TS EAMCET 2009 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ है।
अतः,अभिव्यक्ति $\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}$ हो जाती है।
चूँकि $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$,इसलिए $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DC}$ है।
इसका मान रखने पर: $\overrightarrow{AC}+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DC})-2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{DC}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $Q$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{QC}$ है।
चूँकि $P$,$DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{DC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$ है।
इन मानों को रखने पर: $3(2\overrightarrow{QC})-4(\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}) = 6\overrightarrow{QC}-6\overrightarrow{PC} = 6(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CP}) = 6\overrightarrow{QP}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$ है,इसलिए $6\overrightarrow{QP} = -6\overrightarrow{PQ}$ है।
अतः,$k\overrightarrow{PQ} = -6\overrightarrow{PQ}$,जिसका अर्थ है कि $k = -6$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (1, 0, 0)$,$B = (0, 1, 0)$ और $C = (0, 0, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाई का योग है:
$\text{परिमाप} = AB + BC + CA = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(A) गोले का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+z^2-12x-4y-3z=0$ है।
इसे गोले के व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,हमें $2u=-12$,$2v=-4$,और $2w=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$u=-6$,$v=-2$,और $w=-\frac{3}{2}$ है।
गोले की त्रिज्या का सूत्र $r = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d}$ है।
मान रखने पर,हमें $r = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-\frac{3}{2})^2-0}$ प्राप्त होता है।
$r = \sqrt{36+4+\frac{9}{4}} = \sqrt{40+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{160+9}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}}$।
अतः,$r = \frac{13}{2}$।

(C) दिया है,$l^2+m^2-n^2=0$ $(i)$ और $l+m+n=0$ $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ से,$n=-(l+m)$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2+m^2=(-(l+m))^2 = l^2+m^2+2lm$.
इसका अर्थ है $2lm=0$,अतः $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $n=-m$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+m^2+(-m)^2=1 \Rightarrow 2m^2=1 \Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=-l$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $l^2+0^2+(-l)^2=1 \Rightarrow 2l^2=1 \Rightarrow l=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
माना दोनों रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दो रेखाओं की दिक्कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान दूसरे समीकरण $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2 = 0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2 = 0$
$2l^2+2lm-4m^2 = 0$
$l^2+lm-2m^2 = 0$
$(l+2m)(l-m) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक् अनुपात $(l, l, -2l)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(1, 1, -2)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ हैं।
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक् अनुपात $(-2m, m, m)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(-2, 1, 1)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
माना दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$
अतः $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है,$l+m+n=0 \implies l = -m-n$ और $l^2+m^2-n^2=0$.
दूसरे समीकरण में $l = -m-n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 + 2mn = 0$
$2m(m+n) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: यदि $m=0$,तो $l = -n$. दिक् अनुपात $(-n, 0, n)$ हैं,जिसे $(-1, 0, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$.
स्थिति $2$: यदि $m+n=0$,तो $m = -n$. $l = -m-n$ में मान रखने पर,$l = -(-n)-n = 0$ प्राप्त होता है। दिक् अनुपात $(0, -n, n)$ हैं,जिसे $(0, -1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_2} = (0, -1, 1)$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) सबसे पहले,सदिशों $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ की गणना करें।
$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = 2(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}) = (-2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) + (2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{k}$.
मान लीजिए कि इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है।
कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k})}{|\hat{j}+\hat{k}| |\hat{i}+\hat{k}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.
परिमाण की गणना: $|\hat{j}+\hat{k}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ और $|\hat{i}+\hat{k}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ बिंदु $(3, 2, 1)$ और समतल $2x - y + 3z - 7 = 0$ दिया गया है,इसलिए $a = 2, b = -1, c = 3, d = -7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(2(3) - 1(2) + 3(1) - 7)}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(6 - 2 + 3 - 7)}{4 + 1 + 9}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(0)}{14} = 0$
प्रत्येक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(3, 2, 1)$ है,जिसका अर्थ है कि बिंदु समतल पर ही स्थित है।

