TS EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया है $z = x + iy$,इसलिए $z - 2 - 3i = (x - 2) + i(y - 3)$.
चूंकि $z - 2 - 3i$ का आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\arg((x - 2) + i(y - 3)) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\tan^{-1}\left(\frac{y - 3}{x - 2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y - 3}{x - 2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y - 3 = x - 2$,जिसे सरल करने पर $x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) बल्क मापांक $(K)$ का सूत्र $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ दबाव में परिवर्तन है और $\Delta V/V$ आयतन विकृति है।
चूँकि आयतन में वृद्धि हो रही है,इसलिए दबाव में परिवर्तन $p$ ऋणात्मक दबाव (तनाव) के रूप में कार्य करता है।
दिया गया है: $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$ और $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$।
सूत्र में मान रखने पर: $2 \times 10^9 = \frac{p}{10^{-3}}$।
अतः,$p = 2 \times 10^9 \times 10^{-3} = 2 \times 10^6 \ N/m^2$।

(A) दिए गए समीकरण $x = 36 t$ और $2 y = 96 t - 9.8 t^2$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $y = 48 t - 4.9 t^2$ प्राप्त होता है।
इनकी तुलना प्रक्षेप्य गति के मानक समीकरणों $x = (u \cos \theta) t$ और $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ से करने पर:
हमें $u \cos \theta = 36$ और $u \sin \theta = 48$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\tan \theta = \frac{4}{3}$ है,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है। कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ होगा।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$।

(C) दिया गया है: अधिकतम चाल $v_{\max} = 15 ~cm/s$ और आवर्तकाल $T = 628 ~ms = 0.628 ~s$।
सरल आवर्त गति में,अधिकतम चाल का सूत्र $v_{\max} = A\omega$ होता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$।
सूत्र में $\omega$ का मान रखने पर: $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$।
आयाम $A$ के लिए हल करने पर: $A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $A = \frac{15 ~cm/s \times 0.628 ~s}{2 \times 3.14}$।
$A = \frac{15 \times 0.628}{6.28} ~cm$।
$A = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} ~cm = 1.5 ~cm$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 1.0 ~kg$,विस्तार $l_1 = 5 ~cm = 0.05 ~m$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$m_1 g = k l_1$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 ~N/m$ है।
अब,उसी स्प्रिंग से $m_2 = 2.0 ~kg$ द्रव्यमान लटकाने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ होगी।
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 ~rad/s$ है।
ब्लॉक को $A = 10 ~cm = 0.1 ~m$ तक खींचा जाता है,जो सरल आवर्त गति का आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{\max} = 0.1 ~m \times 10 ~rad/s = 1 ~m/s$ है।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम स्थिति में,दो समान चुंबक एक-दूसरे के लंबवत रखे गए हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I + I = 2I$ और परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ है।
अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}$.
दिया है $T_1 = 2^{5/4} \ s$,इसलिए $2^{5/4} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}} \dots (i)$.
जब एक चुंबक को हटा दिया जाता है,तो एक चुंबक के लिए आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} \dots (ii)$ होता है।
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}}{2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4}$.
इसलिए,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.

(B) $NO + NO_2 \xrightarrow{253 \ K} N_2O_3$ (यौगिक $X$)
$N_2O_3 + H_2O \rightarrow 2HNO_2$ (यौगिक $Y$)
$HNO_2$ का ऋणायन $NO_2^-$ है।
$NO_2^-$ में,नाइट्रोजन परमाणु एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म के साथ $sp^2$ संकरित होता है,जिसके परिणामस्वरूप इसकी आकृति कोणीय (bent) होती है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों में,इलेक्ट्रॉन डोमेन की ज्यामिति त्रिकोणीय समतलीय है,जो $NO_2^-$ आयन के लिए मानक विवरण है।

