int_0^x t e^{t^2} d t का न्यूनतम मान है | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$. समाकलन ज्ञात करने के लिए,$u = t^2$ लें,तब $du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$. जब $t = 0$,तब $

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(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$. समाकलन ज्ञात करने के लिए,$u = t^2$ लें,तब $du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$. जब $t = 0$,तब $u = 0$. जब $t = x$,तब $u = x^2$. अतः,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$. न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$. $f'(x) = 0$ रखने पर हमें $x = 0$ प्राप्त होता है। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$. $x = 0$ पर,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$. चूंकि $f''(0) > 0$,फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। न्यूनतम मान $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ है।

$\int_0^x t e^{t^2} d t$ का न्यूनतम मान है

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