TS EAMCET 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \leq \cos(4x - 5) \leq 1$.
અસમતાને $3$ વડે ગુણતા:
$-3 \leq 3 \cos(4x - 5) \leq 3$.
અસમતાની દરેક બાજુમાં $4$ ઉમેરતા:
$-3 + 4 \leq 3 \cos(4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
તેથી,$1 \leq 3 \cos(4x - 5) + 4 \leq 7$.
આમ,આ પદાવલિ $[1, 7]$ અંતરાલમાં રહેલી છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ અને $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ છે.
આપેલ અંતર $AB = 2a$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(1 + 1 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2a^2(1 - \cos(\theta - \phi)) = 4a^2$
$1 - \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
$\cos(\theta - \phi) = -1$ હોવાથી,$\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$.

(A) ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $PA=PB$ હોવાથી,ત્રિકોણ $PAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ $P$ માંથી પાયા $AB$ પર દોરેલો મધ્યગા એ પાયા $AB$ પરનો વેધ પણ છે.
તેથી,$PM \perp AB$.
રેખા $AB$ $(2x-y+3=0)$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
$PM \perp AB$ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ થશે.
રેખા $PM$ બિંદુ $P(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-2 = -\frac{1}{2}(x-1)$ એટલે કે $x+2y-5=0$ છે.
મધ્યબિંદુ $M$ એ રેખાઓ $2x-y+3=0$ અને $x+2y-5=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -\frac{1}{5}$ અને $y = \frac{13}{5}$ મળે છે.
આમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
આ દ્વિઘાત સમપરિમાણીય સમીકરણ છે,જેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = \cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,$b = \sin^2 \theta$ અને $2h = -\sin^2 \theta$ મળે છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો $a + b = 0$ થાય.
$a + b$ ની ગણતરી કરતા:
$a + b = -\sin^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$.
અહીં $a + b = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = \cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,
$b = \sin^2 \theta$,
$2h = -\sin^2 \theta \Rightarrow h = -\frac{1}{2} \sin^2 \theta$.
હવે,લંબ રેખાઓ માટેની શરત તપાસતા:
$a + b = -\sin^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી $(a + b = 0)$,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળો:
$C_1: x^2+y^2+8x-6y=0$
$C_2: 4x^2+4y^2-4x-12y-186=0 \implies x^2+y^2-x-3y-46.5=0$
$C_3: x^2+y^2-6x+6y-9=0$
ત્રિજ્યા $r_1, r_2, r_3$ ની ગણતરી:
$r_1 = \sqrt{(-4)^2 - (-3)^2 - 0} = 5$
$r_2 = \sqrt{(0.5)^2 + (1.5)^2 - (-46.5)} = 7$
$r_3 = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 - (-9)} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$
પરિમિતિ $P = 2\pi r$ ની ગણતરી:
$P_1 = 10\pi$
$P_2 = 14\pi$
$P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$
સરખામણી કરતા:
$P_1 < P_3 < P_2$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x - 2y + 6 = 0$ છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુ $A$ માટે $y = 0$ લેતા: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. તેથી,$A = (-2, 0)$.
$Y$-અક્ષ પરના બિંદુ $B$ માટે $x = 0$ લેતા: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. તેથી,$B = (0, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.
કેન્દ્ર $(-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{13}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ: $(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, a)$ અને $(x_2, y_2) = (b, 2)$,અને $r^2 = 25$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2b + 4a = 50$
તેથી,$4a + 2b = 50$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં: $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,અને $r^2=x^2+y^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
આને વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = -4 \Rightarrow f = -2$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-(-2), -(-2)) = (2, 2)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ મળે છે.
ધ્રુવીયથી કાર્ટેઝિયન યામ રૂપાંતરણ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ તથા $r^2 = x^2 + y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$x^2 + y^2 = \sqrt{3} y + x$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -1 \Rightarrow g = -1/2$ અને $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\sqrt{3}/2$,અને $c = 0$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યા $= \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 - 0} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-1=0$,$L_2: x-y-1=0$ અને $L_3: y+1=0$ છે.
આ ત્રણેય રેખાઓ એકબિંદુગામી નથી અને એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,એક અંતઃવર્તુળ હોય છે જે ત્રણેય બાજુઓને અંદરથી સ્પર્શે છે.
વધુમાં,ત્રણ બહિર્વર્તુળો હોય છે,જેમાંથી દરેક એક બાજુને બહારથી અને બાકીની બે બાજુઓના લંબાવેલા ભાગને સ્પર્શે છે.
તેથી,ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોની કુલ સંખ્યા $1 + 3 = 4$ છે.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ મળે છે.
પ્રમાણિત રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$x + 7y = 1$.
આ બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ,આપણે પદાવલિને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરીએ છીએ: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખો: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$= -\left[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + \dots\right] + \frac{1}{3}\left[1 + \frac{x}{3} + (\frac{x}{3})^2 + (\frac{x}{3})^3 + \dots\right]$.
$x^3$ નો સહગુણક $-\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3$ છે.
$= -\frac{1}{8} + \frac{1}{81} = \frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ $e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + (-1)^n \frac{x^n}{n!} + \dots$ છે.
હવે,$(2+3x)e^{-x}$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$x^{10}$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$1$. $2e^{-x}$ માં,$x^{10}$ વાળું પદ $2 \times \frac{(-1)^{10} x^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ છે.
$2$. $3xe^{-x}$ માં,$x^{10}$ વાળું પદ $3x \times \frac{(-1)^9 x^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = \frac{-3}{9!} x^{10}$ છે.
આ બંનેને જોડવા માટે,$\frac{-3}{9!}$ ને $10!$ છેદમાં લખતા:
$\frac{-3}{9!} = \frac{-3 \times 10}{10!} = \frac{-30}{10!}$.
સહગુણકોનો સરવાળો:
$\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$.