(B) प्लेटिनम इलेक्ट्रोड का उपयोग करके $50 \% H_2SO_4$ के विद्युत अपघटन के दौरान,निम्नलिखित अभिक्रियाएँ होती हैं:
कैथोड पर: $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$
एनोड पर: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$
एनोड पर प्राप्त उत्पाद पेरोक्सोडाइसल्फ्यूरिक एसिड $(H_2S_2O_8)$ है,जिसे मार्शल एसिड के रूप में भी जाना जाता है।

(D) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है। कुल बिंदु $8$ हैं ($P$ को छोड़कर)।
स्थिति $1$: $P$ बिंदु को शामिल करने वाले त्रिभुज।
$P$ के साथ त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $l_1$ से एक बिंदु और $l_2$ से एक बिंदु चुनना होगा।
तरीकों की संख्या = $^3C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
स्थिति $2$: $P$ बिंदु को शामिल न करने वाले त्रिभुज।
हम $l_1$ से $2$ बिंदु और $l_2$ से $1$ बिंदु,या $l_1$ से $1$ बिंदु और $l_2$ से $2$ बिंदु चुन सकते हैं।
तरीकों की संख्या = $(^3C_2 \times ^5C_1) + (^3C_1 \times ^5C_2) = (3 \times 5) + (3 \times 10) = 15 + 30 = 45$.
त्रिभुजों की कुल संख्या = $15 + 30 = 45$.

(C) रेखाएँ $y=x+r$ और $y=-x+r$ द्वारा दी गई हैं जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
ये रेखाएँ वर्गों का एक ग्रिड बनाती हैं।
एक वर्ग की भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ होने के लिए,दो क्रमिक समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $\sqrt{2}$ होनी चाहिए।
दो समानांतर रेखाओं $y=x+r_1$ और $y=x+r_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|r_1 - r_2|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें $|r_1 - r_2| = 2$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$2$ के अंतर वाले जोड़े $(r_1, r_2)$ हैं: $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$।
$y=x+r$ रेखाओं के लिए ऐसे $5$ जोड़े हैं और $y=-x+r$ रेखाओं के लिए भी $5$ जोड़े हैं।
निर्मित वर्गों की कुल संख्या प्रत्येक दिशा में $2$ लंबाई के अंतरालों का गुणनफल है,जो $5 \times 5 = 25$ है।

(D) $\sin(a\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है और $\cos(b\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|b|}$ होता है।
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ के लिए,$\sin \frac{\theta}{3}$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
$\cos \frac{\theta}{2}$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
फलन $f(\theta)$ का आवर्तकाल $T_1$ और $T_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है।
$LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$.
अतः,फलन का आवर्तकाल $12\pi$ है।

(C) तीन रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) चूंकि दी गई तीन रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(D) रेखाओं का युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि इन रेखाओं और $ax+by+c=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज समबाहु है,इसलिए रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ होना चाहिए।
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{4(H^2-AB)}{(A+B)^2}$।
$3(A+B)^2 = 4H^2 - 4AB$।
$3(A^2+B^2+2AB) = 4H^2 - 4AB$।
$3A^2+3B^2+6AB = 4H^2 - 4AB$।
$3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$।
बाएं पक्ष का गुणनखंड करने पर,$(3A+B)(A+3B) = 4H^2$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त की दी गई दो स्पर्श रेखाएँ:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots (i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots (ii)$
चूँकि दोनों रेखाओं की ढाल $\frac{5}{12}$ है,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 5, b = -12, c_1 = 10, c_2 = -16$.
व्यास $D = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) दिए गए वृत्त:
$S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$
चूंकि $S_1$,$S_2$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा $S_2$ का व्यास होगी।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x + 4y + k + 15 = 0$
वृत्त $S_2$ का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 3)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $S_2$ का व्यास है,इसलिए यह इसके केंद्र $(-1, 3)$ से होकर गुजरती है।
$(-1, 3)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$

