TS EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $A+B+C=270^{\circ}$,अतः $A+B = 270^{\circ}-C$।
सर्वसमिका $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos(270^{\circ}-C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= -2 \sin C \cos(A-B) + 2(1-\sin^2 C) - 1$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
चूंकि $\sin C = \sin(270^{\circ}-(A+B)) = -\cos(A+B)$ है:
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B]$
$= 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.

(A) प्रत्येक पद को $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ सूत्र का उपयोग करके विस्तारित करें:
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
$= \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$
यहाँ सभी पद एक-दूसरे से कट जाते हैं:
$(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta) + (-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha) + (-\cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta) = 0 + 0 + 0 = 0$

(D) हम जानते हैं कि $\sin 6 \theta = \sin 3(2 \theta)$.
सर्वसमिका $\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ का उपयोग करने पर:
$\sin 6 \theta = 3 \sin 2 \theta - 4 \sin^3 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 6 \theta = 3(2 \sin \theta \cos \theta) - 4(2 \sin \theta \cos \theta)^3$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta (1 - \cos^2 \theta)$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta + 32 \sin \theta \cos^5 \theta$
$= 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \sin 2 \theta$.
दिए गए समीकरण $\sin 6 \theta = 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $3x = 3 \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है,अतः $x = \sin 2 \theta$।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $P$,$A, B, C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ और $PB^2 = PC^2$ होगा।
$PA^2 = PB^2$ से:
$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$8x - 4y + 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ ... $(i)$
$PB^2 = PC^2$ से:
$(x+3)^2 + (y-5)^2 = (x-5)^2 + (y+1)^2$
$16x - 12y + 8 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 2 = 0$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$x = -8, y = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(-8, -10)$ हैं।
$PA = \sqrt{(-8-1)^2 + (-10-3)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10}$.

(D) माना मूल प्रणाली में निर्देशांक $(x, y)$ हैं और $\theta = 135^{\circ}$ के घूर्णन के बाद नई प्रणाली में निर्देशांक $(x', y')$ हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
दिया गया है $(x', y') = (4, -3)$ और $\theta = 135^{\circ}$,जहाँ $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर:
$4 = x(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + y(\frac{1}{\sqrt{2}}) \implies -x + y = 4\sqrt{2} \quad (i)$
$-3 = -x(\frac{1}{\sqrt{2}}) + y(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \implies -x - y = -3\sqrt{2} \implies x + y = 3\sqrt{2} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2y = 7\sqrt{2} \implies y = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$2x = -\sqrt{2} \implies x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,मूल निर्देशांक $(x, y) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ है।
$r$ से गुणा करने पर,$\sqrt{3} r \sin \theta + 2 r \cos \theta = 4$ प्राप्त होता है।
ध्रुवीय निर्देशांक $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\sqrt{3} y + 2 x = 4$ या $2x + \sqrt{3}y - 4 = 0$ हो जाता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, \frac{\pi}{2})$ को कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर: $x = -1 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $y = -1 \sin(\frac{\pi}{2}) = -1$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु $(0, -1)$ है।
रेखा का समीकरण $y - (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 0)$ अर्थात $\sqrt{3}x - 2y = 2$ है।
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ रखने पर,$\sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta = 2$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि दी गई तीन रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{rrr} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 9 - 5 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(D) रेखाओं का युग्म $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि इन रेखाओं और $a x+b y+c=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज समबाहु है,इसलिए रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $60^{\circ}$ होना चाहिए।
$A x^2+2 H x y+B y^2=0$ रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$ प्राप्त होता है।
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$।
$3(A^2+B^2+2 A B) = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+3 B^2+6 A B = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$।
बाएं पक्ष का गुणनखंड करने पर,हमें $(3 A+B)(A+3 B) = 4 H^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण $\lambda^2 x^2 - m^2 y^2 \mp n(\lambda x + m y) = 0$ हैं।
गुणनखंड करने पर:
$(\lambda x + m y)(\lambda x - m y - n) = 0$
$(\lambda x + m y)(\lambda x - m y + n) = 0$
यह समांतर रेखाओं के दो युग्मों को दर्शाता है:
युग्म $1$: $\lambda x + m y = 0$ और $\lambda x + m y + n = 0$
युग्म $2$: $\lambda x - m y = 0$ और $\lambda x - m y - n = 0$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$c_1 = 0, c_2 = n$ और $d_1 = 0, d_2 = -n$ है।
क्षेत्रफल $= \left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{\lambda(-m) - \lambda(m)} \right| = \frac{n^2}{2|\lambda m|}$ वर्ग इकाई।