(C) दिया गया है,$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = \frac{7}{10}$.
चूँकि,$P(A \cap B) + P(\overline{A \cap B}) = 1$.
$\Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$\Rightarrow \frac{4}{5} = P(A) + \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
$\Rightarrow P(A) = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
$\Rightarrow P(A) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 4x + c = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$a = 1$,$b = 4$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4^2 - 4(1)(c) \geq 0$
$16 - 4c \geq 0$
$16 \geq 4c$
$c \leq 4$।
चूंकि $c$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से चुना गया है,इसलिए $c$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं।
कुल $9$ परिणामों में से $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{9}$ है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z M}{N_A a^3}$ है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या है।
$Z = \frac{d N_A a^3}{M}$ के अनुसार गणना करने पर:
$Z = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times (362 \times 10^{-10})^3}{63.55} \approx 4$.
चूँकि $Z = 4$ है,अतः यह इकाई कोष्ठिका फलक केंद्रित $(FCC)$ है।

(A) किसी पदार्थ का हिमांक वह तापमान है जिस पर पदार्थ की ठोस और द्रव अवस्थाएँ साम्यावस्था में होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके वाष्प दाब समान होते हैं।
हिमांक में अवनमन के प्रयोग के संदर्भ में,साम्यावस्था $ \text{liquid solvent} $ और $ \text{solid solvent} $ के बीच स्थापित होती है।
जब किसी विलायक में अवाष्पशील विलेय मिलाया जाता है,तो विलयन का वाष्प दाब कम हो जाता है,जिससे ठोस विलायक और द्रव विलयन के बीच साम्यावस्था तक पहुँचने के लिए कम तापमान की आवश्यकता होती है।

(C) $Cd$ का द्रव्यमान $= 0.9 \ g$।
$Cl_2$ का द्रव्यमान $= 1.5 \ g - 0.9 \ g = 0.6 \ g$।
$Cl$ का परमाणु भार $= 35.5 \ g/mol$,इसलिए $Cl_2$ का द्रव्यमान $= 2 \times 35.5 = 71 \ g/mol$।
$CdCl_2$ में,$0.6 \ g$ $Cl_2$,$71 \ g/mol$ के अनुरूप है।
इसलिए,$0.9 \ g$ $Cd$,$Cd$ के परमाणु भार $X$ के अनुरूप है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{Cd \text{ का द्रव्यमान}}{Cl_2 \text{ का द्रव्यमान}} = \frac{Cd \text{ का परमाणु भार}}{Cl_2 \text{ का परमाणु भार}}$।
$\frac{0.9}{0.6} = \frac{X}{71}$।
$X = \frac{0.9 \times 71}{0.6} = 1.5 \times 71 = 106.5 \ g/mol$।

(B) $1$. $A$ का मूलानुपाती सूत्र निर्धारित करें:
$C = 85.71 \% / 12 = 7.14$; $H = 14.29 \% / 1 = 14.29$.
अनुपात $C:H = 7.14 : 14.29 = 1 : 2$. मूलानुपाती सूत्र $CH_2$ है।
$2$. $A$ का आणविक सूत्र निर्धारित करें:
आणविक द्रव्यमान $= 2 \times \text{वाष्प घनत्व} = 2 \times 14 = 28$.
$n = 28 / 14 = 2$. आणविक सूत्र $(CH_2)_2 = C_2H_4$ (एथीन) है।
$3$. अभिक्रिया अनुक्रम:
$A$,$CH_2=CH_2$ है।
$CH_2=CH_2 + HOCl \rightarrow HO-CH_2-CH_2-Cl$ ($B$,$2$-क्लोरोएथेनॉल है)।
$HO-CH_2-CH_2-Cl + KCN \rightarrow HO-CH_2-CH_2-CN + KCl$.
$HO-CH_2-CH_2-CN + H_3O^+ \rightarrow HO-CH_2-CH_2-COOH$ ($C$,$3$-हाइड्रॉक्सीप्रोपेनोइक एसिड है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) परहाइड्रोल एक $30\% \ w/v$ $H_2O_2$ विलयन है,जिसे $100$ वॉल्यूम $H_2O_2$ के रूप में भी जाना जाता है।
इसका मतलब है कि $1 \ mL$ परहाइड्रोल $\text{STP}$ पर $100 \ mL$ $O_2$ उत्पन्न करता है।
रूपांतरण के लिए रासायनिक अभिक्रिया है:
$2SO_2(g) + O_2(g) \rightarrow 2SO_3(g)$
स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$2 \ L$ $SO_2$ को पूर्ण रूपांतरण के लिए $1 \ L$ (या $1000 \ mL$) $O_2$ की आवश्यकता होती है।
इसलिए,आवश्यक परहाइड्रोल का आयतन $= \frac{1000 \ mL}{100} = 10 \ mL$.

