Textbook - Circles Questions in Hindi

(A) वृत्त एक समतल पर उन बिंदुओं का संग्रह है जो केंद्र नामक एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। चूँकि वृत्त की एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है,और वृत्त की परिधि पर अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

(A) $(i)$ वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। अतः,यह वृत्त को $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
$(ii)$ वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,उसे वृत्त की छेदक रेखा (secant) कहा जाता है।

(A-D) $(i)$ एक वृत्त की अधिकतम $2$ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। ये स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं और व्यास के अंतिम बिंदुओं से होकर गुजरती हैं।
$(ii)$ वृत्त की स्पर्श रेखा तथा वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

(D) हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
अतः,$OP \perp PQ$ है।
यह एक समकोण त्रिभुज $\triangle OPQ$ बनाता है,जहाँ $OP = 5 \, cm$ (त्रिज्या) और $OQ = 12 \, cm$ (कर्ण) है।
$\triangle OPQ$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$
$5^2 + PQ^2 = 12^2$
$25 + PQ^2 = 144$
$PQ^2 = 144 - 25$
$PQ^2 = 119$
$PQ = \sqrt{119} \, cm$.

(N/A) आकृति से यह देखा जा सकता है कि $AB$ और $CD$ दो समांतर रेखाएँ हैं।
रेखा $AB$ वृत्त को ठीक दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। इसलिए,रेखा $AB$ इस वृत्त की छेदक रेखा है।
चूँकि रेखा $CD$ वृत्त को ठीक एक बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए रेखा $CD$ वृत्त की स्पर्शरेखा है।

(N/A) हमें केंद्र $O$ वाले दो संकेंद्रीय वृत्त $C_1$ और $C_2$ दिए गए हैं और बड़े वृत्त $C_1$ की एक जीवा $AB$ है जो छोटे वृत्त $C_2$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। हमें सिद्ध करना है कि $AP = BP$ है।
आइए $OP$ को मिलाते हैं। तब,$AB$ वृत्त $C_2$ के लिए बिंदु $P$ पर एक स्पर्श रेखा है और $OP$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए:
$OP \perp AB$
अब,$AB$ वृत्त $C_1$ की एक जीवा है और $OP \perp AB$ है। हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$OP$ जीवा $AB$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है:
$AP = BP$

(N/A) हमें केंद्र $O$ वाला एक वृत्त,एक बाह्य बिंदु $T$ और वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ दी गई हैं,जहाँ $P$ और $Q$ स्पर्श बिंदु हैं (आकृति देखें)।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$.
माना $\angle PTQ = \theta$.
अब,$TP = TQ$ (बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है)। अतः,$\triangle TPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle TPQ = \angle TQP = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \theta) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \theta$.
साथ ही,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPT = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle OPQ = \angle OPT - \angle TPQ = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{1}{2} \theta)$.
$\angle OPQ = \frac{1}{2} \theta = \frac{1}{2} \angle PTQ$.
इससे यह सिद्ध होता है कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$।

(D) $OT$ को मिलाइए। मान लीजिए कि यह $PQ$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करता है। तब $\triangle TPQ$ समद्विबाहु त्रिभुज है और $TO$,$\angle PTQ$ का कोण समद्विभाजक है। अतः,$OT \perp PQ$ और इसलिए,$OT$,$PQ$ को समद्विभाजित करता है,जिससे $PR = RQ = 4 \, cm$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$OR = \sqrt{OP^2 - PR^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} \, cm = \sqrt{25 - 16} \, cm = \sqrt{9} \, cm = 3 \, cm$.
अब,$\angle TPR + \angle RPO = 90^{\circ}$ और $\angle TPR + \angle PTR = 90^{\circ}$ (चूंकि $\triangle TRP$ एक समकोण त्रिभुज है)।
अतः,$\angle RPO = \angle PTR$.
इसलिए,समकोण त्रिभुज $TRP$,$AA$ समरूपता द्वारा समकोण त्रिभुज $PRO$ के समरूप है।
इससे $\frac{TP}{PO} = \frac{RP}{RO}$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{TP}{5} = \frac{4}{3}$ या $TP = \frac{20}{3} \, cm$।

(A) माना कि $O$ वृत्त का केंद्र है।
दिया गया है कि,
$OQ = 25 \, cm$ और $PQ = 24 \, cm$ है।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OP \perp PQ$ है।
$\triangle OPQ$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$
$OP^2 + 24^2 = 25^2$
$OP^2 + 576 = 625$
$OP^2 = 625 - 576$
$OP^2 = 49$
$OP = 7 \, cm$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $7 \, cm$ है।

(B) यह दिया गया है कि $TP$ और $TQ$ एक बाह्य बिंदु $T$ से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$OP \perp TP$ और $OQ \perp TQ$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle OPT = 90^{\circ}$ और $\angle OQT = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $POQT$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OPT + \angle POQ + \angle OQT + \angle PTQ = 360^{\circ}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} + \angle PTQ = 360^{\circ}$
$290^{\circ} + \angle PTQ = 360^{\circ}$
$\angle PTQ = 360^{\circ} - 290^{\circ} = 70^{\circ}$

