TS EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) जब एक अवाष्पशील विलेय को वाष्पशील विलायक में मिलाया जाता है,तो विलेय के कण विलायक की सतह के कुछ हिस्से को घेर लेते हैं।
इससे वाष्पीकरण के लिए उपलब्ध विलायक के अणुओं की संख्या कम हो जाती है,जिससे वाष्प दाब में कमी आती है।
जैसे-जैसे अवाष्पशील विलेय की सांद्रता बढ़ती है,विलयन का वाष्प दाब घटता जाता है।
$X$ की दी गई सांद्रताएँ हैं:
$0.01 \text{ mol L}^{-1} < 0.10 \text{ mol L}^{-1} < 0.25 \text{ mol L}^{-1}$
तदनुसार,वाष्प दाब का क्रम है:
$p_3 > p_1 > p_2$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$p_2 < p_1 < p_3$

(C) ग्रेफाइट की दहन अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}$
अभिक्रिया के रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$1 \text{ mol } C$ से $1 \text{ mol } CO_2$ प्राप्त होता है।
$1 \text{ mol}$ पदार्थ में $6.022 \times 10^{23}$ अणु होते हैं।
अतः,$0.1 \text{ mol } C$ से $0.1 \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{22}$ अणु $CO_2$ प्राप्त होंगे।

(B) ग्राहम के विसरण के नियम से,$\frac{r_{CH_4}}{r_X} = \sqrt{\frac{M_X}{M_{CH_4}}}$.
दिया गया है कि $r_{CH_4} = 2 \cdot r_X$,इसलिए $2 = \sqrt{\frac{M_X}{16}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{M_X}{16}$,जिससे $M_X = 64 \ g/mol$ प्राप्त होता है।
$32 \ g$ गैस $X$ में मोलों की संख्या $n = \frac{32 \ g}{64 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ है।
अणुओं की संख्या $n \times N = 0.5 \times N = \frac{N}{2}$ है।

(C) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
सबसे कम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें सबसे अधिक ऊर्जा वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
संक्रमणों की तुलना:
$(A)$ $n_2=\infty$ से $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ से $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
संक्रमण $n_2=2$ से $n_1=1$ में सबसे अधिक ऊर्जा अंतर है,इसलिए यह सबसे कम तरंगदैर्ध्य का विकिरण उत्सर्जित करता है।

(C) भौतिक रूप से स्वीकार्य या सुव्यवस्थित तरंग फलन के लिए,इसे निम्नलिखित बॉर्न की शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $\psi$ हर जगह परिमित होना चाहिए।
$2$. $\psi$ एकल-मान वाला होना चाहिए।
$3$. $\psi$ सतत होना चाहिए और इसका प्रथम अवकलज भी सतत होना चाहिए।
इसलिए,यह शर्त कि $\psi$ अनंत होना चाहिए,गलत है।

(B) साबुन के अणुओं में एक हाइड्रोफोबिक (जल-विकर्षी) पूंछ और एक हाइड्रोफिलिक (जल-आकर्षक) सिर होता है।
जब साबुन को ग्रीस या गंदगी वाले पानी में मिलाया जाता है,तो हाइड्रोफोबिक पूंछ ग्रीस में घुल जाती है,जबकि हाइड्रोफिलिक सिर पानी में रहते हैं।
यह व्यवस्था एक गोलाकार संरचना बनाती है जहाँ ग्रीस हाइड्रोफोबिक कोर के अंदर फंस जाता है और हाइड्रोफिलिक सिर पानी की ओर बाहर की तरफ होते हैं।
साबुन और गंदगी के इस समूह को मिसेल कहा जाता है।
जब सतह को पानी से धोया जाता है,तो मिसेल बह जाता है,जिससे गंदगी प्रभावी रूप से दूर हो जाती है।

