TS EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આયર્ન સલ્ફાઇડની ઓક્સિજન સાથેની પ્રક્રિયા: $2FeS + 3O_2 \rightarrow 2FeO + 2SO_2$ $(A)$.
જ્યારે $SO_2$ $(A)$ ને પાણીમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે સલ્ફ્યુરસ એસિડ બનાવે છે: $SO_2 + H_2O \rightarrow H_2SO_3$.
સલ્ફ્યુરસ એસિડ $(H_2SO_3)$ એ ડાયપ્રોટિક એસિડ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં બે વિસ્થાપનીય હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ છે.
તેથી,$H_2SO_3$ ની બેઝિસિટી $2$ છે.

(C) વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે બ્રોન્સ્ટેડ-લોરી સિદ્ધાંત એસિડને પ્રોટોન દાતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે,પરંતુ $BCl_3$ એ લુઈસ એસિડ છે જે ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સ્વીકારે છે,પ્રોટોન નહીં.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે $0.01 \ M \ NaOH$ માટે,$[OH^-] = 10^{-2} \ M$,તેથી $pOH = 2$ અને $pH = 14 - 2 = 12$.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $25^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનો આયનીય ગુણાકાર $(K_w)$ $1.0 \times 10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $pH$ ની વ્યાખ્યા $pH = -\log [H^+]$ છે.

(A) પગલું $1$: મિશ્રણમાં $HCl$ ના કુલ મોલની ગણતરી કરો.
$n_1 = M_1 \times V_1 = 0.2 \ M \times 0.075 \ L = 0.015 \ mol$
$n_2 = M_2 \times V_2 = 1 \ M \times 0.025 \ L = 0.025 \ mol$
કુલ મોલ $n = n_1 + n_2 = 0.015 + 0.025 = 0.040 \ mol$
પગલું $2$: અંતિમ દ્રાવણના કુલ કદની ગણતરી કરો.
$V_{total} = 75 \ mL + 25 \ mL + 300 \ mL = 400 \ mL = 0.4 \ L$
પગલું $3$: $HCl$ ની અંતિમ મોલારિટીની ગણતરી કરો.
$M_{final} = \frac{n}{V_{total}} = \frac{0.040 \ mol}{0.4 \ L} = 0.1 \ M$
પગલું $4$: $pH$ ની ગણતરી કરો.
$[H^+] = 0.1 \ M = 10^{-1} \ M$
$pH = -\log_{10}[H^+] = -\log_{10}(10^{-1}) = 1$

(C) આપેલ છે: ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$. ચોખ્ખા બળ $F$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ નો ગુણોત્તર $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ છે.
સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = mg \sin \theta - f$ છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
લંબ પ્રતિક્રિયા $R = mg \cos \theta$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\mu = 0.5$ આપેલ હોવાથી:
$\tan \theta - 0.5 = 0.5$
$\tan \theta = 1$
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(C) ધારો કે પદાર્થ $P$ બિંદુએ અર્ધગોળાની સપાટી છોડે છે. આ બિંદુએ,ત્રિજ્યા સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$P$ બિંદુએ પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) છે.
કેન્દ્ર તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$.
આપેલ કિંમતો $v = 5 \ m/s$,$r = 5 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$ મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.4 \text{ \AA} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$, ઝડપ $v = 10^6 \text{ m/s}$, વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત પ્રવાહ $i = \frac{q}{T}$ ઉત્પન્ન કરે છે, જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi r}{v}$, તેથી $i = \frac{qv}{2\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (2 \times 10^{-3} / \pi)}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}}$.
$B = \frac{4 \times 2 \times 10^{-10}}{0.8 \times 10^{-10}} = \frac{8}{0.8} = 10 \text{ T}$.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે ડોમેન થિયરીનો ઉપયોગ ફેરોમેગ્નેટિઝમ (લોહચુંબકત્વ) સમજાવવા માટે થાય છે,પેરામેગ્નેટિઝમ માટે નહીં.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે,કારણ કે તે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે જે ઉષ્મીય આંદોલનથી નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થતી નથી.

