int_0^1 sin left(2 tan ^{-1} sqrt{frac{1+x}{1 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^1 \sin \left(2 	an ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}ight) d x$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -\sin 	heta d 	heta

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^1 \sin \left(2 	an ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}ight) d x$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -\sin 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = \frac{\pi}{2}$ और जब $x = 1$,तो $	heta = 0$। $I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 	an ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos 	heta}{1-\cos 	heta}}ight) (-\sin 	heta) d 	heta$. यहाँ $\sqrt{\frac{1+\cos 	heta}{1-\cos 	heta}} = \cot(	heta/2) = 	an(\frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2})$ है। अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 	an^{-1} 	an(\frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2})ight) \sin 	heta d 	heta$. $I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - 	heta) \sin 	heta d 	heta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta d 	heta$. $\sin^2 	heta = \frac{1-\cos 2	heta}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2	heta}{2} d 	heta$. $I = \frac{1}{2} [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

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