(D) $n=15$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ છે.
જેમ $r$ નું મૂલ્ય $0$ થી $7$ વધે છે તેમ ${ }^{15} C_r$ વધે છે અને જેમ $r$ નું મૂલ્ય $8$ થી $15$ વધે છે તેમ ${ }^{15} C_r$ ઘટે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: ${ }^{15} C_5 < { }^{15} C_6 < { }^{15} C_7$ (વધતો ક્રમ)
$B$: ${ }^{15} C_{10} < { }^{15} C_9 < { }^{15} C_8$ (વધતો ક્રમ)
$C$: ${ }^{15} C_6 < { }^{15} C_7 < { }^{15} C_8$ (વધતો ક્રમ)
$D$: ${ }^{15} C_7 > { }^{15} C_6 > { }^{15} C_5$ (ઘટતો ક્રમ)
તેથી,ઘટતા ક્રમમાં રહેલી શ્રેણી ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ થાય.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ મળે.
આ ઉપવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A+B+C = \pi$.
પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$\cos \left(\frac{B+2C+3A}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
પ્રથમ કોસાઇન પદના ખૂણાને $A+B+C = \pi$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખો:
$\frac{B+2C+3A}{2} = \frac{2A+2B+2C + A-B}{2} = \frac{2\pi + (A-B)}{2} = \pi + \frac{A-B}{2}$
આ કિંમત મૂકતા:
$\cos \left(\pi + \frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
નિત્યસમ $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને બહિઃત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
આપેલ છે કે $r_3 = r_1 + r_2 + r$,તેથી:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
સાદુરૂપ આપતા:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
અહીં $A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$
તેથી,$A+B = \pi - C = 90^{\circ}$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{bmatrix}$.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયક છે.
ઘટક $-1$ (સ્થાન $a_{12}$ પર): $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = -1(0 - 6) = 6$. તેથી,$A-4$.
ઘટક $1$ (સ્થાન $a_{11}$ પર): $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} = 1(24 - (-8)) = 32$. તેથી,$B-2$.
ઘટક $3$ (સ્થાન $a_{31}$ પર): $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 0) = -2$. તેથી,$C-1$.
ઘટક $6$ (સ્થાન $a_{33}$ પર): $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$. તેથી,$D-3$.
આમ,સાચી જોડ $A-4, B-2, C-1, D-3$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$
કારણ કે $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$,તેથી:
$\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x - \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 2\sin ^{-1} x$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$1-x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\sin ^{-1} x) = \cos(2\sin ^{-1} x)$
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \sin ^{-1} x$:
$1-x = 1 - 2(\sin(\sin ^{-1} x))^2$
$1-x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
આમ,$x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
કિંમતો ચકાસતા:
$x=0$ માટે: $\sin ^{-1} 0 + \sin ^{-1} 1 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ અને $\cos ^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}$. (માન્ય)
$x=\frac{1}{2}$ માટે: $\sin ^{-1} \frac{1}{2} + \sin ^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ અને $\cos ^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$. (માન્ય)
તેથી,$x \in \{0, \frac{1}{2}\}$.