(C) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं।
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए,$OA \perp PA$ और $OB \perp PB$,जिसका अर्थ है कि $\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$।
चतुर्भुज $OAPB$ में,अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OAP + \angle APB + \angle OBP + \angle AOB = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + 80^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ}$
$260^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ}$
$\angle AOB = 100^{\circ}$
$\triangle OPA$ और $\triangle OPB$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$PA = PB$ (बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं समान होती हैं)
$OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle OPA \cong \triangle OPB$।
$CPCT$ के अनुसार,$\angle POA = \angle POB$।
चूंकि $\angle POA + \angle POB = \angle AOB = 100^{\circ}$,इसलिए $2 \angle POA = 100^{\circ}$।
अतः,$\angle POA = 50^{\circ}$।

(N/A) मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है। बिंदु $A$ और $B$ पर क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $RS$ खींची गई हैं।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए:
$OA \perp RS$ और $OB \perp PQ$
अतः:
$\angle OAR = 90^{\circ}$
$\angle OAS = 90^{\circ}$
$\angle OBP = 90^{\circ}$
$\angle OBQ = 90^{\circ}$
उपरोक्त से,हम देख सकते हैं कि:
$\angle OAR = \angle OBQ = 90^{\circ}$ (ये एकांतर अंतःकोण हैं)
$\angle OAS = \angle OBP = 90^{\circ}$ (ये एकांतर अंतःकोण हैं)
चूँकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $PQ$ और $RS$ समांतर होंगी।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $AB$ एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है।
हमें यह सिद्ध करना है कि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है। हम इसे विरोधाभास विधि द्वारा सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए कि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा केंद्र $O$ से होकर नहीं गुजरती है। मान लीजिए कि यह किसी अन्य बिंदु $O'$ से होकर गुजरती है।
$OP$ और $O'P$ को मिलाइए।
चूंकि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा $O'$ से होकर गुजरती है,इसलिए,
$\angle O'PB = 90^{\circ} \dots(1)$
$O$ वृत्त का केंद्र है और $P$ स्पर्श बिंदु है। हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
$\therefore \angle OPB = 90^{\circ} \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\angle O'PB = \angle OPB \dots(3)$
आकृति से यह देखा जा सकता है कि,
$\angle O'PB < \angle OPB \dots(4)$
इसलिए,$\angle O'PB = \angle OPB$ संभव नहीं है।
यह केवल तभी संभव है जब रेखा $O'P$,$OP$ के संपाती हो।
अतः,$P$ से होकर $AB$ पर लंब रेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।

(B) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और वह बिंदु जहाँ से स्पर्श रेखा खींची गई है,$A$ है।
मान लीजिए $B$ वृत्त पर स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
दिया गया है कि केंद्र $O$ से बिंदु $A$ की दूरी $OA = 5 \, cm$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $AB = 4 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$OB \perp AB$,जो $\triangle ABO$ को एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ $\angle OBA = 90^\circ$ है।
$\triangle ABO$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OA^2 = AB^2 + OB^2$
$5^2 = 4^2 + OB^2$
$25 = 16 + OB^2$
$OB^2 = 25 - 16$
$OB^2 = 9$
$OB = \sqrt{9} = 3 \, cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(C) माना कि दोनों संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $O$ है। माना $PQ$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $A$ पर स्पर्श करती है। अतः,$PQ$ छोटे वृत्त के लिए बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा है।
चूँकि $OA$ छोटे वृत्त की त्रिज्या है और $PQ$ स्पर्श रेखा है,इसलिए $OA \perp PQ$ होगा।
$\triangle OAP$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OA^2 + AP^2 = OP^2$
$3^2 + AP^2 = 5^2$
$9 + AP^2 = 25$
$AP^2 = 25 - 9 = 16$
$AP = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AP = AQ$ होगा।
अतः,जीवा $PQ$ की लंबाई $= AP + AQ = 2 \times AP = 2 \times 4 = 8 \, cm$ होगी।

(N/A) हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
बिंदु $D$ से,$DR = DS$ ... $(1)$
बिंदु $C$ से,$CR = CQ$ ... $(2)$
बिंदु $B$ से,$BP = BQ$ ... $(3)$
बिंदु $A$ से,$AP = AS$ ... $(4)$
समीकरणों $(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$(DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)$
चूँकि $DR + CR = CD$,$BP + AP = AB$,$DS + AS = AD$,और $CQ + BQ = BC$,इसलिए:
$CD + AB = AD + BC$
अतः,$AB + CD = AD + BC$ सिद्ध हुआ।

