Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(D) वृत्त के प्रमेय के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के बीच बनने वाला कोण $90^{\circ}$ होता है।

(C) किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इस प्रमेय के अनुसार,
चूँकि $P$ एक बाह्य बिंदु है और $\overline{ PA }$ तथा $\overline{ PB }$ वृत्त $\odot( O , r)$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PA = PB$ होगा।

(A) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $OA$ और $OB$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$l_{1} \perp OA$ और $l_{2} \perp OB$ है।
चूंकि $A, O$ और $B$ संरेख हैं (क्योंकि $AB$ एक व्यास है),रेखाएँ $OA$ और $OB$ एक ही सीधी रेखा $AB$ बनाती हैं।
यदि दो रेखाएँ ($l_{1}$ और $l_{2}$) एक ही रेखा $(AB)$ पर लंब हैं,तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
अतः,$l_{1} \parallel l_{2}$।

(C) वृत्त की त्रिज्या $PB = 5$ है। वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए,$\angle PBA = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$
$13^2 = 5^2 + AB^2$
$169 = 25 + AB^2$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$.

(B) प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,$PA = PB$ होगा।
चूँकि $PA = 8$ दिया गया है,इसलिए $PB = 8$ होगा।

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $OM = 8$ और $NP = 2$ है।
चूंकि $ON$ त्रिज्या है,इसलिए $ON = 8$ होगा।
अतः,दूरी $OP = ON + NP = 8 + 2 = 10$ होगी।
समकोण त्रिभुज $\Delta OMP$ में,कोण $\angle OMP = 90^{\circ}$ है क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $OP^2 = OM^2 + PM^2$.
$10^2 = 8^2 + PM^2$.
$100 = 64 + PM^2$.
$PM^2 = 100 - 64 = 36$.
$PM = \sqrt{36} = 6$.

(D) चतुर्भुज $OAPB$ में,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ है।
एक चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $\angle AOB + 90^{\circ} + 65^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB + 245^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB = 360^{\circ} - 245^{\circ} = 115^{\circ}$।

(D) रेखाखंड $OP$ कोण $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$m \angle OPB = \frac{1}{2} m \angle APB = \frac{1}{2} (70^\circ) = 35^\circ$।
चूँकि $PB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $OB$ स्पर्श रेखा $PB$ पर लंब होती है।
अतः,$m \angle OBP = 90^\circ$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OBP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m \angle POB + m \angle OBP + m \angle OPB = 180^\circ$।
$m \angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$।
$m \angle POB + 125^\circ = 180^\circ$।
$m \angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$।

(B) $\Delta OAP$ में,त्रिज्या $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $PA$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$m\angle OAP = 90^\circ$ है।
$\Delta OAP$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m\angle OAP + m\angle AOP + m\angle OPA = 180^\circ$
$90^\circ + 40^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$130^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$m\angle OPA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

(D) $\Delta OAP$ में,त्रिज्या $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $PA$ के लंबवत होती है। इसलिए,$m\angle OAP = 90^\circ$ है।
दिया गया है कि $m\angle AOP = 45^\circ$ है।
$\Delta OAP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m\angle OPA = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ है।
चूंकि $m\angle AOP = m\angle OPA = 45^\circ$ है,इसलिए $\Delta OAP$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,समान कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं: $AP = OA$ है।
चूंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OA = 8$ है।
अतः,$AP = 8$ है।

(C) चूंकि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $\angle OAP = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^{2} = OA^{2} + AP^{2}$
दिया है $OP = 10$ और $AP = 8$,इसलिए:
$10^{2} = OA^{2} + 8^{2}$
$100 = OA^{2} + 64$
$OA^{2} = 100 - 64 = 36$
$OA = \sqrt{36} = 6$
यहाँ,$OA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
वृत्त का व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 6 = 12$.

(C) माना कि $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का सामान्य केंद्र है।
माना कि $AB$ बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
$OM$ छोटे वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OM = 5$.
$OB$ बड़े वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OB = 13$.
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OMB = 90^{\circ}$ है।
समकोण $\Delta OMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$13^2 = 5^2 + MB^2$
$169 = 25 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 25 = 144$
$MB = \sqrt{144} = 12$.
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AB = 2 \times MB = 2 \times 12 = 24$.

