TS EAMCET 2009 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) फास्फोरस के ऑक्सीअम्लों में $P-H$ बंध की उपस्थिति उनकी संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है:
$1$. $H_3PO_3$ (फास्फोरस अम्ल) में एक $P-H$ बंध होता है।
$2$. $H_3PO_2$ (हाइपोफास्फोरस अम्ल) में दो $P-H$ बंध होते हैं।
$3$. $H_3PO_4$ (ऑर्थोफास्फोरिक अम्ल) में कोई $P-H$ बंध नहीं होता है।
अतः,$H_3PO_3$ और $H_3PO_2$ के युग्म में $P-H$ बंध उपस्थित होते हैं।

(B) तनु $NaOH$ के साथ फ्लोरीन की अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2F_2 + 2NaOH \rightarrow 2NaF + OF_2 + H_2O$
अतः,गैसीय उत्पाद $A$ ऑक्सीजन डाइफ्लोराइड $(OF_2)$ है।
$OF_2$ में,केंद्रीय ऑक्सीजन परमाणु $sp^3$ संकरित होता है जिसमें दो बंध युग्म और दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं।
फ्लोरीन परमाणुओं की उच्च विद्युत ऋणात्मकता के कारण,एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों के बीच प्रतिकर्षण महत्वपूर्ण होता है,जो बंध कोण को संकुचित कर देता है।
$OF_2$ में बंध कोण $103^{\circ}$ होता है।

(C) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^9 = 512$ है।
कम से कम एक विषम संख्या वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं:
कुल उपसमुच्चय - वे उपसमुच्चय जिनमें कोई विषम संख्या न हो।
यदि किसी उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ हैं,तो उसमें कोई विषम संख्या नहीं होगी।
$S$ में सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
इन सम संख्याओं का उपयोग करके बनने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^4 = 16$ है।
अतः,कम से कम एक विषम संख्या वाले उपसमुच्चयों की संख्या $512 - 16 = 496$ है।

(A) गुणनफल $P = \cos A \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ का मान ज्ञात करने के लिए,इसे $2 \sin A$ से गुणा और भाग करें:
$P = \frac{2 \sin A \cos A \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A}{2 \sin A}$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{\sin 2A \cos 2A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A}{2 \sin A}$
पुनः $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2 \sin 2A \cos 2A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A}{2^2 \sin A} = \frac{\sin 4A \cos 4A \ldots \cos 2^{n-1} A}{2^2 \sin A}$
इस प्रक्रिया को $n$ बार दोहराने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$

(D) चरण $1$: रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $x - 2y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(x + 3y - 1) - (x - 2y + 4) = 0$ $\Rightarrow 5y - 5 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ को $x + 3y - 1 = 0$ में रखने पर,हमें $x + 3(1) - 1 = 0 \Rightarrow x = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ है।
चरण $2$: $3x + 2y = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
$3x + 2y = 0$ की ढाल $m_1 = -3/2$ है।
लंबवत रेखा की ढाल $m_2$ के लिए $m_1 \times m_2 = -1$ होता है,इसलिए $m_2 = 2/3$.
$(-2, 1)$ से गुजरने वाली और $2/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = (2/3)(x + 2)$ है।
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 3 = 2x + 4 \Rightarrow 2x - 3y + 7 = 0$.

(D) दी गई रेखाएँ $4x + 3y - 15 = 0$ और $4x + 3y - 5 = 0$ हैं। चूँकि ये रेखाएँ समांतर हैं,इनके बीच की दूरी $d$ वृत्त का व्यास होगी।
$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|-15 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
चूँकि व्यास $d = 2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1$ होगी।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है। चूँकि $P$ रेखा $3x + 4y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $3x + 4y = 5$ ... $(i)$.
चूँकि $P$,$A(1, 2)$ और $B(3, 4)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25$
$4x + 4y = 20$
$x + y = 5$ ... $(ii)$.
$(ii)$ से,$y = 5 - x$। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(5 - x) = 5$
$3x + 20 - 4x = 5$
$-x = -15 \Rightarrow x = 15$.
अतः $y = 5 - 15 = -10$.
इस प्रकार,अभीष्ट बिंदु $(15, -10)$ है।