(B) माना प्रत्येक छड़ की प्रारंभिक लंबाई $l$ है। समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = l/2$ है। शीर्षलंब $DC$ की लंबाई $DC^2 = AC^2 - AD^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4$ द्वारा दी जाती है।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के बाद,नई लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ हो जाती है।
$AC$ की नई लंबाई $l_{AC}' = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ है और $AD$ की नई लंबाई $l_{AD}' = (l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)$ है।
चूंकि $DC$ स्थिर रहता है,इसलिए $DC^2 = (l_{AC}')^2 - (l_{AD}')^2$.
$3l^2/4 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [(l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$3l^2/4 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - (l^2/4)(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
उच्च-क्रम के पदों $\alpha^2 \Delta t^2$ की उपेक्षा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3l^2/4 = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - l^2/4 - (l^2/4)(2\alpha_1 \Delta t)$.
$3l^2/4 = 3l^2/4 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$0 = 2\alpha_2 \Delta t - (1/2)\alpha_1 \Delta t$.
$2\alpha_2 = \alpha_1/2 \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) मान लीजिए $L_0$ गर्म करने से पहले प्रत्येक पट्टी की प्रारंभिक लंबाई है। मान लीजिए $d$ द्विधात्विक पट्टी की कुल मोटाई है।
गर्म करने के बाद,पीतल की पट्टी की लंबाई $L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d) \theta$ है।
तांबे की पट्टी की लंबाई $L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R \theta$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$ प्राप्त होता है।
यह $1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$ में सरल हो जाता है।
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$।
चूंकि $\alpha \Delta T \ll 1$,हम $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं।
अतः,$R \approx \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}$।
इसलिए,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$।

(B) मान लीजिए कि जंक्शन $B$ का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ $BC$ और $BD$ के सिरे $C$ और $D$ समान तापमान $80^{\circ}C$ से जुड़े हैं,इसलिए वे समानांतर ऊष्मीय प्रतिरोध के रूप में कार्य करते हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। छड़ $BC$ और $BD$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होगा।
स्थिर अवस्था में ऊष्मा प्रवाह के सिद्धांत के अनुसार,छड़ $AB$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा,छड़ $BC$ और $BD$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
ऊष्मा धारा के सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\theta - 20}{R} = \frac{80 - \theta}{R/2}$
$\theta - 20 = 2(80 - \theta)$
$\theta - 20 = 160 - 2\theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(B) यह प्रक्रिया $p-T$ आरेख पर दी गई है। एक आदर्श गैस के लिए, $p V = \mu R T$, जिसका अर्थ है $p = \frac{\mu R}{V} T$।
$p-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं समआयतनिक (isochoric) प्रक्रियाओं को दर्शाती हैं क्योंकि $p \propto T$ होता है।
दिए गए चित्र में, $A B$ और $C D$ मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं हैं, इसलिए ये समआयतनिक प्रक्रियाएं हैं।
समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है। अतः, $W_{A B} = 0$ और $W_{C D} = 0$।
समदाबीय (isobaric) प्रक्रियाओं $B C$ और $D A$ के लिए, किया गया कार्य $W = p \Delta V = \mu R \Delta T$ है।
प्रक्रिया $B C$ के लिए (स्थिर दबाव $p_2$ पर): $W_{B C} = \mu R (T_C - T_B) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3 R \times 1600 = 4800 R$।
प्रक्रिया $D A$ के लिए (स्थिर दबाव $p_1$ पर): $W_{D A} = \mu R (T_A - T_D) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3 R \times (-800) = -2400 R$।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W = W_{A B} + W_{B C} + W_{C D} + W_{D A} = 0 + 4800 R + 0 - 2400 R = 2400 R$।
$R = 8.314 \, J / mol K$ रखने पर: $W = 2400 \times 8.314 = 19953.6 \, J \approx 20 \, kJ$।