(D) $\Delta ABC$ की भुजाओं के माप $a=5$,$b=12$ और $c=13$ हैं।
चूँकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण की लंबाई $13$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a+b-c}{2}$ है,जहाँ $a$ और $b$ समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं और $c$ कर्ण है।
मान रखने पर: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(D) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\overline{PR}$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ है।
$PR = \sqrt{289} = 17$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करने का सूत्र $r = \frac{PQ + QR - PR}{2}$ है।
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ है।

(B) वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
वृत्त के बाहर स्थित किसी भी बिंदु $P$ से वृत्त पर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
ये दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।
अतः,एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की अधिकतम संख्या $2$ है।

(C) माना शीर्ष $A, B, C$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई क्रमशः $x, y, z$ है।
चूंकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए हमारे पास है:
$AD = AF = x$
$BD = BE = y$
$CE = CF = z$
$\Delta ABC$ की भुजाओं की लंबाई दी गई है:
$AB = x + y = 13$
$BC = y + z = 12$
$CA = z + x = 5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 13 + 12 + 5$
$2(x + y + z) = 30$
$x + y + z = 15$
हमें $AD = x$ ज्ञात करना है। $y + z = 12$ का उपयोग करने पर:
$x + (y + z) = 15$
$x + 12 = 15$
$x = 15 - 12 = 3$
अतः,$AD = 3$.

(D) वृत्त $\odot(O, 5)$ की त्रिज्या $r = 5$ है।
चूँकि वृत्त वर्ग की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है।
वर्ग की भुजा की लंबाई $= 2 \times r = 2 \times 5 = 10$.
वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा की लंबाई} = 4 \times 10 = 40$.

(D) जो चतुर्भुज एक वृत्त के परिगत होता है,उसे स्पर्शरेखीय चतुर्भुज (tangential quadrilateral) कहा जाता है। पिटोट प्रमेय के अनुसार,यदि किसी चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं,तो सम्मुख भुजाओं की लंबाइयों का योग बराबर होता है। अर्थात,$AB + CD = BC + DA$। अतः,ऐसे चतुर्भुज को स्पर्शरेखीय चतुर्भुज कहा जाता है।

(C) एक चक्रीय चतुर्भुज जो एक आयत भी है,इसका अर्थ है कि इसके शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं और इसके सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं।
आयत $ABCD$ में,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $AC^{2} = 5^{2} + 12^{2}$.
$AC^{2} = 25 + 144 = 169$.
अतः,$AC = \sqrt{169} = 13$.

(D) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। बड़े वृत्त की त्रिज्या $OB = 41$ है और छोटे वृत्त की त्रिज्या $OM = 9$ है।
चूंकि बड़े वृत्त की जीवा $\overline{AB}$ छोटे वृत्त को $M$ पर स्पर्श करती है,इसलिए त्रिज्या $OM$ स्पर्श बिंदु $M$ पर जीवा $AB$ के लंबवत है।
अतः,समकोण त्रिभुज $\Delta OMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$41^2 = 9^2 + MB^2$
$1681 = 81 + MB^2$
$MB^2 = 1681 - 81 = 1600$
$MB = \sqrt{1600} = 40$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times MB = 2 \times 40 = 80$.

(C) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है।
माना $R = 17$ बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और $r = 15$ आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है।
बाहरी वृत्त की जीवा $\overline{AB}$,आंतरिक वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OM \perp AB$ है।
$\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $OA^2 = OM^2 + AM^2$ है।
मान रखने पर: $17^2 = 15^2 + AM^2$ है।
$289 = 225 + AM^2$ है।
$AM^2 = 289 - 225 = 64$ है।
$AM = \sqrt{64} = 8$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM$ है।
$AB = 2 \times 8 = 16$ है।

(B) एक वृत्त $\square ABCD$ की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
$\therefore AB + CD = AD + BC$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\therefore 5 + 6 = AD + 8$
$\therefore 11 = AD + 8$
$\therefore AD = 11 - 8 = 3$