(N/A) बिंदु $O$ को $C$ से मिलाइए।
$\triangle OPA$ और $\triangle OCA$ में:
$OP = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$AP = AC$ (बाह्य बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle POA = \angle COA$ ... $(i)$
इसी प्रकार,$\triangle OQB$ और $\triangle OCB$ में:
$OQ = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$BQ = BC$ (बाह्य बिंदु $B$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OQB \cong \triangle OCB$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle QOB = \angle COB$ ... $(ii)$
चूँकि $POQ$ वृत्त का व्यास है,यह एक सीधी रेखा है,इसलिए एक ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^{\circ}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$2 \angle COA + 2 \angle COB = 180^{\circ}$
$2(\angle COA + \angle COB) = 180^{\circ}$
$\angle COA + \angle COB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle AOB = 90^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $P$ एक बाह्य बिंदु है जहाँ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं,जो वृत्त को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। $AB$ स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाला रेखाखंड है,जो वृत्त के केंद्र $O$ पर $\angle AOB$ अंतरित करता है।
यह देखा जा सकता है कि:
$OA$ (त्रिज्या) $\perp PA$ (स्पर्श रेखा)
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$
इसी प्रकार,$OB$ (त्रिज्या) $\perp PB$ (स्पर्श रेखा)
इसलिए,$\angle OBP = 90^{\circ}$
चतुर्भुज $OAPB$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OAP + \angle APB + \angle PBO + \angle BOA = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle APB + 90^{\circ} + \angle BOA = 360^{\circ}$
$\angle APB + \angle BOA = 180^{\circ}$
अतः,यह सिद्ध होता है कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण,स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

(N/A) चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,
$AB = CD \dots(1)$
$BC = AD \dots(2)$
यह देखा जा सकता है कि:
$DR = DS$ (बिंदु $D$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$CR = CQ$ (बिंदु $C$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$BP = BQ$ (बिंदु $B$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$AP = AS$ (बिंदु $A$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
इन सभी समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS$
$(DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)$
$CD + AB = AD + BC$
इस समीकरण में समीकरण $(1)$ और $(2)$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AB = 2BC$
$AB = BC \dots(3)$
समीकरण $(1), (2),$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB = BC = CD = DA$
अतः,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(D) माना कि वृत्त त्रिभुज की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $F$ पर स्पर्श करता है। माना स्पर्श रेखा $AF$ की लंबाई $x \, cm$ है।
चूंकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है:
$CF = CD = 6 \, cm$
$BE = BD = 8 \, cm$
$AE = AF = x \, cm$
अतः,त्रिभुज की भुजाएं हैं:
$AB = AE + EB = x + 8$
$BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 \, cm$
$AC = AF + FC = x + 6$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{(x+8) + 14 + (x+6)}{2} = \frac{2x + 28}{2} = x + 14$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{(x+14)(x+14-14)(x+14-(x+6))(x+14-(x+8))}$
$= \sqrt{(x+14)(x)(8)(6)} = \sqrt{48x(x+14)} = 4\sqrt{3x(x+14)}$.
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle OBC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle OCA$ का क्षेत्रफल $+ \triangle OAB$ का क्षेत्रफल
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 14 + \frac{1}{2} \times 4 \times (x+6) + \frac{1}{2} \times 4 \times (x+8)$
$= 28 + 2(x+6) + 2(x+8) = 28 + 2x + 12 + 2x + 16 = 56 + 4x = 4(14+x)$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $4\sqrt{3x(x+14)} = 4(14+x)$
$\sqrt{3x(x+14)} = 14+x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3x(x+14) = (14+x)^2$
$3x^2 + 42x = 196 + x^2 + 28x$
$2x^2 + 14x - 196 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x - 98 = 0$
$(x+14)(x-7) = 0$. चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 7$.
अतः,$AB = 7+8 = 15 \, cm$ और $AC = 7+6 = 13 \, cm$.

(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जो $O$ केंद्र वाले वृत्त के परिगत है और वृत्त को $P, Q, R, S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है। आइए चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्षों को वृत्त के केंद्र से जोड़ें।
$\triangle OAP$ और $\triangle OAS$ पर विचार करें:
$AP = AS$ (एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
$OP = OS$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OA = OA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
इसलिए,$\triangle OAP \cong \triangle OAS$ ($SSS$ सर्वांगसमता कसौटी)।
अतः,$\angle POA = \angle AOS$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle 8$।
इसी प्रकार,हम दिखा सकते हैं कि:
$\angle 2 = \angle 3$
$\angle 4 = \angle 5$
$\angle 6 = \angle 7$
चूंकि केंद्र के चारों ओर के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 + \angle 8 = 360^{\circ}$
समान कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle 1 + \angle 8) + (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 4 + \angle 5) + (\angle 6 + \angle 7) = 360^{\circ}$
$2\angle 1 + 2\angle 2 + 2\angle 5 + 2\angle 6 = 360^{\circ}$
$2(\angle 1 + \angle 2) + 2(\angle 5 + \angle 6) = 360^{\circ}$
$(\angle 1 + \angle 2) + (\angle 5 + \angle 6) = 180^{\circ}$
अतः,$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle BOC + \angle DOA = 180^{\circ}$।
अतः,एक वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।