TS EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $NH_4^{+}$ નો સંયુગ્મી બેઝ તેમાંથી પ્રોટોન $(H^{+})$ દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$NH_4^{+} \rightarrow NH_3 + H^{+}$.
સંયુગ્મી બેઝ $NH_3$ છે.
$NH_3$ માં,મધ્યસ્થ નાઇટ્રોજન પરમાણુ પાસે $3$ બંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ અને $1$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ = $3 + 1 = 4$.
તેથી,નાઇટ્રોજન પરમાણુની સંકરણ અવસ્થા $sp^3$ છે.

(B) આયનિક બંધ વિરુદ્ધ વીજભાર ધરાવતા આયનો વચ્ચેના સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ દ્વારા બને છે,જ્યારે સહસંયોજક બંધ પરમાણુઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનની ભાગીદારી દ્વારા બને છે.
$K_2SO_4$ (પોટેશિયમ સલ્ફેટ) માં,સંયોજન $K^+$ આયનો અને $SO_4^{2-}$ બહુપરમાણ્વીય આયનોનું બનેલું છે,જે આયનિક બંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.
સલ્ફેટ આયન $(SO_4^{2-})$ ની અંદર,સલ્ફર પરમાણુ ચાર ઓક્સિજન પરમાણુઓ સાથે સહસંયોજક રીતે જોડાયેલ હોય છે.
તેથી,$K_2SO_4$ માં આયનિક બંધ ($K^+$ અને $SO_4^{2-}$ વચ્ચે) અને સહસંયોજક બંધ ($SO_4^{2-}$ આયનની અંદર) બંને હાજર હોય છે.

(C) સંતુલન સમયે,પુરોગામી પ્રક્રિયાનો વેગ $=$ પ્રતિગામી પ્રક્રિયાનો વેગ.
તેથી,સંતુલન સમયે પ્રતિગામી પ્રક્રિયાનો વેગ $0.02 \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ થશે.

(C) પ્રક્રિયા $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \longrightarrow 2NH_{3(g)}$ માટે,પ્રક્રિયાનો વેગ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
વેગ $= -\frac{d[N_2]}{dt} = -\frac{1}{3} \frac{d[H_2]}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d[NH_3]}{dt}$.
આપેલ છે કે $-\frac{d[N_2]}{dt} = 0.02 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
$N_2$ અને $H_2$ ના પદોને સરખાવતા:
$-\frac{d[N_2]}{dt} = -\frac{1}{3} \frac{d[H_2]}{dt}$.
તેથી,$-\frac{d[H_2]}{dt} = 3 \times (-\frac{d[N_2]}{dt})$.
$-\frac{d[H_2]}{dt} = 3 \times 0.02 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1} = 0.06 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.

(C) વિદ્યુતઋણતા સામાન્ય રીતે આવર્તમાં ડાબેથી જમણે જતાં વધે છે અને સમૂહમાં ઉપરથી નીચે જતાં ઘટે છે.
$N$ (નાઈટ્રોજન),$O$ (ઓક્સિજન) અને $P$ (ફોસ્ફરસ) તત્વોની સરખામણી કરતાં:
$1$. $N$ અને $O$ એ $2^{nd}$ આવર્તમાં છે,જ્યારે $P$ એ $3^{rd}$ આવર્તમાં છે.
$2$. $2^{nd}$ આવર્તમાં,વિદ્યુતઋણતા $N < O$ મુજબ વધે છે.
$3$. $P$ એ $N$ ની નીચે એક જ સમૂહ ($15^{th}$ સમૂહ) માં છે,તેથી $N > P$.
$4$. આ બંનેને જોડતાં,પાઉલિંગ સ્કેલ પર વિદ્યુતઋણતાના મૂલ્યો આશરે: $O (3.44) > N (3.04) > P (2.19)$ છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $O > N > P$ છે.