(C) ભૌતિક રાશિ $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$.
હવે,આપણે દરેક પદનો પ્રતિશત ત્રુટિમાં ફાળો ગણીએ:
$A$ નો ફાળો = $2 \times (2\%) = 4\%$.
$B$ નો ફાળો = $1 \times (2\%) = 2\%$.
$C$ નો ફાળો = $\frac{1}{3} \times (4\%) = 1.33\%$.
$D$ નો ફાળો = $3 \times (5\%) = 15\%$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$X$ ની પ્રતિશત ત્રુટિમાં ન્યૂનતમ ફાળો $C$ $(1.33\%)$ દ્વારા મળે છે.

(D) $\sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{7}, \sqrt[3]{8}$ સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને ઘાતાંક સ્વરૂપમાં ફેરવીએ: $4^{1/3}, 5^{1/4}, 7^{1/4}, 8^{1/3}$.
છેદ $3$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
દરેક સંખ્યાને $12$ ની ઘાત તરીકે લઈએ:
$(4^{1/3})^{12} = 4^4 = 256$
$(5^{1/4})^{12} = 5^3 = 125$
$(7^{1/4})^{12} = 7^3 = 343$
$(8^{1/3})^{12} = 8^4 = 4096$
$256, 125, 343, 4096$ ની સરખામણી કરતા,સૌથી નાની કિંમત $125$ છે,જે $\sqrt[4]{5}$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $6^x = 7^{x+4}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log(6^x) = \log(7^{x+4})$
$x \log 6 = (x+4) \log 7$
$x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
$x(\log 2 + \log 3) - x \log 7 = 4 \log 7$
$x(\log 2 + \log 3 - \log 7) = 4 \log 7$
આપેલ કિંમતો $\log 2=a, \log 3=b, \log 7=c$ મૂકતા:
$x(a+b-c) = 4c$
$x = \frac{4c}{a+b-c}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \ldots$ છે.
ધારો કે $u = x \log _e a$.
તેથી આપેલી શ્રેણી $1 + (x \log _e a) + \frac{(x \log _e a)^2}{2!} + \frac{(x \log _e a)^3}{3!} + \ldots$ બને છે.
આ $e^{x \log _e a}$ ને સમાન છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log _e m = \log _e m^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x \log _e a = \log _e a^x$ મળે છે.
તેથી,$e^{\log _e a^x} = a^x$ થાય.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{2^n-1}{n !} = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$.
તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$.
આમ,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ અને $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$.
$(a-b)\alpha + (b-a) = 0$.
$(a-b)\alpha = (a-b)$.
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$(a-b)$ વડે ભાગતા $\alpha = 1$ મળે.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $1^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
તેથી,$a + b = -1$.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ સમીકરણ $x^2+kx-24=0$ નું બીજ છે.
$x=3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.
હવે,$k=5$ અને $x=3$ મૂકીને વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2-kx+6=0$
$x=3$ અને $k=5$ મૂકતા:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
આમ,$3$ એ $x^2-kx+6=0$ નું પણ બીજ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4-x^2+x-1=0$ છે.
ધારો કે $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ એક બીજ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેનો અનુબદ્ધ $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ પણ બીજ હશે.
બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = 1$ અને ગુણાકાર $\alpha\beta = 1$ થાય.
તેથી દ્વિઘાત અવયવ $x^2-x+1=0$ મળે.
$x^4-x^2+x-1$ ને $x^2-x+1$ વડે ભાગતા,આપણને $(x^2+x-1)$ મળે.
વાસ્તવિક બીજ $x^2+x-1=0$ પરથી મળે છે,જે $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+2i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,કાલ્પનિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = 0$.
$0 < \theta < 2\pi$ આપેલ હોવાથી,એકમાત્ર ઉકેલ $\theta = \pi$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયની વ્યાખ્યા $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ છે.
$z = ix$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
તેથી,$\sinh(ix) = i \sin x$.

(C) ઉપલબ્ધ એકી અંકોનો સમૂહ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
આ $5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો તે સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય ગણાય.
જો છેલ્લો અંક $5$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય.
$5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $5$-અંકની સંખ્યાઓ $= 4! = 24$.
તેથી,$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી $5$-અંકની સંખ્યાઓ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$.

