यदि $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$ है,तो $\frac{a_2}{a_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. यदि $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$ है,तो $ye^{x^2} = 2x + c$ है।
$II$. यदि $ye^{-x^2} - 2x = c$ है,तो $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

एक वर्णमाला के आठ अलग-अलग अक्षर दिए गए हैं। इनसे चार अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं। ऐसे शब्दों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो,है:

यदि $\frac{{{{({2^{n + 1}})}^m}({2^{2n}}){2^n}}}{{{{({2^{m + 1}})}^n}{2^{2m}}}} = 1$ है,तो $m =$

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x - 3 & 2x^2 - 18 & 3x^3 - 81 \\ x - 5 & 2x^2 - 50 & 4x^3 - 500 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$ है,तो $f(1)f(3) + f(3)f(5) + f(5)f(1) = $

निम्नलिखित अभिक्रिया का मुख्य उत्पाद क्या है?