TS EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$ है।
अतः,बहुभुज की भुजाओं की संख्या $12$ है।

(A) माना $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$.
चूँकि $\tan^2 \theta \neq \frac{1}{3}$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
सर्वसमिका $\tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = \tan(3\theta)$ प्राप्त होता है।
$\tan(x)$ का आवर्तकाल $\pi$ होता है। अतः,$\tan(3\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{3}$ होगा।

(B) दिया गया है: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ को अलग करने पर:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
दोनों पक्षों को $2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
हम जानते हैं कि $\cos(15^{\circ}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{12}) \sin \theta + \cos(\frac{\pi}{12}) \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ है।
अतः,$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,जहाँ $n \in Z$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3$,$f=6$,और $c=15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$ है।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ है।
माना संकेंद्रित वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ है।
नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(45-k)$ है।
दिया गया है कि $A_2 = 2A_1$,इसलिए $\pi(45-k) = 2(30\pi) = 60\pi$।
अतः,$45-k = 60$,जिससे $k = -15$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ है।

(C) दिया गया है,$r_1 = 15$ इकाई,$r_2 = 20$ इकाई,और केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = 25$ इकाई है।
यहाँ $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = (C_1 C_2)^2$ है।
चूँकि त्रिज्याओं के वर्गों का योग केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\triangle A C_1 C_2$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C_1 A C_2 = 90^\circ$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1 C_2$ पर बिंदु $D$ पर लंब है।
$\triangle A C_1 C_2$ में,कर्ण $C_1 C_2$ पर शीर्षलंब $AD = \frac{r_1 \times r_2}{C_1 C_2}$ होता है।
$AD = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ इकाई।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ इकाई।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $S_1 + k(S_1 - S_2) = 0$ के रूप में होता है।
$x^2+y^2+2x+3y+1 + k(2x+1) = 0$.
चूंकि इस वृत्त का केंद्र रेखा $x = -\frac{1}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $k = \frac{1}{2}$ रखने पर: $x^2+y^2+2x+3y+1 + \frac{1}{2}(2x+1) = 0$.
$x^2+y^2+3x+3y+\frac{3}{2} = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,समीकरणों को सामान्य करें ताकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक $1$ हों।
$S_1$ के लिए: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$
$S_2$ के लिए: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$
$-x + \frac{7}{4}x + \frac{18}{7} - 5 = 0$
$\frac{3}{4}x + \frac{18-35}{7} = 0$
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$
$28$ से गुणा करने पर:
$21x - 68 = 0$