(C) ડાઉન્સ પ્રક્રિયામાં,પીગળેલા સોડિયમ ક્લોરાઇડ $(NaCl)$ નું વિદ્યુતવિભાજન કરવામાં આવે છે.
એનોડ પર,ક્લોરાઇડ આયનો $(Cl^{-})$ નું ક્લોરિન વાયુ $(Cl_2)$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1-x+6x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x}$.
બંને બાજુ $x(1-x)(1+x)$ વડે ગુણતા:
$1-x+6x^2 = A(1-x^2) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$.
$A$ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$1 - 0 + 6(0)^2 = A(1 - 0^2) + B(0)(1+0) + C(0)(1-0)$.
$1 = A(1) + 0 + 0$.
તેથી,$A = 1$.

(B) આપેલ ઘન સમીકરણ $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ઘન સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,અને $d = -1$ છે.
તેથી,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$.
આપણે $(\Sigma \alpha \beta)^2$ શોધવાનું છે.
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
પદોને જોડતા:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}$.
વિયેટાના સૂત્રોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$.
ધન વાસ્તવિક બીજ માટે,આપણે $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$ માં ચિહ્નોના ફેરફાર તપાસીએ છીએ. ચિહ્નો $(+, -, -, +)$ છે. અહીં $2$ વાર ચિહ્ન બદલાય છે.
ઋણ વાસ્તવિક બીજ માટે,આપણે $f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ માં ચિહ્નોના ફેરફાર તપાસીએ છીએ. ચિહ્નો $(-, -, +, +)$ છે. અહીં $1$ વાર ચિહ્ન બદલાય છે.
ડેસકાર્ટસના ચિહ્નોના નિયમ મુજબ,ધન વાસ્તવિક બીજની મહત્તમ સંખ્યા $2$ છે અને ઋણ વાસ્તવિક બીજની મહત્તમ સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક બીજની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ છે.
બીજું પદ ($x^{n-1}$ વાળું પદ) દૂર કરવા માટે,આપણે બીજને $h$ વડે ઘટાડવા પડે,જ્યાં $h = -\frac{a_1}{n a_0}$ છે.
અહીં,$n=4$,$a_0=1$,અને $a_1=-8$ છે.
તેથી,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$.
આમ,બીજને $2$ વડે ઘટાડવા જોઈએ.

(D) આપેલ છે કે $z = 3 + 5i$.
તેથી,અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 3 - 5i$ થાય.
હવે,$z^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$z^2 = (3 + 5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
અંતે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198 + 3) + (10i - 5i) = 3 + 5i$.

(A) આપેલ છે કે $x_n = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
ગુણાકાર $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
ઘાતાંકમાં રહેલ શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં $a = \frac{1}{4}$ અને $r = \frac{1}{4}$ છે.
તેનો સરવાળો $S = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$P = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(A) આપણી પાસે છે,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\left|x+i(y+\frac{1}{2})\right|^2 = \left|x+i(y-\frac{1}{2})\right|^2$.
ગુણધર્મ $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^2+(y+\frac{1}{2})^2 = x^2+(y-\frac{1}{2})^2$.
$x^2+y^2+y+\frac{1}{4} = x^2+y^2-y+\frac{1}{4}$.
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y=0$.
તેથી,$z$ નો બિંદુપથ $x$-અક્ષ છે.

(B) નિત્યસમ $C(n, r) + C(n, r-1) = C(n+1, r)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $C(n, 5) + C(n, 6) = C(n+1, 6)$.
આપેલ અસમતા $C(n+1, 6) > C(n+1, 5)$ છે.
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{6!(n+1-6)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n+1-5)!}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$.
$\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$.
$\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$.
$n-4 > 6$.
$n > 10$.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $11$ છે.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ માં $a, b, c$ બાજુઓ છે અને $p_1, p_2, p_3$ અનુરૂપ વેધ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
આથી $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ મળે.
આપેલ છે કે $p_1, p_2, p_3$ એ $AP$ માં છે,તેથી $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $AP$ માં છે.
$2\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $AP$ માં છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો પદોના વ્યસ્ત $AP$ માં હોય,તો તે પદો $HP$ માં હોય.
તેથી,$a, b, c$ એ $HP$ માં છે.