(C) તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ (વેલોસિટી ઓફ ઇફ્લક્સ) ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gd}$ છે.
પ્રવાહી જે ઊભી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે તે $h$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ પરથી મળે છે,જે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ થાય છે.
આડી અવધિ (Horizontal range) $R$ એ આડા વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t$
$R = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$R = \sqrt{2gd \times \frac{2h}{g}}$
$R = \sqrt{4dh}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 = 4dh$ મળે છે.
તેથી,$d = \frac{R^2}{4h}$.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક વ્યાસ $d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$.
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.14 \times 10^{-3} \ m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.07 \ N/m$.
પાણી માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$,તેથી $\cos \theta = 1$.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,કેશિકામાં પાણીનો વધારો $h = \frac{2T}{r \rho g}$ દ્વારા મળે છે.
મેનિસ્કસની બંને બાજુ દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{2T}{r}$ છે.
નળીમાં પાણીની સપાટી પાત્રમાં રહેલી સપાટી જેટલી જ રાખવા માટે,આપણે કેશિકા દબાણના તફાવત જેટલું બાહ્ય દબાણ લગાડવું પડે.
$\Delta P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
કેશિકામાં પાણીની સપાટી વાતાવરણના દબાણની સાપેક્ષમાં આ દબાણ દ્વારા નીચે દબાયેલી હોવાથી,સપાટી જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કુલ દબાણ એ વાતાવરણનું દબાણ અને કેશિકા દબાણનો સરવાળો છે:
$P_{total} = P_{atm} + \Delta P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(D) સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t = 36t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 36 \ m/s$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 48t - 4.9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = 48 \ m/s$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ એ વેગ સદિશના મૂલ્ય દ્વારા મળે છે: $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $u = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60 \ m/s$.

(A) આપેલ છે: ન્યુટ્રોનનું દળ $m_n = 1.00893 \ amu$,પ્રોટોનનું દળ $m_p = 1.00813 \ amu$,અને ડ્યુટેરોનનું દળ $m_d = 2.01473 \ amu$.
ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ $(^2_1H)$ એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473$
$\Delta m = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \ amu$.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ દળ ક્ષતિ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ નો ગુણોત્તર છે.
ડ્યુટેરોન માટે,$A = 2$.
$\text{પેકિંગ ફ્રેક્શન} = \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.

(C) પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન $(p-n)$,પ્રોટોન-પ્રોટોન $(p-p)$ અને ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન $(n-n)$ વચ્ચે લાગતું ન્યુક્લિયર બળ લગભગ સમાન અને વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
ન્યુટ્રોન રિપ્રોડક્શન ફેક્ટર $k$ એ એક પેઢીમાં ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા અને અગાઉની પેઢીના ન્યુટ્રોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે. જો $k > 1$ હોય,તો શૃંખલા પ્રક્રિયા સુપરક્રિટિકલ બને છે અને વિખંડનનો દર વધે છે,એટલે કે પ્રક્રિયા પ્રવેગિત અવસ્થામાં હોય છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.

(D) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
જ્યારે સળિયાને ત્રણ સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{M}{3}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{I}{9}$ થાય છે (સળિયાના છેડા પરથી અક્ષ લેતા).
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3) H}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
આમ,$T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.

(A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $F = -kx$ બળ હેઠળ $SHM$ કરે છે,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
અહીં $k = m\omega^2 = m(\frac{2\pi}{T})^2$ હોવાથી,બળ અચળાંક $k$ એ $\frac{1}{T^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$k_1 \propto \frac{1}{T_1^2}$ અને $k_2 \propto \frac{1}{T_2^2}$.
જ્યારે બંને બળો એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{T^2} = (\frac{5}{4})^2 + (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{16} + \frac{25}{9}$.
$\frac{1}{T^2} = 25 \times (\frac{9+16}{144}) = 25 \times \frac{25}{144} = \frac{625}{144}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{T} = \frac{25}{12}$,તેથી $T = \frac{12}{25} \ s$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 v^2 = 25 - x^2$.
$4$ વડે ભાગતા: $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $v^2 = \frac{1}{4} (25 - x^2)$ મળે છે.
અહીં,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi \text{ s}$.

(A) થર્મિટ પ્રક્રિયામાં એલ્યુમિનિયમ $(Al)$ પાવડર દ્વારા ફેરિક ઓક્સાઇડ $(Fe_2O_3)$ નું રિડક્શન થાય છે. સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ છે:
$Fe_2O_3 + 2Al \rightarrow 2Fe + Al_2O_3$
પ્રક્રિયાના સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$1$ મોલ $Fe_2O_3$ એ $2$ મોલ $Al$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
જોકે,વેલ્ડિંગ માટે વપરાતા થર્મિટ મિશ્રણમાં,દળ દ્વારા ગુણોત્તર સામાન્ય રીતે $3$ ભાગ ફેરિક ઓક્સાઇડ અને $1$ ભાગ એલ્યુમિનિયમ પાવડર હોય છે.
તેથી,$X = 3$ અને $Y = 1$.