(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है ...$(i)$
चूंकि परवलय बिंदुओं $(0, 4), (1, 9)$ और $(4, 5)$ से गुजरता है,ये बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$(0, 4)$ को $(i)$ में रखने पर: $4 = A(0)^2 + B(0) + C \Rightarrow C = 4$ ...(ii)
$(1, 9)$ को $(i)$ में रखने पर: $9 = A(1)^2 + B(1) + 4 \Rightarrow A + B = 5$ ...(iii)
$(4, 5)$ को $(i)$ में रखने पर: $5 = A(4)^2 + B(4) + 4 \Rightarrow 16A + 4B = 1$ ...(iv)
(iv) को $4$ से विभाजित करने पर,$4A + B = \frac{1}{4}$ ...$(v)$
$(v)$ में से (iii) घटाने पर: $3A = \frac{1}{4} - 5 = -\frac{19}{4} \Rightarrow A = -\frac{19}{12}$
$A$ का मान (iii) में रखने पर: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
अतः,परवलय का समीकरण $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 8(x-3)$ है। यहाँ शीर्ष $(3,0)$ और $a=2$ है।
नाभि $S(5,0)$ है और नियता $x=1$ है।
$P$ के निर्देशांक $(3+2t^2, 4t)$ लेने पर,$M$ के निर्देशांक $(1, 4t)$ होंगे।
समबाहु त्रिभुज के लिए $SP = SM$ होना चाहिए।
$SP = 2(t^2+1)$ और $SM = 4\sqrt{1+t^2}$।
$2(t^2+1) = 4\sqrt{1+t^2}$ लेने पर,$t^2=3$ प्राप्त होता है।
अतः $P(9, 4\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।
दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
माना परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $yy_1 = 4(x + x_1)$ है,जिसे $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे दी गई रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$
$2 = \frac{-y_1}{3} \Rightarrow y_1 = -6$
$2 = \frac{x_1}{3} \Rightarrow x_1 = 6$
अतः,ध्रुव $(6, -6)$ है।
चूँकि रेखाएँ संयुग्मी हैं,ध्रुव $(6, -6)$ दूसरी रेखा $x - y + k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
मान रखने पर,$6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) दिया गया है,$a_n = 6^n - 5n$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$
हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots)$
अब,इस मान को $a_n$ के व्यंजक में रखने पर:
$a_n = (1 + 5n + 25k) - 5n$,जहाँ $k = {^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots$
$a_n = 1 + 25k$
यह दर्शाता है कि जब $a_n$ को $25$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) हमें दिया गया है $n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$।
सबसे पहले,फैक्टोरियल के मानों की गणना करें:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
किसी भी $k \ge 10$ के लिए,$k!$ कम से कम दो शून्य के साथ समाप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k!$ के अंतिम दो अंक $00$ हैं।
अतः,$n$ का $100$ के सापेक्ष शेषफल पहले कुछ पदों के योग द्वारा निर्धारित होता है:
$n \equiv 1! + 4! + 7! + 10! + \ldots + 400! \pmod{100}$
$n \equiv 1 + 24 + 40 + 0 + \ldots + 0 \pmod{100}$
$n \equiv 65 \pmod{100}$
$n$ के अंतिम दो अंक $65$ हैं।
इसलिए,$n$ का दहाई का अंक $6$ है।

(A) दिया गया है $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$।
द्विपद प्रसार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k y^k$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = 2x+3x^2$:
$(1+(2x+3x^2))^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + 540x^3 + 405x^4 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a_1 = 20$
$a_2 = 210$
अतः,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{(1-5 x)(1-4 x)}$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{5}$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
इन दोनों श्रेणियों का गुणा करने पर:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक उन पदों के गुणनफल का योग है जिनकी घातों का योग $3$ है:
$= (1 \cdot 64) + (5x \cdot 16x^2) + (25x^2 \cdot 4x) + (125x^3 \cdot 1)$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(C) दिया गया वक्र $2 x^2+y^2=2 x$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 x^2-2 x+y^2=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2}$ से भाग देने पर: $\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/2} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(\frac{1}{2}, 0)$,$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$ लें।
बिंदु $Q(a, 0)$ से दूरी $PQ^2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta - a)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)^2$ है।
गणना करने पर,$PQ^2 = -\frac{1}{4} \cos^2 \theta + (\frac{1}{2}-a) \cos \theta + (\frac{1}{2}-a)^2 + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान के लिए $\cos \theta = 1-2a$ रखने पर,दूरी $\sqrt{2a^2 - 2a + 1}$ प्राप्त होती है।

(C) अनंतस्पर्शी $L_1=0$ और $L_2=0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 \cdot L_2 + k = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,अनंतस्पर्शी $(4x+3y-7)=0$ और $(x-2y-1)=0$ हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ होगा ...$(i)$
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(2,3)$ से गुजरता है,हम $x=2$ और $y=3$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) माना $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर कोई बिंदु है।
अनंतस्पर्शी रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ हैं।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
अतः,$P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$.