(B) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $(k = \frac{R}{N_A})$ है और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \times 300 \ K$
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \ J$
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ molecule^{-1}$

(A) $1 \ mol$ इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $6.023 \times 10^4 \ J$ है।
इसलिए,$1$ इलेक्ट्रॉन की $KE = \frac{6.023 \times 10^4 \ J/mol}{6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = 1.0 \times 10^{-19} \ J$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$,$E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3.313 \times 10^{-19} \ J$ है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव समीकरण के अनुसार,$E = \Phi + KE$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन (देहली ऊर्जा) है।
$\Phi = E - KE = 3.313 \times 10^{-19} \ J - 1.0 \times 10^{-19} \ J = 2.313 \times 10^{-19} \ J$।

(A) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
चूंकि $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ और $p = \frac{h}{\lambda}$,इसलिए $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ होता है।
अतः,$KE \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
इसलिए,$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^2$.
दिया गया है कि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5}{3}$.
अतः,$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9}$.
गतिज ऊर्जा का अनुपात $25: 9$ होगा।

(B) $As_2S_3$ एक ऋणावेशित सॉल है।
हार्डी-शुल्ज़ नियम के अनुसार,आयन की स्कंदन शक्ति उसकी संयोजकता के सीधे समानुपाती होती है।
चूंकि $As_2S_3$ एक ऋणात्मक सॉल है,इसलिए यह धनायनों द्वारा स्कंदित होता है।
दिए गए विकल्पों में धनायनों की संयोजकता इस प्रकार है:
$K^+$ $(KCl)$ = $+1$
$Al^{3+}$ $(AlCl_3)$ = $+3$
$Mg^{2+}$ $(MgSO_4)$ = $+2$
$K^+$ $(K_3Fe(CN)_6)$ = $+1$
चूंकि $Al^{3+}$ की संयोजकता सबसे अधिक $(+3)$ है,इसलिए यह स्कंदन के लिए सबसे अधिक प्रभावी है।

(A) स्थिर अवस्था में,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धारा,जंक्शन से बाहर निकलने वाली ऊष्मा धारा के योग के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए जंक्शन का तापमान $T$ है।
ऊष्मा धारा $H$ का सूत्र $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ है।
चूंकि सभी छड़ों के लिए आयाम (अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $l$) समान हैं,इसलिए ऊष्मा धारा ऊष्मीय चालकता $K$ के समानुपाती है।
चित्र के अनुसार,ऊष्मा $100^{\circ} C$ के स्रोत से जंक्शन की ओर बहती है,और फिर जंक्शन से $50^{\circ} C$ और $0^{\circ} C$ के सिंक की ओर बहती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (ऊष्मा धारा के लिए किरचॉफ का नियम) को लागू करने पर:
$H_{in} = H_{out1} + H_{out2}$
$\frac{3KA(100 - T)}{l} = \frac{2KA(T - 50)}{l} + \frac{KA(T - 0)}{l}$
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{l}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + T$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$6T = 400$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ} C$.