(C) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2-2xy-xy+2y^2=0$ $\Rightarrow x(x-2y)-y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-y)(x-2y)=0$.
यह दो रेखाएं दर्शाता है: $L_1: x-y=0$ और $L_2: x-2y=0$.
तीसरी रेखा $L_3: x+y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $x=y$ और $x=2y$ को हल करने पर $(0,0)$ प्राप्त होता है।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=y$ और $x+y+1=0$ को हल करने पर $2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=2y$ और $x+y+1=0$ को हल करने पर $2y+y+1=0$ $\Rightarrow 3y=-1$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{3}, x=-\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ है।
शीर्षों $(0,0)$,$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$,और $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3} - 0) + (-\frac{2}{3})(0 - (-\frac{1}{2}))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{12}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए समीकरण $x^2-3xy+2y^2=0$ और $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ हैं।
पहले समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y)(x-y)=0$,जो रेखाएं $L_1: x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ देता है।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,जो रेखाएं $L_3: x-2y+2=0$ और $L_4: x-y-1=0$ देता है।
चूंकि $L_1 \parallel L_3$ और $L_2 \parallel L_4$,इसलिए बनने वाली आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
रेखाओं की ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_2 = 1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 \neq -1$,रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ नहीं है।
अतः,यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

(C) दिए गए रेखाओं के युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ और $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y)(x-y)=0$,जो रेखाओं $x-2y=0$ और $x-y=0$ को दर्शाता है।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,जो रेखाओं $x-2y+2=0$ और $x-y-1=0$ को दर्शाता है।
चूंकि रेखाएं $x-2y=0$ और $x-2y+2=0$ समांतर हैं,और रेखाएं $x-y=0$ और $x-y-1=0$ समांतर हैं,इसलिए बनने वाली आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक आयत है,हम $x-2y=0$ और $x-y=0$ के बीच का कोण ज्ञात करते हैं। ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_2 = 1$ हैं। चूंकि $m_1 \times m_2 \neq -1$,इसलिए कोण $90^{\circ}$ नहीं है।
अतः,यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2-10 x y+12 y^2+5 x+\lambda y-3=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=-5, b=12, g=5/2, f=\lambda/2, c=-3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(-36 - \lambda^2/4) + 5(15 - 5\lambda/4) + (5/2)(-5\lambda/2 - 30) = 0$.
$-72 - \lambda^2/2 + 75 - 25\lambda/4 - 25\lambda/4 - 75 = 0$.
$-\lambda^2/2 - 25\lambda/2 - 72 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर:
$\lambda^2 + 25\lambda + 144 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
अतः,$\lambda = -9$ या $\lambda = -16$ प्राप्त होता है।
शर्त $|\lambda| < 16$ के अनुसार,$\lambda = -9$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2 - 10 x y + 12 y^2 + 5 x + \lambda y - 3 = 0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $a x^2 + 2 h x y + b y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 2, h = -5, b = 12, g = \frac{5}{2}, f = \frac{\lambda}{2}, c = -3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2 \left( -36 - \frac{\lambda^2}{4} \right) + 5 \left( 15 - \frac{5 \lambda}{4} \right) + \frac{5}{2} \left( -\frac{5 \lambda}{2} - 30 \right) = 0$.
$-72 - \frac{\lambda^2}{2} + 75 - \frac{25 \lambda}{4} - \frac{25 \lambda}{4} - 75 = 0$.
$\lambda^2 + 25 \lambda + 144 = 0$.
$(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
अतः,$\lambda = -9$ या $\lambda = -16$।
चूँकि $|\lambda| < 16$,सही उत्तर $\lambda = -9$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
वृत्त $x$-अक्ष पर $4$ लंबाई का अंतःखंड बनाता है,इसलिए $2\sqrt{g^2 - c} = 4$। $c = 0$ होने के कारण,$2|g| = 4$,जिसका अर्थ है $g = \pm 2$।
वृत्त $y$-अक्ष पर $8$ लंबाई का अंतःखंड बनाता है,इसलिए $2\sqrt{f^2 - c} = 8$। $c = 0$ होने के कारण,$2|f| = 8$,जिसका अर्थ है $f = \pm 4$।
$g = \pm 2$ और $f = \pm 4$ को समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 \pm 4x \pm 8y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) व्यास रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। $2x+y=7$ और $x+3y=11$ को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$y=7-2x$.
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+3(7-2x)=11$ $\Rightarrow x+21-6x=11$ $\Rightarrow -5x=-10$ $\Rightarrow x=2$.
तब $y=7-2(2)=3$.
अतः,केंद्र $(h,k) = (2,3)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2,3)$ और बिंदु $(5,7)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है:
$(x-2)^2+(y-3)^2 = 5^2$
$x^2-4x+4+y^2-6y+9 = 25$
$x^2+y^2-4x-6y-12 = 0$.