(C) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-6y-15=0$
यदि वृत्त $S_1$,वृत्त $S_2$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा,वृत्त $S_2$ के केंद्र से होकर गुजरनी चाहिए।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x+4y+k+15 = 0$ ... $(i)$
वृत्त $S_2$ का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 3)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $(i)$,$(-1, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$C_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
बिंदु $P(x, y)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $S_1 = x^2+y^2+2gx+2fy+c$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्ग हैं:
$T_1^2 = x^2+y^2+2x-4y-20$
$T_2^2 = x^2+y^2-4x+2y-44$
दिया गया अनुपात $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{2}{3}$:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
यह $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ $2g=14$ और $2f=-16$ है।
इसलिए,$g=7$ और $f=-8$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-7, 8)$ है।

(A) परवलय की नाभि $S(0,0)$ है।
नियता का समीकरण $x+y-4=0$ है।
माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि की दूरी,$P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है,इसलिए $SP^2 = PM^2$ है।
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = (x+y-4)^2$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$

(A) हमारे पास है,$(1+x^2)^5(1+x)^4$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1+x^2)^5 = \sum_{r=0}^{5} {^5C_r} (x^2)^r = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + 5x^8 + x^{10}$.
और $(1+x)^4 = \sum_{k=0}^{4} {^4C_k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$.
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम दोनों विस्तारों के पदों को इस प्रकार गुणा करते हैं कि $x$ के घातों का योग $5$ हो:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$.
अतः,$x^5$ का गुणांक $60$ है.

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r+1)$-वें पद के लिए,$k = (2r+1)-1 = 2r$. अतः,गुणांक ${}^{43}C_{2r}$ है।
$(r+2)$-वें पद के लिए,$k = (r+2)-1 = r+1$. अतः,गुणांक ${}^{43}C_{r+1}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \implies a = b$ या $a+b = n$ का उपयोग करने पर:
स्थिति $1$: $2r = r+1 \implies r = 1$.
स्थिति $2$: $2r + (r+1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
अतः,$r = 14$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है $x(y^3 - 1) = 1$,अतः $x = \frac{1}{y^3 - 1}$.
माना $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$. चूँकि $0 < y < 2^{1/3}$,इसलिए $-1 < k < 1$ है।
दी गई श्रेणी $S = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ है।
लघुगणकीय विस्तार $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ का उपयोग करने पर,$S = \log \left( \frac{1+k}{1-k} \right)$.
$k = y^3 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$।
यह $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$ में सरल हो जाता है।
$45$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$।
माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है। $P$ से अनंतस्पर्शी पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ होता है।
अतः,गुणनफल $= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6 x - \pi}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x - \pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
अब,$x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$L = \frac{3 \cos(\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6})}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$।
$\frac{0}{0}$ रूप होने के कारण $L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x \ln a - a x^{a-1}}{x^x(1 + \ln x)} = -1$
$x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$
अंश और हर को $a^a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$
$\Rightarrow \ln a - 1 = -1 - \ln a$
$\Rightarrow 2 \ln a = 0$
$\Rightarrow \ln a = 0$
$\therefore a = e^0 = 1$।

(B) हमें दिया गया है,$b=20, c=21$ और $\sin A=\frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$,इसलिए $\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
अतः,$\cos A = \frac{4}{5}$ (मानते हुए कि $A$ न्यूनकोण है)।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \cdot 20 \cdot 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \cdot \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \cdot 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
इसलिए,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ हैं।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$।
दिया गया है कि $b+c = 3a$,मान रखने पर:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
दिया गया है $b+c=3a$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ का मान रखने पर,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास त्रिभुज की बहिःत्रिज्याओं (exradii) के लिए सूत्र हैं:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
दिया गया है कि $r_1 < r_2 < r_3$,अतः:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
चूंकि $\Delta > 0$,व्युत्क्रम लेने पर असमिका के चिह्न बदल जाएंगे:
$s-a > s-b > s-c$
सभी पदों से $s$ घटाने पर:
$-a > -b > -c$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका के चिह्न फिर से बदल जाएंगे:
$a < b < c$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम दूसरी पंक्ति को विभाजित कर सकते हैं: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
प्रथम सारणिक का विस्तार करने पर: $p(qr-bc) - b(ar-ac) + c(ab-aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
अतः,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
अब,व्यंजक $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ पर विचार करें।
मान लीजिए $x = p-a, y = q-b, z = r-c$. तब $p = x+a, q = y+b, r = z+c$.
इन मानों को सारणिक के विस्तार में रखने या व्यंजक को सरल करने पर अंतिम उत्तर $2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\cos (A+B)(\cos A \cos B - \sin A \sin B) + \sin (A+B)(\sin A \cos B + \cos A \sin B) + \cos 2 B(\sin^2 A + \cos^2 A) = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$