(D) $1$. $p-V$ आरेख में,$A$ से $B$ तक समतापीय प्रसार $AB$ वक्र का अनुसरण करता है। $B$ से $C$ तक रुद्धोष्म संपीड़न $BC$ वक्र का अनुसरण करता है।
$2$. ग्राफ से यह स्पष्ट है कि बिंदु $C$ पर अंतिम दाब $p_2$,बिंदु $A$ पर प्रारंभिक दाब $p_1$ से अधिक है $(p_2 > p_1)$।
$3$. चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W$,$ABCA$ चक्र द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि प्रक्रिया वामावर्त (anti-clockwise) है (प्रसार $A \to B$ और उसके बाद संपीड़न $B \to C$),इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है $(W < 0)$।
$4$. वैकल्पिक रूप से,रुद्धोष्म वक्र $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल (जो संपीड़न के दौरान गैस पर किया गया कार्य है) समतापीय वक्र $AB$ के नीचे के क्षेत्रफल (जो प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य है) से अधिक है। अतः,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है।
$5$. इसलिए,$p_2 > p_1$ और $W < 0$।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W$।
चूंकि निकाय को ऊष्मा दी जाती है,$Q = +50 \ J$।
चूंकि निकाय पर कार्य किया जाता है,$W = +10 \ J$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 50 \ J + 10 \ J = 60 \ J$ है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया समीकरण $F = at + bt^2$ है,जहाँ $F$ बल है और $t$ समय है।
बल $F$ की विमा $[MLT^{-2}]$ है।
प्रथम पद के लिए: $[at] = [F]$
$[a] = [F] / [t] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
द्वितीय पद के लिए: $[bt^2] = [F]$
$[b] = [F] / [t^2] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
अतः,$a$ और $b$ की विमाएँ क्रमशः $[MLT^{-3}]$ और $[MLT^{-4}]$ हैं।

(C) दो कला-सम्बद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{64}{1}$ दिया गया है।
माना $I_1 = 64k$ और $I_2 = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{64k} + \sqrt{k})^2}{(\sqrt{64k} - \sqrt{k})^2} = \frac{(8\sqrt{k} + \sqrt{k})^2}{(8\sqrt{k} - \sqrt{k})^2}$.
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(9\sqrt{k})^2}{(7\sqrt{k})^2} = \frac{81k}{49k} = \frac{81}{49}$.

(D) प्रथम हार्मोनिक में कंपन करने वाली बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_1 = \frac{v_1}{4 l_1}$ है।
तीसरे हार्मोनिक में कंपन करने वाली खुली ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n_3 = \frac{3 v_2}{2 l_2}$ है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $n_1 = n_3$।
अतः,$\frac{v_1}{4 l_1} = \frac{3 v_2}{2 l_2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)$ प्राप्त होता है।
गैस में ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ बल्क मापांक (संपीड्यता का व्युत्क्रम) है और $\rho$ घनत्व है।
यह दिया गया है कि दोनों पाइपों में संपीड्यता समान है,इसलिए $B_1 = B_2 = B$।
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{B/\rho_1}{B/\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।
इस मान को लंबाई के अनुपात में रखने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।

(D) $l$ लंबाई के सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तार के लिए $T$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $l \propto \frac{1}{n}$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए खंडों की लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ होना चाहिए।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,$1, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करने पर: $l_1 : l_2 : l_3 = 12 : 4 : 3$।
भागों का योग $12 + 4 + 3 = 19$ है।
कुल लंबाई $114 ~cm$ है।
अतः,$l_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72 ~cm$।
$l_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24 ~cm$।
$l_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18 ~cm$।
इसलिए,लंबाइयाँ $72 ~cm, 24 ~cm, 18 ~cm$ हैं।

(C) माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है। जब गेंद $h = 10 ~m$ की ऊँचाई पर होती है,तो उसका वेग $v_0$ होता है। इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले,गेंद अतिरिक्त $10 ~m$ नीचे गिरती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रभाव से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_{impact} = K_1 + mgh = \frac{1}{2} m v_0^2 + mg(10)$ है।
टकराव के बाद,गेंद अपनी $50 \%$ ऊर्जा खो देती है,इसलिए प्रभाव के बाद गतिज ऊर्जा $K_{after} = 0.5 \times K_{impact} = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg)$ है।
गेंद वापस $10 ~m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठती है,जिसका अर्थ है कि शीर्ष पर इसकी स्थितिज ऊर्जा $mgh = 10mg$ है। चूंकि शीर्ष पर गतिज ऊर्जा शून्य होती है,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_{after} = 10mg$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $0.5 \times (\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg) = 10mg$.
$\frac{1}{2} m v_0^2 + 10mg = 20mg$.
$\frac{1}{2} m v_0^2 = 10mg$.
$v_0^2 = 20g$.
$g = 10 ~m/s^2$ का उपयोग करने पर,$v_0^2 = 200$,इसलिए $v_0 = \sqrt{200} \approx 14.14 ~m/s$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$14 ~m/s$ सही उत्तर है।