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+8y+13=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x+6y+11=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+(-4)^2-13} = \sqrt{1+16-13} = 2$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2+(-3)^2-11} = \sqrt{4+9-11} = \sqrt{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2-1)^2+(-3-(-4))^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{(\sqrt{2})^2 - 2^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \times 2 \times \sqrt{2}} = \frac{2-4-2}{4\sqrt{2}} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\theta = 135^{\circ}$।

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है (चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,$c=0$)।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-6x+8=0$ के लिए,$g_1=-3, f_1=0, c_1=8$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(-3)+2f(0)=0+8$ $\Rightarrow -6g=8$ $\Rightarrow g=-\frac{4}{3}$।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=-1, c_2=-7$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(-1)=0-7 \Rightarrow -2g-2f=-7$।
$g=-\frac{4}{3}$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $-2(-\frac{4}{3})-2f=-7$ $\Rightarrow \frac{8}{3}-2f=-7$ $\Rightarrow 2f = 7+\frac{8}{3} = \frac{29}{3}$ $\Rightarrow f=\frac{29}{6}$।
समीकरण $x^2+y^2+2(-\frac{4}{3})x+2(\frac{29}{6})y=0$ है।
$x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$।
$3$ से गुणा करने पर,$3x^2+3y^2-8x+29y=0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। चूंकि वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $r^2 = h^2 + k^2$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2 + k^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ हो जाता है।
केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x=3$ (या $x-3=0$) की लंबवत दूरी $d = |h-3|$ है।
समकोण त्रिभुज में,$r^2 = d^2 + (L/2)^2$,जहाँ $L=4$ जीवा की लंबाई है।
अतः,$h^2 + k^2 = (h-3)^2 + 2^2$.
$h^2 + k^2 = h^2 - 6h + 9 + 4$.
$k^2 = -6h + 13$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 = -6x + 13$ या $y^2 + 6x = 13$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $a = 1$ है। परवलय की नाभि $(a, 0) = (1, 0)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए हम समीकरण में $x = 1$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = -t(1) + 2(1)t + (1)t^3$
$0 = -t + 2t + t^3$
$0 = t + t^3$
$t(1 + t^2) = 0$
चूंकि $t$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए,इसलिए एकमात्र हल $t = 0$ है।
$t = 0$ के लिए,अभिलंब $y = 0$ है,जो $x$-अक्ष है।
अतः,बिंदु $(1, 0)$ से परवलय पर केवल $1$ अभिलंब खींचा जा सकता है।

(B) हमें व्यंजक $(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ दिया गया है।
सबसे पहले,$(1+x^{12})(1+x^{24}) = 1 + x^{12} + x^{24} + x^{36}$ का विस्तार करें।
अब,व्यंजक $(1+x^2)^{12}(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ हो जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x^2)^{12} = \sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k x^{2k}$।
हमें $(\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k x^{2k})(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ में $x^{24}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह उन पदों के गुणांकों का योग है जो $x^{24}$ देते हैं:
$1$. $1 \times ({}^{12}C_{12} x^{24}) = 1 \cdot x^{24}$।
$2$. $x^{12} \times ({}^{12}C_6 x^{12}) = {}^{12}C_6 x^{24}$।
$3$. $x^{24} \times ({}^{12}C_0 x^0) = 1 \cdot x^{24}$।
अतः,$x^{24}$ का कुल गुणांक ${}^{12}C_6 + 1 + 1 = {}^{12}C_6 + 2$ है।