(C) આપેલ અસમતા $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ છે.
આપણે પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
દરેક $x \in R$ માટે $(x - 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ થાય.
તેથી,$(x - 1)^2 + 4$ હંમેશા ધન છે અને તે ક્યારેય $0$ કે તેથી નાનું હોઈ શકે નહીં.
આમ,આપેલ અસમતાનું પાલન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
તેથી ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = f(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$. આમ,$f^{\prime}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
ફરીથી વિકલન કરતા,$f^{\prime \prime}(-x) \cdot (-1) = -f^{\prime \prime}(x)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime \prime}(-x) = f^{\prime \prime}(x)$. આમ,$f^{\prime \prime}$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
ફરીથી વિકલન કરતા,$f^{\prime \prime \prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime \prime \prime}(x)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime \prime \prime}(-x) = -f^{\prime \prime \prime}(x)$. આમ,$f^{\prime \prime \prime}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$f^{\prime}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(n)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} 2 & \text{જો } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{જો } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{જો } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$
આપણે $\{n \in N: f(n) > 2\}$ ગણ શોધવો છે.
વ્યાખ્યા જોતા,$f(n) > 2$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $f(n) = 10$ હોય,જે $n = 3k + 1$ માટે શક્ય છે,જ્યાં $k \in Z$.
$n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) હોવાથી,આપણે $k \geq 0$ લઈએ છીએ:
$k=0$ માટે,$n = 3(0) + 1 = 1$.
$k=1$ માટે,$n = 3(1) + 1 = 4$.
$k=2$ માટે,$n = 3(2) + 1 = 7$.
આમ,માંગેલ ગણ $\{1, 4, 7, \dots\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ માટે $f(x) = 3^{-x}$ છે.
$I$. એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$3^{-x_1} = 3^{-x_2} \Rightarrow -x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$II$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f(x) = 3^{-x}$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે. વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
$III$. ઘટતા વિધેય માટે: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3^{-x}) = -3^{-x} \ln 3$. અહીં $3^{-x} > 0$ અને $\ln 3 > 0$ હોવાથી,દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે. તેથી,$f$ એ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,વિધાન $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^y = e^{x-y}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$
$y \ln x = x - y$
$y$ ને કર્તા બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y \ln x + y = x$
$y(1 + \ln x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \ln x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(1 + \ln x) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^2+2x$ છે.
કણના $x$ અને $y$ યામ સમાન દરે બદલાતા હોવાથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ થાય.
વક્રના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (2x+2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dx}{dt} = (2x+2) \frac{dx}{dt}$.
જો $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$1 = 2x+2$.
$2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$x = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $y$ યામ શોધીએ:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
તેથી,વક્ર પરનું બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ છે.

(D) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y = 4 - 2x^2$ છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
અહીં $x$-યામ $5 \text{ units/s}$ ના દરે ઘટી રહ્યો છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$ લેતા.
બિંદુ $(1, 2)$ પર,$x = 1$ અને $\frac{dx}{dt} = -5$ કિંમતો વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$.
આમ,$y$-યામ $20 \text{ units/s}$ ના દરે વધી રહ્યો છે.