(C) जब एक गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है,तो $n$-वें उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = h e^{2n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
स्थिर होने से पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $H$ प्रारंभिक गिरावट और प्रत्येक उछाल के बाद के ऊपर और नीचे के रास्तों का योग है:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$H = h + 2(h e^2) + 2(h e^4) + 2(h e^6) + \dots$
$H = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + \dots)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = e^2$ और सार्व अनुपात $r = e^2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^2}{1-e^2}$ होता है।
इस मान को $H$ के समीकरण में रखने पर:
$H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 + e^2}{1-e^2} \right)$

(A) मान लीजिए कि छोटे टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है और बड़े टुकड़े का द्रव्यमान $4m$ है। कुल द्रव्यमान $5m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग:
$P_{initial} = P_{final}$
$5m(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = m(200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4m(\vec{v}_{large})$
$m$ से विभाजित करने पर:
$5(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4\vec{v}_{large}$
$(200 \hat{i} + 250 \hat{j} - 125 \hat{k}) - (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) = 4\vec{v}_{large}$
$0 \hat{i} + 180 \hat{j} - 140 \hat{k} = 4\vec{v}_{large}$
$\vec{v}_{large} = \frac{180 \hat{j} - 140 \hat{k}}{4} = 45 \hat{j} - 35 \hat{k} \text{ m/s}$.

(A) केंद्रीय परमाणु पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Lone pairs} = \frac{V - M}{2}$,जहाँ $V$ केंद्रीय परमाणु के संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $M$ उससे जुड़े एकसंयोजक परमाणुओं की संख्या है।
$A. \ NH_3$: केंद्रीय परमाणु $N$ में $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $3$ $H$ परमाणुओं से जुड़ा है। $\text{Lone pairs} = \frac{5-3}{2} = 1$ (विकल्प $5$).
$B. \ H_2O$: केंद्रीय परमाणु $O$ में $6$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $2$ $H$ परमाणुओं से जुड़ा है। $\text{Lone pairs} = \frac{6-2}{2} = 2$ (विकल्प $1$).
$C. \ XeF_2$: केंद्रीय परमाणु $Xe$ में $8$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $2$ $F$ परमाणुओं से जुड़ा है। $\text{Lone pairs} = \frac{8-2}{2} = 3$ (विकल्प $2$).
$D. \ CH_4$: केंद्रीय परमाणु $C$ में $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $4$ $H$ परमाणुओं से जुड़ा है। $\text{Lone pairs} = \frac{4-4}{2} = 0$ (विकल्प $3$).
अतः,सही मिलान $A-5, B-1, C-2, D-3$ है।

(D) अभिक्रिया $H_{2(g)} + I_{2(g)} \rightleftharpoons 2 HI_{(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]}$ ...$(i)$
अभिक्रिया $HI_{(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} H_{2(g)} + \frac{1}{2} I_{2(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K' = \frac{[H_2]^{1/2} [I_2]^{1/2}}{[HI]}$ ...$(ii)$
समीकरण $(ii)$ की तुलना $(i)$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $K' = \sqrt{\frac{1}{K}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$।