(A) ધારો કે $T_n$ એ $n$ મા ગણનું પ્રથમ પદ છે. પ્રથમ પદો $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ છે.
આ એક શ્રેણી છે જેમાં તફાવત $1, 2, 3, 4, \ldots$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$50$ મા ગણ માટે,$n=50$,તેથી $T_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$.
$50$ મા ગણમાં $1226$ થી શરૂ થતા $50$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.
આ $50$ પદોનો સરવાળો $S = \frac{50}{2} [2(1226) + (50-1)(1)] = 25 [2452 + 49] = 25 \times 2501 = 62525$ થાય.

(A) ફ્લોરોસિસ શરીરમાં ફ્લોરાઈડના વધુ પડતા સંચયને કારણે થાય છે. આ વધારાનું ફ્લોરાઈડ હાડકાં અને દાંતમાં રહેલા કેલ્શિયમ $(Ca)$ સાથે પ્રતિક્રિયા કરીને કેલ્શિયમ ફ્લોરાઈડ $(CaF_2)$ બનાવે છે,જે ફ્લોરોસિસ તરીકે ઓળખાતા રોગ તરફ દોરી જાય છે.
પ્રતિક્રિયા: $Ca + F_2 \rightarrow CaF_2$ (ફ્લોરોસિસ રોગ).

(D) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ એટલે કે $(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = { }^n C_r x^r$ છે.
$p$-માં પદનો સહગુણક ${ }^n C_{p-1}$ છે. આપેલ છે કે આ સહગુણક $p$ છે,તેથી $p = { }^n C_{p-1}$.
$(p+1)$-માં પદનો સહગુણક ${ }^n C_p$ છે. આપેલ છે કે આ સહગુણક $q$ છે,તેથી $q = { }^n C_p$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}}$ લો.
સૂત્ર $\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{q}{p} = \frac{n-p+1}{p}$.
આથી $q = n-p+1$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $p+q = n+1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$x = \tan \theta + \sin \theta$ અને $y = \tan \theta - \sin \theta$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
હવે,$x^2 - y^2$ પદ લઈએ:
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
તેથી,$(x^2 - y^2)^2 = (4 \tan \theta \sin \theta)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta = 16xy$.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$. $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$ મળે. તેથી,$\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$. તેથી,$\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)]$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ અને $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$.
તેથી $A+B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$.
અને $A-B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left( \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} \right) = x$.
આમ,$f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$.
$\sin(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.
તેથી,$f(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $D(4, 2)$ અને $C(-2, 6)$ છે. રેખા $L$ એ રેખાખંડ $CD$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખા $CD$ નો ઢાળ $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$.
રેખા $L$ એ $CD$ ને લંબ હોવાથી,$L$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ થશે.
$CD$ નું મધ્યબિંદુ $O$ એ $\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે,જ્યાં $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,અને $B = \cos \theta + \sin \theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના લઘુકોણ $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$.
$A + B = 2 \cos \theta$.
તેથી,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
આમ,$\alpha = \theta$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડીના ખૂણાઓના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
જો યામ અક્ષો દ્વિભાજક હોય,તો તેમનું સમીકરણ $xy = 0$ થાય.
આ સરખાવતા,$a + b = 0$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v = \frac{3}{4} v_e$ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{2gR}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} m (\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) \implies 16R = 7R + 7h$
$9R = 7h \implies h = \frac{9R}{7}$

(B) ક્ષેત્રીય વેગ $A$ એ ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા ક્ષેત્રફળ કપાવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
બંને બાજુ ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા:
$M A = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M r^2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$M A = \frac{1}{2} I \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે.
તેથી,$M A = \frac{1}{2} L$.
$L$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$L = 2 M A$.