(A) दिए गए समीकरण:
$2x + y - z = 7$ $(i)$
$x - 3y + 2z = 1$ $(ii)$
$x + 4y - 3z = 5$ $(iii)$
संगति की जाँच करने के लिए,हम विलोपन विधि का उपयोग करते हैं।
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x - 6y + 4z = 2$ $(iv)$
समीकरण $(i)$ में से $(iv)$ को घटाने पर: $(2x + y - z) - (2x - 6y + 4z) = 7 - 2 \implies 7y - 5z = 5$ $(v)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर: $(x + 4y - 3z) - (x - 3y + 2z) = 5 - 1 \implies 7y - 5z = 4$ $(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ की तुलना करने पर,हमें $7y - 5z = 5$ और $7y - 5z = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $5 \neq 4$,निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हैं: $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
यहाँ $x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ दिया गया है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\sinh^{-1}(\sqrt{8}) = \log(\sqrt{8} + \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{9})$.
$= \log(3 + \sqrt{8})$.

(C) दिए गए फलन $f(x) = 2x + 3$ और $g(x) = x^2 + 7$ हैं।
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है ताकि $g(f(x)) = 8$ हो।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$
इसे $8$ के बराबर रखने पर:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2x + 3 = 1$ या $2x + 3 = -1$
स्थिति $1$: $2x = 1 - 3 = -2 \Rightarrow x = -1$
स्थिति $2$: $2x = -1 - 3 = -4 \Rightarrow x = -2$
अतः,$x$ के मान $-1$ और $-2$ हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = |x|$ और $g(x) = [x]$।
हमें $x \in R$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $g(f(x)) \leq f(g(x))$ हो।
फलन का मान रखने पर,हमें $[|x|] \leq |[x]|$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ और $[x] \geq 0$ होता है। असमिका $[x] \leq |[x]|$ बन जाती है। चूँकि $[x]$ एक पूर्णांक है और $[x] \geq 0$ के लिए $|[x]| = [x]$ होता है,इसलिए यह सभी $x \geq 0$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो मान लीजिए $x = -n - \delta$,जहाँ $n \geq 0$ एक पूर्णांक है और $0 \leq \delta < 1$ है।
यदि $x$ एक पूर्णांक है,$x = -n$ $(n > 0)$,तो $[|x|] = [n] = n$ और $|[x]| = |-n| = n$ होता है। अतः $n \leq n$,जो सत्य है।
यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,तो मान लीजिए $x = -n - \delta$ $(n \geq 0, 0 < \delta < 1)$। तो $|x| = n + \delta$,इसलिए $[|x|] = n$। साथ ही $[x] = -n - 1$,इसलिए $|[x]| = |-n - 1| = n + 1$ होता है।
असमिका $n \leq n + 1$ बन जाती है,जो सत्य है।
अतः,यह असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$।
हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ दिया गया है।
दोनों पक्षों में $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}}\right)$।
दाहिनी ओर के लघुगणक के तर्क को सरल करने पर:
$\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}} = \frac{10(100+x^2)+200x}{10(100+x^2)-200x} = \frac{1000+10x^2+200x}{1000+10x^2-200x} = \frac{10(x^2+20x+100)}{10(x^2-20x+100)} = \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}$।
अतः,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}\right)$।
गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = 2k \log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $2k = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 0.5$।