(C) $\square PQRS$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः, $m \angle P + m \angle R = 180^{\circ}$.
दिया गया है कि $m \angle P = 30^{\circ}$ है।
मान रखने पर, $30^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
इस प्रकार, $m \angle R = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

(A) मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $\overleftrightarrow{PQ}$ वृत्त को बिंदु $R$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए:
$AB = AC$ (बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ)
$PB = PR$ (बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ)
$QC = QR$ (बिंदु $Q$ से स्पर्श रेखाएँ)
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ$ है।
$PQ = PR + QR$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
परिमाप $= AP + (PR + QR) + AQ$
समानताओं $PR = PB$ और $QR = QC$ का उपयोग करने पर:
परिमाप $= AP + PB + QC + AQ$
चूँकि $AP + PB = AB$ और $AQ + QC = AC$ है:
परिमाप $= AB + AC$
चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए परिमाप $= AB + AB = 2 AB$ (या $2 AC$)।
अतः,सही विकल्प $2 AB$ है।

(A) एक वृत्त के परिगत चतुर्भुज के लिए,सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है,अर्थात $AB + CD = BC + AD$।
दिया गया है कि $\overline{AB}$ सबसे बड़ी भुजा है,मान लीजिए $AB = x$।
चूंकि वृत्त सभी भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए शीर्षों से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। मान लीजिए शीर्षों $A, B, C, D$ से स्पर्श रेखाओं की लंबाई क्रमशः $a, b, c, d$ है।
तब $AB = a + b$,$BC = b + c$,$CD = c + d$,और $AD = a + d$।
चूंकि $AB$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $a+b$ का मान अधिकतम है।
एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख वाली भुजा सामान्यतः सबसे छोटी भुजा होती है। अतः,$\overline{CD}$ सबसे छोटी भुजा है।

(C) मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $\overleftrightarrow{PQ}$ वृत्त को बिंदु $R$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए हमारे पास है:
$PB = PR$ और $QC = QR$.
$\Delta APQ$ का परिमाप = $AP + PQ + AQ$.
$= AP + (PR + RQ) + AQ$.
$= AP + PB + QC + AQ$ (चूँकि $PR = PB$ और $RQ = QC$ है)।
$= (AP + PB) + (AQ + QC)$.
$= AB + AC$.
चूँकि $AB = AC$ है (बाहरी बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ),इसलिए $AB = AC = 6$ है।
अतः,$\Delta APQ$ का परिमाप = $6 + 6 = 12$।

(C) दिया गया है कि $\overline{ PA }$ और $\overline{ PB }$ एक बाहरी बिंदु $P$ से वृत्त $\odot( O , r)$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रमेय के अनुसार,एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,$\overline{ PA } = \overline{ PB }$ है।
$\Delta PAB$ में,चूँकि $\overline{ PA } = \overline{ PB }$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$m \angle PAB = m \angle PBA$ होगा।
दिया गया है कि $m \angle PAB = 60^{\circ}$,इसलिए $m \angle PBA = 60^{\circ}$ होगा।

(C) माना बिंदु $A$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $AC$ हैं। प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $AB = AC$ है।
माना स्पर्श रेखा $PQ$ वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है। तब $PM = PB$ और $QM = QC$ (क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ = AP + (PM + MQ) + AQ$ है।
समान स्पर्श रेखाओं की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप $= AP + PB + QC + AQ = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$ है।
चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए परिमाप $= 2 AB$ है।
दिया गया है कि परिमाप $16$ है,अतः $2 AB = 16$,जिसका अर्थ है कि $AB = 8$ है।

(C) दिए गए वृत्त में,$\overline{ OB }$ त्रिज्या है और $\overline{ PB }$ बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा है।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OBP = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\Delta POB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $OP$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^{2} = OB^{2} + PB^{2}$
$13^{2} = 5^{2} + PB^{2}$
$169 = 25 + PB^{2}$
$PB^{2} = 169 - 25 = 144$
$PB = \sqrt{144} = 12$
इसलिए,$PB = 12$.

