसे सभी वृत्तों के केंद्र $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

(A) सत्य (True)
सिद्ध करना है: $BC = BD$.
$1$. $OC$ को मिलाइए। चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)।
$2$. $\triangle ABC$ में,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$।
$3$. $OC$ त्रिज्या है और $CD$ स्पर्शरेखा है,इसलिए $OC \perp CD$,अर्थात $\angle OCD = 90^{\circ}$।
$4$. $\triangle OAC$ में,$OA = OC$ (त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OCA = \angle OAC = 30^{\circ}$।
$5$. $\angle BCD = \angle OCD - \angle OCB = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$6$. $\triangle BCD$ में,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$7$. $\triangle BCD$ में,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$8$. चूंकि $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ है,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $BC = BD$ है।

(N/A) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। माना $AB$ बाहरी वृत्त की एक जीवा है जो आंतरिक वृत्त को बिंदु $C$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OC \perp AB$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta OCB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^{2} + CB^{2} = OB^{2}$
यहाँ,$OC$ आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OC = \frac{d_{1}}{2}$।
$OB$ बाहरी वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OB = \frac{d_{2}}{2}$।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CB = \frac{c}{2}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d_{1}}{2})^{2} + (\frac{c}{2})^{2} = (\frac{d_{2}}{2})^{2}$
$\frac{d_{1}^{2}}{4} + \frac{c^{2}}{4} = \frac{d_{2}^{2}}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d_{1}^{2} + c^{2} = d_{2}^{2}$
अतः,$d_{2}^{2} = c^{2} + d_{1}^{2}$।

(N/A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त भुजाओं $BC, CA, AB$ को क्रमशः $D, E, F$ पर स्पर्श करता है,जहाँ $BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए हमारे पास $AE = AF$,$BD = BF$ और $CD = CE = r$ है।
चतुर्भुज $CDOE$ में,चूँकि $\angle C = 90^\circ$ है और त्रिज्याएँ स्पर्श रेखाओं पर लंब होती हैं,इसलिए $\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$ है। अतः,$CDOE$ एक $r$ भुजा वाला वर्ग है।
इसलिए,$CD = CE = r$ है।
आकृति से,$AF = AE = b - r$ और $BF = BD = a - r$ है।
चूँकि $AB = c$ है,इसलिए हमारे पास $AF + BF = c$ है।
मान रखने पर,$(b - r) + (a - r) = c$ प्राप्त होता है।
$a + b - 2r = c$।
$2r = a + b - c$।
$r = \frac{a + b - c}{2}$।

(D) माना $C_1$ और $C_2$ समान केंद्र $O$ वाले वृत्त हैं। $AC$ बाहरी वृत्त $C_2$ की एक जीवा है जो आंतरिक वृत्त $C_1$ को बिंदु $D$ पर स्पर्श करती है।
$OD$ को मिलाइए।
चूंकि $AC$ आंतरिक वृत्त की बिंदु $D$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OD \perp AC$ होगा।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AD = DC = \frac{8}{2} = 4 \, cm$।
समकोण $\triangle AOD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
$5^2 = 4^2 + OD^2$
$25 = 16 + OD^2$
$OD^2 = 25 - 16 = 9$
$OD = \sqrt{9} = 3 \, cm$।
अतः,आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(N/A) दिया है: केंद्र $O$ वाले वृत्त के एक बाहरी बिंदु $P$ से दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: $QORP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $PQ$ और $PR$ क्रमशः बिंदु $Q$ और $R$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
$2$. अतः,$OQ \perp PQ$ और $OR \perp PR$.
$3$. इसका अर्थ है कि $\angle OQP = 90^{\circ}$ और $\angle ORP = 90^{\circ}$.
$4$. चतुर्भुज $QORP$ में,सम्मुख कोणों का योग $\angle OQP + \angle ORP = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
$5$. चूँकि चतुर्भुज $QORP$ में सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।

(N/A) बाहरी बिंदु $B$ से दो स्पर्श रेखाएँ $BD$ और $BC$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: $BO = 2BC$.
$OC$,$OD$ और $BO$ को मिलाइए।
चूँकि $BC$ और $BD$ बाहरी बिंदु $B$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,रेखाखंड $BO$,$\angle DBC$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$\angle OBC = \angle DBO = \frac{1}{2} \angle DBC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। अतः,$OC \perp BC$ और $OD \perp BD$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBC$ में:
$\cos(\angle OBC) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{BO}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{BC}{BO}$
$\frac{1}{2} = \frac{BC}{BO}$
$BO = 2BC$।
चूँकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $BC = BD$ है।
$BC$ के स्थान पर $BD$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BO = BC + BD$।