(D) दी गई व्यंजक $\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ है।
हम इसे $\frac{1}{(-1)^2(1-x)^2(-2)(1-\frac{x}{2})} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-2}(1-\frac{x}{2})^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$(1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$
$(1-\frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
इन श्रेणियों का गुणा करने पर:
$-\frac{1}{2}(1 + 2x + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \dots) = -\frac{1}{2}(1 + \frac{5x}{2} + \dots)$.
अचर पद वह पद है जो $x$ से स्वतंत्र है,जो $-\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया है,$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow e^{-2x} + e^{2x} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
प्रसार $e^y + e^{-y} = 2(1 + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} + \ldots)$ का उपयोग करने पर:
$2(1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \ldots) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
दोनों पक्षों में $x^n$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि सभी विषम अनुक्रमित गुणांक $a_1, a_3, a_5, \ldots$ शून्य हैं।
अतः,$2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots = 2(0) + 2^3(0) + 2^5(0) + \ldots = 0$.

(A) छोटे $u$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$\left(1+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2} \approx 1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{3} = 1+x$
दूसरे पद के लिए:
$(32+5 x)^{-1 / 5} = 32^{-1 / 5} \left(1+\frac{5 x}{32}\right)^{-1 / 5} = \frac{1}{2} \left(1+\frac{5 x}{32}\right)^{-1 / 5}$
सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{32}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{x}{32}\right)$
दोनों सन्निकटनों का गुणा करने पर:
$(1+x) \cdot \frac{1}{2} \left(1 - \frac{x}{32}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{x}{32} + x - \frac{x^2}{32}\right)$
$x^2$ को नगण्य मानने पर:
$\approx \frac{1}{2} \left(1 + \frac{31x}{32}\right) = \frac{32+31x}{64}$

(C) यहाँ,नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,इसलिए $ae = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,इसलिए $b = 4$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,जिसे $b^2 = a^2 - a^2e^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$b = 4$ और $ae = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4^2 = a^2 - (ae)^2$
$16 = a^2 - 3^2$
$16 = a^2 - 9$
$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$।
अब,$ae = 3$ का उपयोग करने पर:
$5e = 3$
$e = \frac{3}{5}$।

(D) दिया गया है,$\frac{5}{r} = 2 + 3 \cos \theta + 4 \sin \theta$.
$2$ से भाग देने पर: $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$.
हम $\frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ को $e \cos(\theta - \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $e = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
अतः,समीकरण $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{5}{2} \cos(\theta - \phi)$ हो जाता है।
शांकव के मानक ध्रुवीय रूप $\frac{l}{r} = 1 + e \cos(\theta - \phi)$ से तुलना करने पर,हमें उत्केंद्रता $e = \frac{5}{2}$ प्राप्त होती है।