(A) $2, 3-$डाइमिथाइलहेक्सेन की संरचना: $CH_3-CH(CH_3)-CH(CH_3)-CH_2-CH_2-CH_3$ है।
$1$. तृतीयक $(3^{\circ})$ कार्बन परमाणु: वे कार्बन जो तीन अन्य कार्बन से जुड़े होते हैं। यहाँ $2$ और $3$ स्थिति वाले कार्बन तृतीयक हैं। कुल $= 2$.
$2$. द्वितीयक $(2^{\circ})$ कार्बन परमाणु: वे कार्बन जो दो अन्य कार्बन से जुड़े होते हैं। यहाँ $4$ और $5$ स्थिति वाले कार्बन द्वितीयक हैं। कुल $= 2$.
$3$. प्राथमिक $(1^{\circ})$ कार्बन परमाणु: वे कार्बन जो केवल एक अन्य कार्बन से जुड़े होते हैं। यहाँ दो मिथाइल समूह और श्रृंखला के दो अंतिम कार्बन प्राथमिक हैं। कुल $= 4$.
अतः,तृतीयक,द्वितीयक और प्राथमिक कार्बन परमाणुओं की संख्या क्रमशः $2, 2, 4$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
मान लीजिए $R_1 = R$ त्रिज्या के लिए आवर्तकाल $T_1$ है और $R_2 = 1.02 R$ त्रिज्या के लिए आवर्तकाल $T_2$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = (1 + 0.02)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2} \times 0.02 = 1 + 0.03 = 1.03$।
इस प्रकार,$T_2 = 1.03 T_1$।
प्रतिशत अंतर $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \frac{1.03 T_1 - T_1}{T_1} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$ है।

(B) पेरोक्साइड की उपस्थिति में प्रोपीन की $HBr$ के साथ अभिक्रिया (खराश प्रभाव) मुक्त मूलक क्रियाविधि द्वारा आगे बढ़ती है।
इस क्रियाविधि में,ब्रोमीन मुक्त मूलक $(\dot{Br})$ द्वि-आबंध पर आक्रमण करके अधिक स्थिर द्वितीयक मुक्त मूलक मध्यवर्ती $(CH_3-\dot{C}H-CH_2Br)$ बनाता है।
यह द्वितीयक मुक्त मूलक फिर $HBr$ से एक हाइड्रोजन परमाणु को ग्रहण करके अंतिम उत्पाद,$1$-ब्रोमोप्रोपेन $(CH_3-CH_2-CH_2Br)$ बनाता है।

(A) जब एसिटिलीन $(C_2H_2)$ को लाल तप्त लोहे की नली से गुजारा जाता है,तो यह चक्रीय बहुलकीकरण (cyclic polymerization) के माध्यम से बेंजीन $(C_6H_6)$ बनाता है,जो यौगिक $X$ है।
$3C_2H_2 \xrightarrow{\text{red hot iron tube}} C_6H_6 (X)$
विकल्प $A$ जिंक डस्ट का उपयोग करके फिनोल का अपचयन दर्शाता है,जो बेंजीन बनाने की एक मानक प्रयोगशाला विधि है:
$C_6H_5OH + Zn \xrightarrow{\text{distillation}} C_6H_6 + ZnO$
अतः,अभिक्रिया $A$ मुख्य उत्पाद के रूप में $X$ प्रदान करती है।

(A) दी गई अभिक्रियाओं से:
$1$. $X + HCl \rightarrow C_2H_5Cl$ (योग अभिक्रिया इंगित करती है कि $X$ एक एल्कीन,$C_2H_4$ है)।
$2$. $Y + HCl \rightarrow C_2H_5Cl$ (प्रतिस्थापन अभिक्रिया इंगित करती है कि $Y$ एक अल्कोहल,$C_2H_5OH$ है)।
$3$. $Y$ $(C_2H_5OH)$ का $X$ $(C_2H_4)$ में रूपांतरण एक निर्जलीकरण अभिक्रिया है।
$4$. इथेनॉल का एथीन में निर्जलीकरण $Al_2O_3$ के साथ $350^{\circ}C$ पर गर्म करने से होता है।
$\underset{(Y)}{C_2H_5OH} \xrightarrow[350^{\circ}C]{Al_2O_3} \underset{(X)}{C_2H_4} + H_2O$