(N/A) दिया है: एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PR$ और $PQ$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: वृत्त का केंद्र $O$ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं $PR$ और $PQ$ द्वारा बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।
रचना: $OR$ और $OQ$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$\triangle PRO$ और $\triangle PQO$ में:
$1$. $\angle PRO = \angle PQO = 90^{\circ}$ (वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
$2$. $OR = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$3$. $OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$R.H.S.$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle PRO \cong \triangle PQO$ है।
अतः,$\angle RPO = \angle QPO$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $\angle RPO = \angle QPO$ है,रेखा $OP$ कोण $\angle RPQ$ को समद्विभाजित करती है। अतः,केंद्र $O$ रेखाओं $PR$ और $PQ$ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ असमान त्रिज्या वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$।
रचना: $AB$ और $CD$ को आगे बढ़ाएँ ताकि वे बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करें।
उपपत्ति:
चूँकि $PA$ और $PC$ एक बाह्य बिंदु $P$ से बड़े वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनकी लंबाई बराबर होगी:
$PA = PC$ ... $(1)$
चूँकि $PB$ और $PD$ उसी बाह्य बिंदु $P$ से छोटे वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनकी लंबाई बराबर होगी:
$PB = PD$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$PA - PB = PC - PD$
$AB = CD$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ और $O^{\prime}$ तथा समान त्रिज्या $r$ वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$.
रचना: $OA, OC, O^{\prime}B$ और $O^{\prime}D$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB$,$A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OA$,$AB$ पर लंब है। अतः,$\angle OAB = 90^{\circ}$ है।
$2$. इसी प्रकार,चूँकि $CD$,$C$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OC$,$CD$ पर लंब है। अतः,$\angle OCD = 90^{\circ}$ है।
$3$. चूँकि $AB$ और $CD$ समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं (क्योंकि यदि त्रिज्याएँ समान हैं तो वे केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती हैं),$AC$ एक व्यास या स्पर्श रेखाओं पर लंब रेखाखंड है।
$4$. चतुर्भुज $ABDC$ में,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$ और $\angle D = 90^{\circ}$ है।
$5$. त्रिज्याएँ समान होने के कारण,समांतर स्पर्श रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी स्थिर है,जिससे $AC = BD = 2r$ होता है।
$6$. वह चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ हों और सम्मुख भुजाएँ बराबर हों,एक आयत होता है।
$7$. अतः,$ABDC$ एक आयत है।
$8$. इसलिए,आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,जिससे $AB = CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$ है।
उपपत्ति:
बिंदु $E$ से,$EA$ और $EC$ बाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। चूँकि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए:
$EA = EC$ ......$(i)$
इसी प्रकार,बिंदु $E$ से,$EB$ और $ED$ दाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। अतः:
$EB = ED$ .......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EA + EB = EC + ED$
चूँकि $EA + EB = AB$ और $EC + ED = CD$ है,इसलिए:
$AB = CD$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: जीवा $PQ$, बिंदु $R$ पर स्पर्श रेखा $MN$ के समांतर है।
सिद्ध करना है: $R$, चाप $PRQ$ को समद्विभाजित करता है, अर्थात चाप $PR = \text{चाप } RQ$ है।
उपपत्ति:
माना $MN$, $R$ पर स्पर्श रेखा है। चूंकि $PQ \parallel MN$, इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे।
अतः, $\angle MRP = \angle RPQ$ (माना यह $\angle 1 = \angle 2$ है)।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, जीवा द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।
अतः, $\angle MRP = \angle RQP$ (माना यह $\angle 1 = \angle 3$ है)।
उपरोक्त दो समीकरणों से, हमें $\angle 2 = \angle 3$ प्राप्त होता है, अर्थात $\angle RPQ = \angle RQP$ है।
$\triangle PQR$ में, चूंकि $\angle RPQ = \angle RQP$ है, इसलिए इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
अतः, $PR = RQ$ है।
चूंकि जीवा $PR$ और $RQ$ बराबर हैं, इसलिए उनके द्वारा अंतरित चाप भी बराबर होंगे।
अतः, चाप $PR = \text{चाप } RQ$, जिसका अर्थ है कि $R$, चाप $PRQ$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) मान लीजिए $PR$ वृत्त की एक जीवा है। बिंदु $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। मान लीजिए कि ये स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर एक बिंदु $T$ पर मिलती हैं।
$\triangle TPR$ में,$TP = TR$ (बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)।
चूँकि $TP = TR$,इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle TPR = \angle TRP$।
ये कोण स्पर्श रेखाओं द्वारा जीवा $PR$ के साथ बनाए गए कोण हैं।
अतः,वृत्त की जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ जीवा के साथ समान कोण बनाती हैं।