(B) जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनके पास स्पर्श बिंदु से होकर गुजरने वाली एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा और दो अन्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
अतः,दोनों वृत्तों पर कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(C) वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
यहाँ,$\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ वृत्त $\odot(P, r)$ की बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा है।
अतः,त्रिज्या $PQ$ स्पर्श रेखा $\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ पर $Q$ पर लंब है।
चूँकि $PQ \perp AB$,इसलिए $P$ से रेखा $AB$ पर खींचे गए लंब का पाद $Q$ है।

(C) वृत्त के केंद्र $P$ से रेखा $AB$ की दूरी लंबवत खंड $PQ$ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि $Q$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित है,इसलिए $PQ$ की लंबाई वृत्त की त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए (अर्थात,$PQ < r$)।
वृत्त के गुणों के अनुसार,यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है,तो वह रेखा एक छेदक रेखा (secant line) होती है और वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

(B) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a = BC$,$c = AB$ और कर्ण $b = AC$ हैं।
मान लीजिए कि अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है।
अंतःवृत्त का केंद्र $(O)$,भुजाओं $AB$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं और शीर्ष $B$ के साथ एक वर्ग बनाता है,क्योंकि त्रिज्याएँ भुजाओं पर लंब होती हैं।
अतः,$B$ से $AB$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं की दूरी $r$ है।
भुजाओं $AB$ और $BC$ के शेष भाग क्रमशः $(c - r)$ और $(a - r)$ हैं।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुणधर्म के अनुसार,ये भाग शीर्ष $A$ और $C$ से कर्ण पर स्पर्श बिंदुओं तक की दूरियों के बराबर होते हैं।
इसलिए,कर्ण $b = (c - r) + (a - r)$ है।
$b = a + c - 2r$।
$2r = a + c - b$।
$r = \frac{a + c - b}{2}$।
भुजाओं की लंबाई रखने पर: $r = \frac{BC + AB - AC}{2}$।

(B) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 24$ और $BC = 7$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24)^2 + (7)^2$
$AC^2 = 576 + 49$
$AC^2 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र:
$r = \frac{AB + BC - AC}{2}$
$r = \frac{24 + 7 - 25}{2}$
$r = \frac{31 - 25}{2}$
$r = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3$ है।

(D) वह चतुर्भुज जो एक वृत्त को परिगत करता है, उसे स्पर्शरेखीय चतुर्भुज कहा जाता है।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ को क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
अतः, $AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, और $DR = DS$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$ implies $AB + CD = AD + BC$।
यह गुण किसी भी स्पर्शरेखीय चतुर्भुज द्वारा संतुष्ट होता है।
दिए गए विकल्पों में से, समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और यह एक वृत्त को परिगत कर सकता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ ज्ञात करते हैं: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $1$ है।

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं।
यदि एक समचतुर्भुज एक वृत्त के अंदर स्थित है,तो उसके सभी शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।
वृत्त के अंदर स्थित चतुर्भुज को चक्रीय चतुर्भुज कहा जाता है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
समचतुर्भुज $ABCD$ के लिए,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$।
चूंकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $2\angle A = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$।
$90^{\circ}$ के कोण वाले समचतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है।
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।

(D) एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ $a, b$ और कर्ण $c$ हैं,के लिए अंतःत्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a+b-c}{2}$ होता है।
$1.$ $\Delta ABC$ के लिए भुजाएँ $3, 4, 5$ हैं: $r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$। यह $(b)$ से मेल खाता है।
$2.$ $\Delta PQR$ के लिए भुजाएँ $5, 12, 13$ हैं: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$। यह $(a)$ से मेल खाता है।
$3.$ $\Delta XYZ$ के लिए भुजाएँ $8, 15, 17$ हैं: $r = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$। यह $(d)$ से मेल खाता है।
$4.$ $\Delta MNP$ के लिए भुजाएँ $20, 21, 29$ हैं: $r = \frac{20+21-29}{2} = \frac{12}{2} = 6$। यह $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ है।