(C) आभासी भार में कमी विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)। मान लीजिए $30^{\circ} C$ और $40^{\circ} C$ पर धातु का आयतन क्रमशः $V_{30}$ और $V_{40}$ है।
$30^{\circ} C$ पर: भार में कमी $= 45 - 25 = 20 \ g$।
$V_{30} = \frac{\text{भार में कमी}}{\rho_{30}} = \frac{20 \ g}{1.5 \ g/cm^3} = 13.33 \ cm^3$।
$40^{\circ} C$ पर: भार में कमी $= 45 - 27 = 18 \ g$।
$V_{40} = \frac{\text{भार में कमी}}{\rho_{40}} = \frac{18 \ g}{1.25 \ g/cm^3} = 14.40 \ cm^3$।
आयतन प्रसार सूत्र का उपयोग करते हुए: $V_{40} = V_{30}(1 + \gamma \Delta T)$,जहाँ $\Delta T = 10^{\circ} C$।
$\gamma = \frac{V_{40} - V_{30}}{V_{30} \Delta T} = \frac{14.40 - 13.33}{13.33 \times 10} = \frac{1.07}{133.3} \approx 8.027 \times 10^{-3} /^{\circ} C$।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{8.027 \times 10^{-3}}{3} \approx 2.67 \times 10^{-3} /^{\circ} C$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $2.6 \times 10^{-3} /^{\circ} C$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{5}{2}R$ और स्थिर आयतन पर $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
सिलिंडर $A$ (समदाबी प्रक्रिया) के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T_A$ है।
चूंकि $n$ समान है,$Q = n \times \frac{5}{2}R \times 42 = 105 nR$ प्राप्त होता है।
सिलिंडर $B$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_V \Delta T_B$ है।
चूंकि दोनों सिलिंडरों में दी गई ऊष्मा समान है,इसलिए $n C_P \Delta T_A = n C_V \Delta T_B$ होगा।
$\frac{5}{2}R \times 42 = \frac{3}{2}R \times \Delta T_B$.
$5 \times 42 = 3 \times \Delta T_B$.
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 ~K$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,पूर्ण चक्र में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है,अर्थात $\sum \Delta U = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta U = Q - W$।
प्रत्येक अवस्था के लिए $\Delta U$ की गणना करने पर:
$\Delta U_1 = Q_1 - W_1 = 6000 - 2500 = 3500 \text{ J}$
$\Delta U_2 = Q_2 - W_2 = -5500 - (-1000) = -4500 \text{ J}$
$\Delta U_3 = Q_3 - W_3 = -3000 - (-1200) = -1800 \text{ J}$
$\Delta U_4 = Q_4 - W_4 = 3500 - x$
चूंकि $\sum \Delta U = 0$:
$3500 - 4500 - 1800 + 3500 - x = 0$
$700 - x = 0 \implies x = 700 \text{ J}$।
कुल कार्य $W_{\text{net}} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \text{ J}$।
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{\text{in}} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \text{ J}$।
दक्षता $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} \times 100 = \frac{1000}{9500} \times 100 \approx 10.5 \%$।

(B) लक्ष्य अभिक्रिया प्राप्त करने के लिए: $2 \times (A) + \frac{1}{2} \times (C) - (B)$ करें।
$\Delta H^{\circ} = 2 \times (-146) + \frac{259}{2} - 418$
$\Delta H^{\circ} = -292 + 129.5 - 418 = -580.5 \ kJ \approx -581 \ kJ$.

(C) $H$ परमाणु की संभवन एन्थैल्पी $\Delta H_f(H) = 218 \ kJ/mol$ दी गई है।
यह अभिक्रिया इस प्रकार है: $\frac{1}{2} H_2(g) \longrightarrow H(g) ; \Delta H = 218 \ kJ/mol$.
एक मोल $H_2$ अणुओं के $H$ परमाणुओं में वियोजन के लिए: $H_2(g) \longrightarrow 2H(g) ; \Delta H = 2 \times 218 = 436 \ kJ/mol$.
इस ऊर्जा को $kcal/mol$ में बदलने के लिए,हम $1 \ kcal = 4.18 \ kJ$ का उपयोग करते हैं।
बंध ऊर्जा $= \frac{436 \ kJ/mol}{4.18 \ kJ/kcal} \approx 104.3 \ kcal/mol$.
अतः,$H-H$ बंध ऊर्जा लगभग $104 \ kcal/mol$ है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण: $y = a \sin (bt - cx)$ है।
$y = a \sin (\theta)$ व्यंजक में,त्रिकोणमितीय फलन का तर्क $\theta = (bt - cx)$ विमाहीन होना चाहिए।
चूंकि $bt$ और $cx$ को घटाया गया है,इसलिए वे विमाहीन होने चाहिए।
$(a)$ $\frac{y}{a}$ दो लंबाइयों का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(b)$ $bt$ साइन फलन का तर्क है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(c)$ $cx$ साइन फलन का तर्क है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(d)$ $b$ की विमा $[T^{-1}]$ है और $c$ की विमा $[L^{-1}]$ है।
इसलिए,$\frac{b}{c}$ की विमा $\frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [LT^{-1}]$ है,जो वेग की विमा को दर्शाता है।
अतः,$\frac{b}{c}$ एक विमा वाली राशि है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
जहाँ $D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है।
प्रथम स्थिति के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $n_1 = 10$ के साथ:
$y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$
द्वितीय स्थिति के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ और $n_2 = 5$ के साथ:
$y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$
अब,अनुपात $\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$ की गणना करने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{10 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}}$
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2}$
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$