(A) दिए गए समीकरण निकाय:
$2x + y - z = 7$ $(i)$
$x - 3y + 2z = 1$ $(ii)$
$x + 4y - 3z = 5$ $(iii)$
हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम निकाय की संगति की जाँच करते हैं।
माना $D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3) = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
चूँकि $D = 0$ है,निकाय या तो असंगत है या इसके अनंत हल हैं।
आइए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स का उपयोग करके या चरों को विलुप्त करके संगति की जाँच करें।
$(ii) + (iii)$ लेने पर: $(x - 3y + 2z) + (x + 4y - 3z) = 1 + 5 \implies 2x + y - z = 6$.
इसकी तुलना समीकरण $(i)$ से करने पर,जो $2x + y - z = 7$ है,हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है $(6 = 7)$।
अतः,निकाय असंगत है और इसके $0$ हल हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x-1}{2x^2-7x+5}$ जहाँ $x \neq 1$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2-7x+5 = 2x^2-2x-5x+5 = 2x(x-1)-5(x-1) = (2x-5)(x-1)$.
अतः,$x \neq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x-1}{(2x-5)(x-1)} = \frac{1}{2x-5}$.
फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2x-5}, & x \neq 1 \\ -\frac{1}{3}, & x=1 \end{cases}$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2(1+h)-5} - (-\frac{1}{3})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h-3} + \frac{1}{3}}{h}$.
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + (2h-3)}{3h(2h-3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{3h(2h-3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{3(2h-3)}$.
$h=0$ रखने पर,$f'(1) = \frac{2}{3(-3)} = -\frac{2}{9}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।
$f^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज जाँचते हैं।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1+x}$। तब $f^{\prime}(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$। अतः,$f^{\prime}(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{(1+x)^2} = 1$।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1-x}$। तब $f^{\prime}(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$। अतः,$f^{\prime}(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{(1-x)^2} = 1$।
चूँकि $f^{\prime}(0^+) = f^{\prime}(0^-) = 1$ है,इसलिए अवकलज $f^{\prime}(0)$ का अस्तित्व है और इसका मान $1$ है।

(C) दिया गया है,$u(x, y) = y \log x + x \log y$.
सबसे पहले,हम आंशिक अवकलज $u_x$ और $u_y$ ज्ञात करते हैं:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \log x + x \log y) = \frac{y}{x} + \log y$.
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \log x + x \log y) = \log x + \frac{x}{y}$.
अब,व्यंजक $E = u_x u_y - u_x \log x - u_y \log y + \log x \log y$ पर विचार करें।
इस व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है:
$E = u_x(u_y - \log x) - \log y(u_y - \log x) = (u_x - \log y)(u_y - \log x)$.
$u_x$ और $u_y$ के मान रखने पर:
$u_x - \log y = (\frac{y}{x} + \log y) - \log y = \frac{y}{x}$.
$u_y - \log x = (\log x + \frac{x}{y}) - \log x = \frac{x}{y}$.
अतः,$E = (\frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y}) = 1$.

(C) जल का स्वतः-आयनन,$H_2O_{(l)} \rightleftharpoons H^+_{(aq)} + OH^-_{(aq)}$,एक ऊष्माशोषी प्रक्रिया $(\Delta H > 0)$ है।
ला शातेलिए के सिद्धांत के अनुसार,तापमान में वृद्धि साम्यावस्था को दाईं ओर स्थानांतरित करती है,जिससे आयनिक गुणनफल $(K_w)$ का मान बढ़ जाता है।
इसके विपरीत,तापमान में कमी साम्यावस्था को बाईं ओर स्थानांतरित करती है,जिससे $K_w$ का मान कम हो जाता है।
चूंकि तापमान $35^{\circ} C$ से घटाकर $10^{\circ} C$ कर दिया गया है,इसलिए $K_w$ का मान $1.96 \times 10^{-14}$ से कम होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$2.95 \times 10^{-15}$ ही एकमात्र ऐसा मान है जो $1.96 \times 10^{-14}$ से छोटा है।

(B) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 5$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100^{\circ} C$,अंतिम तापमान $T_2 = 120^{\circ} C$,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 80 \ J$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 120^{\circ} C - 100^{\circ} C = 20 \ K$ है।
नियत आयतन पर गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = C_V \Delta T$ है,जहाँ $C_V$ नियत आयतन पर गैस की कुल ऊष्मा धारिता है।
$C_V$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T}$।
मान रखने पर: $C_V = \frac{80 \ J}{20 \ K} = 4 \ J/K$।
अतः,नियत आयतन पर गैस की कुल ऊष्मा धारिता $4 \ J/K$ है।