(C) ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $h = 1 \ km$ છે. વિમાનના બે અલગ-અલગ સમયના સ્થાન $D$ અને $E$ છે. $A$ એ જમીન પરનું નિરીક્ષણ બિંદુ છે. $P$ અને $Q$ એ જમીન પરના બિંદુઓ છે જે અનુક્રમે $D$ અને $E$ ની બરાબર નીચે છે. તેથી,$DP = EQ = 1 \ km$.
$\Delta DAP$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{AP + PQ}$ $\Rightarrow AP + PQ = \sqrt{3}$.
$AP = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
અંતર $PQ$ એ $10 \ s$ માં કાપવામાં આવે છે. તેથી,ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \ km/s$.
$km/h$ માં ફેરવવા માટે,$3600$ વડે ગુણો: $\text{ઝડપ} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 = \frac{720}{\sqrt{3}} = \frac{720\sqrt{3}}{3} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
$x^2$ વડે ગુણતા,$x^2 f(x) = \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x f(x) + x^2 f'(x) = 2x - 3f'(x)$.
$x = 3$ મુકતા,$2(3) f(3) + 3^2 f'(3) = 2(3) - 3f'(3)$.
મૂળ સંકલન પરથી,$f(3) = \frac{1}{3^2} \int_3^3 (2t - 3f'(t)) dt = 0$.
$f(3) = 0$ ની કિંમત મુકતા:
$2(3)(0) + 9f'(3) = 6 - 3f'(3)$.
$9f'(3) + 3f'(3) = 6$.
$12f'(3) = 6$.
$f'(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ,અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{a}^{b} y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$y = x^2 + 2$,$a = 1$,અને $b = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{2}$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબરનો ઉપયોગ આધુનિક કોમ્યુનિકેશન નેટવર્કમાં વ્યાપકપણે થાય છે કારણ કે તે ઉચ્ચ બેન્ડવિડ્થ અને ઓછો સિગ્નલ લોસ પ્રદાન કરે છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં,પ્રકાશના સંકેતોનું પ્રસારણ 'ટોટલ ઇન્ટરનલ રિફ્લેક્શન' (પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન) ના સિદ્ધાંત દ્વારા થાય છે.
સિગ્નલ ફાઇબરની અંદર મર્યાદિત હોવાથી અને તે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક હસ્તક્ષેપ (interference) થી પ્રભાવિત થતું નથી,તેથી પ્રસારણ અત્યંત સુરક્ષિત અને સ્પષ્ટ હોય છે.
વધુમાં,ઓપ્ટિકલ ફાઇબર કદમાં નાના,વજનમાં હલકા અને લવચીક હોય છે,જે તેને ઇન્સ્ટોલેશન માટે આદર્શ બનાવે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) ધારો કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ છે. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $(AB=AC)$,પાયાના ખૂણા $\angle B = \angle C = (180^{\circ}-A)/2 = 90^{\circ} - A/2$ થશે.
$1$. કિરણ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે.
$2$. સપાટી $AC$ પર (જેના પર ચાંદીનો ઢોળ છે),આપાતકોણ $i_1$ એ પ્રિઝમના ખૂણા $A$ જેટલો થાય છે.
$3$. $AC$ પર પરાવર્તન પછી,પરાવર્તન કોણ પણ $i_1 = A$ થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ સપાટી $AC$ સાથે $90^{\circ}-A$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$4$. કિરણ અને પ્રિઝમની બાજુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $AB$ પાસેનો ખૂણો $90^{\circ}-2A$ છે.
$5$. સપાટી $AB$ પર બીજા પરાવર્તન વખતે,આપાતકોણ $i_2 = 90^{\circ}-(90^{\circ}-2A) = 2A$ થાય છે.
$6$. ત્યારબાદ કિરણ પાયા $BC$ પર લંબરૂપે અથડાય છે. કિરણ અને પાયા $BC$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$B$ પાસેનો ખૂણો $90^{\circ}-2A$ છે. કિરણ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$90^{\circ}-2A + (90^{\circ}-A/2) = 90^{\circ}$ મળે.
$7$. $A$ માટે ઉકેલતા: $90^{\circ} - 2.5A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A = 36^{\circ}$.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર,વક્રીભવનકોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m$ ના પદોમાં નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
અહીં $\mu = \cot(A / 2) = \frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)} = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A / 2)$ ને દૂર કરતા:
$\cos(A / 2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\pi/2 - A/2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$\pi/2 - A/2 = (A + \delta_m) / 2$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\pi - A = A + \delta_m$
$\delta_m = \pi - 2A$

(D) સોડિયમના નિષ્કર્ષણ માટેની ડાઉન્સ પ્રક્રિયામાં,પીગળેલા $NaCl$ નું વિદ્યુતવિભાજન કરવામાં આવે છે.
આ કોષમાં,કેથોડ $Iron$ $(Fe)$ નો બનેલો હોય છે અને એનોડ $Graphite$ $(C)$ નો બનેલો હોય છે.
તેથી,કેથોડ અને એનોડ અનુક્રમે $Iron$ અને $Graphite$ છે.