(B) मान लीजिए स्रोतों की आवृत्ति $n = 680 \, Hz$ है और ध्वनि की चाल $v = 340 \, ms^{-1}$ है।
श्रोता $A$ से $B$ की ओर $u$ वेग से गति करता है।
जैसे-जैसे श्रोता स्रोत $A$ से दूर जाता है, $A$ से सुनाई देने वाली आभासी आवृत्ति $n^{\prime}$ है:
$n^{\prime} = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 - u}{340} \right) = 2(340 - u)$
जैसे-जैसे श्रोता स्रोत $B$ की ओर जाता है, $B$ से सुनाई देने वाली आभासी आवृत्ति $n^{\prime \prime}$ है:
$n^{\prime \prime} = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 + u}{340} \right) = 2(340 + u)$
विस्पंद आवृत्ति दोनों आभासी आवृत्तियों का अंतर है:
$n^{\prime \prime} - n^{\prime} = 10$
$2(340 + u) - 2(340 - u) = 10$
$680 + 2u - 680 + 2u = 10$
$4u = 10$
$u = 2.5 \, ms^{-1}$

(C) व्यतिकरण की घटना उन दो तरंगों के बीच होती है जिनकी आवृत्ति समान होती है और जिनके बीच कलांतर स्थिर रहता है।
दी गई तरंगों को देखने पर:
$(i)$ $y_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ की कोणीय आवृत्ति $\omega$ है।
(ii) $y_2 = a \sin(2\omega t)$ की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है।
(iii) $y_3 = d' \sin(\omega t + \phi_2)$ की कोणीय आवृत्ति $\omega$ है।
(iv) $y_4 = d' \sin(3\omega t + \phi)$ की कोणीय आवृत्ति $3\omega$ है।
चूंकि तरंग $(i)$ और (iii) की कोणीय आवृत्ति $\omega$ समान है,इसलिए उनके अध्यारोपण से व्यतिकरण उत्पन्न होगा।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$n_1 = 600 \text{ Hz}$.
जब एक तार का तनाव बढ़ाकर $T'$ कर दिया जाता है,तो उसकी नई आवृत्ति $n_2 = 606 \text{ Hz}$ हो जाती है ताकि $6 \text{ beats per second}$ उत्पन्न हो सकें $(n_2 - n_1 = 606 - 600 = 6 \text{ Hz})$।
हमारे पास $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$.
तनाव में भिन्नात्मक वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1 = 1.02 - 1 = 0.02$ है।

(C) पाइप के माध्यम से तरल को प्रवाहित करने के लिए आवश्यक शक्ति $P$ प्रति इकाई समय में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है। एक क्षैतिज पाइप के लिए,कार्य मुख्य रूप से तरल की गतिज ऊर्जा को दूर करने के लिए होता है।
$v$ वेग के साथ गतिमान $m$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
शक्ति $P$ गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर है: $P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} v^2 \frac{dm}{dt}$।
मान लीजिए द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \dot{m}$ है। चूंकि पाइप समान है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर है। प्रवाह दर (प्रति इकाई समय में आयतन) $Q = Av$ है। अतः,द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot{m} = \rho A v$ है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
शक्ति समीकरण में $\dot{m}$ को प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{1}{2} v^2 (\rho A v) = \frac{1}{2} \rho A v^3$।
चूंकि $Q = Av$,हमारे पास $v = Q/A$ है। इसे शक्ति समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{1}{2} \rho A (Q/A)^3 = \frac{\rho}{2A^2} Q^3$।
यह दर्शाता है कि $P \propto Q^3$।
यह देखते हुए कि प्रारंभिक प्रवाह दर $Q_0$ है और अंतिम प्रवाह दर $Q_1 = n Q_0$ है,शक्तियों का अनुपात है:
$\frac{P_1}{P_0} = \left( \frac{Q_1}{Q_0} \right)^3 = n^3$।
अतः,अनुपात $P_1 : P_0 = n^3 : 1$ है।

(A) $1$. Wacker प्रक्रिया एथीन $(\text{CH}_2=\text{CH}_2)$ को एथेनल $(\text{CH}_3\text{CHO})$ में परिवर्तित करती है,इसलिए $B$,$\text{CH}_3\text{CHO}$ है।
$2$. एल्कीन $A$ का ओजोनोलिसिस $B$ (एथेनल) देता है। चूँकि $A \xrightarrow{\text{O}_3} 2 \text{CH}_3\text{CHO}$,इसलिए $A$ को ब्यूट$-2-$ईन $(\text{CH}_3\text{CH}=\text{CHCH}_3)$ होना चाहिए।
$3$. लिंडलर उत्प्रेरक का उपयोग करके एल्काइन का $A$ (cis-ब्यूट$-2-$ईन) में अपचयन होता है। इसलिए,प्रारंभिक एल्काइन ब्यूट$-2-$आइन $(\text{CH}_3\text{C} \equiv \text{CCH}_3)$ है।