(D) ઈથેનની તૈયારી માટેની વુર્ટ્ઝ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$2CH_3I + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} C_2H_6 + 2NaI$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$1 \text{ મોલ}$ ઈથેન $(C_2H_6)$ બનાવવા માટે $2 \text{ મોલ}$ મિથાઈલ આયોડાઈડ $(CH_3I)$ ની જરૂર પડે છે.
$CH_3I$ નું મોલર દળ $= 12 + (3 \times 1) + 127 = 142 \text{ g/mol}$.
તેથી,$2 \text{ મોલ}$ $CH_3I$ નું દળ $= 2 \times 142 \text{ g} = 284 \text{ g}$.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા ક્રમ $A$ $\xrightarrow{HBr} C_2H_5Br$ $\xrightarrow{B} A$ છે.
પગલું $1$: $A$ એ $HBr$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $C_2H_5Br$ (ઈથાઈલ બ્રોમાઈડ) બનાવે છે. આ સૂચવે છે કે $A$ એ ઈથીન $(C_2H_4)$ છે.
પ્રક્રિયા: $CH_2=CH_2 HBr \rightarrow CH_3-CH_2Br$.
પગલું $2$: $C_2H_5Br$ એ પ્રક્રિયક $B$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $A$ $(C_2H_4)$ ફરીથી બનાવે છે.
આ ડીહાઈડ્રોહેલોજનેશન પ્રક્રિયા છે,જેના માટે $KOH$ નું આલ્કોહોલિક દ્રાવણ અને ગરમી $(\Delta)$ ની જરૂર પડે છે.
પ્રક્રિયા: $CH_3-CH_2Br \text{alc. } KOH \xrightarrow{\Delta} CH_2=CH_2 KBr H_2O$.
તેથી,$A$ એ $C_2H_4$ છે અને $B$ એ આલ્કોહોલિક $KOH / \Delta$ છે.

(A) $1, 2$-ડાયબ્રોમોઈથેન $(BrCH_2-CH_2Br)$ નું ઈથિલીન $(H_2C=CH_2)$ માં રૂપાંતર એ ડિહેલોજનેશન પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયામાં આલ્કોહોલની હાજરીમાં ગરમી $(\Delta)$ આપીને ઝિંક ડસ્ટનો ઉપયોગ કરીને પાસ-પાસેના કાર્બન પરમાણુઓમાંથી બે બ્રોમીન પરમાણુઓ દૂર કરવામાં આવે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ: $BrCH_2-CH_2Br + Zn \xrightarrow{\text{alcohol}, \Delta} H_2C=CH_2 + ZnBr_2$.
આમ,સાચી પ્રક્રિયાની શરતો $Zn$,આલ્કોહોલ,$\Delta$ છે.

(D) જ્યારે ભારે પાણી $(D_2O)$ મેગ્નેશિયમ નાઈટ્રાઈડ $(Mg_3N_2)$ સાથે પ્રતિક્રિયા કરે છે,ત્યારે ડ્યુટેરિયમ અણુઓ નીપજોમાં હાઈડ્રોજન અણુઓને બદલે છે.
આ પ્રતિક્રિયા માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$Mg_3N_2 + 6D_2O \longrightarrow 3Mg(OD)_2 + 2ND_3$
આમ,બનતી નીપજો મેગ્નેશિયમ ડ્યુટેરોક્સાઈડ $(Mg(OD)_2)$ અને ડ્યુટેરોએમોનિયા $(ND_3)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સમીકરણ $AB = O$ આપેલ છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
તેથી,$B$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 3x - 4$. ધારો કે $f(x) = y$,તેથી $y = 3x - 4$. $x$ ને કર્તા બનાવતા,$x = \frac{y + 4}{3}$ મળે. આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$.
આપેલ છે કે $g(x) = 2 + 3x$. ધારો કે $g(x) = z$,તેથી $z = 2 + 3x$. $x$ ને કર્તા બનાવતા,$x = \frac{z - 2}{3}$ મળે. આમ,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$.
પ્રથમ,$f^{-1}(5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
હવે,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,જવાબ $\frac{1}{3}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ અને $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
અંશ અને છેદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x (\sin^2 x)}{\sin^2 x + \cos^2 x (\cos^2 x)}$
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 x)}$
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x}$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \cos^2 x \sin^2 x} = 1$.
આમ,$f(2002) = 1$.