(N/A) दिया है: $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है।
माना $MAN$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
माना $CD$ वृत्त की कोई ऐसी जीवा है जो स्पर्श रेखा $MAN$ के समांतर है।
चूंकि $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर त्रिज्या है,इसलिए $OA \perp MAN$ है।
चूंकि $CD \parallel MAN$ और $OA \perp MAN$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $OA \perp CD$ है।
माना व्यास $AB$ जीवा $CD$ को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$OE \perp CD$ है।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$CE = ED$ है।
चूंकि $CD$ बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा के समांतर एक स्वेच्छ जीवा थी,इसलिए व्यास $AB$ ऐसी सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि $ON \perp AB$,इसलिए $AN = BN$ है।
अब,$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + BN)$।
चूँकि $AN = BN$,हम लिख सकते हैं:
$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + AN) = PN^2 - AN^2$।
$(ii)$ समकोण त्रिभुज $\triangle ONP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = ON^2 + PN^2 \implies PN^2 = OP^2 - ON^2$।
इस मान को $PN^2 - AN^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$PN^2 - AN^2 = (OP^2 - ON^2) - AN^2 = OP^2 - (ON^2 + AN^2)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ONA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$ON^2 + AN^2 = OA^2$।
अतः,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OA^2$।
चूँकि $OA$ और $OT$ दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं,इसलिए $OA = OT$।
अतः,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2$।
$(iii)$ $(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $PA \cdot PB = OP^2 - OT^2$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में (जहाँ $\angle OTP = 90^{\circ}$ क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है),पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OT^2 + PT^2 \implies OP^2 - OT^2 = PT^2$।
इस प्रकार,$PA \cdot PB = PT^2$।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,वृत्त त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं को $P$,$Q$ और $R$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,हमारे पास है:
$BQ = BP$
$CP = CR$
$AQ = AR$
अब,त्रिभुज $ABC$ का परिमाप लें:
$\text{परिमाप} = AB + BC + AC$
$\text{परिमाप} = AB + (BP + CP) + AC$
स्पर्श रेखा प्रमेय से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{परिमाप} = AB + BQ + CR + AC$
$\text{परिमाप} = (AB + BQ) + (AC + CR)$
$\text{परिमाप} = AQ + AR$
चूंकि $AQ = AR$,हम लिख सकते हैं:
$\text{परिमाप} = AQ + AQ = 2AQ$
अतः,$2AQ = AB + BC + AC$
$AQ = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$

(N/A) माना कि वृत्त की भुजाओं $AB, BC, CD, DE, EF,$ और $FA$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $P, Q, R, S, T,$ और $U$ हैं।
चूंकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए हमारे पास है:
$AP = AU$
$BP = BQ$
$CQ = CR$
$DR = DS$
$ES = ET$
$FT = FU$
अब,एकांतर भुजाओं के योग पर विचार करें:
$AB + CD + EF = (AP + PB) + (CR + RD) + (ET + TF)$
स्पर्श रेखा की समानताओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$AB + CD + EF = (AU + BQ) + (CQ + DS) + (ES + FU)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$AB + CD + EF = (BQ + CQ) + (DS + ES) + (FU + AU)$
$AB + CD + EF = BC + DE + FA$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) एक वृत्त $\triangle ABC$ के भीतर स्थित है,जो भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर स्पर्श करता है।
दिया है,$BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है।
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है:
$\therefore BD = BF = x$ (माना)
$DC = CE = y$ (माना)
$AE = AF = z$ (माना)
$\triangle ABC$ का परिमाप $= BC + CA + AB = a + b + c$ है।
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए:
$(BD + DC) + (CE + EA) + (AF + FB) = a + b + c$
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = a + b + c$
$2(x + y + z) = 2s$
$x + y + z = s$
हमें $BD = x$ ज्ञात करना है।
समीकरण $x + y + z = s$ से,हमें $x = s - (y + z)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b = CA = CE + EA = y + z$ है,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$x = s - b$
अतः,$BD = s - b$ है।
इति सिद्धम्।