(B) सल्फ्यूरिक एनहाइड्राइड $SO_3$ है। इसकी संरचना में,केंद्रीय सल्फर परमाणु $sp^2$ संकरित होता है।
यह तीन ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ तीन $\sigma$ बंध बनाता है।
तीन $\pi$ बंधों में से,एक $p \pi-p \pi$ बंध है ($S$ और $O$ के $p$-कक्षकों के अतिव्यापन द्वारा निर्मित) और दो $p \pi-d \pi$ बंध हैं ($S$ के $d$-कक्षकों और $O$ के $p$-कक्षकों के अतिव्यापन द्वारा निर्मित)।
अतः,अणु में $3 \sigma$,$1 p \pi-p \pi$,और $2 p \pi-d \pi$ बंध उपस्थित होते हैं।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा के अनुसार,$\mu = \delta \times d$,जहाँ $\delta$ विद्युत आवेश का परिमाण है और $d$ बंध लंबाई है।
इसलिए,$\delta = \frac{\mu}{d}$.
$HCl$ और $HI$ के लिए विद्युत आवेश के अंश का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{\delta_{HCl}}{\delta_{HI}} = \frac{\mu_{HCl}}{d_{HCl}} \times \frac{d_{HI}}{\mu_{HI}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\delta_{HCl}}{\delta_{HI}} = \frac{1.03 \times 1.6}{1.3 \times 0.38} = \frac{1.648}{0.494} \approx 3.33: 1$.
अतः,अनुपात लगभग $3.3: 1$ है।

(C) अभिक्रिया के लिए: $N_{2(g)} + 2 O_{2(g)} \rightleftharpoons 2 NO_{2(g)}$,साम्य स्थिरांक $K_1 = 100$ है।
$K_1 = \frac{[NO_2]^2}{[N_2][O_2]^2} = 100$ ... $(i)$
लक्ष्य अभिक्रिया के लिए: $NO_{2(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} N_{2(g)} + O_{2(g)}$,साम्य स्थिरांक $K_2$ है।
$K_2 = \frac{[N_2]^{1/2} [O_2]}{[NO_2]}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $K_2 = \sqrt{\frac{1}{K_1}}$.
$K_2 = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0.1$.

(C) प्रथम आयनन ऊर्जा $(IE)$ सामान्यतः आवर्त में बाएं से दाएं जाने पर बढ़ती है। दूसरे आवर्त के तत्वों के लिए,अपेक्षित क्रम $Li < Be < B < C < N < O < F < Ne$ है।
हालांकि,पूर्ण-भरे और अर्ध-भरे कक्षकों की स्थिरता के कारण,$B, Be, N,$ और $O$ के लिए वास्तविक क्रम $B < Be < O < N$ है।
$Be$ $(1s^2, 2s^2)$ की तुलना में $B$ $(1s^2, 2s^2 2p^1)$ की $IE$ कम है क्योंकि $B$ में इलेक्ट्रॉन $2p$ कक्षक से निकाला जाता है,जो $Be$ के स्थिर,पूर्ण-भरे $2s$ कक्षक से इलेक्ट्रॉन निकालने की तुलना में आसान है।
$N$ $(1s^2, 2s^2 2p^3)$ की तुलना में $O$ $(1s^2, 2s^2 2p^4)$ की $IE$ कम है क्योंकि $N$ में अर्ध-भरे $2p$ कक्षक होते हैं,जिससे $O$ की तुलना में इलेक्ट्रॉन निकालना अधिक कठिन हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha+\beta = 2$ $(i)$
$\alpha\beta = 4$ $(ii)$
हम $x^2-2x+4=0$ को $(x-1)^2 = -3$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$x-1 = \pm \sqrt{3}i$,जिसका अर्थ है $x = 1 \pm \sqrt{3}i$.
मान लीजिए $\alpha = 1+\sqrt{3}i = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 1-\sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3}$.
तब,$\alpha^6 = (2e^{i\pi/3})^6 = 64(1) = 64$.
इसी प्रकार,$\beta^6 = (2e^{-i\pi/3})^6 = 64(1) = 64$.
अतः,$\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128$.