(B) अतिपरवलय $S = 0$ के लिए मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 - 12 = 0$ के लिए,मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $2xx_1 - 3yy_1 = 2x_1^2 - 3y_1^2$ है।
दी गई जीवा $4x - 3y = 5$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{2x_1}{4} = \frac{-3y_1}{-3} = \frac{2x_1^2 - 3y_1^2}{5}$.
$\frac{2x_1}{4} = y_1$ से $x_1 = 2y_1$ प्राप्त होता है।
$x_1 = 2y_1$ को $\frac{2x_1}{4} = \frac{2x_1^2 - 3y_1^2}{5}$ में रखने पर:
$y_1 = \frac{8y_1^2 - 3y_1^2}{5}$ $\Rightarrow 5y_1 = 5y_1^2$ $\Rightarrow y_1^2 - y_1 = 0$.
अतः $y_1 = 1$ (क्योंकि $(0,0)$ जीवा पर स्थित नहीं है)।
इसलिए $x_1 = 2(1) = 2$.
अतः मध्य बिंदु $(2, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2+y^2=a^2$ और $xy=c^2$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x = \frac{c^2}{y}$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{c^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{c^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$c^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + c^4 = 0$
यह $y$ में एक चतुर्थ घात समीकरण है। मान लीजिए कि मूल $y_1, y_2, y_3, y_4$ हैं।
समीकरण $y^4 + 0y^3 - a^2 y^2 + 0y + c^4 = 0$ के मूलों का योग $y^3$ के गुणांक और $y^4$ के गुणांक के अनुपात का ऋणात्मक मान होता है।
योग $= -\frac{0}{1} = 0$.
अतः,$y_1+y_2+y_3+y_4 = 0$.

(C) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$.
दिया गया व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+5}{x+2})^{x+3}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{x+2})^{x+3}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [(1 + \frac{3}{x+2})^{\frac{x+2}{3}}]^{\frac{3(x+3)}{x+2}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3x+9}{x+2}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 + 9/x}{1 + 2/x}}$
$= e^3$

(C) माध्य $m$ की गणना $E[X] = \sum p_i x_i$ के रूप में की जाती है:
$m = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6})$
$m = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$
प्रसरण $\sigma^2$ की गणना $E[X^2] - (E[X])^2$ के रूप में की जाती है:
$E[X^2] = \sum p_i x_i^2 = (0^2 \times \frac{1}{3}) + (1^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times 0) + (3^2 \times \frac{1}{6})$
$E[X^2] = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{9}{6} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$
$\sigma^2 = E[X^2] - m^2 = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$
अतः,$m = 1$ और $\sigma^2 = 1$,इसलिए $m = \sigma^2 = 1$.

(B) कोज्या (cosine) नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a(b \cos C - c \cos B) = a(b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac})$
$= a(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(C) माना $2s = a+b+c$. तब $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) माना $s = \frac{a+b+c}{2}$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है,इसलिए $a+b+c = 2s$.
तब,$b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ है।
इसे $\left(\frac{2\Delta}{bc}\right)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ होता है,इसलिए $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\sin^2 A$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त ज्ञात करते हैं:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
गुणधर्म $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
चूंकि $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
चूंकि आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त स्वयं आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $AB - BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(D) यदि किसी आव्यूह का व्युत्क्रम नहीं है,तो इसका अर्थ है कि उसका सारणिक (determinant) $0$ होना चाहिए।
माना $A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$ है।
हम $|A| = 0$ रखते हैं:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 1$ है,तो $1^3 + 1 - 2 = 0$,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $x = 1$ है,तो आव्यूह $\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ बन जाता है।
चूंकि पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक $0$ है।
अतः,$x$ का वास्तविक मान $1$ है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}3 & 5 & x \\ 7 & x & 7 \\ x & 5 & 3\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(3x - 35) - 5(21 - 7x) + x(35 - x^2) = 0$
$9x - 105 - 105 + 35x + 35x - x^3 = 0$
$-x^3 + 79x - 210 = 0$
$x^3 - 79x + 210 = 0$
चूँकि $x = -10$ एक मूल है,इसलिए $(x + 10)$ एक गुणनखंड है। $x^3 - 79x + 210$ को $(x + 10)$ से विभाजित करने पर $(x^2 - 10x + 21)$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x^2 - 10x + 21) = (x - 3)(x - 7)$।
अतः,समीकरण $(x + 10)(x - 3)(x - 7) = 0$ है।
मूल $x = -10, 3, 7$ हैं।
इसलिए,अन्य मूल $3$ और $7$ हैं।