(C) अर्ध-पूरित या पूर्ण-पूरित कक्षकों वाले तत्व,अर्थात् स्थिर इलेक्ट्रॉनिक विन्यास वाले तत्व,इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी का बहुत कम ऋणात्मक मान रखते हैं।
चूंकि दिए गए मानों में $B$ की इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी $(-60 \ kJ \ mol^{-1})$ सबसे कम है,इसलिए इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास सबसे स्थिर है,जो कि $3s^2 3p^3$ (अर्ध-पूरित $p$-कक्षक) है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^3-ax^2+ax-1=0$.
हम समीकरण का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं: $(x^3-1) - ax(x-1) = 0$.
$(x-1)(x^2+x+1) - ax(x-1) = 0$.
$(x-1)(x^2+x+1-ax) = 0$.
चूँकि $\alpha \neq 1$ एक मूल है,इसलिए $\alpha$ को $x^2+(1-a)x+1=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$\alpha^2+(1-a)\alpha+1=0$.
यदि $x = \frac{1}{\alpha}$ एक मूल है,तो $(\frac{1}{\alpha})^3 - a(\frac{1}{\alpha})^2 + a(\frac{1}{\alpha}) - 1 = 0$.
$\alpha^3$ से गुणा करने पर,हमें $1 - a\alpha + a\alpha^2 - \alpha^3 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x=\alpha$ पर $-(x^3-ax^2+ax-1) = 0$ है।
अतः,$\frac{1}{\alpha}$ दिए गए समीकरण का एक मूल है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-b x^2+c x-d=0$ है।
माना कि इस समीकरण के मूल गुणोत्तर श्रेणी में $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1$. मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$
$2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + 1 + r) = c$ ... (ii)
$3$. मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$.
$a = \frac{c}{b}$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
$(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
गुणनखंड करने पर,$(x-1)(x-2)(x-3)=0$,अतः मूल $1, 2, 3$ हैं।
माना $\alpha=1, \beta=2, \gamma=3$ है।
तब,$a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14$ है।
$b = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = (1)(2)+(2)(3)+(3)(1) = 2+6+3 = 11$ है।
$c = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (1+2)(2+3)(3+1) = 3 \times 5 \times 4 = 60$ है।
मानों की तुलना करने पर,$11 < 14 < 60$,जो दर्शाता है कि $b < a < c$ है।

(D) दिया गया है $z=1+i\sqrt{3}$।
हम जानते हैं कि एक सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ के लिए,कोणांक $\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ होता है।
यहाँ,$x=1$ और $y=\sqrt{3}$ है।
चूंकि $x>0$ और $y>0$ है,इसलिए $z$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
$\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$।
अब,$z$ का संयुग्मी $\bar{z} = 1-i\sqrt{3}$ है।
यहाँ,$x=1$ और $y=-\sqrt{3}$ है।
चूंकि $x>0$ और $y < 0$ है,इसलिए $\bar{z}$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
$\operatorname{Arg} \bar{z} = \tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$।
अतः,$|\operatorname{Arg} z|+|\operatorname{Arg} \bar{z}| = |\frac{\pi}{3}| + |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।

(A) वायुमंडल में कार्बन मोनोऑक्साइड गैस $(CO)$ का स्वीकार्य स्तर लगभग $9 \ ppm$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos (x-y), \cos x, \cos (x+y)$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
अतः,$\cos x = \frac{2 \cos (x-y) \cos (x+y)}{\cos (x+y) + \cos (x-y)}$.
सर्वसमिका $\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos ^2 A + \cos ^2 B - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{2(\cos ^2 x + \cos ^2 y - 1)}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos ^2 x \cos y = \cos ^2 x + \cos ^2 y - 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = \cos ^2 y - 1$.
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = - (1 - \cos ^2 y)$.
$\cos ^2 x (\cos y - 1) = - \sin ^2 y$.
$\cos ^2 x (1 - \cos y) = (1 - \cos y)(1 + \cos y)$.
$(1 - \cos y)$ से विभाजित करने पर:
$\cos ^2 x = 1 + \cos y$.

(B) धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर समान अंतःखंड $a$ बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जिसे $x + y = a$ (जहाँ $a > 0$) के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की मूल बिंदु $(0, 0)$ से लंबवत दूरी $1$ इकाई दी गई है।
दूरी सूत्र $\left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| = d$ का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{0 + 0 - a}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 1$
$\left| \frac{-a}{\sqrt{2}} \right| = 1$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $x + y = \sqrt{2}$ ... $(i)$ है।
दूसरी रेखा $y = 2x + 3 + \sqrt{2}$ दी गई है,जिसे $2x - y = -3 - \sqrt{2}$ ... (ii) के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(x + y) + (2x - y) = \sqrt{2} + (-3 - \sqrt{2})$
$3x = -3 \implies x_0 = -1$.
$x_0 = -1$ को $(i)$ में रखने पर:
$-1 + y_0 = \sqrt{2} \implies y_0 = \sqrt{2} + 1$.
अंत में,$2x_0 + y_0$ का मान:
$2(-1) + (\sqrt{2} + 1) = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$.