(D) પ્લાસ્ટર ઓફ પેરિસ પાણી શોષીને મોનોક્લિનિક જિપ્સમ બનાવે છે,જે એક સખત પદાર્થ છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા:
$CaSO_4 \cdot \frac{1}{2} H_2 O + \frac{3}{2} H_2 O \rightarrow CaSO_4 \cdot 2 H_2 O$
(મોનોક્લિનિક જિપ્સમ)

(A) No Solution Available

(C) વિધાન $A$ માટે: આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ છે. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P(x) = 1$ મળે છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ થાય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે: સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે અને તેનો સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int P(x) dx}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેથી,વિધાન $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ એ વિધાન $R$ માં આપેલી વ્યાખ્યા પરથી સીધું તારવેલું હોવાથી,$R \Rightarrow A$ સાચું છે.

(A) આપણે પદાવલિ $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$.
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$),પદાવલિનું સાદું રૂપ આ મુજબ થશે:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$.
હવે,$c$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b) = c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= [c, b, a] + [c, b, c] + [c, c, a] + [c, c, b]$.
કોઈપણ સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટમાં બે સમાન સદિશો હોય તો તેની કિંમત શૂન્ય થાય છે,તેથી:
$[c, b, c] = 0$,$[c, c, a] = 0$,અને $[c, c, b] = 0$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $[c, b, a] = c \cdot (b \times a)$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ પરથી,$l = -(m+n)$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ વડે ભાગતા,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{n_1}{m_1}$ અને $\frac{n_2}{m_2}$ છે.
તેથી $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
તે જ રીતે,$(i)$ પરથી,$m = -(l+n)$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{l_1}{n_1}$ અને $\frac{l_2}{n_2}$ છે.
તેથી $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી,$l_1 l_2 = n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2$.
આમ,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = l_1 l_2 - 2l_1 l_2 + l_1 l_2 = 0$.
કારણ કે $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે. તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ છે અને લંબપાદ $P(2,-1,3)$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલનો અભિલંબ છે,તેથી અભિલંબના દિક્-ગુણોત્તર એ રેખા $OP$ ના દિક્-ગુણોત્તર સમાન હોય.
$OP$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(2-0, -1-0, 3-0) = (2, -1, 3)$ છે.
આમ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(2, -1, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $(2, -1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(x-2) - 1(y-(-1)) + 3(z-3) = 0$
$2(x-2) - 1(y+1) + 3(z-3) = 0$
$2x - 4 - y - 1 + 3z - 9 = 0$
$2x - y + 3z - 14 = 0$
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.

(A) પાસા પરના અંકો $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
અહીં $1$ બેકી સંખ્યા $(2)$ અને $5$ એકી સંખ્યાઓ $(3, 5, 7, 11, 13)$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોય.
બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(Even) = \frac{1}{6}$.
એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(Odd) = \frac{5}{6}$.
જરૂરી સંભાવના $= P(Even) \times P(Odd) + P(Odd) \times P(Even)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(C) આપેલ છે કે,$P(E) = 1/5$ અને $P(F|E) = 1/10$.
આપણે ઘટના $E$ અને $F$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P((E \cap F)^c) = 1 - P(E \cap F)$ છે.
સંભાવનાના ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(E \cap F) = P(E) \times P(F|E)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(E \cap F) = (1/5) \times (1/10) = 1/50$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - P(E \cap F) = 1 - 1/50 = 49/50$ છે.