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।
तब,$n$-वां पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $x, y, z$ क्रमशः $p$-वें,$q$-वें और $r$-वें पद हैं:
$x = a R^{p-1}$,$y = a R^{q-1}$,$z = a R^{r-1}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log x = \log a + (p-1) \log R$
$\log y = \log a + (q-1) \log R$
$\log z = \log a + (r-1) \log R$
अब,इन मानों को सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log x & p & 1 \\ \log y & q & 1 \\ \log z & r & 1 \end{array}\right|$ में प्रतिस्थापित करने पर.
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \\ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \\ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \\ \log a & q & 1 \\ \log a & r & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \\ (q-1) \log R & q & 1 \\ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$.
पहले सारणिक में,पहला स्तंभ तीसरे स्तंभ का $\log a$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,चूंकि $C_1 = (C_2 - C_3) \log R$,पहला स्तंभ $(C_2 - C_3)$ का गुणज है,इसलिए इसका मान भी $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(D) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं:
$\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$,$\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$,और $\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$।
दिया गया व्यंजक:
$E = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) - 2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 3 \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4 \tan ^{-1}(-1)$
$E = \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3\left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
$E = \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 3\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + \pi$
$E = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 3\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \pi$
$E = \frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{4} + \pi$
$E = \frac{4\pi + 27\pi + 12\pi}{12} = \frac{43\pi}{12}$

(C) व्यंजक $\frac{2x-1}{x^3+4x^2+3x}$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है जहाँ हर शून्य नहीं है।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $x^3+4x^2+3x = 0$.
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(x^2+4x+3) = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x(x+1)(x+3) = 0$.
मूल $x = 0, x = -1, x = -3$ प्राप्त होते हैं।
अतः,यह व्यंजक $0, -1, -3$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
इसलिए,समुच्चय $R - \{0, -1, -3\}$ है।

(D) माना $f(x) = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
हम सर्वसमिका $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$ का उपयोग करके इसे फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 (2x)$
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right)$
$f(x) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$.
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = 4$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।

(B) संख्यात्मक एकीकरण (numerical integration) के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{10} v(t) \ dt \approx \frac{h}{2} [v_0 + 2(v_1 + v_2 + v_3 + v_4) + v_5]$
यहाँ,अंतराल की चौड़ाई $h = 2 \ s$ है।
मान $v_0 = 0, v_1 = 12, v_2 = 16, v_3 = 20, v_4 = 35, v_5 = 60$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{दूरी} = \frac{2}{2} [0 + 2(12 + 16 + 20 + 35) + 60]$
$\text{दूरी} = 1 \times [0 + 2(83) + 60]$
$\text{दूरी} = 166 + 60 = 226 \ m$.

(B) दिया गया है,$x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})} = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$,अतः $y = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(1+x)^3}$.

(D) दिया गया है,व्यास में त्रुटि $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$ है।
चूंकि $D = 2r$,त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \frac{\pm 0.04}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$,अतः $dV = 4 \pi r^2 \Delta r$ प्राप्त होता है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dV}{V} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{dV}{V} \times 100 = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = \frac{3 \Delta r}{r} \times 100$।
$r = 10 \text{ cm}$ और $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ रखने पर:
प्रतिशत त्रुटि $= \frac{3 \times (\pm 0.02)}{10} \times 100 = \frac{\pm 0.06}{10} \times 100 = \pm 0.6 \%$।

(C) माना दो खंभे $AD$ और $BC$ हैं जिनकी ऊँचाई क्रमशः $a$ और $b$ है,जो क्षैतिज जमीन $AB$ पर स्थित हैं। $P$,$AB$ पर एक बिंदु है।
$\triangle APD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{AP} = \frac{a}{AP} \Rightarrow AP = a$.
$\triangle BPC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{BC}{BP} = \frac{b}{BP} \Rightarrow BP = b$.
$BC$ पर $E$ बिंदु पर लंब $DE$ खींचिए। तब $DE = AB = AP + PB = a + b$ और $CE = BC - BE = BC - AD = b - a$.
समकोण $\triangle DEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DC^2 = DE^2 + CE^2$
$DC^2 = (a+b)^2 + (b-a)^2$
$DC^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 - 2ab + a^2)$
$DC^2 = 2(a^2 + b^2)$.