(A) $y$-अक्ष के सापेक्ष रेखा $x+y-2=0$ का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
दिए गए समीकरण $x+y-2=0$ में $x = -x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-x)+y-2=0$
$-x+y-2=0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x-y+2=0$
अतः,रेखा का प्रतिबिंब $x-y+2=0$ है।

(C) दी गई रेखा $4x - 2y = 1$ है,जिसे $y = 2x - 1/2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$2 \times m_2 = -1$,जिससे $m_2 = -1/2$ प्राप्त होता है।
$-1/2$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण $x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा निर्देशांक अक्षों को $(-\lambda, 0)$ और $(0, -\lambda/2)$ बिंदुओं पर काटती है।
निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}| = 4$ है।
$\frac{1}{2} \times |-\lambda| \times |-\lambda/2| = 4$.
$\frac{\lambda^2}{4} = 4 \implies \lambda^2 = 16 \implies \lambda = \pm 4$.
समीकरण $x + 2y + \lambda = 0$ में $\lambda = 4$ रखने पर,हमें $x + 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x + 4y + 8 = 0$ के समतुल्य है।

(A) माना बिंदु $P(4, -13)$ का प्रतिबिंब $P'(x_1, y_1)$ है।
चूंकि $Q$,$PP'$ का मध्य-बिंदु है,इसके निर्देशांक $Q = \left(\frac{x_1 + 4}{2}, \frac{y_1 - 13}{2}\right)$ हैं।
चूंकि $Q$ रेखा $5x + y + 6 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$5\left(\frac{x_1 + 4}{2}\right) + \left(\frac{y_1 - 13}{2}\right) + 6 = 0$
$5x_1 + 20 + y_1 - 13 + 12 = 0$
$5x_1 + y_1 + 19 = 0$ $\ldots$ $(i)$
चूंकि रेखा $PP'$,रेखा $5x + y + 6 = 0$ (जिसकी ढाल $-5$ है) के लंबवत है,इसलिए $PP'$ की ढाल $\frac{1}{5}$ है।
अतः,$\frac{y_1 - (-13)}{x_1 - 4} = \frac{1}{5}$
$5(y_1 + 13) = x_1 - 4$
$x_1 - 5y_1 - 69 = 0$ $\ldots$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ को $5$ से गुणा करने पर: $25x_1 + 5y_1 + 95 = 0$
इसे (ii) में जोड़ने पर: $(25x_1 + 5y_1 + 95) + (x_1 - 5y_1 - 69) = 0$
$26x_1 + 26 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x_1 = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $5(-1) + y_1 + 19 = 0 \Rightarrow y_1 = -14$.
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -14)$ है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
हर का मान: $ab-h^2 = 3(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = -\frac{1}{4}$.
$x$ का मान: $x = \frac{(-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2})}{-\frac{1}{4}} = 3$.
$y$ का मान: $y = \frac{(-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2})}{-\frac{1}{4}} = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $x^2+y^2=4$ तथा $x+y=a$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात बनाकर प्राप्त किया जा सकता है:
$x^2+y^2=4 \left(\frac{x+y}{a}\right)^2$
$a^2(x^2+y^2)=4(x^2+y^2+2xy)$
$(a^2-4)x^2 - 8xy + (a^2-4)y^2 = 0$
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4) + (a^2-4) = 0$
$2(a^2-4) = 0$
$a^2 = 4$
चूँकि $a>0$ है,इसलिए $a=2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $8x^2 - 24xy + 18y^2 - 6x + 9y - 5 = 0$ है।
इसे $2(2x - 3y)^2 - 3(2x - 3y) - 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = 2x - 3y$,तो समीकरण $2t^2 - 3t - 5 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(2t - 5)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2x - 3y = 2.5$ और $2x - 3y = -1$।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-2.5 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$।

(B) एनैन्शियोमर्स ऐसे स्टीरियोआइसोमर्स होते हैं जो एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपणीय दर्पण प्रतिबिंब होते हैं।
इनके भौतिक गुण जैसे क्वथनांक,घनत्व और बंध लंबाई समान होते हैं।
हालाँकि,ये समतल-ध्रुवित प्रकाश के साथ अपनी परस्पर क्रिया में भिन्न होते हैं,जिसे विशिष्ट घूर्णन के रूप में मापा जाता है।
इसलिए,सेकेंडरी ब्यूटाइल क्लोराइड के दो एनैन्शियोमर्स विशिष्ट घूर्णन में भिन्न होते हैं।