(A) मान लीजिए कि नत समतल को दिया गया क्षैतिज त्वरण $a$ है। वस्तु को नत समतल के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,क्षैतिज दिशा में वस्तु पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $ma$ को नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
नत समतल के समानांतर बलों का वियोजन करने पर:
नत समतल के अनुदिश छद्म बल $ma$ का घटक $ma \cos \theta$ है।
नत समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ का घटक $mg \sin \theta$ है।
वस्तु के नत समतल के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,ये बल समान होने चाहिए: $ma \cos \theta = mg \sin \theta$.
अतः,$a = g \tan \theta$.
दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{l}$,इसलिए हम $\tan \theta$ ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और कर्ण $l$ है,आसन्न भुजा $\sqrt{l^2 - 1}$ होगी।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
इस मान को $a$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 30 \ ft^3 / min$ है और त्रिज्या $r = 15 \ ft$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $30 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$30 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt} = 900 \pi \frac{dr}{dt}$.
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{900 \pi} = \frac{1}{30 \pi} \ ft / min$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ है।
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+x+\sqrt{x(1+x)} = \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1+x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1+x}$।
$\sqrt{1+x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$।
इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$।
अंश और हर से $(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})$ पद कट जाएगा।
अतः,$I = \int \sqrt{1+x} d x$।
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$।

(C) दिया गया अंतराल $[2,6]$ को $n=4$ समान उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है।
स्टेप साइज $h = \frac{6-2}{4} = 1$ है।
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x^2-x}$ है।
$x_i$ और $y_i = f(x_i)$ के मान इस प्रकार हैं:
$x_0 = 2, y_0 = \frac{1}{2^2-2} = \frac{1}{2} = 0.5$
$x_1 = 3, y_1 = \frac{1}{3^2-3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$
$x_2 = 4, y_2 = \frac{1}{4^2-4} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$
$x_3 = 5, y_3 = \frac{1}{5^2-5} = \frac{1}{20} = 0.05$
$x_4 = 6, y_4 = \frac{1}{6^2-6} = \frac{1}{30} \approx 0.0333$
सिम्पसन के नियम के अनुसार:
$\int_2^6 f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2y_2]$
$\approx \frac{1}{3} [\frac{1}{2} + \frac{1}{30} + 4(\frac{1}{6} + \frac{1}{20}) + 2(\frac{1}{12})]$
$\approx \frac{1}{3} [\frac{16}{30} + 4(\frac{10+3}{60}) + \frac{1}{6}]$
$\approx \frac{1}{3} [\frac{16}{30} + \frac{52}{60} + \frac{5}{30}] = \frac{1}{3} [\frac{32+52+10}{60}] = \frac{94}{180} = \frac{47}{90} \approx 0.5222$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{v^2 - v + 1} - v = \frac{-v^2 - v(v^2 - v + 1)}{v^2 - v + 1} = \frac{-v^2 - v^3 + v^2 - v}{v^2 - v + 1} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$.
अतः,$\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}\right) dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log|v| - \tan^{-1}(v) = -\log|x| + C$.
$\log|v| + \log|x| = \tan^{-1}(v) + C$.
$\log|vx| = \tan^{-1}(v) + C$.
चूंकि $y = vx$,इसलिए $\log|y| = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + C$,अर्थात $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log y + C$.

(D) हमारे पास दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए समीकरण हैं:
$3lm - 4ln + mn = 0$ $\ldots$ $(i)$
$l + 2m + 3n = 0$ $\ldots$ (ii)
समीकरण (ii) से,$l = -(2m + 3n)$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(2m + 3n)m + 4(2m + 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
स्थिति $1$: $m = \sqrt{2}n$. तब $l = -(2\sqrt{2} + 3)n$. दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1) = (-(3 + 2\sqrt{2}), \sqrt{2}, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -\sqrt{2}n$. तब $l = -(-2\sqrt{2} + 3)n = (2\sqrt{2} - 3)n$. दिक्-अनुपात $(l_2, m_2, n_2) = (-(3 - 2\sqrt{2}), -\sqrt{2}, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए:
$\cos \theta = \frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$
अंश का मान $(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1) = (9 - 8) - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ है।
चूंकि अंश $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) माना $P(X=0) = p_0, P(X=1) = p_1, P(X=2) = p_2, P(X=3) = p_3$ है।
दिया गया है कि माध्य $1.3$ है,अतः:
$0 \cdot p_0 + 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 = 1.3$
$p_2 = 0.3$ और $p_3 = 2 p_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 + p_1 + 2(0.3) + 3(2 p_1) = 1.3$
$p_1 + 0.6 + 6 p_1 = 1.3$
$7 p_1 = 0.7 \Rightarrow p_1 = 0.1$
अब,$p_3 = 2 p_1 = 2(0.1) = 0.2$।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$
$p_0 + 0.1 + 0.3 + 0.2 = 1$
$p_0 + 0.6 = 1 \Rightarrow p_0 = 0.4$
अतः,$P(X=0) = 0.4$।