(A) પ્રશ્નની શરતો મુજબ:
$2Fe_2S_3 + 9O_2 \rightarrow 2Fe_2O_3 + 6SO_2$ $(A)$
$SO_2 + H_2O \rightarrow H_2SO_3$
બનતો એસિડ સલ્ફ્યુરસ એસિડ $(H_2SO_3)$ છે.
$H_2SO_3$ માં બે વિસ્થાપનીય હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ હોવાથી,તેની બેઝિકતા $2$ છે.

(A) $1$. વિકલ્પ $A$: બ્રોન્સ્ટેડ-લોરી સિદ્ધાંત એસિડને પ્રોટોન દાતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. $BCl_3$ એ લુઈસ એસિડ છે કારણ કે તે ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સ્વીકારે છે,પરંતુ તેમાં દાન કરવા માટે પ્રોટોન નથી. તેથી,આ સિદ્ધાંત તેની એસિડિકતા સમજાવી શકતો નથી. આ વિધાન સાચું છે.
$2$. વિકલ્પ $B$: $0.01 \ M \ NaOH$ માટે,$[OH^-] = 10^{-2} \ M$. તેથી,$pOH = -\log(10^{-2}) = 2$. તેથી,$pH = 14 - 2 = 12$. આ વિધાન ખોટું છે.
$3$. વિકલ્પ $C$: $25^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનો આયનીય ગુણાકાર $(K_w)$ $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ છે,$10^{-10}$ નથી. આ વિધાન ખોટું છે.
$4$. વિકલ્પ $D$: સાચું સમીકરણ $pH = -\log [H^+]$ છે. આ વિધાન ખોટું છે.

(A) પગલું $1$: મિશ્રણમાં $HCl$ ના કુલ મોલની ગણતરી કરો.
$n_1 = M_1 \times V_1 = 0.2 \ M \times 75 \ mL = 15 \ mmol$
$n_2 = M_2 \times V_2 = 1 \ M \times 25 \ mL = 25 \ mmol$
$HCl$ ના કુલ મોલ = $n_1 + n_2 = 15 + 25 = 40 \ mmol$.
પગલું $2$: અંતિમ દ્રાવણના કુલ કદની ગણતરી કરો.
$V_{total} = V_1 + V_2 + V_{water} = 75 \ mL + 25 \ mL + 300 \ mL = 400 \ mL$.
પગલું $3$: $HCl$ ની અંતિમ મોલારિટી $(M_{final})$ ની ગણતરી કરો.
$M_{final} = \frac{\text{કુલ મોલ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{40 \ mmol}{400 \ mL} = 0.1 \ M$.
પગલું $4$: દ્રાવણના $pH$ ની ગણતરી કરો.
$HCl$ પ્રબળ એસિડ હોવાથી,$[H^+] = [HCl] = 0.1 \ M = 10^{-1} \ M$.
$pH = -\log_{10}[H^+] = -\log_{10}(10^{-1}) = 1$.