(A) पॉलीडिस्पर्सिटी इंडेक्स $(PDI)$ को भार औसत आणविक भार और संख्या औसत आणविक भार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
दिया गया है:
$\bar{M}_n = 40000$
$\bar{M}_w = 60000$
मान रखने पर:
$PDI = \frac{60000}{40000} = 1.5$
अतः,$PDI > 1$ होगा।

(B) दिया गया है $\angle C = 90^{\circ}$। समकोण त्रिभुज में,$c^2 = a^2 + b^2$ होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$a = c \sin A$ और $b = c \sin B$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(c \sin A)^2 - (c \sin B)^2}{c^2} = \sin^2 A - \sin^2 B$।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\sin(A+B) = \sin 90^{\circ} = 1$।
इस प्रकार,$\sin^2 A - \sin^2 B = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$।

(B) दिया गया है $\Delta = a^2 - (b - c)^2$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$.
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b - c = 2s - 2c$ और $a - b + c = 2s - 2b$.
अतः,$\Delta = (2s - 2b)(2s - 2c) = 4(s - b)(s - c)$.
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
सूत्र $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \frac{2(1/4)}{1 - (1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(A) दिया गया है कि $\operatorname{det}(I+A) \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
हमें $A^3 = O$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
$x=A$ और $y=I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - AI + I^2)$.
चूँकि $I^3 = I$ और $A^3 = O$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
चूँकि $(A+I)$ व्युत्क्रमणीय है,हम दोनों पक्षों को बाईं ओर से $(A+I)^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I - A + A^2$.

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$.
दूसरे सारणिक से $xyz$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+xyz\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$.
स्तंभों की अदला-बदली ($C_1 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_3$) करने पर,दूसरा सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ बन जाता है।
अतः,$(1+xyz)\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|=0$.
चूंकि $x \neq y \neq z$,इसलिए सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
इसलिए,$1+xyz=0$,जिसका अर्थ है कि $xyz = -1$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का अलग-अलग अवकलन किया जाता है:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 1 & 0 \\ 1 & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & -2 \sin x & 1 \\ 0 & 0 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 0 \\ 0 & 1 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
अब,$x = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर। चूँकि $\sin \pi = 0$ और $\cos \pi = -1$:
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
प्रत्येक सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 0 - 1(-2 - 0) + 0 = 2$.
$2$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| = 0$ (चूँकि दूसरा स्तंभ शून्य है)।
$3$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0$ (चूँकि तीसरा स्तंभ शून्य है)।
अतः,$f^{\prime}(\pi) = 2 + 0 + 0 = 2$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,जहाँ $|x| < 1$ ...$(i)$
हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) फलन का मानक लघुगणकीय रूप: $\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ...(ii) होता है।
समीकरण $(i)$ और समीकरण (ii) की तुलना करने पर,हम लघुगणकीय पद के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं।
अतः,$a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
अतः,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ और $B = \tan ^{-1} z$.
तब $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
व्यंजक के अपरिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{z(x+y)}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - z(x+y) = 0$.
$1 - xy - zx - zy = 0$.
अतः,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(D) माना $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,जहाँ $x \in \mathbb{R}$.
माना $y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$.
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$.
$yx^2 + 2yx + y = x^2 - 6x + 5$.
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$.
चूँकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{3}$ है.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$।
प्रथम अवकलज: $f'(x) = \cos x - \sin x$।
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = -\sin x - \cos x$।
तृतीय अवकलज: $f'''(x) = -\cos x + \sin x$।
चतुर्थ अवकलज: $f^{(iv)}(x) = \sin x + \cos x$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
इसी प्रकार,$f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

(B) दिया गया है $y = \sin(m \sin^{-1} x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y_1 \sqrt{1 - x^2} = m \cos(m \sin^{-1} x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 \cos^2(m \sin^{-1} x) = m^2 (1 - \sin^2(m \sin^{-1} x)) = m^2 (1 - y^2)$
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 - m^2 y^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y_1 y_2 (1 - x^2) + y_1^2 (-2x) = -2 m^2 y y_1$
$2 y_1$ से भाग देने पर ($y_1 \neq 0$ मानते हुए):
$y_2 (1 - x^2) - x y_1 = -m^2 y$

(B) दिया गया है कि $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r)$.
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
दोनों पक्षों को $f(x)$ से गुणा करने पर:
$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan(rx)) f(x) = 0$.