(A) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ वितरण का माध्य है।
दी गई शर्त $P(X=2) = 3 P(X=3)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = 3 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ (चूंकि $e^{-\lambda} \neq 0$) और $\lambda^2$ (मानकर कि $\lambda > 0$) से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{3 \times 2 \times 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{3\lambda}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 1$.
अतः,पॉइसन वितरण का माध्य $1$ है।

(C) माना $E_1$ थैली $X$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $Y$ को चुनने की घटना है। चूंकि थैली को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
थैली $X$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_1) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $Y$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$ है।
$P(W) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) केशिका नली से पानी के प्रवाह की दर पॉइज़ुइल के समीकरण द्वारा दी जाती है: $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$।
इसे दाबांतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $p = V \left( \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \right) = V R_h$,जहाँ $R_h = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ हाइड्रोलिक प्रतिरोध है।
पहली नली के लिए,$R_1 = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$।
दूसरी नली के लिए,$R_2 = \frac{8 \eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4 / 16} = 16 R_1$।
श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल दाबांतर $p$ दाबांतरों का योग होता है: $p = p_1 + p_2 = V' R_1 + V' R_2$,जहाँ $V'$ नई प्रवाह दर है।
चूंकि $p = V R_1$,इसलिए $V R_1 = V' (R_1 + 16 R_1) = V' (17 R_1)$।
अतः,$V' = \frac{V}{17}$।

(D) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दो प्रारंभिक बुलबुलों के लिए,अतिरिक्त दबाव $p_1 = \frac{4T}{r_1}$ और $p_2 = \frac{4T}{r_2}$ हैं।
इन बुलबुलों का आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ और $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$ है।
मान लीजिए कि परिणामी बुलबुले की त्रिज्या $R$ है। इसके अंदर अतिरिक्त दबाव $p = \frac{4T}{R}$ है और इसका आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत,गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूँकि $PV = nRT$ होता है,और $T$ स्थिर है,इसलिए गुणनफल $PV$ संरक्षित रहता है (यह मानते हुए कि निर्वात में बाहरी दबाव शून्य है)।
अतः,$PV = p_1V_1 + p_2V_2$.
मान रखने पर: $\frac{4T}{R} \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) = \frac{4T}{r_1} \left( \frac{4}{3}\pi r_1^3 \right) + \frac{4T}{r_2} \left( \frac{4}{3}\pi r_2^3 \right)$.
इसे सरल करने पर,हमें $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(D) दी गई द्रव्यमान क्षति,$\Delta m = 0.3 ~g = 0.3 \times 10^{-3} ~kg = 3 \times 10^{-4} ~kg$.
प्रकाश का वेग,$c = 3 \times 10^8 ~m/s$.
मुक्त हुई ऊर्जा आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = \Delta m c^2$ द्वारा दी जाती है।
$E = (3 \times 10^{-4} ~kg) \times (3 \times 10^8 ~m/s)^2$.
$E = 3 \times 10^{-4} \times 9 \times 10^{16} ~J = 27 \times 10^{12} ~J$.
जूल को किलोवाट घंटा $(kWh)$ में बदलने के लिए,हम इसे $3.6 \times 10^6 ~J/kWh$ से विभाजित करते हैं।
$E = \frac{27 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} ~kWh = 7.5 \times 10^6 ~kWh$.

(C) प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन का कोण $\delta_m = A$ है,इसलिए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = \frac{\sin(2A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = 2 \cos(A/2)$.
अतः,$\cos(A/2) = \mu/2$.
दोनों पक्षों का प्रतिलोम कोज्या (inverse cosine) लेने पर,$A/2 = \cos^{-1}(\mu/2)$.
इस प्रकार,$A = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$.