(B) આપેલ વક્રો $x=y^2$ $(i)$ અને $xy=a^3$ (ii) છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
વક્ર (ii) માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x=y^2$ ને $xy=a^3$ માં મૂકતા: $y^2(y) = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
તેથી $x = a^2$. આમ છેદબિંદુ $(a^2, a)$ છે.
$(a^2, a)$ આગળ ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2a}$ અને $m_2 = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$ છે.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
તેથી,$(\frac{1}{2a})(-\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow -\frac{1}{2a^2} = -1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - (2x)(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
વિધેય વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે:
$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
કારણ કે $x^2 \ge 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ દરેક $x \neq -2$ માટે,આ પદ ત્યારે જ ધન બને જ્યારે $1+x > 0$ અને $x \neq 0$ હોય.
આમ,$x > -1$ અને $x \neq 0$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x e^{-x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
અંતિમ બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કે ન્યૂનતમ છે તે ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન કરીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન $x = 1$ આગળ ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3^x dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.
$3^x = z$ આદેશ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $3^x \log 3 dx = dz$ મળે,તેથી $3^x dx = \frac{dz}{\log 3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} = \log |u + \sqrt{u^2-a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$ મળે.
છેલ્લે,$z = 3^x$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{7+5 \cos x}$.
નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{d x}{7(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) + 5(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$
$I = \int \frac{d x}{12 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin^2 \frac{x}{2}}$
અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{12 + 2 \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{6 + \tan^2 \frac{x}{2}}$
ધારો કે $\tan \frac{x}{2} = z$,તેથી $\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dz$.
$I = \int \frac{dz}{6 + z^2} = \int \frac{dz}{(\sqrt{6})^2 + z^2}$
સૂત્ર $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{u}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{z}{\sqrt{6}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{6}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(C) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ અને $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} - \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}$
$I = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{1+\tan^2(x/2) - 1 + \tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{2\tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{\tan(x/2)(\tan(x/2)-1)}$.
ધારો કે $z = \tan(x/2)$,તેથી $dz = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,એટલે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dz$.
$I = \int \frac{2 dz}{2z(z-1)} = \int \frac{dz}{z(z-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}$.
$I = \int (\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}) dz = \log|z-1| - \log|z| + C = \log|\frac{z-1}{z}| + C$.
$z = \tan(x/2)$ પાછું મૂકતા:
$I = \log|\frac{\tan(x/2)-1}{\tan(x/2)}| + C = \log|1 - \cot(x/2)| + C$.

(B) ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(x)$ યુગ્મ વિધેય હોય:
અહીં $\sin^4(-x)\cos^6(-x) = \sin^4 x \cos^6 x$ હોવાથી,વિધેય યુગ્મ છે.
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)...][(n-1)(n-3)...]}{(m+n)(m+n-2)...} \times \frac{\pi}{2}$ (જો $m$ અને $n$ બંને યુગ્મ હોય).
અહીં $m=4, n=6$ છે:
$I = 2 \times \left[ \frac{(3 \cdot 1) \times (5 \cdot 3 \cdot 1)}{(10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \times \frac{\pi}{2} \right]$
$I = 2 \times \left[ \frac{3 \times 15}{3840} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{45 \pi}{3840} = \frac{3 \pi}{256}$.

(B) આપેલ છે,
$\int_2^3 \frac{dx}{x^2-x} = \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} dx$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$.
$A$ અને $B$ ની કિંમત શોધતા,આપણને $A = -1$ અને $B = 1$ મળે છે.
તેથી,$\int_2^3 \left[ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right] dx$
$= [\log|x-1| - \log|x|]_2^3$
$= [\log|\frac{x-1}{x}|]_2^3$
$= \log(\frac{3-1}{3}) - \log(\frac{2-1}{2})$
$= \log(\frac{2}{3}) - \log(\frac{1}{2})$
$= \log(\frac{2/3}{1/2}) = \log(\frac{4}{3})$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$.
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^{1/3} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$.
ચલને અલગ કરતા: $y^{-1/3} dy = x^{-1/3} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$.
ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C_1$.
$\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા:
$y^{2/3} = x^{2/3} + \frac{2}{3}C_1$.
ધારો કે $c = \frac{2}{3}C_1$,તેથી $y^{2/3} - x^{2/3} = c$.

(A) આપણી પાસે છે,$\frac{dy}{dx} - y = x^2$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$ મળે છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}$ થાય.
તેથી,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3}$ અને $Q = 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (IF) = \int (Q \times IF) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \times e^{x/3} = \int (1 \times e^{x/3}) dx + c$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા,$y \times e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$ મળે છે.
બંને બાજુ $e^{x/3}$ વડે ભાગતા,$y = 3 + ce^{-x/3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
હવે,બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\vec{CA}|^2 = (-1)^2 + (3)^2 + (5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
અહીં $|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ $(41 = 6 + 35)$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$
$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$
$C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{AB} = B - A = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{BC} = C - B = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{AB} = t\vec{BC}$ થાય:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t((y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k})$
$hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) \ 4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$
$2) \ 4 - x = -6t \Rightarrow 4 - x = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$
$3) \ 2 = t(y-3) \Rightarrow 2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$
આમ,$(x, y) = (2, -3)$.