(A) प्रतिबिंब रूपी (enantiomers) एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपित दर्पण प्रतिबिंब होते हैं।
$2,3-$ब्यूटेनडायोल के लिए,कायरल केंद्र $2$ और $3$ स्थितियों पर हैं।
$(2R, 3R)$ समावयवी का प्रतिबिंब रूपी $(2S, 3S)$ समावयवी है।
अतः,$(2R, 3R)$ और $(2S, 3S)$ का युग्म प्रतिबिंब रूपी है।

(A) Diels-Alder अभिक्रिया के लिए एक संयुग्मित डायिन (conjugated diene) और एक डायिनोफाइल (एल्कीन या एल्काइन) की आवश्यकता होती है।
विकल्प $A$ में,अभिकारक $CH_2=CH-CH_2-CH=CH_2$ एक $penta-1,4-diene$ है।
यह एक पृथक (isolated) डायिन है,संयुग्मित डायिन नहीं।
इसलिए,यह Diels-Alder अभिक्रिया में भाग नहीं ले सकता है।

(D) जब $TiO_2$ के अम्लीकृत विलयन को $H_2O_2$ के साथ उपचारित किया जाता है,तो $H_2TiO_4$ (परटाइटेनिक अम्ल) के निर्माण के कारण गहरा पीला-नारंगी रंग प्राप्त होता है।
रासायनिक अभिक्रिया:
$TiO_2 + H_2O_2 \xrightarrow{H_2SO_4} H_2TiO_4$
इस अभिक्रिया का उपयोग $Ti(IV)$ और $H_2O_2$ दोनों का पता लगाने के लिए किया जाता है।

(D) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,जहाँ प्रारंभिक मान $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ हैं।
हम चरण-दर-चरण मानों की गणना करते हैं:
$x=3$ के लिए: $f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$.
$x=4$ के लिए: $f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$.
$x=5$ के लिए: $f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$.
$x=6$ के लिए: $f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$.
$x=7$ के लिए: $f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$.
$x=8$ के लिए: $f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$.
$x=9$ के लिए: $f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$.
अतः,$f(9)=10$ है।

(D) दिया गया है $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^4+y^4}{x+y}\right)$.
माना $v=\sin u=\frac{x^4+y^4}{x+y}$.
यहाँ,$v$ एक $x$ और $y$ का $n = 4 - 1 = 3$ घात वाला समघातीय फलन है।
यूलर के प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial v}{\partial y} = n v$.
$v = \sin u$ और $n = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 3 \sin u$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \frac{\sin u}{\cos u} = 3 \tan u$.

(A) दिया गया है: $pH = 5.0$ और सांद्रता $C = 0.01 \ M = 10^{-2} \ M$।
$[H^{+}] = 10^{-pH} = 10^{-5} \ M$।
एक दुर्बल अम्ल के लिए,वियोजन स्थिरांक $K_a$ का सूत्र $[H^{+}] = \sqrt{K_a \cdot C}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$[H^{+}]^2 = K_a \cdot C$ प्राप्त होता है।
अतः,$K_a = \frac{[H^{+}]^2}{C} = \frac{(10^{-5})^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-10}}{10^{-2}} = 10^{-8}$।
इस प्रकार,$[H^{+}] = 1 \times 10^{-5} \ M$ और $K_a = 1 \times 10^{-8}$ है।

(C) दिया गया है,$y = \cos^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2ax}{a^2+x^2}\right)$.
$x = a \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$.
तब,$y = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 - a^2 \tan^2 \theta}{a^2 + a^2 \tan^2 \theta}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2a^2 \tan \theta}{a^2 + a^2 \tan^2 \theta}\right)$.
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) + \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
$y = 2\theta + 2\theta = 4\theta$.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ वापस रखने पर,हमें $y = 4 \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{1 + (x/a)^2} \cdot \frac{1}{a} = 4 \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4a}{a^2 + x^2}$.