(A) બોક્સાઈટ $(Al_2O_3)$ ની કોક $(C)$ અને નાઈટ્રોજન $(N_2)$ સાથે $2075 \ K$ તાપમાને પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$Al_2O_3 + 3C + N_2 \xrightarrow{2075 \ K} 2AlN + 3CO$
અહીં,$X$ એ એલ્યુમિનિયમ નાઈટ્રાઈડ $(AlN)$ છે.
જ્યારે $AlN$ પાણી સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે એમોનિયા વાયુ $(NH_3)$ ઉત્પન્ન કરે છે:
$AlN + 3H_2O \longrightarrow Al(OH)_3 + NH_3 \uparrow$

(B) જ્યારે એમોનિયા વધારાના ક્લોરિન સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે નાઇટ્રોજન ટ્રાયક્લોરાઇડ $(NCl_3)$ અને હાઇડ્રોજન ક્લોરાઇડ $(HCl)$ બને છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$NH_3 + 3Cl_2 \text{ (excess)} \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$

(D) જ્યારે એમોનિયા વધારાના ક્લોરિન સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે પ્રક્રિયા નીચે મુજબ થાય છે:
$NH_3 + 3Cl_2 \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$
આમ,મળતી નીપજો નાઇટ્રોજન ટ્રાયક્લોરાઇડ $(NCl_3)$ અને હાઇડ્રોજન ક્લોરાઇડ $(HCl)$ છે.

(A) ફ્લોરિનની ગરમ સાંદ્ર $KOH$ સાથેની પ્રક્રિયા માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$2 F_2 + 4 KOH \longrightarrow 4 KF + 2 H_2O + O_2$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$KF : H_2O : O_2$ નો મોલર ગુણોત્તર $4 : 2 : 1$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2 : 1 : 0.5$ ગુણોત્તર મળે છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{2}$ થાય.
અહીં,$n = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.

(A) ધારો કે જૂના યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y')$ છે. $\theta$ ખૂણે અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો છે:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,અને $y' = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = 1 + 2\sqrt{2}$
તેથી,જૂની પદ્ધતિમાં યામ $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
તે $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2^2 + 0^2 + 2g(2) + 2f(0) + 0 = 0$,જે $4 + 4g = 0$ આપે છે,તેથી $g = -1$.
તે $(0,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + (-2)^2 + 2g(0) + 2f(-2) + 0 = 0$,જે $4 - 4f = 0$ આપે છે,તેથી $f = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(k,-2)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$x = k$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k^2 - 2k = 0$
$k(k - 2) = 0$.
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$k$ ની કિંમત $0$ ન હોઈ શકે.
તેથી,$k = 2$.

(B) આપેલ રેખા $2x - 3y + 7 = 0$ છે.
આપેલ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા $3x = -k$,તેથી $x = -k/3$ મળે.
$x = 0$ લેતા $2y = -k$,તેથી $y = -k/2$ મળે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x| |y| = 3$ છે.
$\frac{1}{2} |-\frac{k}{3}| |-\frac{k}{2}| = 3$.
$\frac{k^2}{12} = 3$ $\Rightarrow k^2 = 36$ $\Rightarrow k = \pm 6$.
$k$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $3x + 2y = \pm 6$ મળે છે.

