જ્યારે $1! + 2! + 95!$ ને $15$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે $3$,ગણિતશાસ્ત્ર માટે $5$ અને રસાયણશાસ્ત્ર માટે $4$ શિષ્યવૃતિના અરજદારો છે. તો આ પૈકીની કોઈ એક શિષ્યવૃતિ કેટલી ભિન્ન રીતે એનાયત કરી શકાય?

એક પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ ભાગ $A, B, C$ છે,જેમાં ભાગ $A$ માં ચાર પ્રશ્નો,ભાગ $B$ માં પાંચ પ્રશ્નો અને ભાગ $C$ માં છ પ્રશ્નો છે. વિદ્યાર્થીએ કુલ સાત પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તો વિદ્યાર્થી સાત પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે તેવા કુલ અલગ-અલગ પ્રકારોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $S_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ અને $T_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ હોય,તો $\frac{T_n}{S_n}$ ની કિંમત શોધો.

એક મૂળાક્ષરના $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો આપેલા છે. આ આપેલા અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરોવાળા શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. તો એવા શબ્દોની સંખ્યા જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય અને કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય,તે છે:

$'SAHARANPUR'$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી બનાવી શકાય તેવા $3$ અક્ષરના શબ્દોની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?