(A) हमें समाकलन $I = \int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left(2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन $2 \tan \frac{x}{2}$ होता है:
$I = \frac{1}{2} \cdot (2 \tan \frac{x}{2}) + c = \tan \frac{x}{2} + c$.
इसे $f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \tan \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$।
योग $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} \tan^{r+2} x \, dx$ पर विचार करें।
$I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x (1 + \tan^2 x) \, dx$।
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \sec^2 x \, dx$।
मान लीजिए $t = \tan x$,तो $dt = \sec^2 x \, dx$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$।
अतः,$I_r + I_{r+2} = \int_0^1 t^r \, dt = \left[ \frac{t^{r+1}}{r+1} \right]_0^1 = \frac{1}{r+1}$।
$r=2$ के लिए,$I_2 + I_4 = \frac{1}{3}$।
$r=3$ के लिए,$I_3 + I_5 = \frac{1}{4}$।
$r=4$ के लिए,$I_4 + I_6 = \frac{1}{5}$।
अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ है,जो हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में है क्योंकि उनके व्युत्क्रम $3, 4, 5, \ldots$ समांतर श्रेणी में हैं।

(D) दी गई श्रेणी $\log _4 2 - \log _8 2 + \log _{16} 2 - \dots$ है।
गुणधर्म $\log _b a = \frac{1}{\log _a b}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\log _2 4} - \frac{1}{\log _2 8} + \frac{1}{\log _2 16} - \dots$
$= \frac{1}{\log _2(2^2)} - \frac{1}{\log _2(2^3)} + \frac{1}{\log _2(2^4)} - \dots$
$= \frac{1}{2 \log _2 2} - \frac{1}{3 \log _2 2} + \frac{1}{4 \log _2 2} - \dots$
चूंकि $\log _2 2 = 1$,अतः:
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots$
हम जानते हैं कि $\log _e(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x = 1$ रखने पर,$\log _e(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
अतः,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log _e 2$.

(A) दी गई शर्त है: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ...$(i)$
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$ है।
माना $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समीकरण $(i)$ से,हम लिख सकते हैं:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$
$|\overrightarrow{a}|=1, |\overrightarrow{b}|=1, |\overrightarrow{c}|=1$ का मान रखने पर:
$1^2+1^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=1^2$
$2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=1$
$2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=-1$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}$
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\overrightarrow{a}=2 x^2 \hat{i}+4 x \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$।
हमें दिया गया है कि सदिशों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $\cos \theta < 0$।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$।
चूंकि सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{a}|$ और $|\overrightarrow{b}|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,इसलिए $\cos \theta < 0$ की शर्त $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$ के बराबर है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2 x^2)(7) + (4 x)(-2) + (1)(x) = 14 x^2 - 8 x + x = 14 x^2 - 7 x$।
असमिका को शून्य से कम रखने पर:
$14 x^2 - 7 x < 0$
$7 x(2 x - 1) < 0$।
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।
अंतरालों की जांच करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक $7 x(2 x - 1)$ का मान $0$ और $\frac{1}{2}$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.
हम सदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$.
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,इसलिए:
$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = 0 + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 0 = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
परिमाण लेने पर: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2$ का उपयोग करते हुए:
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.
यहाँ $|\overrightarrow{a}| = 2$ और $|\overrightarrow{b}| = 2$ है,इसलिए $|\overrightarrow{a}|^2 = 4$ और $|\overrightarrow{b}|^2 = 4$ होगा।
अतः,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{4 \times 4 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} = \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.
इस प्रकार,$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$.

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2-6x-12y-2z+20=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $u=-3, v=-6, w=-1$ प्राप्त होता है।
गोले का केंद्र $(-u,-v,-w) = (3,6,1)$ है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(\alpha, \beta, \gamma)$ है।
चूंकि गोले का केंद्र व्यास का मध्य बिंदु होता है,इसलिए हमारे पास है:
$(3,6,1) = \left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+3}{2}, \frac{\gamma-3}{2}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha+2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha+2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\frac{\beta+3}{2} = 6 \Rightarrow \beta+3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$.
$\frac{\gamma-3}{2} = 1 \Rightarrow \gamma-3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(4,9,5)$ है।