(A) मान लीजिए $S$ सभी $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों का सेट है। ऐसे अनुक्रमों की कुल संख्या $2^n$ है।
मान लीजिए $E$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या सम है और $O$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या विषम है।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग ${}^n C_0 + {}^n C_2 + {}^n C_4 + \dots = 2^{n-1}$ होता है।
यह योग $n$-अंकीय अनुक्रम में $0$ के लिए सम संख्या में स्थान चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है।
अतः,ऐसे अनुक्रमों की संख्या $2^{n-1}$ है।

(D) कुल बिंदुओं की संख्या $3p$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ ऐसे बिंदु चुनने होंगे जो संरेख (collinear) न हों।
$3p$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनने के कुल तरीके $^{3p}C_3$ हैं।
चूंकि प्रत्येक $3$ रेखाओं पर $p$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए हमें उन $3$ बिंदुओं के समूहों को घटाना होगा जो एक ही रेखा पर स्थित हैं।
त्रिभुजों की संख्या $= ^{3p}C_3 - 3 \times (^pC_3)$.
$= \frac{3p(3p-1)(3p-2)}{6} - 3 \times \frac{p(p-1)(p-2)}{6}$.
$= \frac{p(3p-1)(3p-2) - p(p-1)(p-2)}{2}$.
$= \frac{p}{2} [ (9p^2 - 9p + 2) - (p^2 - 3p + 2) ]$.
$= \frac{p}{2} [ 8p^2 - 6p ] = p(4p^2 - 3p) = p^2(4p-3)$.

(A) थर्मोस्फीयर पृथ्वी के वायुमंडल की चौथी परत है और यह मेसोस्फीयर के ऊपर स्थित है।
इस क्षेत्र में हवा बहुत विरल (thin) होती है।
थर्मोस्फीयर में आयनमंडल (ionosphere) शामिल है,जो आवेशित कणों से भरा क्षेत्र है।
उच्च तापमान और सौर विकिरण के कारण,अणु आयनित होकर $O_2^{+}$,$O^{+}$,और $NO^{+}$ जैसे घटक बनाते हैं।

(B) हमारे पास $\tan (x-y) \tan y = \frac{\sin (x-y) \sin y}{\cos (x-y) \cos y}$ है।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2 \sin (x-y) \sin y}{2 \cos (x-y) \cos y}$ प्राप्त होता है।
गुणनफल से योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\tan (x-y) \tan y = \frac{\cos (x-2y) - \cos x}{\cos (x-2y) + \cos x}$.
अंश और हर को $\cos (x-2y)$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 - \frac{\cos x}{\cos (x-2y)}}{1 + \frac{\cos x}{\cos (x-2y)}}$.
$\lambda = \frac{\cos x}{\cos (x-2y)}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1-\lambda}{1+\lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3 = x$.
दोनों पक्षों में $\cosh$ लेने पर,$\cosh x = \cosh(\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3)$.
सर्वसमिका $\cosh(A + B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$ का उपयोग करने पर:
$\cosh x = \cosh(\sinh ^{-1} 2) \cosh(\sinh ^{-1} 3) + \sinh(\sinh ^{-1} 2) \sinh(\sinh ^{-1} 3)$.
चूंकि $\cosh(\sinh ^{-1} y) = \sqrt{1 + y^2}$,इसलिए:
$\cosh(\sinh ^{-1} 2) = \sqrt{5}$ और $\cosh(\sinh ^{-1} 3) = \sqrt{10}$.
मान रखने पर:
$\cosh x = (\sqrt{5})(\sqrt{10}) + (2)(3) = \sqrt{50} + 6$.
विकल्पों के अनुसार,$\frac{1}{2}(12 + 2 \sqrt{50})$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 x - \cos 2x = 2 - \sin 2x$
सर्वसमिकाओं $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x - (1 - 2\sin^2 x) = 2 - 2\sin x \cos x$
$3\sin^2 x - 1 = 2 - 2\sin x \cos x$
वैकल्पिक रूप से,$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ और $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^2 x) - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\sin x \cos x$
$2 - 3\cos^2 x = 2 - 2\sin x \cos x$
$-3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 3\cos x) = 0$
चूंकि $3\cos x \neq 2\sin x$,इसलिए $2\sin x - 3\cos x \neq 0$ है।
अतः,$\cos x = 0$।
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जिसे $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $x = (4n \pm 1) \frac{\pi}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है।
जब अक्षों को $\theta = 36^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos 36^{\circ} - Y \sin 36^{\circ}$
$y = X \sin 36^{\circ} + Y \cos 36^{\circ}$
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
$(X \cos 36^{\circ} - Y \sin 36^{\circ})^2 + (X \sin 36^{\circ} + Y \cos 36^{\circ})^2 = r^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$X^2 \cos^2 36^{\circ} + Y^2 \sin^2 36^{\circ} - 2XY \sin 36^{\circ} \cos 36^{\circ} + X^2 \sin^2 36^{\circ} + Y^2 \cos^2 36^{\circ} + 2XY \sin 36^{\circ} \cos 36^{\circ} = r^2$
सरल करने पर:
$X^2(\cos^2 36^{\circ} + \sin^2 36^{\circ}) + Y^2(\sin^2 36^{\circ} + \cos^2 36^{\circ}) = r^2$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$X^2(1) + Y^2(1) = r^2$
$X^2 + Y^2 = r^2$