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPB$ में,जहाँ $O$ गोले का केंद्र है,$P$ शंकु के आधार का केंद्र है,और $B$ शंकु के आधार की परिधि पर एक बिंदु है:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
शंकु का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

(A) $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों का अवकलन करेंगे ताकि यह पता चल सके कि कौन सा विकल्प समाकल्य $\frac{7x^8+8x^7}{(1+x+x^8)^2}$ देता है।
माना $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ है।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^8$ और $v = 1+x+x^8$ है:
$f'(x) = \frac{(1+x+x^8)(8x^7) - (x^8)(1+8x^7)}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{8x^7 + 8x^8 + 8x^{15} - x^8 - 8x^{15}}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{7x^8 + 8x^7}{(1+x+x^8)^2}$
अतः,विकल्प $A$ का अवकलन समाकल्य से मेल खाता है,इसलिए $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ है।

(A) दिया गया है $f_n(x) = \log(\log(\ldots \log x))$ ($n$ बार)।
मान लीजिए $I = \int \frac{dx}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x)}$।
मान लीजिए $t = f_n(x) = \log(f_{n-1}(x))$।
तब,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{f_{n-1}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(f_{n-1}(x)) = \frac{1}{f_{n-1}(x) f_{n-2}(x) \ldots f_1(x) \cdot x}$।
अतः,$dx = (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x) f_n(x)} = \int \frac{dt}{f_n(x)}$।
यहाँ $t = f_n(x)$ लेने पर,$dt = \frac{dx}{x f_1(x) \ldots f_{n-1}(x)}$।
इसलिए,$I = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + c = \log|f_n(x)| + c$।
चूँकि $f_{n+1}(x) = \log(f_n(x))$,इसलिए $I = f_{n+1}(x) + c$।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) समाकलन $\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx$ के अनुमान के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) ]$
यहाँ,$h = 1$ ($x$ के क्रमिक मानों के बीच का अंतर है)।
मान $y_0=2, y_1=3, y_2=6, y_3=11, y_4=18, y_5=27$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$ वर्ग इकाई।

(C) एक ऑप्टिकल फाइबर के लिए,स्वीकार्य कोण (acceptance angle) $\theta_a$ का सूत्र है: $\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$,जहाँ $\mu_1$ कोर का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ क्लैडिंग का अपवर्तनांक है,यह मानते हुए कि बाहरी माध्यम हवा $(\mu_0 = 1)$ है।
दिया गया है: $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1.414$।
मान रखने पर: $\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$।
चूंकि $(1.414)^2 \approx 2$,इसलिए $\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 2} = \sqrt{0.25} = 0.5$।
अतः,$\theta_a = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए आपतित प्रकाश को ऑप्टिकल फाइबर की धुरी के साथ $0^{\circ}$ से $30^{\circ}$ के कोण की सीमा के भीतर प्रवेश करना चाहिए।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 4538 \ \mathring{A} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और दोनों प्रिज्म के कोण का $3/4$ हैं:
$i = e = \frac{3}{4} \times A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
आपतन कोण,निर्गत कोण,प्रिज्म के कोण और विचलन कोण $\delta$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$i + e = A + \delta$
समीकरण में ज्ञात मान रखने पर:
$45^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) जब क्लोरीन गर्म और सांद्र सोडियम हाइड्रॉक्साइड के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया के माध्यम से सोडियम क्लोराइड,सोडियम क्लोरेट और जल बनाता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$3Cl_{2(g)} + 6NaOH_{(aq, \text{hot conc})} \longrightarrow 5NaCl_{(aq)} + NaClO_{3(aq)} + 3H_2O_{(l)}$
अतः,सोडियम क्लोराइड के अलावा,सोडियम क्लोरेट $(NaClO_3)$ बनता है।