(B) दी गई असमिका: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^{1-x}$ को $\frac{3}{3^x}$ के रूप में लिखने पर: $3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
पूरी असमिका को $3^x$ से गुणा करने पर (चूंकि $3^x > 0$): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$
माना $y = 3^x$. असमिका $y^2 - 4y + 3 < 0$ हो जाती है
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(y-1)(y-3) < 0$
इसका अर्थ है कि $1 < y < 3$
$y = 3^x$ वापस रखने पर: $1 < 3^x < 3$
चूंकि $3^0 = 1$ और $3^1 = 3$,इसलिए $3^0 < 3^x < 3^1$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $0 < x < 1$ प्राप्त होता है
अतः,हल समुच्चय $(0,1)$ है.

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
दोनों पक्षों को $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ से गुणा करने पर:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर:
$1 = a(1-2)(1-3) + 0 + 0 \Rightarrow 1 = a(-1)(-2) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$1 = 0 + b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) + 0 \Rightarrow 1 = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) \Rightarrow b = -4$.
$c$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$1 = 0 + 0 + c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) \Rightarrow 1 = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
अब,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5}$ की गणना करने पर:
$\frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
$30$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 \sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2x - 4}}}$.
$x = 11$ रखने पर:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2 \sqrt{18}}}$
चूंकि $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$,इसलिए:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}$
यहाँ $11 + 6 \sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ और $11 - 6 \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ है।
अतः,$f(11) = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{(3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{6}{7}$.

(D) हमें $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ दिया गया है।
अतः,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
माना $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,और शेष बचेगा:
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(A) दिए गए वक्र $y=\sin x$ और $y=\cos x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sin x = \cos x$ रखें,जिससे $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{\pi}{4}$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें।
$y = \sin x$ के लिए,$m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$y = \cos x$ के लिए,$m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$।
माना कि अधिकतम किए जाने वाला फलन $f(x) = x^2 y^3 = x^2 (20 - x)^3$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 (-1)$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 20$,या $5x = 40 \Rightarrow x = 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,हम $x = 8$ लेते हैं।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 20 - 8 = 12$।
अतः,वे संख्याएँ $8$ और $12$ हैं।

(C) माना $y = 2x^2 + x - 1$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y' = 4x + 1$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$y' = 0$ रखें:
$4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$y'' = 4$.
चूंकि $y'' > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = -\frac{1}{4}$ पर न्यूनतम है।
$x = -\frac{1}{4}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{9}{8}$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $D$ है। $\triangle E D C$ में,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{C D} \Rightarrow C D = h \cot 3 \alpha$.
$\triangle E D B$ में,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{B D} \Rightarrow B D = h \cot 2 \alpha$.
$\triangle E D A$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{A D} \Rightarrow A D = h \cot \alpha$.
अब,$A B = A D - B D = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha)$ और $B C = B D - C D = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha)$.
अतः,$\frac{A B}{B C} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(D) माना $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int (x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
यहाँ $x e^{x+x^{-1}}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x e^{x+x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x+x^{-1}} + x \cdot e^{x+x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x+x^{-1}} + x e^{x+x^{-1}} - x^{-1} e^{x+x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x+x^{-1}}$.
अतः,समाकलन का मान $x e^{x+x^{-1}} + C$ है।

(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
समाकलन ज्ञात करने के लिए,$u = t^2$ लें,तब $du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$.
जब $t = 0$,तब $u = 0$. जब $t = x$,तब $u = x^2$.
अतः,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$.
$x = 0$ पर,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$.
चूंकि $f''(0) > 0$,फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ है।

(B) माना $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -\sin \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ और जब $x = 1$,तो $\theta = 0$।
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
यहाँ $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ है।
अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan^{-1} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - \theta) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta$.
$I = \frac{1}{2} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+9$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करें:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{12} = \log (2^{3/2}) + \frac{\pi}{12} = \log (2 \sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$.

(D) हमारे पास है $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है:
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,इसलिए $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $|[x]| = |1| = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.