(C) विशिष्ट घूर्णन का सूत्र $[\alpha] = \frac{\alpha}{l \times c}$ है,जहाँ $\alpha$ डिग्री में प्रेक्षित घूर्णन है,$l$ डेसीमीटर $(dm)$ में पथ की लंबाई है और $c$ $g/mL$ में सांद्रता है।
दिया गया है: $\alpha = -1.2^{\circ}$,$l = 5 \ cm = 0.5 \ dm$,और $c = 6.15 \ g / 100 \ mL = 0.0615 \ g/mL$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $[\alpha] = \frac{-1.2}{0.5 \times 0.0615} = \frac{-1.2}{0.03075} = -39^{\circ}$.

(A) ओजोनोलिसिस से गुजरने वाले एल्कीन की संरचना निर्धारित करने के लिए,उत्पादों के कार्बोनिल ऑक्सीजन परमाणुओं को आमने-सामने रखें और $O$ परमाणुओं को द्वि-आबंध $(C=C)$ से बदलें।
एसीटैल्डिहाइड $CH_3CHO$ है और एसीटोन $(CH_3)_2CO$ है।
उन्हें संरेखित करने पर: $CH_3(H)C=O + O=C(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
ऑक्सीजन परमाणुओं को हटाकर और कार्बनों को द्वि-आबंध से जोड़ने पर $CH_3(H)C=C(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
संरचना $CH_3-CH=C(CH_3)_2$ है।
सबसे लंबी श्रृंखला में $4$ कार्बन परमाणु हैं और $2$-स्थिति पर एक मिथाइल समूह है,इसलिए $IUPAC$ नाम $2$-मिथाइल-$2$-ब्यूटीन है।

(C) दिया गया है,$x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ और $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
माना $t = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} t$.
तब $\sqrt{1+t^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec \theta$ होगा।
अतः,$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
और $y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
चूंकि $x = \tan^{-1} t$ और $y = \tan^{-1} t$,इसलिए $y = x$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(A) दिया गया है,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_x = \sec^2(y+ax) \cdot a + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}} \cdot (-a)$
$z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}] = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_y = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [\sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}] = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
अब,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ की गणना करें:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(B) माना पोटेशियम एसीटेट की सांद्रता $x \ M$ है। हेंडरसन-हेसलबाक समीकरण का उपयोग करते हुए:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
दिया गया है: $pH = 4.8$,$K_a = 1.8 \times 10^{-5}$,$pK_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) \approx 4.74$.
एसिड के मोल $= 20 \ mL \times 0.1 \ M = 2 \ mmol$.
लवण के मोल $= 50 \ mL \times x \ M = 50x \ mmol$.
समीकरण में मान रखने पर:
$4.8 = 4.74 + \log \frac{50x}{2}$
$0.06 = \log(25x)$
$25x = 10^{0.06} \approx 1.148$
$x = \frac{1.148}{25} \approx 0.0459 \ M \approx 0.04 \ M$.

(D) बफर क्षमता,$\beta = \frac{dC_{HA}}{dpH}$.
यहाँ,$dC_{HA}$ विलयन के प्रति लीटर मिलाए गए एसिड के मोलों की संख्या है।
$dC_{HA} = \frac{\text{एसेटिक एसिड के मोल}}{\text{आयतन (लीटर में)}} = \frac{0.12 / 60}{250 / 1000} = \frac{0.002}{0.25} = 0.008 \ M$.
$pH$ में परिवर्तन $dpH = 0.02$ है।
अतः,$\beta = \frac{0.008}{0.02} = 0.4$.