(B) दिया गया है,$\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right]$.
अतः,$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
मानक समाकलन $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ और $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x = \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
इसकी तुलना $a \tan^{-1} x + b \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ से करने पर,हमें $a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a - 2b = -\frac{1}{2} - 2 \left( \frac{1}{4} \right) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x+1) \sqrt{4x+3}}$.
$4x+3 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$4dx = 2tdt$ या $dx = \frac{1}{2} t dt$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x = \frac{t^2-3}{4}$,इसलिए $x+1 = \frac{t^2-3}{4} + 1 = \frac{t^2+1}{4}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} t dt}{(\frac{t^2+1}{4}) t} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{\frac{t^2+1}{4}} = 2 \int \frac{dt}{t^2+1}$.
समाकलन करने पर,$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{4x+3}$ वापस रखने पर,$I = 2 \tan^{-1} \sqrt{4x+3} + c$ प्राप्त होता है।

(C) हमें $I_n = \int \sin^n x \, dx$ के लिए रिडक्शन फॉर्मूला दिया गया है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1} x$ और $dv = \sin x \, dx$ है।
तब $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$ और $v = -\cos x$ होगा।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ लागू करने पर:
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x - \int (-\cos x) (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
अतः,$n I_n - (n-1) I_{n-2} = -\sin^{n-1} x \cos x$।

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} \, dx$.
सर्वसमिका $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{1}{1 + \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} \, dx = \int_0^\pi \frac{1+\tan^2(x/2)}{(1+\tan(x/2))^2} \, dx$.
चूंकि $1+\tan^2(x/2) = \sec^2(x/2)$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{\sec^2(x/2)}{(1+\tan(x/2))^2} \, dx$.
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \, dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) \, dx = 2 \, dt$.
जब $x \to 0$,तब $t \to 0$. जब $x \to \pi$,तब $t \to \infty$.
अतः,$I = \int_0^\infty \frac{2 \, dt}{(1+t)^2} = 2 \left[ -\frac{1}{1+t} \right]_0^\infty$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2 \times 1 = 2$.

(D) यह क्षेत्र $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $y=\sin x$,$y=\cos x$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए,क्षेत्र $y=\sin x$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है। अतः,क्षेत्रफल $A_1$ इस प्रकार है:
$A_1 = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = -(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0) = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,क्षेत्र $y=\cos x$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है। अतः,क्षेत्रफल $A_2$ इस प्रकार है:
$A_2 = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,हमें $A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 : 1$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ $A$ में,दोनों $p-n$ जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में हैं। इसलिए,दोनों शाखाओं से धारा प्रवाहित होती है।
तुल्य प्रतिरोध $R_A$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_A} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies R_A = 2 \Omega$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V = I_A R_A$:
$8 = I_A \times 2 \implies I_A = 4 \text{ A}$
परिपथ $B$ में,ऊपरी डायोड फॉरवर्ड बायस में है,लेकिन निचला डायोड रिवर्स बायस में है। इसलिए,निचली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ का प्रतिरोध $R_B = 4 \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V = I_B R_B$:
$8 = I_B \times 4 \implies I_B = 2 \text{ A}$
अतः,धाराएँ क्रमशः $4 \text{ A}$ और $2 \text{ A}$ हैं।

(A) एक सदिश $\overrightarrow{a} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का परिमाण $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की गणना:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,जिसका अर्थ है कि $m_3 < m_1 < m_4 < m_2$।

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि कोण $\theta > 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा।
चूंकि सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{a}|$ और $|\overrightarrow{b}|$ हमेशा धनात्मक होते हैं,इसलिए $\cos \theta < 0$ का अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$ होगा।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\lambda)(\lambda) + (-7)(1) + (3)(2\lambda) = \lambda^2 - 7 + 6\lambda$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणनफल को शून्य से कम रखने पर: $\lambda^2 + 6\lambda - 7 < 0$।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 7)(\lambda - 1) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\lambda$ द्विघात समीकरण के मूलों $-7$ और $1$ के बीच स्थित हो।
अतः,हल $-7 < \lambda < 1$ है।