(B) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB = 10 \, cm$ है।
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PC + CD + PD$ है।
चूँकि $CD$ बिंदु $E$ पर एक स्पर्श रेखा है,इसे $CD = CE + ED$ के रूप में लिखा जा सकता है।
साथ ही,$CE = CA$ और $ED = DB$ (क्रमशः बिंदु $C$ और $D$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
इन मानों को परिमाप के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PC + (CE + ED) + PD = PC + CA + DB + PD$ है।
चूँकि $PC + CA = PA$ और $PD + DB = PB$ है,हमें प्राप्त होता है:
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PA + PB = 10 + 10 = 20 \, cm$।

(N/A) चूंकि $AC$ एक व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त के कोण का गुणधर्म)।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle CAB + \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ .......$(i)$
चूंकि $AT$,$A$ पर एक स्पर्श रेखा है और $AC$ त्रिज्या है (व्यास का भाग),इसलिए स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
अतः,$\angle CAT = 90^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $\angle CAB + \angle BAT = 90^{\circ}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\angle CAB + \angle ACB = \angle CAB + \angle BAT$
दोनों पक्षों से $\angle CAB$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle ACB = \angle BAT$। इति सिद्धम्।

(D) दिया गया है,दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $OP = 3\, cm$ और $PO^{\prime} = 4\, cm$ हैं।
ये दो वृत्त $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि $OP$ और $O^{\prime}P$ स्पर्शज्याएँ हैं,इसलिए $\angle OPO^{\prime} = 90^{\circ}$ है।
समकोण $\triangle OPO^{\prime}$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(OO^{\prime})^2 = (OP)^2 + (PO^{\prime})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
अतः,$OO^{\prime} = 5\, cm$.
माना $PN \perp OO^{\prime}$,जहाँ $N$ रेखा $OO^{\prime}$ पर स्थित है।
माना $ON = x$,तो $NO^{\prime} = 5 - x$.
समकोण $\triangle OPN$ में,$(PN)^2 = (OP)^2 - (ON)^2 = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$ ... $(i)$
समकोण $\triangle PNO^{\prime}$ में,$(PN)^2 = (PO^{\prime})^2 - (NO^{\prime})^2 = 4^2 - (5 - x)^2 = 16 - (25 + x^2 - 10x) = 10x - 9 - x^2$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$9 - x^2 = 10x - 9 - x^2$
$18 = 10x \Rightarrow x = 1.8\, cm$.
$x = 1.8$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$(PN)^2 = 9 - (1.8)^2 = 9 - 3.24 = 5.76$.
$PN = \sqrt{5.76} = 2.4\, cm$.
उभयनिष्ठ जीवा $PQ = 2 \times PN = 2 \times 2.4 = 4.8\, cm$.

(N/A) माना $O$ दिए गए वृत्त का केंद्र है। मान लीजिए $P$ पर स्पर्श रेखा $BC$ को $Q$ पर मिलती है। $BP$ को मिलाइए।
सिद्ध करना है: $BQ = QC$.
उपपत्ति: $\angle ABC = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$ (जहाँ $\angle A = \angle 1$ और $\angle C = \angle 5$).
अतः,$\angle 1 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(i)$
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,$P$ पर स्पर्श रेखा और जीवा $BP$ के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है,इसलिए $\angle 3 = \angle 1$.
साथ ही,$\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
चूँकि $AC$ एक सीधी रेखा है,$\angle APB + \angle BPC = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle BPC = 90^{\circ}$।
$\triangle BPC$ में,$\angle 4 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से:
$\angle 1 + \angle 5 = \angle 4 + \angle 5$
$\Rightarrow \angle 1 = \angle 4$
चूँकि $\angle 3 = \angle 1$,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ है।
$\triangle PQC$ में,चूँकि $\angle 3 = \angle 4$,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = QC$।
साथ ही,बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = BQ$।
अतः,$BQ = QC$।
इस प्रकार,$P$ पर स्पर्श रेखा $BC$ को समद्विभाजित करती है।