(C) ધારો કે $H$ એ છાપ દર્શાવે છે અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. છાપ માટે $+2$ પોઈન્ટ અને કાંટા માટે $-1$ પોઈન્ટ મળે છે. જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે છાપ $(H)$ અને કાંટા $(T)$ ની સંખ્યા માટેના શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. ત્રણ કાંટા $(0H, 3T)$: સ્કોર $= 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. બે કાંટા અને એક છાપ $(1H, 2T)$: સ્કોર $= 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. એક કાંટો અને બે છાપ $(2H, 1T)$: સ્કોર $= 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. ત્રણ છાપ $(3H, 0T)$: સ્કોર $= 3(2) + 0(-1) = 6$.
તેથી,કુલ સ્કોર $X$ નો વિસ્તાર $\{-3, 0, 3, 6\}$ છે.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. પોઈન્ટ્સ $H$ માટે $2$ અને $T$ માટે $1$ છે.
ત્રણ સિક્કા ઉછાળતા,ધારો કે $n_H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $n_T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે.
કુલ પોઈન્ટ $S = 2n_H + 1n_T$.
અહીં $n_H + n_T = 3$ હોવાથી,$n_T = 3 - n_H$.
તેથી,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$.
$S$ એકી સંખ્યા હોય તે માટે $n_H + 3$ એકી હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n_H$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$n_H$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $2$ છે.
કિસ્સો $1$: $n_H = 0$ (બધા કાંટા,$TTT$).
સંભાવના $P(n_H = 0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
કિસ્સો $2$: $n_H = 2$ (બે છાપ,એક કાંટો,દા.ત.,$HHT, HTH, THH$).
સંભાવના $P(n_H = 2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(D) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
આપેલ છે,$V_{He} = 500 \ mL$,$t_{He} = 30 \ min$,તેથી $r_{He} = \frac{500}{30} \ mL/min$.
$SO_2$ માટે,$V_{SO_2} = 1000 \ mL$,$t_{SO_2} = t$,તેથી $r_{SO_2} = \frac{1000}{t} \ mL/min$.
મોલર દળ $M_{He} = 4 \ g/mol$ અને $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{500/30}{1000/t} = \sqrt{\frac{64}{4}}$.
$\frac{500}{30} \times \frac{t}{1000} = \sqrt{16} = 4$.
$\frac{t}{60} = 4 \Rightarrow t = 240 \ minutes$.
કલાકમાં ફેરવતા: $t = \frac{240}{60} = 4 \ hours$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક કોન્ફિગરેશન નીચે મુજબ છે:
$K$ $(Z=19)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6, 4s^1$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $8$.
$Mn$ $(Z=25)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^5, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $13$.
$Ni$ $(Z=28)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^8, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $16$.
$Sc$ $(Z=21)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^1, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $9$.
આમ,$K$ ની $M$ કક્ષામાં સૌથી ઓછા ઇલેક્ટ્રોન છે.

(A) થર્મોકપલ બે અલગ-અલગ ધાતુના તારનું બનેલું હોય છે જે બે જંકશન પર જોડાયેલા હોય છે.
જ્યારે એક જંકશનને અચળ તાપમાને રાખવામાં આવે અને બીજાને બદલાતા તાપમાનના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે,ત્યારે થર્મોઈલેક્ટ્રિક ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
થર્મોકપલનું જંકશન ખૂબ નાનું હોવાથી તેની ઉષ્મીય ક્ષમતા અત્યંત ઓછી હોય છે.
ઉષ્મીય ક્ષમતા એ દળ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતાનો ગુણાકાર છે $(C = mc)$.
ઓછી ઉષ્મીય ક્ષમતાનો અર્થ એ છે કે જંકશન આસપાસના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે ખૂબ જ ઝડપથી ગરમી મેળવી કે ગુમાવી શકે છે.
તેથી,તે તાપમાનમાં થતા ફેરફારોને ઝડપથી પ્રતિસાદ આપી શકે છે,જે તેને ઝડપથી બદલાતા તાપમાનને માપવા માટે યોગ્ય બનાવે છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(R)$ સાચું છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
અહીં,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,અને $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{19249.92 \times 10^{-4}}{1.3752 \times 10^{-3}} \approx 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.

(D) આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
જ્યારે બે વાયુઓને એડિબેટિક પાત્રમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_V T_{mix} = n_1 C_V T_1 + n_2 C_V T_2$.
બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વિક હોવાથી,$C_V$ ઉડી જશે:
$T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T_{mix} = \frac{4(400) + 2(700)}{4 + 2}$.
$T_{mix} = \frac{1600 + 1400}{6} = \frac{3000}{6} = 500 ~K$.