(D) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर का करंट गेन $\beta$,कलेक्टर धारा में परिवर्तन $(\Delta i_C)$ और बेस धारा में परिवर्तन $(\Delta i_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}$
दिया गया है: $\beta = 80$ और $\Delta i_B = 250 \mu A = 250 \times 10^{-6} \text{ A}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$80 = \frac{\Delta i_C}{250 \times 10^{-6} \text{ A}}$
$\Delta i_C = 80 \times 250 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20,000 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20 \times 10^{-3} \text{ A} = 20 \text{ mA}$.
अतः,कलेक्टर धारा में परिवर्तन $20 \text{ mA}$ है।

(B) दिया गया है: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
माना $t = \cos y$,तब $dt = -\sin y dy$,अर्थात $\sin y dy = -dt$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$-(- \frac{1}{t}) = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{\cos y} = -2 \cos x + c$
$\sec y = -2 \cos x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x}-\frac{2 y^2}{x}=-x$ $\ldots$ $(i)$.
माना $v=y^2$,तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d v}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{2 v}{x}=-x$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x}-\frac{4 v}{x}=-2 x$.
यह $\frac{d v}{d x}+P v=Q$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{4}{x}$ और $Q=-2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{4}{x} d x}=e^{-4 \log x}=x^{-4}$.
हल $v \cdot IF = \int Q \cdot IF d x + c$ है।
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = -2 \int x^{-3} d x + c$.
$v x^{-4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = x^{-2} + c$.
$v = x^2 + c x^4$.
चूंकि $v=y^2$,वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ एक ही समतल में स्थित हैं,उनका क्रॉस गुणनफल $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है।
यदि $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है,तो $\overrightarrow{c}$ को लंबवत सदिश $\overrightarrow{n}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,अदिश त्रिक गुणनफल $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$ होगा।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-9) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(3+4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{c}$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda-1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda-1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,$\lambda$ का मान $0$ है।

(A) दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ और $P(B - A) = \frac{8}{25}$ है।
समुच्चय और प्रायिकता के गुणों के अनुसार,घटना $B$ को दो असंयुक्त समुच्चयों के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $(B - A)$ और $(A \cap B)$।
अतः,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$।

(D) स्थिति $I$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_A) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $7$ सफेद और $8$ काली गेंदें (कुल $15$) हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_B|W_A) = \frac{7}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $P(W_A) \times P(W_B|W_A) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ है।
स्थिति $II$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से काली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(B_A) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ सफेद और $9$ काली गेंदें (कुल $15$) हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_B|B_A) = \frac{6}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $P(B_A) \times P(W_B|B_A) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ है।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की कुल प्रायिकता $\frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ है।

(C) मान लीजिए कि $\lambda$ यादृच्छिक चर $X$ के लिए पॉइसन वितरण का प्राचल (माध्य) है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया है कि $P(X=1) = P(X=2)$,इसलिए:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
चूँकि $\lambda \neq 0$,$\lambda$ से विभाजित करने पर हमें $1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$।
अब,$P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \frac{\lambda^5 e^{-\lambda}}{5!} = \frac{2^5 e^{-2}}{120}$
$P(X=5) = \frac{32 e^{-2}}{120} = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
हमें $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(C) सफेद टिन,टिन का एक अपररूप है जो टेट्रागोनल क्रिस्टल प्रणाली का उदाहरण है।
टेट्रागोनल प्रणाली के लिए,इकाई सेल के पैरामीटर $a = b \neq c$ और $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ होते हैं।
दिए गए कारण में $a=b=c$ और $\alpha=\beta=\gamma \neq 90^{\circ}$ बताया गया है,जो गलत है।
अतः,कथन $(A)$ सही है,लेकिन कारण $(R)$ गलत है।

(D) दिया गया है,ऋणायन और धनायन त्रिज्या का अनुपात $= 10 : 9.3$ है।
$\therefore$ धनायन और ऋणायन त्रिज्या का अनुपात $= 9.3 : 10 = 0.93$ है।
जब धनायन और ऋणायन त्रिज्या का अनुपात $0.732$ और $1.00$ के बीच होता है,तो समन्वय संख्या $8$ होती है।
अतः,क्रिस्टल में धनायन की समन्वय संख्या $8$ है।