(B) $PQ$ और $PR$ एक बाह्य बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\therefore PQ = PR$ [बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है]।
$\triangle PQR$ में,चूँकि $PQ = PR$,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle PQR = \angle QRP$.
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PQR + \angle QRP + \angle RPQ = 180^{\circ}$
$2 \angle PQR + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$2 \angle PQR = 150^{\circ}$
$\angle PQR = 75^{\circ}$.
चूँकि जीवा $SR \parallel$ स्पर्श रेखा $PQ$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle SRQ = \angle RQP = 75^{\circ}$.
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार,स्पर्श रेखा $PR$ और जीवा $RQ$ के बीच का कोण,एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
$\therefore \angle PQR = \angle QSR = 75^{\circ}$.
$\triangle QRS$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle RQS + \angle QSR + \angle SRQ = 180^{\circ}$
$\angle RQS + 75^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle RQS + 150^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle RQS = 30^{\circ}$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$2$. $\triangle ABC$ में,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$।
$3$. स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है,इसलिए $\angle BCD = \angle BAC = 30^{\circ}$।
$4$. $\triangle BCD$ में,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$5$. $\triangle BCD$ में,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$6$. यहाँ $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ है,अतः $\triangle BCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए $BC = BD$।

(N/A) माना $M$ चाप $AMB$ का मध्य-बिंदु है और $TMT'$ बिंदु $M$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
$AB$,$AM$ और $MB$ को मिलाइए।
चूंकि,$\text{चाप } AM = \text{चाप } MB$,
$\Rightarrow$ जीवा $AM =$ जीवा $MB$.
$\triangle AMB$ में,$AM = MB$.
$\Rightarrow \angle MAB = \angle MBA$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) $\dots(i)$.
चूंकि $TMT'$ बिंदु $M$ पर स्पर्श रेखा है,एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) के अनुसार:
$\angle AMT = \angle MBA$ (एकांतर वृत्तखंडों में बने कोण बराबर होते हैं)।
$(i)$ से,$\angle AMT = \angle MAB$.
परंतु $\angle AMT$ और $\angle MAB$ तिर्यक रेखा $AM$ द्वारा रेखाओं $AB$ और $TMT'$ को काटने पर बने एकांतर अंतःकोण हैं।
चूंकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएं समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel TMT'$.
इस प्रकार,वृत्त के चाप के मध्य-बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा,चाप के अंत्य बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर होती है।

(N/A) $AO, OC$ और $O^{\prime}D, O^{\prime}B$ को मिलाइए।
$\triangle E O^{\prime} D$ और $\triangle E O^{\prime} B$ में:
$O^{\prime} D = O^{\prime} B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime} E = O^{\prime} E$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ED = EB$ (बाह्य बिंदु $E$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है)
इसलिए,$\triangle E O^{\prime} D \cong \triangle E O^{\prime} B$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इसका अर्थ है कि $\angle O^{\prime} E D = \angle O^{\prime} E B$,अतः $O^{\prime} E$,$\angle DEB$ का कोण समद्विभाजक है।
इसी प्रकार,$\triangle EOA$ और $\triangle EOC$ पर विचार करते हुए,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\triangle EOA \cong \triangle EOC$,जिसका अर्थ है कि $\angle OEA = \angle OEC$,अतः $OE$,$\angle AEC$ का कोण समद्विभाजक है।
चूँकि $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं,$\angle AEC$ और $\angle DEB$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle AEC = \angle DEB$ है।
चूँकि $OE$,$\angle AEC$ को समद्विभाजित करता है और $O^{\prime}E$,$\angle DEB$ को समद्विभाजित करता है,और $\angle AEC = \angle DEB$ है,इसलिए $\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ होता है।
चूँकि $C, E, B$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं,$\angle OEC + \angle OEO^{\prime} + \angle O^{\prime}EB = 180^{\circ}$।
$\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle O^{\prime}EB + \angle OEO^{\prime} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,चूँकि $O, E, O^{\prime}$ एक सीधी रेखा बनाते हैं,इसलिए कोण $\angle OEO^{\prime}$ का मान $180^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$O, E, O^{\prime}$ संरेख हैं।

(B) दिया है,$OT = 13 \, cm$ और त्रिज्या $OP = 5 \, cm$ है।
चूँकि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OP \perp PT$ है।
समकोण $\triangle OPT$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PT^2 = OT^2 - OP^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$।
अतः,$PT = 12 \, cm$।
चूँकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PT = QT = 12 \, cm$।
साथ ही,$ET = OT - OE = 13 - 5 = 8 \, cm$।
माना $PA = AE = x$ है। तब $AT = PT - PA = 12 - x$ होगा।
समकोण $\triangle AET$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AT^2 = AE^2 + ET^2$
$(12 - x)^2 = x^2 + 8^2$
$144 - 24x + x^2 = x^2 + 64$
$24x = 144 - 64 = 80$
$x = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \, cm$।
इसी प्रकार,$EB = QB = \frac{10}{3} \, cm$।
अतः,$AB = AE + EB = \frac{10}{3} + \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \, cm$।