(C) जब मैग्नीशियम बाइकार्बोनेट के जलीय घोल को उबाला जाता है,तो यह तापीय अपघटन के माध्यम से मैग्नीशियम हाइड्रॉक्साइड,कार्बन डाइऑक्साइड और पानी बनाता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$Mg(HCO_3)_{2(aq)} \xrightarrow{\Delta} Mg(OH)_{2(s)} + 2CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$

(C) $1$. जब $Na_2O$ और $CaO$ को पानी में घोला जाता है,तो वे अपने संबंधित हाइड्रॉक्साइड बनाते हैं: $Na_2O + H_2O \rightarrow 2NaOH$ और $CaO + H_2O \rightarrow Ca(OH)_2$
$2$. जब इस घोल को अतिरिक्त $CO_2$ के साथ संतृप्त किया जाता है,तो हाइड्रॉक्साइड बाइकार्बोनेट बनाने के लिए प्रतिक्रिया करते हैं: $NaOH + CO_2 \rightarrow NaHCO_3$ और $Ca(OH)_2 + 2CO_2 \rightarrow Ca(HCO_3)_2$
$3$. $NaHCO_3$ और $Ca(HCO_3)_2$ दोनों पानी में घुलनशील हैं।
$4$. परिणामी घोल में ये बाइकार्बोनेट होते हैं,जो अतिरिक्त घुले हुए $CO_2$ (कार्बोनिक एसिड बनाना) और बाइकार्बोनेट लवणों की प्रकृति के कारण घोल को थोड़ा अम्लीय बनाते हैं।

(C) सल्फर के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है: $S(s) + O_2(g) \longrightarrow SO_2(g)$.
अभिक्रिया की रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$1 \ mol$ $S$,$1 \ mol$ $O_2$ के साथ अभिक्रिया करता है।
$STP$ पर,किसी भी गैस का $1 \ mol$,$22.4 \ L$ आयतन घेरता है।
इसलिए,$1 \ mol$ $S$ के लिए $22.4 \ L$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
$1.5 \ mol$ $S$ के लिए आवश्यक $O_2$ का आयतन: $1.5 \ mol \times 22.4 \ L/mol = 33.6 \ L$.

(C) दिए गए वेग: $C_1 = 100 \ ms^{-1}, C_2 = 200 \ ms^{-1}, C_3 = 500 \ ms^{-1}$.
रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वेग का सूत्र: $C_{rms} = \sqrt{\frac{C_1^2 + C_2^2 + C_3^2}{n}}$.
मान रखने पर: $C_{rms} = \sqrt{\frac{100^2 + 200^2 + 500^2}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{10000 + 40000 + 250000}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{300000}{3}} = \sqrt{100000}$.
$C_{rms} = 100 \sqrt{10} \ ms^{-1}$.

(C) कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर वैद्युत बल संतुलन से,$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$,जिसका अर्थ है $mv^2 = \frac{e^2}{r}$।
इसे गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $KE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = \frac{-e^2}{r}$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = KE + PE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r} - \frac{e^2}{r} = \frac{-e^2}{2r}$।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E$ को $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\lambda = 2000 \ \text{Å} = 2000 \times 10^{-8} \ \text{cm} = 2 \times 10^{-5} \ \text{cm}$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{10} \ \text{cm/s}$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}$.
आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{10}}{2 \times 10^{-5}} = 1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}$.
ऊर्जा $E = h \nu = (6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}) \times (1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}) \approx 9.94 \times 10^{-12} \ \text{erg}$.

(C) मीथेन की दहन अभिक्रिया है: $CH_4(g) + 2O_2(g) \longrightarrow CO_2(g) + 2H_2O(l)$.
दिया गया है कि $10 \ g$ $CH_4$ के दहन से $560 \ kJ$ ऊष्मा निकलती है,इसलिए $\Delta H = -560 \ kJ$.
मीथेन $(CH_4)$ का मोलर द्रव्यमान $12 + (4 \times 1) = 16 \ g \ mol^{-1}$ है।
दहन ऊष्मा को प्रति मोल पदार्थ के लिए उत्सर्जित ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$10 \ g$ $CH_4$ के लिए,$\Delta H = -560 \ kJ$.
$1 \ g$ $CH_4$ के लिए,$\Delta H = \frac{-560}{10} \ kJ$.
$16 \ g$ $(1 \ mole)$ $CH_4$ के लिए,$\Delta H = \frac{-560}{10} \times 16 = -896 \ kJ \ mol^{-1}$.