(C) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
યામ અક્ષો એ દ્વિભાજક હોવાથી,તેમનું સમીકરણ $xy = 0$ છે.
આમ,યામ અક્ષો દ્વિભાજક બનવા માટેની શરત $a + b = 0$ અને $h \neq 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2(\cos \theta - \sin \theta) + 2xy \cos \theta + y^2(\cos \theta + \sin \theta) = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \cos \theta - \sin \theta$,$h = \cos \theta$,અને $b = \cos \theta + \sin \theta$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના લઘુકોણ $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$h^2 - ab = \cos^2 \theta - (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) = \sin^2 \theta$.
$a + b = 2 \cos \theta$.
તેથી,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
$2 \theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\alpha = \theta$ થાય.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy-x-y+1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $x(y-1)-1(y-1)=0$,જે $(x-1)(y-1)=0$ આપે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x=1$ અને $y=1$.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
રેખાઓ $ax+2y-3a=0$ સાથે સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ રેખા $ax+2y-3a=0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $a(1)+2(1)-3a=0$.
$a+2-3a=0$.
$-2a+2=0$.
$2a=2$.
$a=1$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy-x-y+1=0$ છે.
આને $x(y-1)-1(y-1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય,જે $(x-1)(y-1)=0$ આપે છે.
બે રેખાઓ $x-1=0$ અને $y-1=0$ છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
કારણ કે રેખાઓ $ax+2y-3a=0$ સાથે સંગામી છે,તેથી બિંદુ $(1, 1)$ એ રેખા $ax+2y-3a=0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a(1)+2(1)-3a=0$
$a+2-3a=0$
$-2a+2=0$
$2a=2$
$a=1$

(B) વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર બંને અક્ષોથી $5$ એકમ અંતરે હોવું જોઈએ.
ત્રીજા ચરણમાં,$x$ અને $y$ બંને યામ ઋણ હોય છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-5, -5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$h = -5$,$k = -5$,અને $r = 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ રેખા $4x + 3y - 12 = 0$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
$|7r - 12| = 5r$
આના બે કિસ્સા મળે છે:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
પ્રશ્નમાં મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા પૂછી છે,જે $r = 6$ છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. ઉગમબિંદુથી અંતર $c$ હોવાથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a/2, b/2) = (x, y)$ છે. તેથી $a=2x, b=2y$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $ S(3,0) $ છે અને નિયામિકા $ x+3=0 $ છે. ધારો કે $ P(x, y) $ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$ P $ થી નાભિ $ S $ નું અંતર એ $ P $ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$ SP^2 = PM^2 $
$ (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2 $
$ y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2 $
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$ y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3) $
$ y^2 = (2x)(6) $
$ y^2 = 12x $

(C) ધારો કે નાભિગત જીવા નાભિ $S(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ ને જોડે છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ છે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$0 = 2a + 2at_1t_2$,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 = -1$.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની સાપેક્ષમાં આ જીવાનો ધ્રુવ છે.
$(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે,અથવા $yy_1 - 2ax = 2ax_1$.
આને જીવાના સમીકરણ $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{t_1 + t_2}{y_1} = \frac{-2}{-2a} = \frac{2at_1t_2}{2ax_1}$
$\frac{-2}{-2a} = \frac{2at_1t_2}{2ax_1}$ પરથી,આપણને $x_1 = at_1t_2$ મળે છે.
કારણ કે $t_1t_2 = -1$,તેથી $x_1 = -a$.
આમ,ધ્રુવનો બિંદુપથ $x = -a$ છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ ના સહગુણક માટે,ઘાત $1$ લેતા:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \implies r = 3$
હવે,$r=3$ મુકતા:
$x$ નો સહગુણક $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
આપેલ છે કે સહગુણક $270$ છે:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p$ મું પદ $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $p = { }^n C_{p-1}$ છે.
$(p+1)$ મું પદ $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $q = { }^n C_p$ છે.
આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
અહીં,$\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$.
તેથી,$q = \frac{p(n-p+1)}{p} = n-p+1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $p+q = n+1$ મળે છે.

(C) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1+x+x^2)^n$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
તેથી,સહગુણકોનો સરવાળો $3^n$ થાય છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^2 + 9y^2 = 45$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $5x^2 - 4y^2 = 45$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = \frac{45}{4}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x+4y-4=0$ છે,જે $lx+my+n=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $l=1, m=4, n=-4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=4$ અને $b^2=1$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સંદર્ભમાં રેખા $lx+my+n=0$ ના ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર:
$x_1 = \frac{-a^2l}{n}$ અને $y_1 = \frac{-b^2m}{n}$.
કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = \frac{-(4)(1)}{-4} = 1$
$y_1 = \frac{-(1)(4)}{-4} = 1$
આમ,ધ્રુવ $(1,1)$ છે.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$
$8r$ વડે ગુણતા:
$8 = r + 3r \cos \theta$
$x = r \cos \theta$ અને $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ હોવાથી:
$r = 8 - 3x$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 - 48x + 9x^2$
પદોને ગોઠવતા:
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$
આ સમીકરણ $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે ($8$ અને $-1$).
તેથી,તે અતિવલય દર્શાવે છે.